Chuyên đề phương trình vô tỷ

Trang 1

196

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 4:

Trang 3

198

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Phương trình vơ tỷ, cùng với hệ phương trình là một bài tốn hay thường xuyên xuất hiện trong đề thi TSĐH Bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt biến đổi cơ bản, đến đặt ẩn phụ hay, một số đánh giá nhỏ dựa vào bất đẳng thức, hàm số Với đề thi TSĐH thì bài tốn theo nhận định chủ quan thì 2 phương pháp cơ bản để các em làm được các bài toán dạng này là biến đổi cơ bản( quan trọng) và đặt ẩn phụ nếu có

Các phương pháp sẽ được trình bày theo từng dạng tốn để các em có thể tiếp cận làm quen, về sau khi đã được tiếp cận từng phương pháp sẽ hình thành cho các em khả năng nhận dạng và tư duy phương pháp giải

Xin được mở đầu bằng một số bài toán:

Bài 1 Giải bất phương trình sau: (x23 ) 2xx23x20(*)

Lời giải: 22222222 3 2 02 3 2 02 3 2 0(*)( 3 ) 2 3 2 0( 3 ) 2 3 2 0xxxxxxxxxxxxxx                    21 1112 2222 2221 1( 2) ( ) ( 2) ( ) 1 32 2 ( 3) ( )2( 3) ( 0)3 0xxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                                  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( , 1]  2 [3, )2

Trang 4

199

Bài 2 Giải bất phương trình sau:

2 1 (*)1 2( 1)xxxx  Lời giải: + Điều kiện: x  0, ta có 1 2( 2 1) 1 2( 1)2 3 1 3 02 2 2xxx         

Khi đó bất phương trình tương đương với:

221 2( 1) ( 1) 2( 1) 2 0 (1)x x  x  x  x  x x  x+ Ta có (x 1 x)2 (x1)2 x 2(x1) x2(x1)2 2x( do x 1 x ) 0221 2( 1) 2 1 2( 1) 2 0 (2)xxxxxxxx            Từ (1) và (2) suy ra: 2 3 51 2( 1) 2 1 02x  x  x  x x  x  x 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 52

D   

 

 

Bài 3 Giải phương trình sau: 2 33 x 2 3 6 5 x 8 0(*)

Trang 5

200 3 8 2 2323( ) 8 0 45 12 96 120 03uu      u  u  u 2(u 2)(45u 78u 60) 0 u 2 v 4         Khi đó: 33x      2 2 x 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2

Bài 4 Giải phương trình sau: 3x 1 6 x 3x2 14x  8 0

Lời giải:

Điều kiện: 1 6

3 x

  

Khi đó phương trình được biến đổi thành:1

2( 3x 1 4) (1  6x) 3 x 14x 5 03 15 5( 5)(3 1) 03 1 4 1 6xxxxxx         3 1( 5)( 3 1) 0 5 03 1 4 1 6xxxxx           Do 3 1 1( 3 1 0, 6)33x 1 4 1 6 xxx         

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 5

Bài 5 Giải phương trình sau:

3 2x6 2x4 4x2 10 3 ( x x )Lời giải: + Điều kiện:  2 x22222 2 2 2 4(2 ) 4 4 10 3 4 4txxtxxxxx                1

Trang 6

201 2 0 2 2 2 633 2 2 2 3 5txxPTttxtxx              

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 6

5

x 

Bài 6 Giải bất phương trình:

22 2 3 2( )x x   xx xLời giải: + Điều kiện: 23x 

2( x 2 3x2) ( x  x 2) 02(2 )( 2)( 1) 02 3 2xxxxx      2( 2)( 1) 02 3 2xxxx      2 2( 2) ( ) 0; ( ) 1,32 3 2xf xf xxxxx        21 32 3 2'( ) 1 0( 2 3 2)xxfxxx      2 5 3 2( ) ( ) 0 2 0 2 23 3 2 3ff xfBPTxxx              

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 2, 23

D  

2

Trang 7

202 Lời giải: 3 5: (*)2 2DKx  22222 3; 5 2 2 3; 5 2 2(1)uxvxuxvxuv            222222213 4 2 3 & 4 3 2 3; 16 4 15(2 3) (2 3) 2 8 8 ( (1))xvxuuvxxBPTvuuvuvuvuv do                  22 (uv u v) 3(u v) (u v) 6uv 2 (uv u v 3) (u v u v)( 3)             3( 3)(2 ) 02uvuvuv u vuvuv          2(1)277 16 4 152( 0)21 16 4 15 1xxuvuvuvxx           22716 4 152 216 4 15 1xxxxx       

