Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 18 PHƯƠNG TRÌNH hàm lê hoành phò file word

Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH HÀM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ánh xạ hàm số - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với phần tử y Y Phần tử y tương ứng x gọi ảnh ánh xạ f, kí hiệu y = f(x) , x gọi nghịch ảnh y: f : X �: x a y  f  x  - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi đơn ánh hai phần tử khác X a, b ι X : a b f  a f  b cho hai ảnh khác Y:  Hay a,b �X : f  a   f  b  � a  b - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi toàn ánh phần tử Y Y có nghịch ảnh x X: y �Y, x �X : y  f  x  Hay Y  f  x    y �Y |  �X, y  f  x   - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi song ánh f vừa đơn ánh toàn ánh, tức phân tử y Y có nghịch ảnh x X Hai tập hữu hạn có số phần tử tồn song ánh chúng Còn tập vơ hạn mà có song ánh chúng gọi lực lượng hay số - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: x �D  x �D f   x   f  x  - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: x �D  x �D f   x   f  x  a �0 � - Hàm số tuần hoàn : � f  x  a   f  x  , x,x  a �D � Số dương bé có số a thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ T hàm số f a �0 � - Hàm phản tuần hoàn : � f  x  b   f  x  , x,x  b �D � - Hàm cộng tính: f  x + y   f  x   f  y  - Hàm nhân tính: f  xy   f  x  f  y  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Điểm bất đồng hàm f(x) x = a cho f(x) = a - Nếu hàm số f(x) có f '(x)  D f(x) hàm D Đặc trưng hàm sơ cấp: �x  y � f  x   f  y  - Hàm bậc f  x   ax  b, a �0 : f � � �2 � - Hàm tuyến tính f  x   ax, a �0 : f  x  y   f  x  f  y  x - Hàm mũ f  x   a , a  0, a �1: f  x  y   f  x   f  y  - Hàm lôgarit f  x   log a x , a  0, a �1: f  xy   f  x   f  y  - Hàm sin f  x   sin : f  3x   3f  x   4f  x  - Hàm cosin f  x   cos x : f  2x   2f  x   f  x  y   f  x  y   2f  x  f  y  - Hàm tang f  x   tanx : f  x  y   f  x   f  y 1 f  x  f  y - Hàm cotang f  x   cot x : f  x  y   - Hàm f  x   shx  f  x  f  y  1 f  x   f  y ex  e x : f  3x   3f  x   4f  x  - Hàm f  x   chx  e x  e x : f  x  y   f  x  y   2f  x  f  y  Phương trình hàm - Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1), - Dùng phép thế, đổi biến, chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính, - Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn, - Đánh giá, dự đoán hàm số, quy nạp, Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn: f  x  y   f  x   f  y  , x,y �� f  x   ax với a số tùy ý CÁC BÀI TOÁN Bài toán 18 1: Cho hàm số f: �� � thỏa: f  x  2xy   f  x   2f  xy  , x,y �� Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Biết f(201) = a, tính f(202) Hướng dẫn giải Thay x  ta được: f    f    2f   � f    Thay y  1 ta : f   x   f  x   2f   x  � f  x   f   x  Thay y    x �x�  �� f  x   2f ta f    f  x   2f � 2 � 2� �x � Suy f  x   2f � � �2 � Xét x �, t �� Thay y  t ta được: 2x �t � f  