Chuyen de Phuong trinh vo ty dua ve dang tich cua Vu Hong Phong

BẢN CHÍNH THỨC Lƣu ý trƣớc khi sử dụng tài liệu +Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phƣơng trình không dùng Casio .Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy tính Casio có hƣớng d[r]

Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƢA VỀ DẠNG TÍCH KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ CỦA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh BẢN CHÍNH THỨC Lƣu ý trƣớc sử dụng tài liệu +Bài viết gồm chuyên đề: Chuyên đề là các phƣơng trình không dùng Casio Chuyên đề và là các thí dụ dùng máy tính Casio có hƣớng dẫn sơ lƣợc, chuyên đề và là lí thuyết hƣớng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức liên hợp tìm nhân tử cần xuất phƣơng trình chuyên đề và Trong đó có chuyên đề phụ cách tạo phƣơng trình tích từ các biểu thức phù hợp +Do có nhiều phƣơng trình lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ôn tập cho các kì thi +Các PT bài viết có nghiệm là nghiệm PT bậc 3,bậc nên nó phức tạp các dạng PT khác +Các phƣơng trình chƣa đƣợc xếp thành hệ thống hợp lí và có thể có sai sót +Tài liệu cung cấp số ý tƣởng để tạo các phƣơng trình vô tỷ đƣa dạng tích Chuyên đề PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm Dù vất vả việc nhẩm và tính toán giúp chúng ta tiến học môn Toán A.Các Phƣơng trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio Một số ví dụ ngoài cách nhân liên hợp có thể làm theo hướng đưa tích tìm tổng và hiệu các tìm theo x Thí dụ Giải phƣơng trình 6x  2x   2x  x   2x  2x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Nâng cấp: Giải phƣơng trình a) 6x  x   x b) 6x  x   x   2x  x   x 2x  x   x PTcó nghiệm x  0; x  (lƣu ý coi t  c) x  x    2x  x  3x   5x  x  3x  2 x  3 là nghiệm ngoại lai) x  8x3  x3  x  x  5x  x  Hƣớng dẫn pt  (6 x  x   x  x  1)( x  x   x  x  1)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3; x  1     3 d ) 6x2  2x   x2  x  2x2  x   x2  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3     e) x  x   x  2 x  x   x  x  x  3x  3x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 2x  2x2  2x  f)  x 1 2 x x2 2x2  x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn x  2x2  2x  x2  x  x  2( x  1) PT  x     2x2  x  x2  x  x2  x  2 2x2  x       x  x  x   x  ( x  x  2)  x  x   2 x  x  ( x  1)  Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Chú ý: biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  biểu thức liên hợp cần tìm là x   x  x  x  h) 2x 2x  2x3  x   2 x2  x  2x2  x  Hƣớng dẫn PT  2x  2x3  x  2x2  x   x2  x2  x  Biến đổi tƣơng tự bài trƣớc và nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 k) 6x2  2x  x2  x   x2  2x  Hƣớng dẫn    PT  x  x   x  x    x  x  ( x  x  1)  nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 p) x  10 x  13 x4  2 6x  2x  x x4 Hƣớng dẫn Nhận thấy x  4    PT  ( x  x  4) x  10 x  13  x   x  x   x  x  ( x  4)  nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 8x  x q) x  x   x  x   3x  3x  2 Hƣớng dẫn 2( x  x   x  x  1)( x  x   x  x  1) PT  x  x   x  x   3x  3x   6x2  2x   2x2  x   PT   2 x  x   2 x  x   3x  3x  4(*) 2 Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x   s ) 2 x  x   3x   x  x   x  x  3(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 2 x  x   3x   (ax  b) b  a   a  b  b  Do 0;1 là nghiệm PT nên ta có hệ  Biểu thức liên hợp cần tìm là 2 x  x   3x   ( x  2) x  x   x  ( x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là Do VT (*)  suy x  Xét   x   3 có: 3 6x2  2x   x  4x2  x  x  x  4x2  2x2  2x   x x 1 suy VT (*)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 3 suy VP(*)  x   Do   x  Vì PT(*) có nghiệm x  1 Khi đó x  x   x  ( x  1)  2 x  x   3x   ( x  2)  PT (*)  2 x  x   ( x  x  2) x  x   ( x  x  1)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  t )2 x  x   x  x   12 x  x  10 x  x  10 Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   2(2 x  x   x  x  1)(2 x  x   x  x  1) x  x  10 2 x  x   x  x   PT   4 x  x   x  x   x  x  