Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 19 NGHIỆM của đa THỨC lê hoành phò file word

- Mỗi đa thức hệ số thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực- Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không f 0... Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ .. Chứng minh rằng tồn tại cá

CHUYÊN 19: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM G

Định nghĩa: Cho f R x  và số R

Ta gọi  là một nghiệm thực của f nếu ( ) f  0

Ta gọi  là nghiệm bội k của ( )f x nếu ( ) f x chia hết cho ( x  )k nhưng không chiahết cho (x )k 1

Đảo lại, nếu n số , , ,x x x 1 2 3 x có tổng các tích chập k của n số n x là S i k thì, , ,

có 1 nghiệm thuộc ( , )a b

Định lí ROLE:

Giữa 2 nghiệm của đa thức ( )f x thì có một nghiệm của '( ) f x

Nếu f có n nghiệm phân biệt thì 'f có n 1 nghiệm phân biệt,

'''

f có n 2 nghiệm phân biệt,…, f(n k ) có n k nghiệm phân biệt,…

Phân tích nhân tử theo các nghiệm

Cho f R x  có nghiệm , , ,x x 1 2 x với bội tương ứng , , , m k k 1 2 k thì tồn tại m

Phân tích ra nhân tử của f R x   

Các nhân tử của f chỉ là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm:

- Mỗi đa thức hệ số thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực

- Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không f 0

- Nếu đa thức có bậc n và có quá n nghiệm là đa thức không

- Nếu đa thức có bậc n và nhận n 1 giá trị như nhau tại n 1 điểm khác nhau của

Gọi D là số nghiệm dương (kể cả bội)

L là số lần đổi dấu trong dãy hệ số khác 0 từ a đến o a (bỏ đi các hệ số n a i 0 )

Thì: D L và L D là số chẵn hay L D 2m,m N  

3) Đưa đa thức vào giả thiết các số bất kì

Cho n số bất kì x ,x , ,x thì ta xét đa thức nhận n số đó làm nghiệm: 1 2 n

Ta chứng minh phản chứng Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ  Khi đó 

sẽ là nghiệm hữu tỉ của đa thức:

Hoặc x 1 x 21 và x 3 x 2 1

Hoặc x 1 x 2 1và x 3 x 21

Do đó x là trung bình cộng của 2 x ,x 1 3

Giả sử phương trình P( x ) 2 còn có một nghiệm nguyên x' 2 x 2 Lặp lại lập luận trêncho 3 số x ,x ,x thì ta lấy 1 2 3 x' 2 x 2 (mâu thuẫn)

Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình P( x ) 2 2 

Hướng dẫn giải tương tự cho P( x ) 1; P( x ) 3 

Giả sử phương trình P( x ) 5 có một nghiệm nguyên x , ta có: 5

5 5 2 5 5 2 5

5 P( x ) ( x   x )q( x ) 2  ( x  x )q( x ) 3Nếu x 5 x 2 chỉ có thể lấy các giá trị 1 và 3

Nếu x 5 x 2 1 thì theo chứng minh trên x phải trùng với 5 x hoặc 1 x Vô lý vì 3 x 5

khác với x và 1 x Do đó chỉ có thể xảy ra khả năng 3 x 5 x 23

Bài toán 19.3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, đa thức:

f ( x ) x  2001x ( 2000 a )x  1999x a không thể có hai nghiệm nguyên (phân

biệt hay trùng nhau)

Nhưng f ( x ) f ( 1) o  chia hết cho x o 1 nên x o 1là một số lẻ do đó x là chẵn Ta o

- Giả sử f ( x ) có nghiệm kép x chẵn Khi đó o x cũng là nghiệm của đạo hàm f '( x ) o

n,a b c là số nguyên Chứng minh tồn tại các số nguyên p, q, r sao cho a, b, c là 3

nghiệm của phương trình x 3px 2qx r 0 

Hướng dẫn giải

Ta xét bài toán: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương

n n

n,a b là số nguyên Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p, q sao cho a, b là 2

nghiệm của phương trình x 2px q 0 

Theo định lí Viet, rõ ràng điều phải chứng minh tương đương với việc chứng minnh

a b và a.b là số nguyên a b hiển nhiên nguyên theo điều kiện đề bài

Ngoài ra ta có 2ab ( a b )  2 ( a 2 b ) 2 là số nguyên Đến đây, ta có thể tiếp tục dùng

hằng đẳng thức này để suy ra 2a b cũng là số nguyên: 2 2 2a b 2 2 ( a 2b ) ( a 2  4b ) 4