x  t   f  x   2f � � f  x   f  t  �2 � Với x  ta có f   t   f    f  t  Ta chứng minh quy nạp theo k: f  kx   kf  x  , x ��, k �� Từ rút ra: a  f  201  201.f  1 � f  1  Do f  202   202.f  1  a 201 202 a 201 Bài toán 18 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn điều kiện: f  0, y   y  1; f  x  1,   f  x,1 f  x  1, y  1  f  x, f  x  1, y   Với số ngun khơng âm x, y Tìm f(4, 1981) Hướng dẫn giải Ta có: f  1, n   f  0, f  1, n  1    f  1, n  1 Do đó: f  1, n   n  f  1,0   n  f  0,1  n  Ta lại có: f  2, n   f  1, f  2, n  1   f  2, n  1  Do đó: f  2, n   2n  f  2,   2n  f  1,1  2n  Bây giờ: f  3, n   f  2, f  3, n  1   f  3, n  1  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Đặt u n  2u n 1 u  f  3,    f  2,1   n+3 n+3 Do vậy: u n  f  3,n    f  4,n 1  3 Ta có: f  4,n   f  3, f  4, n  1   f  4,0  = f  3,1  24   13 f  4,2   2224  22 24 3 Bằng qui nạp ta chứng minh f  4,n   Trong số mũ chứa (n + 2) chữ số Từ đó: f  4, 1981  222 24  với số mũ chứa 1983 chữ số Bài toán 18 3: Cho hàm f: � � � thỏa mãn điều kiện sau:  (i) f  n  1  f  n  ; n ��  (ii) f  f  n    3n, n �Z Hãy tính f(2003) Hướng dẫn giải Từ (i) (ii) � f (1)  f  f  1   � f  1  Ta có: f    f  f  1   3.1  f  3  f  f     3.2 f  2.3  f  f  3   3.3  32 n n 1  n n  Suy f  2.3   , n �� ; f    2.3 ; n �Z   n 1 n n 1 Nên có f    f f  2.3   2.3   f  2.3n 1   f f  3n 1   3.3n 1  3n  Do khẳng định với n n Ta có   1 số nguyên m nằm 3n 3n giả thiết (i) f  n  1  f  n  n nên có   1 số nguyên m nằm f( 3n ) f(2 3n ) suy  m  3n � f  3n  m   2.3n  3n Do giả thiết (ii) suy Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải   f  2.3n  m   f f  3n  m    3n  m  n n Vậy f  2.3  m     m  với  m  3n 6 Suy ra: n  2003  2.3  545 � f (2003)    545   3822 Bài toán 18 4: Cho f(n) hàm số xác định với n � * lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất: * n, m � : f  m  n   f  m   f  n  lấy giá trị f    f  3  f  9999   3333 Tính f  2000  Hướng dẫn giải Vì f  m  n   f  m   f  n  lấy giá trị nên ta suy ra: f  m  n  �f  m   f  n  �f �  f  1 f  1 f  3 Ta có: f   �f  3  f  3  f   �f    f  3 �3 f  9999  �f  9996   f  3 �3333 Vì giả thiết cho f  9999   3333 nên ta có dấu “=” bất đẳng thức xảy ra, tức f  3n   n, n  1, 2, ,3333 � f  1998   666, f  2001  667 bf  a  Mặt khác a a, b � * a � �� 666 f  2000  667 f  2000  f  b f  a b f  b 666 hoắc 667 Giả sử f  2000  667   f  4000   1334 f  6000  1334 667 2001 mà f  6000   2000 (mâu thuẫn) Vậy: f  2000   666 Bài toán 18 5: Cho f g hàm xác định R thỏa: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải f  x  y   f  x  y   f  x  g  y  , x, y �� Chứng minh rằng: Nếu f  x  �0 f  x  �1, x �� g  y0   a  Hướng dẫn giải Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử lại điểm y0 ��: g  y0   a  Ta lấy x0 : f  x0  �0 xây dựng dãy xk  k  0,1,  sau: �xk  y0 , f  xk  y0  � f  xk  y0  � xk 1  � x  y0 , f  xk  y0   f  xk  y0  � �k Theo giả thiết ta có: f  xk 1   f  xk  y0   f  xk  y0  � f  