10(*) Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x   *Một cách tạo phƣơng trình từ biểu thức liên hợp Dạng PT: A a A b hay   b a B B Cách giải A b   B ( A  a )  a ( B  b)  a B Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp ta giải đƣợc PT đã cho Thí dụ minh họa Giải phƣơng trình 6x2  2x  x2  x   x2  x  2 2x2  x  Hƣớng dẫn   6x  PT  x  x  2 x  x   x  x   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x2  x   2x2  2x  2x  6x  2x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta có x  x   x  x  ( x  1)  x  x  2 x   x   x  x  ( x  x  2)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) nên đkxđ: x  R pt  x  6x  x 1    x   (2 x) 2x  6x  2x   3x  x   x  x   x  x   x  3x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   2[ x  x   2 x  x  1]  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x2  x   15 x x   6x  2x   4x2  x  Hƣớng dẫn pt  2 x  6x  x     x   ( x  1) x   6x  2x   4x2  x   6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  6x  2x  x   x  5x  x  6x  2x   x  4x2  9x  Hƣớng dẫn 2 pt   2 x  x   ( x) 2 2x  x   2x  6x    x   ( x) x  6x  2x   4x2  9x   6x2  2x   2x2  x   4x2  4x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  3[ x  x   x  x  1]  x  x   2 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  8x   x  12 x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  PT  2( x  x   5x  8x  )  x  x   x  12 x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Nâng cấp: Giải phƣơng trình a) b) 5x  x   x 5x  x   x   x  12 x   x x  12 x   x  2x  x  3x   3x  x  3x  2 PTcó nghiệm x  0; x  1; x  c) 5x  8x   x2  2x  x2  2x  x  12 x  Hƣớng dẫn   7x  PT  x  12 x  5x  8x   x  x   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  0; x  1; x    12 x   x  x  ( x  x  2)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 13x  20 x  d )2 x  x   x  12 x   3x  x  2 Hƣớng dẫn PT  x  x   x  12 x  (2 x  x   x  12 x  )(2 x  x   x  12 x  ) 3x  x  2 x  x   x  12 x   PT   2 x  x   x  12 x    PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  3; x  e) 5x  8x   x   13 x  12 x   x   x  3(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 5x  8x   x   (ax  b) b  a   Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b    b  3a  b   Biểu thức liên hợp cần tìm là 5x  8x   x   ( x  1) x  12 x   x   ( x  2) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là ĐKXĐ: 5x  8x   x   0(1) và Có: (1)  x  Khi đó x  12 x   x   0(2)  12  94 3 3 suy x  (2)  x  29 11 11 5x  8x   x   ( x  1)  x  12 x   x   ( x  2)  10 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT (*)  x  x   ( x  x  2) x  12 x   ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  8x   x  8x x   x  12 x   x  10 x  Hƣớng dẫn pt  x  x   ( x  12 x   x  3)( x  12 x   x  3) 3(2 x   x  12 x  )  x  12 x   x  x  10 x   5x  8x    3 Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  PT  3( x  x   5x  8x  )  x  x   x  12 x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình x  12 x  5x  8x   x   x  8x x   x  12 x   Hƣớng dẫn 11 4x2  4x  x  10 x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) pt   ( x  x   x  1)( x  x   x  1) 5x  8x   x  ( x  12 x   x  3)( x  12 x   x  3) 3(2 x   x  12 x  )  5x  8x   x    4x2  4x  x  12 x   x  x  x   3 Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  PT  3( x  x   5x  8x  )  x  x   x  12 x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 14 x  x   18x  10 x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  12 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  PT  x  x   14 x  x   x  x   18x  10 x   PTcó nghiệm x  2; x  1; x  Nâng cấp: 14 x  x  x2  x   x2  x  18 x  10 x     PT  18x  10 x  14 x  x   x  x   18x  10 x   x  x  ( x  x  2)  PTcó nghiệm x  2; x  1; x  Thí dụ 10 Giải phƣơng trình 14 x  x   x  18 x  x   18 x  10 x   3x  x  Hƣớng dẫn PT  14 x  x   ( 18 x  10 x   x  1)( 18 x  10 x   x  1) x   18 x  10 x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  PT  2[ x  x   14 x  x  ]  x  x   18x  10 x   PTcó nghiệm x  1; x  2; x  13  3x  x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 14 