Bổ đề Nếu x là số thực sao cho 2x và 2x là các số nguyên thì x là số nguyên 2

x  px q 0  với p, q là các số nguyên nào đó (và dó đó a nb n nguyên dương với mọi

n nguyên dương) Điều đó cũng có nghĩa là ta chỉ cần dùng giả thiết của bài toán đến

a b nguyên với mọi n nguyên dương

Trở lại với bài toán, ta chỉ cần chứng minh a b c,ab bc ca    vàabc nguyên

Theo điều kiện đề bài thì a b c  là số nguyên Tiếp theo ta có

Từ đây, do a b c,a  2b 2c ,a 2 3b 3c 3 và 2( ab bc ca )  là số nguyên nên ta suy

ra 6abc là số nguyên (ta nhân (2) với 2! ) Từ đó, nhân (2) với 3 ta thu được

2 2 2 2 2 2 2

6( ab bc ca )  2( a b b c c a ) 12abc( a b c )   là số nguyên

Như vậy 2( ab bc ca )  và 6( ab bc ca )  2 Áp dụng cách chứng minh như bổ đề nêu trên, ta suy ra ab bc ca  là số nguyên Từ đây, thay vào (2) ta có 3abc là số nguyên.Tiếp theo, ta ử dụng hằng đẳng thức tương tự (2)

6 6 6 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

a b c  3a b c ( a b c )( a b c  a b  b c  c a )

với chú ý 2( a b 2 2b c 2 2c a ) 2 2 là số nguyên ta suy ra 6a b c là số nguyên 2 2 2

Từ 6abc và 6a b c là số nguyên, bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta suy ra 2 2 2

abc là số nguyên Bài toán được Hướng dẫn giải quyết hoàn toán

Bài toán 19.5: Cho đa thức P(x) có bậc m 0 và có các hệ số nguyên Gọi n là số tất cả các

nghiệm nguyên phân biệt của hai phương trình P( x ) 1 và P( x )1 Chứng minh rằng : n m 2 

Hướng dẫn giải

Xét hai đa thức A( x ) và B( x ) , với các hệ số nguyên, chúng giống nhau hoàn toàn, chỉ

trừ hai số hạng tự do là khác nhau, hai số hạng này hơn kém nhau 2 đơn vị

Gọi r và s là các nghiệm nguyên tương ứng của hai đa thức, tức là:

A( r ) 0 (1) và B( s ) 0 (2)Khi đó, trừ (1) cho (2) ta được một tổng của hạng tử có dạng a( r i s ) i và cộng thêm

cho 2 Mỗi hạng tử này chia hết cho ( r s ) , do đó 2 phải chia hết cho ( r s ) Từ đó, suy ra r và s hơn kém nhau 0, 1 hoặc 2 đơn vị

Giả sử r là nghiệm nguyên bé nhất trong tất cả các nghiệm nguyên của hai phương trình:

P( x ) 1 và P( x )1

Ta biết rằng đa thức bậc m và có không quá m nghiệm phân biệt, do đó nó cũng có khôngquá m nghiệm nguyên phân biệt Theo nhận xét trên, nếu r là một nghiệm nguyên của phương trình này và s là một nghiệm nguyên của phương trình kia thì r và s khác 0, 1 hoặc 2 đơn vị

Nhưng ta có s r , do đó ta được s r,s r 1   hoặc s r 2 

Do vậy, ta suy ra rằng phương trình thứ hai chỉ có thêm vào nhiều nhất là 2 nghiệm phân biệt nữa Vậy: n m 2 

Bài toán 19.6: Tìm các nghiệm của đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn:

( x 3x 3x 2 )P( x 1) ( x    3x 3x 2 )P( x ) với mọi x.

