Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành Phò

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 15 TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Lê Hoành Phò

CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Điểm và vecto

Ba vecto đơn vị i, j, k trên 3 trục Ox, Oy, Oz:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1) Hai điểm A(x , y , z ) và 1 1 1 B(x , y , z ) thì: 2 2 2

y ' z ' z ' z ' x ' y '

x.x ' y.y ' z.z 'cos u, v

Thể tích tứ diện ABCD: V 1 AB, AC AD

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB, AD AA '

Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V 1 AB, AD AA '



Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng:

Cho M (x , y , z ) và đường thẳng d qua A và có 0 0 0 0

VTCP uAB thì 0 0

AM , ud(M , d)

1 2 1 2

1 2

1 2

u , u M Md(d , d )

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Mặt phẳng qua M (x , y ) và vecto pháp tuyến n0 0 0 (A, B, C)

2 2 2

Ax+By+Cz+D=0, A B C 0

hay A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0   0   0 0

Phương trình của đường thẳng: đi qua M (x , y , z ) và có vecto chỉ phương 0 0 0 0

2 2 2

u(a, b, c), a b c 0

Phương trình tham số:

0 0 0

Vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

Đi qua A(x , y , z ) và có vecto chỉ phương u(a, b, c) A A A

Đi qua B(x , y , z ) và có vecto chỉ phương v(a ', b ', c ') B B B

-Chéo nhau: u, v AB 0

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng:

Đường thẳng d qua A và có vecto chỉ phương u và mặt phẳng (P) qua M và có vecto 0pháp tuyến n

- Cắt nhau: u.n0

Song song: u.n0và A(P)

- Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n0và A(P)

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d là khoảng cách từ tâm I đến (P) thù:

a)Nếu d<R; mp (P) cắt mặt cầu theo hướng tròn giao tuyển có tâm H là hình chiếu của tâm I lên mp(P), bán kính r R2d2

Đặc biệt, khi d=0 thì mp(P) đi qua tâm I của mặt cầu, giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính R

b) Nếu d=R, mp(P) và mặt cầu S(I;R) có điểm chung duy nhất là H Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H c) Nếu d>R: mp(P) không có điểm chung với mặ cầu

Ứng dụng giải bài toán không gian:

Đưa tọa độ Oxyz vào bài toán hình học không gian thuần túy, bằng cách chọn hệ trục thuận lợn để giải toán

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A( 3; 2;0)  , B(3; 3;1) , C(5;0; 2)

Tìm tọa độ đỉnh D và tính góc giữa hai vecto AC và BD

a) Tính diện tích và độ dài đường cao h A

b) Tính độ dài đường phân giác trong BD

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB (1; 3; 4), AC ( 5;5;6), BC ( 6;8; 2)

Vậy ABCD là hình thang nên

ABCD ABC ADC

Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0)

a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC)

b) Gọi H(x;y;z) là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) thì:

AH(x 1; y 2; z), DH  (x 2; y 1; z)  Ta có:

18x11

Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3)

a) Tìm tọa độ điểm COy để tam giác ABC có diện tích bằng 11 và thỏa mãn OC 1 b) Tìm điểm D(Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB

Bài toán 15.8: Tìm tọa độ điểm H là hình chếu của

a) A( 2;1;0) trên đường thẳng BC với B(0;3; 1), C( 1;0; 2) 

b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5)

Đăng ký mua bộ tài liệu file word bồi dưỡng HSG môn Toán

trọn bộ:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Vậy có 2 điểm D trên trục Oy: (0;-7;0) và (0;8;0)

b) Ta có AC(3; 3; 3), BC  (2;1; 3) nên lập được phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0

Gọi H(x; y; z) là trực tâm tam giác ABC

AH (x; y 4; z 1), BH (x 1; y; z 1)

25x19AH.BC 0 2x y 3z 1 0

Gọi I(x;y;z) là đường tròn ngoại tiếp:

Bài toán 15.11: Cho tam giác ABC có C(3;2;3), đường cao AH nằm trên đường thẳng

Bài toán 15.13: Cho điểm A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(1;3;1) và đường thẳng d là giao tuyến của

hai mặt phẳng có phương trình: x  y 1 0, x   y z 4 0 Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 1

Vậy có hai điểm D thỏa mãn bài toán là D( 1;0;5) và D(5;6; 7)

Bài toán 15.15: Cho hai đường thẳng:d :1 x 1 y 1 z 2

    

vàd là giao tuyến của hai 2mặt phẳng có phương trình: 5x 6y 6z 13   0, x 6y 6z 7   0

a) Chứng minh rằng d và 1 d cắt nhau tại điểm I 1

b) Tìm tọa độ các điểm A,B lần lượt thuộc d ,1 d sao cho tam giác IAB cân tại I và có độ 1

b) Vecto chỉ phương của d là 1 u1(2; 2;1)

Vecto chỉ phương của d là 2 u2n, n ' ( 72; 18; 12)  hay (6;3; 2)

Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là:

2x y 3z 5 0 và 4x2y 6z 10  0 nên chúng trùng nhau Vậy:

Không có giá trị m nào để hai mặt phẳng đó song song

Khim1 , hai mặt phẳng đó trùng nhau

Khi m1, hai mặt phẳng đó cắt nhau

Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi n n1 2 0

92(m 3) 2m 3(5m 1) 0 19m 9 0 m

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Hướng dẫn giải

Các điểm chung trên 2 mặt phẳng 3x7y  z 3 0 và x 9y 2z 5   0 có tọa độ thỏa

Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng:

5xpy4z m 0 đi qua hai điểm A và B

Bài toán 15.19:Cho bốn điểm A( 3;5;15), B(0;0;7), C(2; 1; 4), D(4; 3;0)  

Chứng minh hai đường thẳng AB và CD cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm

Hướng dẫn giải

Ta có: AB(3; 5; 8), AC  (5; 6; 11) 

AD(7; 8; 15), CD  (2; 2; 4) 

Do đó AB, AC(7; 7;7) AB, AC AD 0 nên AB, CD đồng phẳng, hơn nữa

AB, CD không cùng phương, do đó 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau

Gọi M(x ; y ; z ) là giao điểm của AB và CD M M M

 có vecto chỉ phương v(2;1; 1) không

cùng phương với u Vậy (d) cắt cả bốn đường thẳng đã cho

Bài toán 15.21: Cho sáu điểm A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c); A '(a '0;0), B'(0; b ';0), C'(0;0;c ')với aa 'bb 'cc '0, aa ', bb ', cc '

a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điểm nói trên

b) Chứng minh đường thảng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm tam giác ABC, vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’)

Hướng dẫn giải

Ta xác định tâm và bán kính R của mặt cầu qua 4 điểm A, A’, B, C

Gọi I(x;y;z) là tâm mặt cầu đó, ta có: IA2 IA '2IB2 IC2

IC IC' IB Vậy B’, C’ cũng thuộc mặt cầu

c) Gọi G là trọng tâm ABC OG a b c; ;

Bài toán 15.22: Chứng minh các mặt phẳng (P ) : (2 m)x (1 m)y (1 m)z m 1 0m        

luôn đi qua một đường thẳng cố định

Bài toán 15.23: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có A trùng

với gốc O, B(a;0;0), D(0;a;0), A '(0;0; b), (a0, b0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M

Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1

Bài toán 15.25: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD là hình thoi,

AC cắt BD tại gốc O Biết A(2;0;0), B(0;1;0),S(0;0; 2 2) Gọi M là trung điểm của cạnh

SC

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Hướng dẫn giải

a) C( 2;0;0), D(0; 1;0), M( 1;0; 2)  

SA (2; 0; 2 2), BM ( 1; 1; 2)

3cos(SA, BM) cos(SA, BM) (SA, BM) 30

Vậy: VS.ABMN VS.ABMVS.AMN 2

Bài toán 15.26: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD

Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của

mặt đối diện với đỉnh đó Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh rằng GA 3

GA '