x  x   18x  10 x   x  x  10 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  PT  3[ x  x   14 x  x  ]  x  x   18x  10 x   PTcó nghiệm x  2; x  1; x  Thí dụ 12 Giải phƣơng trình x  12 x  3x   14 x  x   x  x  14 18x  10 x   x   3x  x  Hƣớng dẫn PT   ( 14 x  x   3x  1)( 14 x  x   3x  1) 3x   14 x  x  ( 18 x  10 x   x  1)( 18 x  10 x   x  1) 18 x  10 x   x   3x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    14 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  PT  x  x   14 x  x   2[ x  x   18x  10 x  ]  PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 11x  28x  21  13x  32 x  28  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 1;2;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  11x  28x  21 a  b  c  a    Do 1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ 4a  2b  c   b  2 4a  2a  c  11 c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   11x  28x  21 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   13x  32 x  28 PT  x  x   11x  28x  21  x  x   13x  32 x  28  PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Nâng cấp: Giải phƣơng trình a) a) 11x  28 x  21  x 5x  x   x   13x  32 x  28  x x  12 x   x PTcó nghiệm x  1; x  4; x  15   2x  x  x  12 3x  10 x  x  12 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 14 Giải phƣơng trình 2 x  3x   10 x  14 x  13  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   10 x  14 x  13 PTcó nghiệm x  1; x  2 Thí dụ 15 Giải phƣơng trình 2 x  3x   10 x  14 x  13  x  x  11 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   10 x  14 x  13 PTcó nghiệm x  1; x  2 Thí dụ 16 Giải phƣơng trình x  3x   10 x  14 x  13  3x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   10 x  14 x  13 PTcó nghiệm x  1; x  2 Thí dụ 17 Giải phƣơng trình x  x   x  8x   5x  x  x 16 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1; Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x x  x  và 3x  x   x x  8x  PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 18 Giải phƣơng trình x  x   x  8x   9x2  4x  x Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1; Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x x  x  và 3x  x   x x  8x  PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 19 Giải phƣơng trình x  x   x  8x   x  3x  x Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1; Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x x  x  và 3x  x   x x  8x  PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 20 Giải phƣơng trình x  x   x  8x   5x  2 x 17 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   5x  x  x Do 5x  x   nên x  PT  x  x3  x  x  8x3  8x  5x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT là  1; Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  x và 3x  x   x  8x3  8x PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 21 Giải phƣơng trình x  x   x  8x   x  3 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   x  3x  x Do x  3x   nên x  PT  x  x3  x  x  8x3  8x  x  3x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT là  1; Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  x và 3x  x   x  8x3  8x PTcó nghiệm x  1; x  18 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 22 Giải phƣơng trình x  x  10  x  3x   3x  x  x Hƣớng dẫn Do 3x  x   nên x  PT  x  5x3  10 x  x  3x3  x  3x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   x  5x3  10 x và x  x   x  3x  x PTcó nghiệm x  ; x  Thí dụ 23 Giải phƣơng trình x  x  10  x  3x   5x  x  x Hƣớng dẫn Do 3x  x   nên x  PT  x  5x3  10 x  x  3x3  x  5x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể nghiệm âm) PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   x  5x3  10 x và x  x   x  3x  x PTcó nghiệm x  ; x  Thí dụ 24 Giải phƣơng trình x  x3   x  x3  10 x   x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  2;0; 19 1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  10 x  PTcó nghiệm x  2; x  0; x  1 Thí dụ 25 Giải phƣơng trình x  x  x  16 x  49 x  16 x  5x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  x và x  x   