Bài 8 Giải phương trình sau:2

22(x2)( x 4x71)x( x  3 1)0(x )Lời giải: 22( 2)( ( 2) 3 1) ( 3 1) 0BPTxxxx          2( ) ( 2) ( ) 0; ( ) ( 3 1)g xf xf xf xxx       222'( ) 3 1 0 '( ) '( 2) '( ) 03xfxxg xfxfxx           2

Trang 8

203

Do đó hàm số g x đồng biến trên R, nên nếu phương trình ( ) g x  có nghiệm thì đó là ( ) 0nghiệm duy nhất Nhận thấy ( 1)g      là nghiệm của phương trình 0 x 1

Bài 9 Giải phương trình sau: 2x 1 x23x 1 0(x )

Lời giải: + Điều kiện: 22 1 0(*)3 1 0xxx   222222 1 ( 3 1) 2 1 ( 3 1) (( 1) )PTxxxxxxxx              4224222x 1 (x 1) 2 (x x 1) x (x 1) 2 (x x 1) (x 1) 0             22211( 1) (( 1) 2 1) 04 2 0 2 2xxxxxxxx              

Thử lại thấy các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm của phương trình là:

1; 2 2

x x 

Trang 9

204 2220 4 222(4 )2 2 8(4 ) 34 02xtxxxtxxxxxt                

BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG

Đưa về bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình:

Phương trình, bất phương trình cơ bản:

Trang 10

205

Lập phương hai vế của phương trình ta được: 3 33 

3

AB ABA B C, lại có

3 A3 B3Csuy ra phương trình: A B 3C AB3 Cgiải phương trình suy ra nghiệm Sau đó thử lại nghiệm xem thỏa mãn không

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Giải phương trình sau: x 3 3x 1 2 x 2x 2

Lời giải:

Điều kiện: x 0

Phương trình tương đương với

2 x x3 3x 1 2x2225x 3 2 4x 12x 5x 3 2 6x 8x 2        224x 12x 6x 8x 2 x 1      

Thử lại thấy nghiệm x 1thỏa mãn

Bài 2 Giải phương trình: x 4 1 x 1 2 x

Lời giải:

Điều kiện: 4 1

2

x

  

Trang 11

206 1x 1 2 x  x4   1 x 1 2x2 1x 1 2 x x 4 22 1 01 1 2 2 11 1 2 2 1xxxxxxx          21022 7 0xxxx     

216 533 3xxxx    Lời giải: Điều kiện: 216 043 0xxx    

Khi đó quy đồng mẫu số, bất phương trình tương đương với:

2216 3 5 16 8x     xx    x22216 0 4 48 0 8 855 8816 858 0xxxxxxxxxxxxx                              

Đối chiếu với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S 5;

Bài 4 Giải phương trình:  2

1161781523xxxx Lời giải: Điều kiện: 1716x  

Trang 12

207 x1 16x17x1 8 x23x1 16x178x230211 0 18 23 0416 17 8 2316 17 8 23xxxxxxxxx                

Đối chiếu với điều kiện cả hai nghiệm này đều thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm là

1

x   và x 4

Bài 5 Giải phương trình: 2x28x 6 x2 1 2x 2

Lời giải:

Để phương trình có nghiệm thì 2x20 x 1 Khi đó điều kiện của phương trình là:

222 8 6 011 011xxxxxx          

 Nhận thấy x  1 thỏa mãn phương trình  Xét x 1, khi đó phương trình tương đương với:

x1 2 x6 x1x1 2x12x 6 x 1 2 x 1      2x 6 x 1 2 2x 6 x 1 4 x 1         21 02 2 6 1 1 14 2 6 1 1xxxxxxxx           

Vậy phương trình có hai nghiệm là x  1 và x 1

Bài 6 Giải phương trình: 2  2 

6 3 2 5 3

Trang 13

208

Lời giải:

Khi đó cả hai vế của phương trình đều khơng âm, nên bình phương hai vế ta được

2228 6 6 6 2 5 3x  x  x x  x  x  x 2  2 6 x xx 6 x x 2 6 xx 6 x x 2          , do x 3 2 2  2 36 xx 6 x x 2 x 2 x 34x 108 0          234 108 0 17 181xxx      