Hướng dẫn giải

Ta giải bằng phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz,

giả sử A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z ), C(x ; y ; z ), D(x ; y ; z ) thì trọng tâm A’ của tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4BCD, trọng tâm tứ diện G:

Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp trong mặt cầu tâm O và có AB=AC=AD Gọi G là trọng

tâm ACD, E, F là trung điểm BG, AE Chứng minh OFBGODAC

Hướng dẫn giải

AB=AC=AD và OB=OC=OD

OA (BCD)

  tại chân đường cao H với HB=HC=HD

Chọn H làm gốc tọa độ, với hệ trục Hx, Hy, Hz sao cho

Bài toán 15.28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Gọi I, J lần lượt là

trung điểm của A’D’ và B’B

a) Chứng minh rằng IJAC' Tính độ dài đoạn IJ

b) Chứng minh rằng D' Bmp(A 'C' D), mp(ACB') Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho

A(0;0;0), D(a;0;0), B(0;a;0), A '(0;0;a)

Ta có C'(a;a;a), B'(0;a;0), D'(a;0;a) nên:

AC' (a 0;a0;a 0) (a;a;a)

Nên IJ.AC ' a.a a.a a.a a2 a2 0

Ta có D' B ( a;a; a), A 'C' (a;a;0), A ' D(a;0; a)

Do đó D' B.A 'C'0, D' B.A ' D0 Tương twjj D' Bmp(ACB')

A ' D(a;0; a) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng IJ và A’D thì:

.a a.0 ( a)IJ.A ' D

IJ.A ' D a 6

.a 22

Vậy  90o

Bài toán 15.29: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a, trên 1 1 1 1 BC lấy điểm M sao 1cho D M, DA , AB đồng phẳng Tính diện tích S của 1 1 1 MAB1

Đăng ký mua bộ tài liệu file word bồi dưỡng HSG môn Toán

trọn bộ:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

S MA , MB

Bài toán 15.30: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có chiều cao bằng nửa cạnh đáy 1 1 1 1Điểm M thay đổi trên cạnh AB Tìm giá trị lớn nhất của góc A MC 1 1

  Vậy góc  A MC1 1 lớn nhất khi x=1 tức M trung điểm AB

Bài toán 15.31: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA=h, đáy là tam giác ABC vuông tại

C ACb, BCa Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho SN 1SB

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gôc O trùng với A, tia

Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS sao cho

điểm B nằm trong góc xOy Khi đó:

bA(0;0;0), C(b;0;0), B(b;a;0),S(0;0; h), M( ;0;0)

a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn nhất

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA

Hướng dẫn giải

a) Ta chọn hê trục Oxyz sao cho gốc tọa độ OA Trục

Ox chứa AC, trục Oy chứa AB và trục Oz(ABC) Khi

đó cạnh SC song song với rục Oz và ta có:

A(0;0;0), B(0;a 2;0), C(a 2;0;0),S(a 2;0;a 2)

Chọn hệ trục Oxyz có O là tâm đáy ABCD, tia Ox chứa

A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S Ta có:

Bài toán 15.34: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N,P lần lượt là các điểm

chia đoạn thẳng AB, D’D và B’C’ theo cùng tỉ số k0,1 Chứng minh rằng mp(MNP) luôn luôn song song với mp(AB’D’)

   và M, N, P(AB' D') do k nên: mp(MNP) mp(AB' D')

Bài toán 15.35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h

Gọi I là trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O

của đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa OB, trục Oz

chứa SO Khi đó:

Bài toán 15.36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABa, ADa 2,SAa,

SA vuông góc (ABCD) Gọi M, N là trung điểm AD, SC, gọi I là giao điểm BM và AC Chứng minh (SAC)(SBM) và tính thể tích khối ANIB

V AI, AN AB (dvtt)

Bài toán 15.37: Cho tứ diện đều (T) có các đỉnh có tọa độ (x ; y ; z ) với i i i 1 i 4 , nội tiếp

trong một mặt cầu đơn vị Chứng minh:

Bây giờ ta chứng minh khẳng dịnhđúng cho một tứ diện ABCD có các đỉnh (x ; y ; z ) bất i i i

kỳ Đầu tiên, ta quay (T) quanh trục z cho đến khi một đỉnh của nó nằm trong mặt phẳng (Oyz) Tiếp theo, ta quay nó quanh trục Ox cho đến khi đỉnh này trùng với điểm A (0;0;1) oSau đó, lại quanh quanh trục Oz cho đến khi (T) trùng với tứ diện A B C D đã nói ở o o o otrêndpcm

Bài toán 15.38: Cho hai điểm A(3;1;0), B( 9; 4;9), và mp( ) : 2x    y z 1 0 Tìm tọa độ điểm M trên ( ) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất

I( 1;3; 2) MB MC 2MI T 2(MA MI)

Bài toán 15.40: Cho A(2; 2;1), B(0; 2; 3)  Tìm điểm M thuộc

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Hướng dẫn giải

Ta tìm hình chiếu A’B’ của A, B lên d

BM bé nhất khi t=1, khi đó M là hình chiếu B’(-1;3;0)

Trên mp(A,d) lấy điểm B sao cho 1 B à A khác phía đối với 1 d, B B'1 d

Với mọi M thuộc d: MA MB MA MB 1AB1 : không đổi, do đó MA + MB bé nhất khi

M là giao điểm của AB với d 1

Ta có AA ' B B' nên M chia đoạn A’B’ theo tỉ số: 1

Giá trị bé nhất của f (x; y) 66 khi M là giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng Oxy

Bài toán 15.42: Cho 9 số thức bất kì a ; b ;c ;a ; b ;c ;a ; b ;c thỏa mãn: 1 1 1 2 2 2 3 3 3

pku 17v vuông góc với vecto q3uv

Hướng dẫn

Điều kiện tích vô hướng bằng 0 Kết quả k = 40

Bài tập 15.2: Cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) Tính chu vi, diện tích và độ dài đường cao H

Hướng dẫn

Dùng công thức Kết quả 2 3 5; 6; AH 30

Bài tập 15.3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các điểm

A(1;0;1), B(2;1; 2), D(1; 1;1), C'(4;5; 5)  Tìm các điểm còn lại

Hướng dẫn

Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ nên ABCD là hình bình hành

Kết quả C(2;0; 2), A '(3;5; 6), B'(4;6;5), D'(3; 4; 6) 

Bài tập 15.4: Cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D( 2;1; 2) 

a) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao AH của tứ diện đó

Bài tập 15.5: Cho 4 điểm A(2; 4; 2), B(0; 2; 2), C(4;8;0), D(6; 2; 4)  Chứng minh ABCD là hình thoi, tính diện tích và bán kính r đường tròn nội tiếp hình thoi

Bài tập 15.8: Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2;3; 4) và mặt phẳng 2x 3y z 17   0

b) M cách đều hai mặt phẳng x   y z 1 0 và x   y z 5 0

Hướng dẫn

a) Điểm M trên trục Oz nên M 0;0; z Kết quả   M 0;0;3  

b) Điểm M trên trục Oz nên M 0;0; z Kết quả   M 0;0; 2  

Bài tập 15.9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a

Trên các cạnh BB’, CD, AD’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho:

B' MCNDPka(0 k 1)

a) Tính diện tích tam giác MNR theo k và a

b) Xác định vị trí M trên BB’ để diện tích MNP có giá trị bé nhất

Hướng dẫn

a) Chọn hệ trục tọa độ Axyz Kết quả

2

2 MNP

a 3

2

b) Kết quả M là trung điểm BB’

Bài tập 15.10: Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi M là trung điểm của AD, N là 1 1 1 1tâm hình vuông CC D D Tìm bán kính mặt cầu đi qua các đểm 1 1 B, C , M, N 1

a) Dùng trọng tâm G của tam giác ABC Kết quả M(4; 1;0)

b) Dùng tâm tỉ cự I của hệ điểm: IA 1975IB 2015IC  0