16 x  49 x  16 x PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 26 Giải phƣơng trình x  21x  24 x  x  16 x  32 x  x  5x  12 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  2;1 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  21x  24 x và x  x   x  16 x  32 x PTcó nghiệm x  2; x  Thí dụ 27 Giải phƣơng trình x(4 x  13x  8)  x( x  5x  2)  x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  2;1 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x(4 x  13x  8) và x  x   x( x  5x  2) PTcó nghiệm x  2; x  1 20 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 28 Giải phƣơng trình x  x   x  5x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;4 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x3  và  x3  5x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 29 Giải phƣơng trình x  x3   x  x  x  (  1) x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;4 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x3  và 5x  x3  x PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 30 Giải phƣơng trình x  x3   x3  14 x   x  (  1) x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;4 Với x  1 thì x3  14 x   1  14   10  Do đó nghiệm PT phải thỏa mãn x  1  x   Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x3  và PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 31 Giải phƣơng trình x  x   (2 x  4)( x  1)  x  x  Hƣớng dẫn 21 ( x  1)  x  14 x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT  f ( x)  x  x   (2 x  4)( x  1)  x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0,1 f ' ( x)  2x3  x x4  x2   3x  x  x3  x  2x   2x  Ta có f ' (1)  nên PT có nghiệm bội x  1 (tính f ' ' (1)  Pt có nghiệm kép x  1 ) Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc) Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  Lấy đạo hàm đƣợc biêu thức P( x)  2ax  b  x3  x x4  x2  a  a  b  c   (*)  b  2 Do  1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ  c  c   Do PT có nghiệm kép x  1 nên nó là nghiệm P(x) suy  2a  b   0(**) a   Từ (*) và (**) suy b  c   Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự (2 x  4)( x  1)  PTcó nghiệm x  0; x  1 Thí dụ 32 Giải phƣơng trình ( x  1) x  x   x  x   x  x  Hƣớng dẫn Nếu x  1thì x3  x   2    7  22 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Suy x  1  x   Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  0, x  và dùng đạo hàm thấy x  là nghiệm kép Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  x  và x   x  x  PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ 33 Giải phƣơng trình ( x  1) x  x   x3  x   x  x  Hƣớng dẫn Nếu x  1thì x3  x   2    7  Suy x  1  x   Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  0, x  và dùng đạo hàm thấy x  là nghiệm kép Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  x  và x   x  x  PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ 34 Giải phƣơng trình x  3x   x  x   3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  0, x  và là nghiệm kép Biểu thức cần tìm là x  x   x  3x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ 35 Giải phƣơng trình x x  x   3x  x  x  x  Hƣớng dẫn 23 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) ĐK : x  2 Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  1, x  2; x  3 Chú ý:Ta phải tinh ý thấy xuất các biểu thức x  6;3x  x ;6 x  để nhẩm nghiệm khó là x  Biểu thức cần tìm là x  3x   x x  x  và 3x   3x  x PTcó nghiệm x  1, x  2; x  Thí dụ 36 Giải phƣơng trình x  12 x  12  x  28x  29  x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  2; x  1 Biểu thức cần tìm là x  x   x  12 x  12 và x   x  28x  29 Chú ý x  3; x  28x  29 không đồng thời PTcó nghiệm x  1, x  2; x  1 Thí dụ 37 Giải phƣơng trình x  12 x  12   x  x   x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  2; x  1 Biểu thức cần tìm là x  x   x  12 x  12 và x   x  x  Chú ý x;  x  x  không đồng thời PTcó nghiệm x  1, x  2; x  1 Thí dụ 38 Giải phƣơng trình x  12 x  12   8x  13x   x  3x 24 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  2; x  1 Biểu thức cần