xk  y0   f  xk  y0   f  xk  g  y0   2a f  xk  Nên f  xk 1  �a f  xk  với a  1; k  1, 2,3 k Do ta có: f  xk  �a f  x0  Nhưng f  x0  �0 a  nên chọn k k cho a f  x0   dó f  xk   Mâu thuẫn với giả thiết Vậy g  y  �1, y �R Bài toán 18 6: Cho hàm số f: �� � thỏa điều kiện: i) f  x  �1  x; x �� ii) f  x  y  �f  x  f  y  ; x, y �� Chứng minh tồn hai số a; b �� mà f  a  f  b  �0 Hướng dẫn giải Ta chứng minh: f  x   0, x �� Thật vậy: với x  theo điều kiện (i) ta có f  x   Với x  , trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 2n � �x � x ��, n ��thì f  x  �� �f �2n � � �� � � (1) Với n = 0: công thức (1) � x Giả sử công thức (1) với n  k  tức f  x  ��f � �k � �2 2k 2k � � � � � � (2) 2k 1 2k � x� � x �� x � x� �x � Ta có: �f �  f � k 1  k 1 ���f ( k 1 ) �  f �k  � tức (1) với �k � � �� � �2 � � � �2 � � n  k 1 Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) n Bây chọn n đủ lớn để x  , x �� tùy ý, x 1� 2n �x f �n �2 � � � 2n � x � � Do �f � �n � �  tức f  x   0, x �� � �2 � � Như tồn a, b �� mà f  a  f  b  �0 Bài toán 18 7: Đặt f  x   với x số thực dương, với số nguyên dương n, ta 1 x   đặt: g n  x   x  f  x   f  f  x     f f  f  x   , f lấy n lần số hạng cuối Chứng minh rằng: a) g n  x   g n  y  x  y  b) g n  1  F F1 F2    n 1 F2 F3 Fn  với F1  F2  Fn   Fn 1  Fn với n �1 Hướng dẫn giải   a) Kí hiệu f n  x   f f  f  x   (n lần) Kí hiệu g  x  hàm đồng Chú ý f  x  hàm tăng thực x  Ta chứng minh qui nạp theo n g n  x  hàm tăng thực x  Dễ dàng kiểm tra điều với g1  x  Giả sử n �2, g1  x  , , g n 1  x  hàm tăng thực với x  Cho x  y  Ta có: g n  x   g n  y   Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải   x  y    f  x   f  y     f  x   f  y      f n  x   f n  y       g1  x   g1  y    g n   f  x    g n 2  f  y    Vậy g n  x  hàm tăng thực x  b) Để y �F � F F1  f � i � i 1 Suy ra: F2 �Fi 1 � Fi  F F1 F2    n 1  g n  1 F2 F3 Fn  Bài toán 18 8: Cho f  x, y   2003 cos  x  y   a cos  x  y    với a,  �� Chứng minh  f  x, y     max f  x, y   �2003 2 Hướng dẫn giải 2003 �  � Ta có: f  0,   f � ; � 2 �2 � � Nên max f  x, y  �max �f  0,  , � �  max f  x, y    � 2003 �  � f�, �  x, y �� �� �2 � 2003 2003 2003 �  � �  �  a.sin  , f �  ;  �   a.sin  Ta lại có: f � ; �  2 �4 � �4 4� �  � Nên f � ; � �4 � 2003 �  � f � ;  �  Suy ra: � 4� � �  � f  x, y  �min �f � ; � ,f � �4 � min  f  x, y    � 2003 �  �  ; �  x, y �� �� � � 4� 2003 Do :  f  x, y     max f  x, y   �2003 2 Bài toán 18 9: Cho hàm số f : *� * Giả sử f  1  1, f  2n   f  n  f  2n  1  f  2n   với số tự nhiên n a) Tìm giá trị lớn M f  n  với n � * thỏa mãn điều kiện �n �1994 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Tìm tất số n � , với �n �1994 , cho f  n   M Hướng dẫn giải Có thể dùng quy nạp để chứng minh f(n) số tất chữ số biểu diễn nhị phân số n a) Tồn nhiều 10 chữ số biểu diễn nhị phân số số bé 1994  111111001010 2 Suy M = 10 b) Với số tự nhiên n �1994, ta có f  n   10 n số: 1023  1111111111 2 , 