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 17 181

242 13 2xxxxx Lời giải:Điều kiện: x0;x 1- Với  42220;1 3 2 3 2 0x  x  x  x x  x  x

242242

3 2 3

x x x  x  x x x x  x , hai vế của bất phương trình khơng âm nên bình phương hai vế, ta được

2 24221 3 2 1 0xxxxxx       ; không thỏa mãn x 0;1 - Với x 1hoặc x 0 (*)thì 423 2 0x  x  x

Khi đó bất phương trình tương đương với: 242242

3 2 3x x x  x  x x x x  x2(*)224220 1 01 10 02 1 03xxxxxxxxxxxxxx                       

Trang 14

209

Bài 8 Giải bất phương trình 

2226 3 2 5 303 2 10xxxxxxx       Lời giải: Điều kiện: x 3Ta có 2 2223 6 9 9 9x x  x x x    2  2  2  2 2 x 9 2 x 10 x 3 2 x 10 x 3 2 x 10 0            

Vậy bất phương trình tương đương với

22226 3 2 5 3 0 6 3 2 5 3x  x  x x  x   x  x  x x  x 2 2  2  2 6 3 2 5 3 6 6 2xxxxxx xxx x           226 xx 6 x 2 xx 2 x 34x 108 0          2 3 17 18134 108 017 181xxxx         

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 3;17 1813;

 

Bài 9 Giải phương trình 32 3

3 3 2 1 0

x  x  x x 

Lời giải:

Điều kiện: x  1

Trang 15

210  1  2 1 1  0x xxxxx        x 1 x  xx 1 x 2x 1 0          x 1 x 2 x 2 x 1 0      2201 511 0202 1 02 2 24 1xxxxxxxxxxxx                      

Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 2 2; 1 52

x  x 

Bài 10 Giải bất phương trình 2 3x 1 4 x  3x2x 2

Lời giải:

Điều kiện x 0

Hai vế của phương trình khơng âm nên bình phương hai vế của phương trình ta được

 24 3x1 16x16 x 3x1 3x   x 4 4 3x 1 222222209 04 3 9 0 169 016 3 9xxxxxxxxxxxxxx             

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 0;16

Bài 11 Giải bất phương trình 3 x  3 4 2x x11

Lời giải:

Trang 16

211

Khi đó bất phương trình tương đương với

3 x  3 4 2x x113 x342x x11 2  2 9 x 3 4x 17x 27 2 2x 4 x 11 x 2xx 2 x 11            2 011 0 1 3 52 11 0 222 011 0xxxxxxxxxx                  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2;1 3 52

S    

 

Bài 12 Giải phương trình 7x2 x x5  3 2 xx2

Lời giải:

2223 13 2 05 2 27 5 3 2xxxx xxxx xxx                  22 03 10 25 425 2xxxxxxxxx                     2 2 011 16 0xxxx       

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1

Bài 13 Giải phương trình  2

2 2 2x 2 2x  9x 16

Trang 17

212

Điều kiện:  2x2

Khi đó bình phương hai vế của phương trình ta được

 2 28 x2 16 2 4x 16 2x 9x 162 22229x 8x 32 16 2 4 x 9x 8x 32 512 4 x         4381x 144x 512x 1024 0      2  2  329 32 9 16 32 03xxxx

        , thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có hai nghiệm là 323

x  

Bài 14 Giải bất phương trình 

2 1 312 2 1 1xxxxxx      Lời giải: Điều kiện: 0x1 Ta có: 2 x2 x 1x  1 x 2 x 1x 1x x 1x x 1 x2 1 x     và 2x1 x3 x 1x x 1x x 3Vậy nên bất phương trình tương đương với:

1 31 3 2 1 1 32 1xxxx xxxxx           

Ta có x x  32 do 0x1 và 2 1x 1xx3  Dấu bằng xảy ra hai vế khi 2và chỉ khi x 1

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Trang 18

213

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1.1 x 3 6x 31.2 x 4 1 x 1 2 x1.3 3 x 4 3 x  3 11.4 x  9 5 2x 41.5  223 10 12x x x  x1.6 2 x 2 x 1 x  1 41.7 3331 1 5x  x  x1.8  21 2 2x x  x x  x1.9 x2 x 1 x2 x  1 21.10 1 1 8 x26x 1x2 10x21.11  2 21x 1 x2 log x x 01.12 2  2 1 2 2 1x x   x 1.13  223 4 9x x  x  1.14 8 8 62 8x  x 