tìm là x  x   x  12 x  12 và x    8x  13x  Chú ý x  2;  8x  13x  không đồng thời PTcó nghiệm x  1, x  2; x  1 PT có nghiệm là x  1, x  2; x  1 Thí dụ 39 Giải phƣơng trình x  36 x  12  x  10 x   x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  4 Với x  là nghiệm bội(bài này nghiệm kép) Biểu thức cần tìm là x  x   x  36 x  12 và x   x  10 x  PTcó nghiệm x  1, x  4 Thí dụ 40 Giải phƣơng trình x x  5x  10  x  x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  2; x  2 Biểu thức cần tìm là x  x   x x  5x  10 và x   x  x  Chú ý x  1; x  x  không đồng thời Nghiệm PT là x  1, x  2; x  2 25 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PHẦN BỔ XUNG CÁCH TÌM NGHIỆM NGOẠI LAI KIỂU MỚI Thí dụ 41 Giải phƣơng trình   x  x   x x   x   3x  x  Hƣớng dẫn Điều kiện x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x    Để tìm thêm nghiệm ngoại lai ta để ý x x   8x  có nhân tử là x   Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x x   8x   thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và x  x  x x  và x  x  x 8x `1 Lƣu ý:Chỉ cần tìm x   x  và x   8x `1 có nghiệm x  1, x  Nghiệm PT là x  1, x  Thí dụ 42 Giải phƣơng trình   x  x   x x   3x  x   x  Hƣớng dẫn Điều kiện x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x    Để tìm thêm nghiệm ngoại lai này ta để ý x x   3x  8x  có nhân tử là x   Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x x   8x   thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và x  x  x x  và x  x  x 3x  8x  Nghiệm PT là x  1, x  26 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 43 Giải phƣơng trình  5x  12 x   x   ( x  2)  x  x    x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  1  Để tìm thêm nghiệm ngoại lai này ta để ý ( x  2)  x  x    x  có nhân tử là x    Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời ( x  2)  x  x    x  thấy thỏa mãn 5x  12 x   x   Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  và x2  2x    2x Nghiệm PT là x  1, x  1 Thí dụ 44 Giải phƣơng trình 5x  12 x   ( x  2) 2  x  x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  1 Để tìm thêm nghiệm ngoại lai này ta để ý ( x  2) 2  x có nhân tử là x  Thay x=2 vào PT với qui ƣớc tạm thời ( x  2) 2  x thấy thỏa mãn 5x  12 x   x  Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  và Nghiệm PT là x  1, x  1 Thí dụ 45 Giải phƣơng trình 5x  8x   x   x   8x   x  x  x  Hƣớng dẫn Điều kiện x  27 x2  2x    2x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x    Để tìm thêm nghiệm ngoại lai ta để ý x x   8x  có nhân tử là x   Thay x=0 vào PT với qui ƣớc tạm thời x x   8x   thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và x   x  và x   8x `1 Nghiệm PT là x  1, x  Thí dụ 46 Giải phƣơng trình   5x  8x   x x   10 x  x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0; x  1, x  Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và x   x  và x   10 x  x  Nghiệm PT là x  0; x  1, x  Thí dụ 47 Giải phƣơng trình   x  x   x 11x  30 x  27  8x  15x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  3; x  1 Các biểu thức cần tìm là x  x   x  x  (và x   11x  30 x  27 và x   8x  15x  tìm với nghiệm x  3; x  1 ) Nghiệm PT là x  0, x  3; x  1 Thí dụ 48 Giải phƣơng trình   x  x   ( x  1) x   8x   3x  x  28 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Điều kiện x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x    Để tìm thêm nghiệm ngoại lai ta để ý ( x  1) x   8x  có nhân tử là x+1   Thay x=-1 vào PT với qui ƣớc tạm thời ( x  1) x   8x   thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   ( x  1) x  và x  3x   ( x  1) 8x `1 Lƣu ý:Có thể cần tìm x   x  và x   8x `1 có nghiệm x  1, x  Nghiệm PT là x  1, x  Thí dụ 49 Giải phƣơng trình   x  x   ( x  1) x   3x  8x   x  x  Hƣớng dẫn Điều kiện x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x   Để tìm thêm nghiệm ngoại lai ta để ý ( x  1) x   3x  8x   có nhân tử là x+1   Thay x=-1 vào PT với qui ƣớc tạm thời ( x  1) x   8x   thấy thỏa mãn Các biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   ( x  1) x  và