1535  1011111111 2 ,1791  1101111111  , 1919  1110111111 2 ,1983  1110111111 2 Bài toán 18 10: Cho f  x   x2  , x �0 Giả sử f  x   x 2x f n  x   f  f n 1  x   n � * , x �0 Chứng minh n �, x �1, 0,1 fn  x  1 f n 1  x  2n �x  � f� � �x  � Hướng dẫn giải Đặt pn  x   qn  x   1� 2n 2n �x  1   x  1 � � 1� 2n 2n x, y � �x  1   x  1 � � 2 Ta có: pn 1  x   pn  x   qn  x  qn 1  x   pn  x  qn  x  f0  x   x  x p0  x   , x �0 q0  x  Giả sử: f k  x   Trang x, y � pk  x  qk  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải �pk  x  � � � qk  x  � pk2  x   qk2  x  pk 1  x  � � f k 1  x     pk  x  pk  x  q k  x  qk 1  x  qk  x  Do đó: f n  x   pn  x  qn  x  n �, x �0 Ta có: n � , x �1, 0,1 có: n1 2 2 1 � �  x  1   x  1 �  x  1   x  1 � fn  x  � � � �  n n n1 n 2 2  f n 1  x  � �  x  1   x  1 �  x  1   x  1 � � �� � n n n 2 � 2n 2n �x  1   x  1 �  x  1  x  1 �   1  1 2n1 2n 1 2n1 n 1 x  2n  x  1   x  1  x  1   x  1 f( ) x 1 n n Bài 18 11: Cho hàm số f : � � � thỏa mãn phương trình: f  x   2005 f  x   2006 f  x  x �� Chứng minh tồn số thực k để: f  x   f  kx  Hướng dẫn giải n * Đặt f  x   un  n �N   Từ f  x   2500 f  x   2006 f  x  x �� quy nạp ta có: f  2n  x   2005 f  2n 1 x   2006 f  2n x   x ��  Hay un   2005un 1  2006un   un   Hướng dẫn giải phương trình đặc trưng:   2500  2006  ta   1;   2006 Vậy un  p.1n  q  2006   0, n n Với p  0, q  un  u0 n Vậy f  x   f  x  hay k  2n n �N  Bài toán 18 12: Cho ánh xạ P : * �* � � Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải f ( f ( x))  a f (  x)  f  x)  a, x � R (6) Từ (5) (6) suy ra: a.( f (- x) - f ( x))  f ( x)  f (- x)  2a, x �R (7) Thế x  x0 vào (7), ta được: f  x0   a (*) 2 Mặt khác, từ (3) suy f  x1   f  x2  x1  x2 Vì thế, từ (*) suy x0  trái với giả thiết x0 �0 Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) � f ( x), x � Do đó, từ (4) suy ra:  f ( x)  f ( x ), x �0 Thế (8) vào (7), ta được: a.( f ( x)  1)  , x � Suy a  , ngược lại, a �0 f ( x )  1, x � Do đó, từ (3) có:  f  x    x , x �R (9) Giả sử tồn x0 �0 cho f  x0   x0 Khi theo (5) ta phải có: x0  f  x0    f  f  x0     f  x0    x0 Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) �x, x � Vì vậy, từ (9) ta được: f ( x)  - x, x E �R Thử lại Vậy, hàm số f ( x)   x, x � R hàm số cần tìm Bài tốn 18 37: Hãy xác định hàm số f : R � R cho bất đẳng thức sau với sô 1 thực x, y, z bât kỳ f  xy   f  xz   f  x  f  yz  � (1) 2 Hướng dẫn giải Cho x  y  z  , thì: 1 1� (1) : f    f    �0 hay � f    � �0 nên: f    � 2� � Cho y  z  (1): 1 f  0  f  0  f  x  f  0 � 2 1 1 Hay f (0)  f ( x) f (0) �  f  x  � nên: f  x  � 2 Cho x  y  z  , thì: 1 1� � (1): f  1  f  1 � hay �f  1  ��0 , suy f  1  2� � Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Cho y  z  x tuỳ ý, ý f  1  1 f  x   � f  x 2 Do đó: f  x   f  x  f  1 f  x , ta có: f  x với x thực Thử lại Cách 2: Chứng minh f  xy   f  x  , y Bài tốn 18 38: Tìm tất hàm số liên tục f :  0,1 � R thỏa mãn: f ( x)  xf ( x ) x � 0,1 Hướng