1.15 Giải các bất phương trình sau: 1 x  1 3 x4

2 x1 4 x   x 2

3 x3 2x8 7x

4 x2 3x  52x

Trang 20

215 21 222 3 1 4 3 202 2 1xxxxxx     22 353222111xxxxxxx     

Bài 12 Giải các phương trình sau:

Trang 21

216 1.15 x2 x 1 2x201.16 23 502 7 5os os4 4xxxxcc   1.17 4 2 28 2727 24 1 63 2x  x   xPHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC

Áp dụng với các phương trình nhẩm được nghiệm x0và ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương dạng xx0A x( )0 Sau đó chỉ ra ( )A x  với x thuộc miền xác định của 0phương trình, ta thường đánh giá qua bất đẳng thức hoặc khảo sát tính đơn điệu của hàm số

Sử dụng những hằng đẳng thức sau: A BABAB 3332332A BABAABB  BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Giải phương trình sau: 22  2  2

3x 5x 1 x 2  3 x  x 1  x 3x4Lời giải: Nhận thấy 2  2 3x 5x 1 3 x  x 1  2 x2Và  2   2 2 3 4 3 2x   x  x  x

Trang 22

217 22222 2 3 22 3 43 5 1 3 1xxxxxxxxx         22 2 23 22 02 3 4 3 5 1 3 1xxxxxxxx                 202xx

Vậy x 2là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình sau: x2 12 x2  5 3x 5

Lời giải:

Để phương trình có nghiệm thì 22 5

3 5 12 5 0

3

x  x   x   x

Nhận thấy x  2là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi về phương trình tương đương sau

 2   2 12 4 3 5 3 6x     x   x 22224 43 212 4 3 5xxxxx       222 22 3 0 212 4 3 5xxxxxx              Do 22225 2 2 2 23 3 3 03 12 4 3 5 3 5 3 5xxxxxxxxx                   

Bài 3 Giải phương trình sau: 3 x2  1 xx3 2

Lời giải:

Trang 23

218 32  31 2 3 2 5x     xx    2 22 3 32233 3 9932 51 2 1 4xxxxxxxx         22 3 32233 3 93 1 0 (1)2 51 2 1 4xxxxxxx                Do x  3 2nên 222 3 3 322233 3 3 91 1 22 51 2 1 4 1 1 3xxxxxxxx              

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3

Bài 4 Giải phương trình sau: x 2 4 x 2x2 5x 1

Lời giải:

Điều kiện 2 x4

Nhận thấy x 3là nghiệm của phương trình, khi đó phương trình tương đương với

  22 1 4 1 2 5 3x   x  x  x3 33 2 12 1 4 1xxxxxx         3 1 1 2 1 0 (1)2 1 4 1xxxx           Do 2 4 1 1 2 1 1 1 5 02 1 4 1 2 1xxxx             

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3

Bài 5 Giải phương trình sau: 2  2

1 2 2 2

Trang 24

219

Lời giải:

Nhận thấy x  2khơng là nghiệm của phương trình nên phương trình tương đương với

22 12 22xxxxx   Phân tích:

Thêm vào 2 vế của phương trình lượng mx n , ta có

22 12 22xxxxmxnmxnx       222 221 2 1 2 1 1 2 1 222 2mxmn xnm xmn xnxxxmxn              Ta chọn m n, sao cho 2  22 11 20; 31 1 2 1 2mnmnmnmm nn          

Vậy phương trình tương đương với

22 12 2 3 32xxxxx     2222 7 2 722 2 3xxxxxxx      222 7 01 1 (1)22 2 3xxxxx        

Phương trình (1) vơ nghiệm, nên phương trình tương đương với

2

2 7 0 1 7

x  x    x

Vậy phương trình có hai nghiệm là x  1 7

Bài 6 Giải phương trình sau: x 2 4 x 2x 5 2x25x

Trang 25

220

Điều kiện 5 4

2x

Nhẩm nghiệm thấy phương trình có nghiệm x 3, vì vậy biến dổi phương trình đã cho tương đương với    22 1 4 1 2 5 1 2 5 3x   x  x   x  x 3 1 1 2 2 1 02 1 4 1 2 5 1xxxxx              31 1 22 1 0 2 1 4 1 2 5 1xxxxx           Do 5 42x nên 1 1 22 1 02 1 4 1 2 5 1 xx   x  x    

