Chuyên đề hệ phương trình vô tỷ

Trang 1

3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ

Giải: Điều kiện : x 1 Phương trình   44

1  1x x 1 y y 2 Đặt 41,0u x u441 1 2xuxu      Khi đó,phương trình (1) trở thành :  442 2 3u u   y y Xét phương trình (2) : 2  221610x  y xy  y Xem x là ẩn, y là tham số, ta có :  4 yPhương trình có nghiệm y 0Xét hàm số   4 2, 0;f t  tt  t  242' 1 0, 0;2tfttt     

Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên 0; 

Từ đó, phương trình   43 u y x 1 y 41yx   4  1 4xy

Thế (4) vào phương trình (2) ta được :  4 2  4  21 2 1 1 6 1 0y   y  y y  y 8522 4 0yyyy      65432 133340y yyyyyyy

Bài toán 7(A – 2013).

Trang 2

0 11 0,yxyxloai      

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1; 0

Giải: Điều kiện : 11xy Xét hàm số   2 1, 1;f t t  t t   1 ' 2 0, 1;2 1ftttt     

 Suy ra hàm số đồng biến trên 1; 

Từ đó, phương trình  2 xy  1 2x x 1 4 214xx3240xx  x2 y

Vậy hệ phương trình có nghiệm 2; 2

Giải: Điều kiện : 0x y,1

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta được :

 2211 yxxy  Xét hàm số   21, 0;1tf ttt   2 1 2 '0,0;11ftttt 

Suy ra hàm số liên tục và nghịch biến trên [0; 1]

Trang 3

Từ đó, phương trình   x y Khi đó   21112xx2 2 114xx424x 4x 10  22,1 22 22xloaixxy 

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 2; 22 2

 

 

 

Giải: Điều kiện : 2 0 2 816 2 0xxx    

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho 4 số : 1, x21,3, y21ta được

2222221 3 1 1 3 1 1x   y    x  y 22221 3 1 10xyxy     

Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy ra Khi đó ta có :

22 1 11 3yx    2  29 x 1 y 1    229x 10 y  Thế 22

9x 10 y vào phương trình (2), ta được :

Trang 4

Vậy hàm số f x đồng biến trên (2; 8) và f  60do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 6 Với x = 6 ta có y   314

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : 6; 314 ; 6;   314

Giải: Điều kiện : 2

2xy

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được :

 5 2 5 2 3x  x  y  yXét hàm số : f t  t 5 t2 ,t  2;   2 5' 0, 22 5 2ttftttt      

Trang 5

Giải: Điều kiện : x 0

Nếu y = 0 thì phương trình(1) tương đương : 3

00x  x , khơng thỏa hệ Xét y 0 :phương trình  331 xxyy 3yy  Xét hàm số 3( ) , f t t tt  ;   2'310,ft  t    t

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên 

  2  

3 xyxy 4

y

    Thế (4) vào phương trình(2) ta được :

224y  5 y 186  2  2  224y 5 y 1823 5yĐiều kiện : 211511523 5055yy 

Bình phương 2 vế của phương trình trên, ta được :

 42   224 4y 37y 40  23 5 y 429y 378y 369 0   221141,yxyyloai     

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là   1;1 , 1; 1 

Giải: Điều kiện : 2

Trang 6

Thế (3) vào phương trình(2) ta được : 2x134x 1 ln2x122x03 2  2x 14x 1 ln 2x 12x 0   Xét hàm số   3 22141 ln212,f x  x x   x x x   2 28 2'3 214421xfxxxx  2 2  223 21421162'0,421xxxxfxxxx 

Suy ra, hàm số f(x) đồng biến và liên tục trên  Mặt khác , f(0) = 0 Vậy phương trình   có nghiệm duy nhất x = 0, suy ra y = -1

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 0; 1 

Giải:

Hệ phương trìnhtương đương với  

 332=278 1 100 2y xyy xy  

Từphương trình (2) suy ra y > 0.Viết lạiphương trình (1) :

 22278y xyx xyy  Vì y > 0 và 220, ,x xyy  x y nên (1)xy0x y0.Phương trình(2) x 10 y 3 y  

Thế (3) vào phương trình(1) ta được :

Trang 7

3310278yyyy         Đặt t y t,0, ta có phương trình : 32 10 26278tttt          9  33  10 278 0 ttt     Xét hàm số   9  33 10 278 0, 0;f t t  t  t t   82 32 ' 9 9 10 278 0, 0;ft  t  t t    t 

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên 0;  Mặt khác , f(1) = 0

Vậy phương trình   có nghiệm duy nhất t = 1

Từ đó, y  1 y 1 x9 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 9;1

Giải : Điều kiện : Phương trình (1)

(3)

Đặt

Phương trình (3)

Xét hàm số ;

Suy ra, hàm số đồng biến trên

Trang 8

Thế : x = 3 – 2y vào phương trình (2) ta được :

Đặt , phương trình trở thành :

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm :

Giải : Điều kiện :

Trang 9

Xét hàm số :

Hàm số g(x) đồng biến trên

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên

Mặt khác, f(2) = 0.Suy ra, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2, y = 1

Hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm :

Giải : Điều kiện : 2

Trang 10

 2  20xyxxyxy       21 0xyxxy    201 0xyxyx      21 1xyx y   20xy   , thế vàophương trình (1) ta được : 2 2 2221 y 2 2yyyy      y2 y 2 y22 y220 2  22 2 2 2 0yyyy        2  22 2 2 2yyyy     Đặt 2 , 02uyu vvy   , Phương trình trở thành : 22  23 u  uv  v Xét hàm số : 2 ( )2 , t0;f x t  t  '220,0ft  t t

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên 0; 

Phương trình   22uvyy 222 2 0yyyy       1,2 4yloaiyx      1 1 11x yxy    Do x ≥ 2  1 2 2 2 1 11 yy 2y        , vơ lý

Vậy hệ phương trình có nghiệm : 4; 2

Bài toán 128(Chuyên Lê Hồng Phong)

Trang 11

Giải : Phương trình (2)(3)

Với , đặt ,ta có :

Từ phương trình (3) ta có :

Ta lại có :

Từ phương trình (1) ta suy ra : Điều kiện :

Ta có :

Xét hàm số :

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

Xét 2 điểm thuộc đồ thị hàm số f(t)

Ta có : và hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên nên

Trang 12

(3)

Xét phương trình (1) :

Thế (3) vào phương trình (1) ta được : (4)

Nếu x = 0, khơng thỏa phương trình (4), xét x ≠ 0 Chia 2 vế củaphương trình (4) cho ta đựợc :

Đặt , phương trình trở thành :

thỏa điều kiện :

Hệphương trìnhphương trình có nghiệm duy nhất : 1MNxxxy   xy1342 4 2 3 +3x - 1y  y  x42343 + 3x - 1x  x  x43234310xxxx 2x2213340xxxx  x2 2 .x 1 12 3 x 1 2 0xxx             221 1 12 3 2 0xxxxxx             21 13 2 0xxxx             1txx 2320 t  t  12tt  11 =1 txx    x2 x 1=0,VN 12 =2 txx    x22x1 = 0x = 1y = -1 y  21; 1 

Bài toán 134.(Chuyên Hạ long)  

Trang 13

không thỏa phương trình (2)

Chia 2 vế của phương trình (2) cho ta được :

(3)

Xét hàm số : ;

Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và

(4)

Thế (4) vào phương trình (1) ta được :

(5) Đặt :

(6)

Trang 14

, vơ nghiệm vì : 5x – 15 < 0,

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

Phương trình (1)

Xét hàm số : ;

Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và Phương trình 0 3 2 - 6 2 0txx     3 x 2 = 6 2 x 9 x 2 36 2 x       45 54 0 6 55xxy      9 3 2 - 6 2 9txx      3 x2 9 6 2x9 x 2 81 36 2 x 108 2 x      5x 15 12 2 x      x  2;26; 55   213 1 036 4 02 10 2 10xxyyy            32 25 92 6 9 2 42 2yyyxx               32 1 12 6 12 8 1 2 4 42 2yyyyxx                  3 3  2 y 2 y 2 2 x 4 x 4 3         32 ,f t  t t t    2' 6 1 0,ft  t     t 3  f y 2 f  x4 4 2 xy   22 2 10 4 4 4yyyx        

Bài toán 135.(THPT Nghi Sơn)  

Trang 15

Hệphương trình có nghiệm duy nhất :

Giải Điều kiện :

Phương trình (2)

Xét hàm số : ;

Điều kiện :

 22210 4 4yyyx      23x 1 3x 14x 8 6x  3x 1 6x3x214x 8 023x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0         3 5 55 3 1 03 1 4 1 6xxxxxx          5 3 1 3 1 03 1 4 1 6xxxx           5 13 1 13 1 0, 33 1 4 1 6xyxVNxxx             5;1222 0 2x yx y     363223 6 3 4 0y xyyxyy      362323 3 6 4y xyxyyy       23 2 3  3 1 3 1 3yxyxyy       33 ,f t t  t t    2' 3 3 0,ft  t     t  23 f yx  f y1 2  1 4x yy   y   1 2 y 1

Bài toán 136.(Sở GDĐT Thanh Hóa)  

Trang 16

Thế (5) vàophương trình (4) ta được :

Trang 17

Hệ phương trình có 2 nghiệm :

Giải : Từ phương trình (2) suy ra :

(1)

Xét hàm số : ;

Điều kiện : Thế y = 2x vào phương trình (2) ta được :

Hệ có 2 nghiệm : Giải : (1) Vì 1 5 1 5 1 5 1 5; ; ;2 2 2 2                2y 0 y233222x 6 - yx 3y 3x y + 3xy 0    333223 + x - y 3x y + 3xy 3 3 0xxyx     333 + x - y 3 3 0xxyx     3 3  3 = y - x 3 3xxyx     33 ,f t t  t t    2' 3 3 0,ft  t     t 3  f x  = f y x x = y - xy = 2x 2x  2 x 1 2 2 2 4 2 2x    x x4 4x12 222 12 1xxxx     222 2 0,2 2 0xxVNxx      1 3 2 2 31 3 2 2 3xyxy               1 3; 2 2 3 ;    1 3; 2 2 3   2   y x 2 x 2 3    x2  2 x 0, x  y0

Bài toán 139.(THPT Can Lộc)

Trang 18

Phương trình (3)

Thế (4) vào phương trình (2), ta được :

Xét hàm số :

Phương trình Hệ phương trình có 1 nghiệm : Giải Điều kiện : Phương trình (1) Xét hàm số :

2222yxx   2  2 4yxx    2 2  222 2 1 2 3 = 2x - 4xx  x  x x  x221 x x 2 2xx 1 x 2x 3 = 0        2  22 1 1 2 - 1 5x xxxxx            22 ,f t t t  t t   222' 2 1 0,2tftttt       5  f x  f x1x  x 1 1 12xy    1;12   1 0 12 0 2 0xxyxyx          32yy = 3 1 x 2x - 1 + 1 1 x    32yy = 1 x 2 1 x 1 x      3 3  2yy = 2 1 x 1 x 3      32 ,f t  t t t    2' 6 1 0,ft  t    t

Bài toán 143.(THPT Triệu Sơn 4)

Trang 19

Phương trình

Thế (4) vào phương trình (2), ta được :

Thế vào phương trình (2) ta được :

Trang 20

TH 1 : TH 2 : Thế vào (2) ta được :