dẫn giải Từ giả thiết f (0) � 0, f (1) � Với  x  băng phương pháp quy nạp, suy ra: f  x  �2 xf ( x ) �  x  x x n n  n 1 f ( x n ) n �1   n n n �1 �2n  x nn 1 f x � Vì  x  nên: lim � �   n n 0 �2 x  x n1 f x � Vì  x  nên : lim � � � 1� 0, Do vậy: f ( x ) �0x �� � 2� � Với  x  thì: f   x �� 2 x f  x  f  x  f x x � 21n � f �x � � � 1 2n x n � 21n � f �x � 1� Vì lim � � f x �0x � 0,1 � f x  0x �� 0, � ;       � 1 � � n x n � � � � 2n log �nên : Với x �� ,1�tồn n �N để x  ( chọn n  log � � � � � f  x  �2n.x Trang 29 n 1 � ,1�    0; f  x  �0x �� � � � f x2 n http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải � � Do f  x   0, x �� ,1� � � Vậy f ( x)  0,  x � [0, 1) Vì f(x) liên tục [0, 1] nên f ( x)  x � [0, 1] Bài toán 18 39: Xác định f(x) liên tục R thoả mãn: f ( x ) f ( y )  f ( x  y ) với x, y �R f  1  Hướng dẫn giải Ta có f (2 x)  f ( x  x)  [ f ( x)]2 Dùng quy nạp, ta có f ( nx)  [ f ( x)]n với n � N *, x � R n 1 � �1 � � �1 � n Chọn x  � f  1  �f � � �� f �n � � �f  1 � � n �� � �n � � n � mn �1 � � �� �1 � m  ��f � � Từ đó: f � � n � f � �  Với m, n �N * �n � � n �� �n � � Nhận xét rằng: f (n) f (-n)  f (0)  m 1 � m� n � f  n    �f�  � f  n  2n �n� m �m � Nên f � � n với m �Z n �N * �n � Với x0 �R có dãy hữu tỉ tiến x0 x Vì f(x) liên tục x0 nên f  x0   Vậy f ( x)  x , x �R Bài toán 18 40: Xác định f(x) liên tục R thoả mãn: xy )  f ( x ) f ( y ),  x , y e �R \{0 } Hướng dẫn giải Thay y  � f ( x)[1 - f (1)]  0, x � R f  x  �1 từ (3) suy f ( x)  0, x � R � 1� f (1)  Khi f  1  f �x � f  x  f � x� �1 � , x �R \  0 �� �x �  f ( x) � 0, x � R \{0} f  x   � �f  x  � �  0, x �R \  0 Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải t Nếu x, y �R * Đặt x  eu , y  e v f  e   g  t  Khi g (u  v)  g (u) g (v) , u, v �R � g (t )  a t , t � R, a  Do đó: f ( x)  f (eu )  g (u )  a u  a ln x  (eln a ) ln x  x Với   Ina, x �R * Nếu x, y �R * x, y �R * theo ta có: [ f ( x)]2  f ( x )  ( x )   ( ( x )  ) , x � R  ,  � R  � �x x �R * Do f(x) liên tục R nên f  x   �   x x �R  � � Vậy f ( x )  0, x � R f  x   x x �R \  0 ,  �R tùy ý   � �x x �R* f  x � B  x x �R  � , �R tùy ý Bài tốn 18 41: Tìm tất hàm số f liên tục R thoả : ( f ( x))3  ( x  3)( f ( x))  ( x  3) f ( x)  x   0, x � R Hướng dẫn giải Đặt y  f ( x ), t  x ta có: t - ( y  y )t  y  y  y   2 Hướng dẫn giải t theo y: 1 = ( y  y  2) t  y  y   ( y  )2; t  y  Viết lại phương trình hàm: [ x  ( f ( x)  1) ] [ x  ( f ( x)  1)]  � ( f ( x)   x)( f ( x)   x)( f ( x)   x )  � f ( x) � {1  x ;  x; x  1} Để ý: Đồ thị hàm số f1 ( x)   x f ( x)   x có điểm chung A(0, 1) Đồ thị hàm số f1 ( x)   x f3 ( x )  x  có điểm chung A(0, 1) B (1 ,2) Đồ thị hàm số f ( x)   x f ( x)  x  có điểm chung A(0, 1) Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải C (-1 ,2) Do điều kiện f liên tục R nên: �f i  x  � �f j  x  f  x  � �f k  x  �f x �l   x � �, 1 x � 1, 0 x � 0,1 x � 1, � Với: i, j , k , l chọn [1,2, 3] cho f liên tục Vậy có tất 25 