Bài 7 Giải phương trình: x 2 5x 6 2 8x 9 4x2

Lời giải:

Điều kiện: 9

8

x  

Khi đó phương trình tương đương với

 2 4 4 72 2 5 6 2 8 9 4 2 03 3xxxxxxxx                       22222 4 7 9 8 94 9 2 2 5 64 2 04 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9xxxxxxxxxxxxxx                          2  1 1 322 4 0 (*)4 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9xxxxxxxx                 Do 98x   nên 1 1 324 04 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9x  x  x  x  x  x  

Do đó phương trình (*) tương đương với: 2 1

2 02xxxx      

Trang 26

221

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1;x 2

Bài 8 Giải phương trình:

3233243

2x 4x 4x 16x 12x 6x34x 2x 2x1

Lời giải:

Điều kiện 32  2 

2x 4x 4x2x x 2x2 0x0 Khi đó phương trình tương đương với

2 3  33  3  3 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4 2x 1 2x 1 2x 1                    3334 2 12 12 1 2 1xxxxAB     3  1 42x 1 2x 1 0 (1)AB        Trong đó 2 3 2 1 2 1 2 1 1A x  x   x  2  3  3 3  3  2332 1 2 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 0B x  x x  x    x  x    Do đó 1 4 2x 1 0

A B   Suy ra phương trình (1) tương đương với

3312 1 02x    x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

3

12

x 

Bài 8 Giải phương trình: 2

2 x 1 5x 1 x 1

Lời giải:

Điều kiện x 1

Trang 27

222 2 2 52 1 5 1 2 1 1 1 0 11 5 1 2xxxxxxxx                  Do 2 5 1 0, 1; 21 5 1 2 xxx  x      

 Với x 2, phương trình tương đương với:

22 x  1 2 5x  1 3 x 4 2 2 5 2 0 21 1 5 1 2xxxxx             Do 2 5 2 0, 2; 1 1 5 1 2 xxx   x      

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1;x 2

Bài 9 Giải phương trình 7 6 5 8 9 10

8 9 10 7 6 5

x x x x x x

    

Lời giải:

Khi đó phương trình được biến đổi thành

8 7 9 6 10 507 8 6 9 5 10x x x x x x      3 15 5 151508 7 9 6 10 556 54 507 8 6 9 5 10xxxxxxxxx                           15x

 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 15

Bài 10 Giải phương trình 4 x2 22 3 x x2 8

Lời giải:

Điều kiện: 2 22

3

x

Trang 28

223

Phân tích:

Ta thấy x2,x 1là nghiệm của phương trình nên ta tìm cách biến đổi phương trình để có

nhân tử chung  2

1 2 2

x x x   x

Vì thế ta viết phương trình lại như sau:

 2 3 4 x 2 22 3 x 3 x 8 2 12 x 2 4x 16 3 22 3x 14 x 3 xx 2           32 2216 2 23 212 2 4 16 3 22 3 14xxxxxxxxxx             2 16 12 3 012 2 4 16 3 22 3 14xxxxxx               (*) Do 2 223x   nên 16 13 012 x2 4x16 3 22 3 x 14x   Do đó phương trình (*)

tương tương với:

2 12 02xxxx      

thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1,x2

Bài 11 Giải bất phương trình  2 9 2 8 322 416xxx   Lời giải: Điều kiện: 304 4 29 x 

222229 32 9 32 32 92 416 2 16 2 2 4xxxxxxx        3

Trang 29

224 221 19 32 016 2 2 4xxx         2 4 2 4 29 32 03 3xxx       

Kết hợp với điều kiện ra suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 4 2, 23

S   

 

Bài 12 Giải phương trình  2

1 2 6 7 7 12

x x  x x x  x

Lời giải:

Điều kiện: x  2

Khi đó biến đổi phương trình thành:

 2 1 2 2 6 7 3 7 12 2 1 3 6x x   x x  x  x  x  x 1 2 6 22 42 2 7 3xxxxxxxx           2 1 6 4 02 2 7 3xxxxxx             (*) Do x  2nên 1 6 4 1 6 4 02 32 2 7 3xxxxxxxx             

