Đs9 chuyên đề 4 phương trình vô tỷ(91 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CƠ BẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ  g  x  0 f  x  g  x     f  x   g  x  Ví dụ Giải phương trình: a b x  x  4 x  x 1  x  x  Lời giải: a Phương trình tương đương với:  4 x  0 x    2    x  x   x  1 15 x  10 x  0   x   x 1   x  1  x  1 0  Kết luận x 1 nghiệm phương trình b Điều kiện: x 0 Bình phương vế ta được:  x  x   2 x  x 4 x   2 x  x  x    2   x  x   x    x 4  x     x  16 x  12 x  64    Đối chiếu với điều kiện ta thấy có x 4 nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: a x  x   x  x  5 b x   x  3 x  Lời giải:  x  x  0 a Điều kiện  thỏa mãn với x Ta viết phương trình lại thành  x  x  0 x  x  5  x  x  bình phương vế ta có  x  x  5   2  x  x  25  10 x  x   x  x   x  x 18   x  x     x 1  x  x 2   x  1  x   0    x  Kết luận x    2;1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN  x  x 18   x  x 2 CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 3x  0  b Điều kiện:  x  0  x  Bình phương vế phương trình ta thu được: 5 x  0  x    x  3   3x  1  x  3 9  x  1   3x 1  x  3 19 x  11 19 x  11 0   2 4  3x  10 x  3 361x  418 x 121 11  x   19  349 x  378 x  109 0  11  x  19   x  1  349 x  109  0   x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1 MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC Đặt ẩn phụ hồn tồn để quy phương trình ẩn + Điểm mấu chốt phương pháp phải chọn biểu thức f  x  để đặt f  x  t cho phần lại phải biểu diễn theo ẩn t Những tốn dạng nói chung dễ + Trong nhiều trường hợp ta cần thực phép chia cho biểu thức có sẵn phương trình từ phát ẩn phụ Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta chia cho g  x  phù hợp (thông thường ta chia cho x k với k số hữu tỉ) + Đối với toán mà việc đưa ẩn dẫn đến phương trình phức tạp như: Số mũ cao, bậc cao… ta nghĩ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy hệ phương trình dựa vào đẳng thức để giải toán Ta xét ví dụ sau: Ví dụ a  x  1  4 x  x b x  x  x  12 x  15 0  c x     x 2x  x  d x  x  x 2 x  e x   x  x  3 x f x  x x  3x  x Lời giải: a Ta viết lại phương trình thành: x  x   x  x 0 , đặt t  x  x 0 ta có phương trình mới: 4t  4t  0   t  1  t   0 suy t 2 thỏa mãn điều kiện  17 Giải t 2 ta có: x  x 4  x  x  0  x  2 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | b Đặt t  x  x 0 phương trình cho trở thành: t  2t  15 0  2t  t  15 0   t    2t   0 , t 0  t 3 thỏa mãn điều kiện Giải t 3 ta có x  x 9  x  x  0  x 3 Kết luận x 3 nghiệm phương trình c Điều kiện: x 0 Phương trình cho viết lại sau:   x2  1  x  2x  1      x   x 2 x   x  1  x Ta thấy x 0 nghiệm  1 x   1 x  phương trình Ta chia hai vế cho x thu được: 2      x    x  2 Đặt 1 x x  t  t ta có phương trình theo t : 3t  2t  0   t  Trường hợp 1: t  ta có: 1 x x   x  x  0  VN    21 x  L  1 x 15  21    x  x  0   x Trường hợp 2: t  ta có: x 3   21  x  15  21 Kết luận: Phương trình có nghiệm x  d Ta thấy x 0 khơng phải nghiệm phương trình 1 1 Vì ta chia hai vế cho x thu được: x  x  2   x   x   0 x x x x Đặt t  x  ta thu phương trình: x t  t  0  t 1  x  1 1  x  x  0  x  x 1 Kết luận: Phương trình có nghiệm x   x 0  e Điều kiện:  x  x    0  x 2    x 2  Ta thấy x 0 nghiệm phương trình Chia hai vế cho x x ta thu được: 1 1  t  x   , theo bất đẳng thức Cô si ta có t 2  x   3 Đặt t  x  x x x x | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ t 3 t Thay vào phương trình ta có: t  3  t   2 t  t  6t   x 4 25   x    x  17 x  0    x 1 x  Kết luận: Phương trình có nghiệm: x 4, x  f Nhận xét: x 0 nghiệm phương trình 1 Ta chia hai vế cho x phương trình trở thành: x   x   0 Đặt t  x  0 x x x phương trình trở thành: t  2t  0  t 1  x  1 1  x  x  0  x  x Ví dụ Giải phương trình: a  13  x  x    x    x 2  16 x  x  15 b x    x    x 32 Lời giải: a Điều kiện   x  Phương trình viết lại sau: 2  x    x    x  3 x     x   x  2  Đặt t  x    x    x   x  3  t2  Điều kiện    x   x  3  t 2 Phương trình cho có dạng: t  4t  t  0  t 2  x 2 Ngồi ta giải phương trình cách đưa hệ b Điều kiện:  x 7 Phương trình cho viết lại sau: 3 1  1    x      x   x      x    x     x 32    3x      x   3x      x    x     x 64 Đặt t  x    x  t  3x   x     x   x   3x     x   Từ phương trình suy t 64  t 4 Hay Bình phương vế ta thu được: 3x    x  3x    x 4  3x     x  11 2 8  x  x  44 x 113 0  x  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Tại ta phân tích hai phương trình trên: Ta thấy với phương trình:  ax  b  cx  d   ex  h  gx  k  r  cx  d   gx  k   s 0 cách xử lý hiệu là: Phân tích: ax  b m  cx  d   n  gx  k  ex  h m cx  d   n gx  k  sau ta đặt ẩn phụ trực tiếp, đặt hai ẩn phụ để quy hệ Ví dụ: Khi giải phương trình:  13  x  x    x    x 2  16 x  x  15 ta thực cách phân tích: + Giả sử: 13  x m  x  3  n   x  2m  2n   m  ,n  Đồng hai vế ta suy ra:  2  3m  5n 13 + Tương tự ta giả sử:  x  3 m x  3  n  x   m  ; n  2 Khi giải phương trình: 3x    x    x 32 Ta thực phân tích: m  3x    n   x  7 p  3x    q   x  4 x  3 Sau đồng vế đề tìm m, n, p, q ta có: m  ; n  ; p  ; q  2 2 Như vậy, cách đặt ẩn phụ ta giải toán theo cách khác sau: a Điều kiện: x  2 Đặt a  x  3, b   x a  b2 2 Từ cách phân tích ta có hệ sau: a  b 2   2 2  3a  7b  a   3b  a  b 4  16ab  a  b   2ab 2  3  a  b   2ab  a  b   16ab  0  a  b   2ab 2   2 3  a  b      a  b    a  b      a  b    0 Đặt a  b S , ab P Điều kiện: S , P 0; S 4 P  S  P 2  Ta có hệ sau:   S  8S  S  12 0  S 2  a b 1  x 2   P 2 b Đặt a  x  7, b   x ta có hệ phương trình | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ  a  b  64 a  b 4  Giải hệ phương trình ta thu được: a, b  x  2 a  3b 14 a  3b 14 Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy hệ đối xứng loại Phương pháp đặc biệt hiệu với phương trình dạng: ax  bx  c d ex  h ax3  bx  cx  d e gx  h Với mục đích tạo hệ đối xứng gần đối xứng ta thường làm theo cách: Đối với phương trình dạng: ax  bx  c d ex  h Ta đặt my  n  ex  h thu quan hệ: 2  ax  bx  c d  my  n   ax  bx  dmy  c  dn 0   2  2 2  m y  2mny  n ex  h  m y  2mny  ex  n  h 0 Ta mong muốn có quan hệ x  y Nếu điều xảy từ hệ ta có: a b  dm c  dn    * Cơng việc cịn lại chọn m, n chẵn thỏa mãn (*) m2 2mn n h Đối với phương trình dạng: ax3  bx  cx  d e gx  h ax3  bx  cx  d e  my  n  Ta đặt: my  n  gx  h thu hệ:  3 2 2 m y  3m ny  3mn y  n gx  h ax3  bx  cx  emy  d  en 0  3 Để thu quan hệ x  y ta cần: 2 2 m y  3m ny  3mn y  gx  n  h 0 a b c  em d  en    m 3m n  3mn g n h Ví dụ Giải phương trình: a x  x   x  b 37 x   x  26 x  0 3 c 3 x  8 x3  36 x  53 x  25 d 27 81x  27 x  54 x  36 x  54 e x 2017  2017  x Lời giải: a Điều kiện: x  Đặt my  n  x  , ta có hệ: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2 4 x  12 x  2my   2n 0 2 x  x  my  n  2 Ta cần tìm m, n để tạo quan hệ  2 2 m y  2mny  n 4 x  m y  2mny  x  n  0 x y    2n 1  n  2n  0  12  2m   2n  n    n     Chọn m 2    16 m 2mn  n 5 n  12   1  4n  Chú ý: Việc nhân số vào phương tình (1) hệ để tạo x  12 x  cần thiết để chọn m chẵn nhóm x  12 x  thành bình phương biểu thức bậc dễ Từ ta có lời giải cho tốn sau: 4 x  12 x  2  y  3  x  3 4 y   Đặt y   x  thu hệ:  2  y  3 4 x   y  3 4 x  2 Trừ hai phương trình hệ cho ta có:  x  3   y  3 4  y  x  x y   x  y   x  y   0    x  y 2  x  3 4 x    x 2  Trường hợp 1: x  y  x   x    x      x  4 x    x 1  Trường hợp 2: y 2  x    x    x    x    Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x 