(do vế trái không âm, vế phải âm)

Trang 21

Xét hàm số :

Thế x = -2y vào phương trình (2), ta được :

Xét hàm số :

Hàm số g(t) đồng biến và liên tục trên và

Phương trình

Trang 22

 f ' t 0,  t  1;1

Hàm số f(t) nghịch biến và liên tục trên và

Phương trình

Thế x +1 = y vào phương trình (2), ta được :

Giải : Do y = 0 không thõa hệ phương trình nên

Hệ phương trình

Cộng 2 phương trình của hệ với nhau ta được :

Trang 23

Xét hàm số :   2

'330,

ft  t    t

Thế (4) vào phương trình , ta được :

Hệ phương trình có nghiệm :

Phương trình (1) (3)Xét hàm số :   2'610,ft  t    t

Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

Phương trình

Trang 24

Phương trình (2) (3)Thế (3) vào phương trình (1) ta được :

Trang 25

Ta thấy Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

Phương trình

(3)

Xét hàm số : Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

Phương trình

Trang 26

Giải :Điều kiện :

Phương trình (1) (3)

Xét hàm số :

Phương trình

Xét : khơng thỏa phương trình trên

Chia 2 vế của phương trình trên cho ta được

Trang 27

1 5121xx    2 2 x 1 5 x 1 2 0     12112xx     5 625 1274 64xyxy     Hệ phương trình có 2 nghiệm :

Giải : Điều kiện : Ta thấy không thỏa hệ phương trình

Xét ,Phương trình (1) , suy ra (3)Xét hàm số :   21, 0f t  tt t  t  222' 1 1 0, 01tftttt      Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên

Trang 28

(4)

Xét hàm số :

Hàm số f(t) đồng biến trên và g(1) = 0 Vậy (4) có nghiệm duy nhất :

Phương trình (1)

Ta có :

Trang 29

(3)

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

Theo Bảng biến thiên ta có : và

Trang 30

Theo Bảng biến thiên ta có : và

Phương trình (1) (3)

Xem phương trình (3) là phương trình theo ẩn , còn là tham số

Trang 31

Nếu , không thỏa hệ đã cho

Xét , chia 2 vế của phương trình (5) cho ta được :

Từ

Hệ phương trình có 2nghiệm :

Trang 32

Hàm số f(t) nghịch biến trên

, loai.

Hệ phương trình vơ nghiệm

Giải :Điều kiện : Ta thấy không thỏa hệ phương trình

Xét ,Phương trình (1)

, suy ra

(3)

Xét hàm số :

Trang 33

Phương trình

(4)

Xét hàm số :

Hàm số g(x) đồng biến trên và g(1) = 0 Vậy (4) có nghiệm duy nhất :

Giải : Phương trình (1)

(3)

Xét hàm số :

Hàm số f(t) đồng biến trên Phương trình

Trang 34

Xét phương trình :

Vì nên vế trái của phương trình trên ln dương

Vậy phương trình trên vơ nghiệm Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : (0; 1)

Giải : Điều kiện : 0

Trang 35

Đặt : ,Phương trình (1) trở thành :

Thế : y = 1- x vào phương trình (2) ta được :

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : (1; 0)

Trang 36

Bình phương 2 vế của phương trình trên, ta được :

, thế : y = x vào phương trình (2) ta được :

Trang 37

Giải : Phương trình (1)

, thay vào phương trình (2) ta được :

Trang 38

Theo Bảng biến thiên ta có :

Xét hàm số :

Bảng biến thiên :

Theo Bảng biến thiên ta có :

Phương trình (3)

Trang 39

(3)

Xét hàm số :

Hàm số f(t) đồng biến trên Phương trình

Thế : 2y – 1 = x vào phương trình (2) ta được :

Trang 40

Phương trình (2) trở thành :

Thế : y = x vào phương trình (1) ta được :

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	620,15 KB