Do đó phương trình (*) chỉ có nghiệm duy nhất x 2 Vậy x 2là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 13 Giải phương trình 3162x3 2 27x29x  1 1

Lời giải:

Trang 30

225 33   2 162x  2 2  27x 9x 1 1 0322 23333162 6 27 9027 9 1 1162 2 2 162 2 4xxxxxxx        22 233332 9 3 1 33 1 027 9 1 1162 2 2 162 2 4xxxxxxxx               Xét phương trình: 22 233332 9 3 1 3027 9 1 1162 2 2 162 2 4xxxxxxx       

Nhận thấy x 0không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho x 0ta được: 2 233333333323162 2 2 162 2 4 162 2 2 162 2 412 3 13 27 9 1 1 162 2xxxxxxxxx                  (*) Đặt t 3162x3 2 thì phương trình (*) trở thành: 331 2 13 1 1 3 6 162 23 2 2 3ttxxxxxxt           

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1

3

x 

Bài 14 Giải phương trình

23 7 27 86xx   xLời giải: Điều kiện: 7 2 x2  0

Khi đó phương trình tương đương với: 

Trang 31

226 22 2 2338 24 17 8 24 1707 27 8 2 2 7 8 2 26 26xxxxxxxxxxx                 22 2 23318 24 17 07 27 8 2 2 7 8 2 26 26xxxxxxxxx                      Xét phương trình: 3 2 3 22 107 27 8 2 2 7 8 2 26 26xxxxxxx            

Chứng minh vế trái luôn lớn hơn 0

Do vậy phương trình chỉ có nghiệm 8 2 24 17 0 6 2

4

x  x  x 

Bài 15 Giải phương trình: x33x 1 8 3 x2

Lời giải:

Điều kiện: 8 3 x2  0

Khi đó phương trình tương đương với:

 323 1 2 2 8 3 0x  x  x  x   x  2224 11 1 02 8 3xxxxxxx        2241 1 0 (*)2 8 3xxxxx            Ta chứng minh phương trình:  241 02 8 3xxx    

Trang 32

227 Xét hàm số ( ) 2 8 3 2, 8, 83 3f x   x  xx    Ta có 23 2'( ) 1 038 3xf xxx      , có 2 6 4 6, 8 2 8 03 3 3 3f   f          8 82 03 3f       Suy ra 0 ( ) 6 4 63f x   Nên 1 1 1 8 1 0( ) 3 6 4 63xf x     

Vậy nên phương trình (*) chỉ có nghiệm 2 1 0 1 5

Trang 33

228 1.12 5 22 5 221 1 14x  x  4x  x x1.13 33337 567 5xxxxx     1.14 x23x 3 x23x6 31.15 24 x2 22 3 x  x 81.16 3x27x 3 3x25x 1 x2 2 x23x41.17 33  2 14x x2 1 x 2x11.18 x 1 2x2x2 2x1.19 3x22x  4xx23x 41.20 2 3x  3x 1 2 7x4  6x1.21  2 2 22 x  x 1 2x 2x 3 4x 51.22 x2 2x92x22x 1 x 11.23 23 5 42 5 24 233xx  x  x  1.24  2 2 325 2x 3 x3 2x 2x  11.25 32 3 31 2 1x  x x   x1.26 3 5 11 5 24 2x  x  x1.27 2 91 1 2 14x x   x x1.28 34 31 8 81 42x  x  x  x1.29 4 1x 1 3x2 1 x 1x2

Trang 35

230 Đáp số: 1; 32 5137x  x 1.41 4 1 3 2 35xx  x  Đáp số: x 21.42 237x  8 1 2x 1 11.43  3 2 x2 2x 2 4x4 3x 11.44 1 4 x2 2 x2 1 8x1.45 24 x2 22 3 x x 81.46  2 2 22 x  x 1 2x 2x 3 4x 5ĐƯA VỀ HỆ TẠM Phương trình có dạng A BCmà ABC , khi đó ta có 22CAABCCABB        

, giải hệ này và thử lại nghiệm

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Giải phương trình sau: 2x2  x 9 2x2   x 1 x 4(1)

Lời giải:

Nhận thấy  2   2 

2x  x 9  2x  x 1 2 x4 , và x  4không là nghiệm của phương trình Khi đó phương trình tương đương với