hàm số liên tục thoả phương trình hàm xác định    0, x n Bài tốn 18 42: Tìm f(x) liên tục thoả: Cn f  x   Cn f  x    Cn f x n Hướng dẫn giải n   k Đặt g n  x   �Cn x k 0 k   n 1 k Ta có: g n ( x)  0, x � R; g n-1 ( x)  �Cn 1 f x k 0  n 1 g n 1 f  x   �Cnk1 f x k 0 k 1  k   n  �Cnk11 f x k 1 k   n 1 g n 1  x   g n1 f  x   f  x   � Cnk1  Cnk11  f x  f  x n  k k 1 n 1      Cn0 f  x   �Cnk x  Cnn f x k 1 n n    g  x   �Cnk f x k 0 k k n Vì f liên tục R nên gn(x) xác định liên tục R Nếu x  g n 1    x  g n 1  Nếu  x  ta có: g n-1 ( x)  g n-1 ( x )   g n-1 ( x m )   g n 1    Nếu x  từ g n-1 ( x)   g n -1 ( x ) ta suy �12 � g n 1 (t )  g n 1 � t �  (1) m gn 1 , (t m )  g n 1 (1)  � � Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do đó: Nếu x �0 g n 1  x   0n �N * Nếu x  � g n 1  x    g n 1  x   � g n 1  x   0, x �R, n �R * Vậy g n  x   g  x   0, x �R, n �N * Mà g  x   f  x  f ( x)  0, x � R Thử lại Vậy: f  x   Bài toán 18 43: Tìm tất hàm liên tục f : R  � R  thỏa mãn: �x  � f  x  f � , với x �R  � �x  � Hướng dẫn giải Ta chứng minh f(x) hàm Lấy a  b tuỳ ý Xét dãy  xn  sau: xn 1  xn  , n �1 xn  �x  � Khi f � n � f  xn   f  xn 1    f  x0   f  a  �xn  � Vậy hàm f(x) không đỗi dãy  xn  - Nếu a  1  a  1  ta chứng minh (1)  a2 Thật vậy, (1) tương đương với 2a   a  a   � 3 a   � a  52 5  1   , hiển nhiên 3 1  Từ suy dãy  xn  bị chặn xn  xn   xn  xn  x n  xn   xn   Mặt khác, xét xn 1  xn  xn  xn  xn  Do xn  1  2 nên x n  xn   �  x n  xn   � xn 1  xn , nghĩa dãy  xn  giảm Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải -Nếu  a  1  a  1  Khi dễ thấy  �  xn  bị chặn a2 1  Mặt khác, xét xn 1  xn  Do xn  xn  x   xn  xn  xn  xn   xn  n  xn  xn  xn  1  2 nên xn  xn   �  xn  xn   � xn 1  xn ,ghĩa dãy  xn  tăng Trong hai trường hợp, dãy (xn) hội tụ b  lim xn Chuyển qua giới hạn (*) ta có: b b 1 1 � � b2  b   � b  b2 Do b  nên b  1  �1  � Như f  a   lim f  xn   f  lim xn   f � � � � C � � Vậy f  x   C Thử lại Bài tốn 18 44: Tìm hàm f  x  �0 Xác định khả vi R  thoả mãn điều kiện: � xn  yn f� � � � � � � f  x   f ( y) , x, y �R, n �N * Hướng dẫn giải Đạo hàm hai vế đẳng thức đề cho theo X y ta được: Trang 34 � xn  y n f '� � � � nx n 1  � � xn  y n �4 � xn  y n f '� � � � ny n 1  � � xn  y n �4 f  x f ' x f  x  f  y f  y  f ' y f  x  f  y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải � f  x f ' x f  y  f ' y   , x, y �R  n 1 n 1 x y f  x f ' x n 1  a , (hằng số dương) � f  x  f '  x   a.x n 1 x � f  x  n ax Thử lại ta thấy hàm f(x) thoả yêu cầu đề n Vậy: f  x   n ax n Bài toán 18 451: Cho hàm số f : R � R xác định bởi: y = f(x) = (1999) x + (1999) x Với giá trị a hàm y  f ( x  a) hàm số chẵn Hướng dẫn giải Ta có: f ( x)  (1999) x  (1999) 2 x , x � f ( x  a)  (1999)  (1999) 2 a  x , x Do đó: y  f ( x  a) hàm số chẵn R � f ( x  a )  f (  x  a) x  (1999)  x (1999) a  (1999) 2a (1999) x  x � [(1999) x  (1999) x ][  1999    1999  a 2 a ]  0x [(1999)a  (1999) 2 a ]=0 � a=2  a � a=1 