Hướng dẫn giải

Ta có ( x 2 )( x 2 x 1)P( x 1 ) ( x 2 )( x   2 x 1)P( x )

Từ đây chọn: x2 suy ra P( 2 ) 0  , chọn x1 suy ra:

Vậy P( x ) Cx( x 1)( x 1 )( x 2 )    nên có 4 nghiệm x 0; 1, 2  

Bài toán 19.7: Tìm a để phương trình: 16 x 4 ax 3( 2a 17 )x 2 ax 16 0  có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số nhân

Chia (3) cho (1) vế theo vế:y m 2 3 1 (4)

Suy ra m 3 0,m 0 Thay (4) vào (2) được:

Bài toán 19.8: Tìm a, b nguyên sao cho phương trình:

Giả sử u.v1 Từ (2) và (3) ta suy ra u v hữu tỉ và ( u v ) 2Z nên ( u v ) Z  và

cả hai ( u v ),( u v )  2 đều chia hết cho u.v1

Nhưng u v , u v    21 1

  , nên suy ra hoặc u.v 1 hoặc u.v1

Điều này mâu thuẫn với u.v1

Vậy u.v1 và do đó a 0,b ( u v ) 2 2 2

Ngược lại nếu a 0,b Z ,b  2

Phương trình (1) trở thành: x 4bx 2  có hai nghiệm:1 0

 là một nghiệm của phương trình.

Khi đó

2 2

P'( x )

F( x )

 có n nghiệm phân biệt  F( x ) 0

Mà hệ số của F( x ) đối với x n 1 bằng 0

Bài toán 19.11: Giả sử a và b là 2 trong 4 nghiệm của đa thức: x 4x 3 1

Chứng minh tích ab là nghiệm của đa thức: x 6x 4x 3 x 2 1

6 4 3 2 3 3

3

1 1 Q( x ) x x x x 1 x x x 1

Bài toán 19.12: Cho P( x ) x 3ax 2bx c  có hệ số nguyên Chứng minh nếu P( x ) có

một nghiệm bằng tích 2 nghiệm còn lại thì:

a) Dãy các dấu của các hệ số là     

Gọi L là số lần đổi dấu hệ số và D là số nghiệm dương thì:

L 3  3 D 2k 

Do đó D 3 hoặc 1 hay D 1 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương

b) Dãy các dấu của hệ số là      nên : L 2  2 D 2k 

Do đó: D 0 hoặc D 2

Mặt khác f ( 0 ) 1, f ( 1) 2 nên f ( 0 ) f ( 1) 0 do đó phương trình f ( x ) 0 có ít

nhất một nghiệm trong ( 0,1)

Vậy D 0 do đó D 2 nên phương trình có 2 nghiệm dương

Rõ ràng f ( x ) 0 nếu x 0 nên phương trình chỉ có 2 nghiệm dương không có nghiệm âm

c) Dãy các dấu của các hệ số là       nên:

Bài toán 19.14: Cho f ( x ) R x ,deg f   n Giả sử a b mà f ( a ) f ( b ) 0 Chứng

minnh f ( x ) có một số lẻ các nghiệm trong khoảng ( a,b ) kể cả bội Còn nếu

f ( a ) f ( b ) 0 thì f ( x ) có một số chẵn các nghiệm trong ( a,b )

Trong đó g( x ) không có nghiệm trong ( a,b ) nên đa chức g( x ) giữ nguyên dấu trong

( a,b ) Giả sử g( x ) 0 với mọi xa,b

Chứng minh tương tự khi f ( a ) f ( b ) 0

Bài toán 19.15: Cho đa thức P( x ) bậc n và 2 số a b thỏa:

n n n

Nếu x a  P( x ) 0  P( x ) không có nghiệm x a

Vậy các nghiệm phải thuộc ( a,b )

Bài toán 19.16: Cho f ( x ) là đa thức bậc n có các hệ số bằng 1 Biết rằng đa thức

x 1 là nghiệm bội cấp m với m 2 ,k 2, k  k nguyên Chứng minh rằng n 2 k 1 1

Giả sử g( x ) có bậc không quá 2 k  2

Ta có hệ số của x 2 k1 ở vế phải của (*) là 0 Điều này mâu thuẫn vì hệ số vế trái của (*)

là 1 Do đó, bậc của g( x ) không nhỏ hơn 2 k  1

Vậy n 2 k 2 k 1 2 k 1 1

Bài toán 19.17: Cho đa thức P( x ) rx 3qx 2 px 1 trong đó p,q r là các số thực với