Trang 36

231 Từ (1) và (2) ta suy ra 2 6 82 9 0;2 7xx  x    x x

Thử lại thấy cả hai nghiệm này thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm là 0; 8

7

x x

Bài 2 Giải phương trình sau: 2x2   x 1 x2  x 1 3x

Lời giải:

Nhận thấy x 0không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế phương trình cho x 0ta được 221 1 1 12 1 3xxxx     Đặt t 1x phương trình trở thành 2 t t2  1 t t2 3(1)Ta có  22 222 tt  1 tt 2 tt  1 tt 2t122 2 12 1 (2)3ttttt       Từ (1) và (2) suy ra 21 12 102 7 868 7txttttx              

Thử lại ta thấy chỉ có nghiệm x 1thỏa mãn, Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 3 Giải phương trình sau: x29x24 6x259x149  5 x

Lời giải:

Trang 37

232 225 559 24 6 59 149xxxxxx      225 55 1 09 24 6 59 149xxxxxx            2255 51 0(*)9 24 6 59 149xxxxxx        

Phương trình (*) tương đương với 22 

9 24 6 59 149 5 5 (1)x  x  x  x   xTa lại có x29x24 6x259x149 5 x(2)Từ (1) và (2) ta suy ra 2225 199 24 2 1039 24 2 10xxxxxxxx         , thử lại thấy nghiệm này thỏa mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm là 5; 193

x x

Bình luận:

Thực chất của phương pháp này là trục căn thức, Xem phương pháp trục căn thức ở trên

BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

- Đơi khi biến đổi trực tiếp về phương trình tích khơng dễ thực hiện, khi đó nếu trong biểu thức của phương trình có xuất hiện nhân tử chung thì ta đặt ẩn phụ sau đó biến đổi phương trình

mới về dạng tích sẽ dễ dàng hơn

Trang 38

233 Sử dụng 3 333 3a b c  a b c  a b b c c a  Từ đó suy ra abbcca0 BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Giải phương trình sau : 3 x 1 3 x2 1 3 x23x 2

Lời giải :

Phương trình tương đương với 3 3  3

31 1 0 01 1 2 1 012 1 0xxxxxx               Vậy phương trình có 2 nghiệm là x0;x  1

Bài 2 Giải phương trình : 3 x 1 3 x2 3 x3 x2  x

Lời giải :

Nhận thấy x 0khơng là nghiệm của phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta được

3333 1 3 11 1 1 1 0xxxxxxx            331 0111xxxx     

Bài 3 Giải phương trình sau : x 3 2x x 1 2x x24x 3

Lời giải :

Trang 39

234

Khi đó phương trình tương đương với

3 2 1 2 3 1x  x x  x x x 3 2  1 1 0 3 2 0 011 1 0xxxxxxxx               

Vậy phương trình có 2 nghiệm x0;x 1

Bài 4 Giải phương trình sau : x2 7x 2 x  1 x26x  7 1

Lời giải : Điều kiện  1 x7 Dặt a 7x b,  x1khi đó phương trình trở thành 22 1 2 1 2 0b  a ab b  a b b   7 132 1 2abxxxbx         

Bài 5 Giải phương trình sau : 3 4 43xxxx  Lời giải : Diều kiện x  0

Chia hai vế của phương trình cho x  ta được 3

24 11 4 1 2 0 13 3 3 3 2xxxxxxxxx                

Trang 40

235 Lời giải : Điều kiện : 0x2 Đặt 2222 2 w w 2 w3 3 w w 3 w5 w w w 5 w ww 5uxxuuv vuuv uvxxvuv vuuv vxuv vuvux                                       

Giải hệ trên ta được : 30 239

60 120

u x

Bài 7 Giải hệ phương trình : 3 7x 1 3 x2   x 8 3 x28x  1 2

Lời giải : Đặt 332327 1, 8, 8 1a x b  x  xc x  x , khi đó ta có 3 33333323 08a b cabca b ca b b c c aabc              32332323237 1 88 8 1 0, 1, 97 1 8 1xxxabbcxxxxxxxcaxxx                            

Vậy phương trình có 4 nghiệm là x0,x 1,x 9

Bài 8 Giải phương trình sau : 32 33 

3 2 1 2 1

x  x x  x 

Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	811,73 KB