Vậy a  y  f  x  a  hàm chẵn R Bài toán 18 46: Cho b số thực dương Hãy xác định tất hàm số f xác định tập số thực R, lấy giá trị R thoả mãn: f ( x  y )  f ( x).3b y  f  y  1   b x (3b y  f ( y ) 1  b y ) , x, y � R Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với f ( x  y)  b x  y  ( f ( x)  b x ) 3b y  f  y  1, x, y � R (1) Đặt g ( x)  f ( x)  b x Khi (1) có dạng g ( x  y )  g ( x)3g  y  1 , x, y �R (2) Trang 35 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Thay y  vào PT (2) ta � g  x   0, x �R g  x   g  x  3g  y  1 x �R � � g  0  � x Với g ( x)  0, x � R f  x   b Với g    x  vào PT (2) ta được: g ( y )  g (0)3g ( y )- � g ( y )  3g  y  1 � 3g  y  1  g  y   0, y �R t 1 Xét hàm số h(t )  3t -  t có h '  t   In3  h '(t )  � t  log  log e    Ta có bảng biến thiên sau, với a = log 3e  log (log 3e)  < Từ bảng biến thiên ta thấy PT h(t )  có hai nghiệm t1  t2  c , với  c  1 g  y  1 ( h0  ) Tức g  y   3 � g  y  �� y �R g ( y )  c,  c  � (4) Giả sử tồn y0 �R cho g  y0   c 9( y )   c.g (  y0 ) Suy   y0   Khi đó:  g (0)  g ( y0  y0 )  g (  y0 ).3 �c c mâu thuẫn với (4) Nên g  y   1, y �R suy f ( x )   b x Thử lại Vậy có hai hàm số thoả mãn đề là: f  x   b x f ( x)   b x Trang 36 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài toán 18 47: Cho số thực a thỏa mãn  a �1 Hãy xác định tất hàm số f : R � R thỏa mãn phương trình sau: ( x  y )  f ( x) 3b y  f  y  1  b x ( 3b y  f  y  1 - b y ) Hướng dẫn giải   a) Xét x>0, đặt  x  t  � x  � � f� �2  � � � � Đặt t   2 �4  � � f� �2  � � f  t  � f �  t  � � �    � � t � f� � f  t  � � 1 � � u  phương trình trở thành f ((  1)u 1 )  f ((  1) u 1 )  f (( 1) u ) Tiếp tục đặt Đặt f  1  u  hì phương trình trở thành g (u  1)  g (u  1)  g (u) � g (u  1)  g (u)  g (u)  g (u  ) � h  u  1  h  u  , u Bằng quy nạp, g  u  n   nh  u   g  u  với n số nguyên dương Do đó: k (u ), �u  � g  u  � nh  u  n   k  u  n  , n �u �n  1, n �Z � đổ h(u), k(u) hàm số tùy ý, h(u) tuần hồn với chu kì Suy f ( x )  g (log 1 x).x  Xét x  đặt (2 + )x = t = (   1)u ta f ( x )  g (log 1 ( x )), x  � �a, x  Vậy f  x   � với g(x) xác định �g log 1 x , x �0   b b) Với số thực x, y f ( x  y )  f ( x).(3 � f  x  y   b x  y   f  x   bx  3b y y  f  y  1  b xb b y  f ( y ) 1  by )  f  y  1 Đặt g ( x)  f ( x)  b x , x phương trình g ( x  y )  g ( x).3g  y  1 Trang 37 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải g ( x)  0, x � R � g   1 �� Chọn y = g  x   g  x  g  0  � Nếu g ( x)  0, x f ( x)   b x , x g  y  1 Nếu g(0) = 1, thay x = 0, ta có g  y   Xét hàm số h(t )  3t 1  t , t � R Ta có h(t )  3t 1 In3  1, h''(t )  3t 1 ( In3) >0 t nên phương trình h(t) = có khơng q hai nghiệm  , nê n theo tính chất liên tục hàm số, phương 10 trình h(t) = có hai nghiệm t1  1, t2  c,  c  Ta lại thấy h  t   0, h    0, h g ( y)  � g ( y ) 1 �� , y �R Do g  y   9( y )  c,  c  � Giả sử tồn y0 �R cho g  y0   c  g (0)  g ( y0  y0 )  g ( y0 ) � g   y0   g  y0  1  cg   y0  1 c c