r 0. Xét dãy số ( a ),n 0,1,2, n  xác định như sau

Chứng minh rằng nêú đa thức P( x ) chỉ có duy nhất một nghiệm thực và không có

nghiệm bội thì dãy ( a ) có vô số số âm n

Hướng dẫn giải

Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân

3 2

x px qx r 0  có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp Giả sử ba

nghiệm đó là a,R(cos i sin ),R(cos  i sin ) với a 0,R 0,0    thì

n 1 2

a C ( a ) C R (cosi sin ) trong đó C ,C ,C là các hằng số nào đó, 1 2 3 C ,C 2 3

là các số phức liên hợp Đặt C 2R (cos * sin ) với [0,2 ) , ta có

5 4

i 1 i

x 1 S

Hơn nữa, vì f ( x ) 0 là phương trình bậc năm nên có đúng 5 nghiệm

Ta có x là nghiệm của phương trình (1) nên: i

Lấy y chia y’ ta có: y 1 x.y' 2( a 2 b )x 2( a 2 3 b ) 3

Vậy phương trình g( x ) 0 có 2 nghiệm thực

Bài toán 19.23: Cho f R x , f ( x ) a x  n n a n 1 x n 1 a x a 1 o



Chứng minh f ( x ) f '( x ) 0  cũng có nghiệm phân biệt và:

Vậy ( n 1)a 1 2 2na a o 2

Bài toán 19.25: Giả sử f ( x ) a x o n a x 1 n 1 a n 1 x a n



có a o 0 và thỏa mãn đẳng thức sau với  x R : f ( x ) f ( 2x ) 2 f ( 2x 3x )(*)

Chứng minh f ( x ) không có nghiệm số thực.

Do đó g( x ) h( x )  a k 0 (mâu thuẫn) Nên a n 0

Vậy f ( x ) không có nghiệm số thực

Bài toán 19.26: Cho 2 cấp số cộng ( a ),( b ) và số m nguyên dương, n n m 2 Xét m tam thức bậc hai: p ( x ) x k  2a x b k  k với k 1,2, ,m Chứng minh nếu p ( x ) và 1 p m( x )

không có nghiệm số thực thì các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức bậc hai: p ( x ) và 1 p m( x ) không cói nghieemj số thực thì p ( x ) và 1

m( x )

p đều luôn luôn dương với mọi x.

Giả sử tồn tại p ( x ) x k  2a x b k  k với k 2,3, ,m 1  có nghiệm số thực x c

Gọi a, b là công sai của hai cấp số cộng ( a ),( b ) n n

Ta có p m( x ) p ( x ) ( m k )( ax b ) k    và p ( x ) p ( x ) ( m k )( ax b ) k  1   

Do đó p ( c ) ( m k )( ac b ) m    và p ( c ) 1 ( k 1)( ac b )  nên p ( c ).p ( c ) 0 : m 1  vô lý.

Vậy các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực

Bài toán 19.27: Cho các đa thức P ( x ),k 1,2,3 k  xác định bởi:

2

1 i 1 1 i

P ( x ) x  2,P P ( P( x )),i 1,2,3, Chứng mịm rằngP ( x ) x n  có 2 nghiệm thực phân biệt nhau n

Hướng dẫn giải

Ta thu hẹp việc xét nghiệm của phương trình trên đoạn 2 x 2 

Đặt x 2 cos t,

Khi đó, bằng quy nạp ta chứng minh được: P ( x ) 2 cos 2 n  nt

Và phương trình P ( x ) x n  trở thành: cos 2 nt cos t

Suy ra rằng phương trình P ( x ) x n  có 2 nghiệm thực phân biệt n

Bài toán 19.28: Chứng minh rằng nếu đa thức P( x ) bậc n có n nghiệm thực phân biệt thì đa

thức P( x ) P'( x ) cũng có n nghiệm thực phân biệt

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử hệ số cao nhất của P( x ) là 1

Xét deg P n chẵn, ta thấy G( x ) là một hàm đa thức bậc chẵn thì: x lim G( x )   

Suy ra tồn tại y o  ( ,x ) 1 sao cho G( y o0

Xét deg P n lẻ thì x lim G( x )     và tính tương tự ta có G( x ) 0 1  nên tồn tại

Để giải bài toán ta xét hai trường hợp

- Trường hợp 1: f ( x ) không nhận x 0 làm nghiệm

Ta chứng minh bằng quy nạp

Với n 1 bài toán hiển nhiên đúng

Giả sử đúng vớ n k , ta chứng minh đúng với n k 1  , twccs là

Gọi c là một nghiệm của f ( x ) thì f ( x0 ( x c ).q( x )  (1)