2  3, x 1  b Điều kiện: x  2 Phương trình cho viết lại sau: x  26 x  47  x 1 3 37    my  n  9 x  26 x   3 Đặt my  n  x    m y  2mny  n 4 x   37  9 x  26 x  my   n 0 3   m y  2mny  x  n  0    28  6n  1 37   26  m  n  n  Ta cần: Chọn m 3   37 3     n  m 2mn  n 1 3 1   n2  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ  x   2 x  y  Đặt y   x   Hệ phương trình sau:  Trừ hai phương trình hệ  y   4 x  ta thu được:  x  y   x  y  22  0 Giải phương trình ứng với hai trường hợp ta thu 14  61 12  53 nghiệm là: x  x  9 Chú ý: Ta tìm m, n nhanh cách:  x  3 2  my  n   11 Đặt my  n  x  ta có hệ:  Trừ hai phương trình cho nhau:  my  n  4 x   x  3 2   my  n  2my  x  2n   2my 4 x  m 2; n  Để có quan hệ: x  y ta cần:   2n  0 Tương tự giải câu b) c Đặt my  n  3 x  ta có hệ sau: 8 x  36 x  53x  my  n  25 0 x  8 x  36 x  53x  25   3 2 m y  3m ny  3mn y  x  n  0  36 53  m  n  25   m 2, n  Ta chọn m, n cho   m 3m n 3mn  n   x  3 2 y   x  Đặt y   3 x  Ta có hệ phương trình sau:   y  3 3 x  3 Trừ hai phương trình cho ta thu được:  x  3   y  3 2 y  x 2   x  y    x  3   x    y     y    1 0  x  y     2y   Do  x  3   x  3  y  3   y      x         y  3 1     2 Giải x  y ta có:  x  3 3 x   x3  36 x  54 x  27 3 x   x 2   x    x  20 x  11 0    x 5   Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: x 2, x  5 d Ta viết lại phương trình thành: 27 81x   3x    46 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |  y   81x  Đặt y   81x  ta có hệ phương trình:   x   27  y    46  y   81x    x   81 y  3 Trừ hai phương trình hệ ta thu được:  x     y   81 y  x  2   x  y    3x     x    y     y    27  0  x  y    x 0 Thay vào ta được:  3x   27  x    46  27 x  54 x  33x 0   2 x  3 Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x 0, x  2 x a điều kiện a 2017 , phương trình cho trở thành: a  2017  a 2017 e Đặt Đặt a  b 2017 2017  a b 0 ta có hệ phương trình:  b  a 2017  a b 2 Trừ phương trình hệ ta thu được: a  b  b  a 0   a  b   a  b  1 0    a 1  b TH1: a b hay 2017  a a a 0 bình phương vế ta thu được: a 2017  a   1 a  Hay a  a  2017 0     1 a   8069   8069 Đối chiếu điều kiện ta thấy a  thỏa mãn 8069 2    8069  Suy x     TH2: a 1  b  2017  a 1  a (điều kiện a 1 ), bình phương vế ta thu được: a  2a  2017  a  a  a 2016 (không thỏa mãn điều kiện) a 1  a  a  1 0    8069  Vậy phương trình có nghiệm x     Với phương trình dạng:  ax   b ax b việc đặt ẩn y  b ax đưa hệ đối xứng loại I cách giải hiệu Chú ý : n + Với phương trình dạng:  f  x    b a n af  x   b  * | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ n t  b ay n Bằng phép đặt t  f  x  ; y  af  x   b ta có hệ đối xứng loại là:  n  y  b at + Trong phương trình (*) ta thay a, b biểu thức chứa x cách giải phương trình Những phương trình dạng thường có hình thức lời giải đẹp * Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Giải phương trình: a x  11x   x  1 x  x  b x  13 x   x  1 3 x  c  x   x  7 x   x (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2018) Lời giải: a Ta viết lại phương trình thành:  x  3  x   x  1 Đặt a 2 x  3, b   x  1  x  3   x  3  x  1  x  3   x  3 ta thu hệ sau: a  x   x  1 b Trừ hai phương trình hệ ta được:  b  x   x  1 a a  b  x  1  b  a    a  b   a  b  x  1 0 Trường hợp 1:  x  a b  x   x  x     2 2 x  x  0  3 x  L    x   TM    Trường hợp 2: x   x  x   x  0   x 2 x  x 6  x    VN  7 x  30 x  36 0 Vậy phương trình có nghiệm nhất: x  3 b Ta viết lại phương trình thành:  x  1   x  x  1  x  1  x  1  x  1  x  x  Đặt a 2 x  1, b   x  1  x  1  x  x   3 x  ta thu hệ phương trình: a   x  x  1  x  1 b  Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được:  b   x  x  1  x  1 a 10