Điều mâu thuẫn cho thấy hàm số có dạng g  y   c,  c  không thỏa mãn đề Do g  y   1, y �R hay f ( x )   b x , x x Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hàm số thỏa mãn đề f  x   b f  x    b x , x Bài tốn 18 48: Tìm tất hàm f : R � R thỏa mãn: f (0)  0, f (1)  2013 ( x  y )( f ( f ( x))  f ( f ( y ))  ( f ( x)  f ( y ))( f ( x)  f ( y)) với x, y � R Hướng dẫn giải Ta chứng minh f ( x)  2013 x Cho y  x �0 xf(f (x)) = f (x) Suy f ( f ( x) = Trang 38 f  x , x �0 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Thay vào PT cho �f  x  f  y  x  y   � x y � � � ( f ( x ) - f ( y ))( f ( x )  f � ( y)), x, y � Thay x1 thì: f(n) = � 1998, n  2k 2, n  2k � � 1, n  2k � � Nếu f(3) > f(1) f(n) = � n  a 1997, n  2k  � � Bài tập 18 3: Tìm tất hàm số f : Q � Q cho f thoả mãn điều kiện f (1)  f ( xy )  f ( x) f ( y )  f ( x  y )  1, x, y � Q Hướng dẫn �1 � Chứng minh f � �  Kết f ( x)  x  �n � n Bài tập 18 4: Tìm tất hàm số f : R � R thoả mãn f ( x  f ( y )  xf ( y ))  x  xy  y, x, y � R Hướng dẫn Chứng minh f đơn ánh Kết f  x    x  Bài tập 18 5: Xác định f liên tục R thoả mãn hai điều kiện: � f  2019  = 2018 � (Ký hiệu f n ( x)  f  f  f   , n lần) � �f  x  f  x   1x �R   Hướng dẫn Chứng minh f đơn điệu giảm Kết f  x   x Bài tập 18 6: Tìm hàm số f xác định với số nguyên nhận giá trị thực, thoả mãn: i) Với số nguyên x y thì: f ( x ) f ( y )  f ( x  y )  f ( x - y ); ii) f   �0; f  1  Hướng dẫn Dự đoán f (1)    1 , f (2)   2 n n Kết f  n    Trang 40 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tập 18 7: Hãy xác định tất hàm f: R+_> R+ thoả mãn điều kiện sau: f (2)  0; f ( x) � 0, với �x  2; f ( xf ( y )) f ( y )  f ( x  y ), x, y � R * Hướng dẫn Chứng minh f  y  � 2 y 0, x �2 � � Kết f  x   � ,0  x  � �2  x Bài tập 18 8: Có tòn hàm f : Z * � Z* thoả mãn f  mf  n    n  f  2013m  với m, n nguyên dương Hướng dẫn Chứng minh f đơn ánh suy f (n)  2013a n Kết không tồn Bài tập 18 9: Cho f : R � R thoả: f ( x  y )  ( x  y )[( f ( x))  f ( x) f ( y)  ( f ( y)) ], x, y � R Chứng minh x �R ta có f (2017 x)  2017 f ( x) Hướng dẫn Chứng minh qui nạp f  kx   kf  x  Bài tập 18 10: Giả sử hàm f , g ; R � R số thoả mãn hai đồng thức f ( x  y )  f ( x).g ( y )  g ( x) f ( y ); g ( x  y)  g ( x) f ( y )  f ( x) f ( y) Tìm tất giá trị f(0) g(0) Hướng dẫn Kết f    0, g    Trang 41 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Trang 42 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vậy tất hàm số thoả mãn đề xác định theo công thức (*) với a �T cho trước Vậy có 2000 hàm số Bài tốn 18 21: Xác định tất hàm f: N* � N*... Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Từ ta được: x - f ( x) � Do f ( x )  x Dễ dàng kiểm tra f ( x )  3x thoả mãn phương trình hàm cho Vậy f ( x )  x Bài tốn 18 34: Tìm hàm số:... đốn hàm số, quy nạp, Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn: f  x  y   f  x   f  y  , x,y �� f  x   ax với a số tùy ý CÁC BÀI TỐN Bài tốn 18 1: Cho hàm số