Với : q( x ) là đa thức bậc k của x:

Do đó áp dụng kết quả của trường hợp 1 cho H( x ) và:

p' p k n k 1   (do p n 1)  , ta được đa thức:

n k n

o n

a a

Cho 2 2n số a ,b thỏa : i i 0 b oa ,b o i a i với i 1, ,n

Bài toán 19.31: Chứng minh các nghiệm nếu có của đa thức a x o n a x 1 n 1 a n

Nên h( x ) tăng trên ( 0;) và nhận giá trị thuộc ( ,b ) o

Do đó g( x ) có 1 nghiệm dương duy nhất x o

Và khi x x o g( x ) 0

Ta có f ( x ) a x o n a x 1 n 1 a n

Nên với nghiệm x nếu có của f ( x ) thì x x o

Bài toán 19.32: Cho đa thức: P( x ) 1 x  2x 9x n 1 x n s x 1992 với n , n là các 1 s

số tự nhiên thỏa mãn: 9 n 1 n s 1992 Chứng minh nghiệm của đa thức P( x )

(nếu có) không thể lớn hơn 1 5

Bài toán 19.33: Cho phương trình ax 3bx 2cx d 0( a 0 )   có 3 nghiệm dương



Hướng dẫn giải

Giả sử z r(cos i sin )

Do z là nghiệm của đa thức P( X ) X n 1 X 2 aX 1

Từ đây đồng nhất phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo ta được

n 1 2

n 1 2

r cos( n 1) r cos 2 ra cos 1 0(1)

r sin( n 1) r sin 2 ra sin 0( 2 )

  , ta có điều phải chứng minh

Tiếp theo giả sử sin 0 và cos 0

Nhân 2 vế của (1) với sin , nhân 2 vế của (2) với cos rồi trừ nhau ta được

Bài toán 19.35: Chứng minh: 3 23 4 là số vô tỉ

Do đó: x 3 6 x 6 3 0 :   vô lý Vậy x là số vô tỉ

Bài toán 19.36: Tìm a, b để f ( x ) 2x 4ax 3bx 2ax b chia hết cho ( x 1) 2 Chứng

minh khi đó f ( x ) không chia hết cho ( x 1) 3

Hướng dẫn giải

Ta có: f ( x ) ( x 1)  2 nên f có nghiệm bội k 2

Vì f ''( 1) 14 0  nên f ( x ) không chia hết cho ( x 1) 3

Bài toán 19.37: Giả sử c n d n ( c d ) ,n N ,n 1 n  

- Nếu n lẻ thì P'( x ) không có nghiệm, suy ra P( x ) là hàm đơn điệu thực sự, suy ra

x 0 là nghiệm duy nhất của P( x )

- Nếu n chẵn, thì P'( x ) có nghiệm duy nhất, suy ra P( x ) có nhiều nhất hai nghiệm Mà 0

và c là hai nghiệm của P( x ) , do đó P( x ) có đúng hai nghiệm là 0 và c

Tóm lại P( x ) không có nghiệm nào khác 0 và c Mà theo giả thiết ta có P( d ) 0 , suy

Quy đồng mẫu số vế trái, ta được tử thức:

Thử lại ta thấy x o x 1x n  thỏa mãn hệ đã cho.0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x ,x , ,x ) (0,0, ,0 ) o 1 n 

Bài toán 19.40: Giải hệ phương trình

Nhân hai vế của (1) với X b i và để ý đến (2) ta được:

i 1 i 1 n 1

Thành thử quy đồng mẫu ở vế trái của (1), thì được:

Bài toán 19.42: Chứng minh tồn tại 2015 tam giác ABC thỏa mãn:

sin A sin B sinC 12 12

;sin A sin B sinC cos A cos B cos C 7 25

A B C A B C sin A 4 cos cos cos ; cosA 1 4 sin sin sin

có vô số tam giác ABC thỏa mãn điều kiện, đồng dạng với tam giác vuông Ai Cập

( 3,4,5 ) nên tồn tại 2015 tam giác như thế.

là nghiệm phương trình: sin 4x sin 3x 2  2

Đặt t sin x thif sin 3x ( 3t 4t ) 2   3 2