x  3x   ( x  1) 3x  8x  Lƣu ý:Chỉ cần tìm x   x  và x   8x `1 có nghiệm x  1, x  Nghiệm PT là x  1, x  Thí dụ 50 Giải phƣơng trình ( x  2) x  x   x  10 x   x  x  29 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  2 Các biểu thức cần tìm là  x  x  và x  x   x  10 x  Nghiệm PT là x  0, x  2 Thí dụ 51 Giải phƣơng trình 5x  x   2 x  x   x x  2x   2x2  4x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  1; x  Các biểu thức cần tìm là 3x  x x  x  và 3x  x 2 x  x  x2  x   2x2  x  Nghiệm PT là x  0, x  1; x  Thí dụ 52 Giải phƣơng trình x  x   2 x  x   x5  3x  x (1  x  x  ) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  1; x    Các biểu thức cần tìm là x  x5  3x  x x  x  3x và 3x  x 2 x  x  và x  x   2 x  x  Lƣu ý: xét x=0 và x  Nghiệm PT là x  0, x  1; x  Thí dụ 53 Giải phƣơng trình 5x  8x   x.3  x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  1; x  30 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Các biểu thức cần tìm là x  x  x.3  x  x  và x  x   5x  8x  Nghiệm PT là x  0, x  1; x  Thí dụ 54 Giải phƣơng trình 2 x  x   x.3 8x  15x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  0, x  1; x  Các biểu thức cần tìm là x  x  x.3 8x  15x  và x  x   2 x  x  Nghiệm PT là x  0, x  1; x  Thí dụ 55 Giải phƣơng trình 5x  12 x   ( x  2)3 8x  13x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  1; x  Các biểu thức cần tìm là x   8x  13x  và x  x   5x  12 x  Nghiệm PT là x  1, x  1; x  Thí dụ 56 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  1) x  5x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  4 Các biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x nhận nghiệm là x  1; x  4 và  x  5x  nhận nghiệm là x  1; x  4 Nghiệm PT là x  1; x  4 31 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 57 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  1) x  5x  13   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  4 Các biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x nhận nghiệm là x  1; x  4 và  x  5x  13 nhận nghiệm là x  1; x  4 Nghiệm PT là x  1; x  4 Thí dụ 58 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  1) x  5x   x  5x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  4 Các biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x nhận nghiệm là x  1; x  4 và  x  5x  nhận nghiệm là x  1; x  4 Nghiệm PT là x  1; x  4 Thí dụ 59 Giải phƣơng trình x  6x2  2x   x   2x2  x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    32 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Suy x  x  x  tƣơng ứng với x   2 x  x  tƣơng ứng với x  x  x   ( x  1)  x  x   x  x   ( x  1)  x  PT  x  x  x   x   x   2 x  x   x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 60 Giải phƣơng trình 3x  x   x  x   5x  14 x   x  x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Suy 3x  x   x  x  tƣơng ứng với x  5x  14 x   x  x  tƣơng ứng với x  PT  3x  x   x  x   x   5x  14 x   x  x   x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 33 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 61 Giải phƣơng trình 8x   x  x   x   2 x  x   x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Suy 8x   x  x  tƣơng ứng với x   2 x  x  tƣơng ứng với 8x   x  x   (2 x  3)  x  x   x  x   ( x  1)  x  PT  8x   x  x   x   x   2 x  x   x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 62 Giải phƣơng trình x  33x  21  15 x  x   8x   x  x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    34 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Suy x  33x  21  15 x  x  tƣơng ứng với 2 x  8x   x  x  tƣơng ứng với x  PT  x  33x  21  15 x  x   2 x   8x   x  x   x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  PT  5x  8x   x  x    x  12 x   x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 63 Giải phƣơng trình x  x  28  x  x   x  x   2 x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  35 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  x  x  28  x  x    x  x   2 x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 64 Giải phƣơng trình x2  x   6x2  x   x2  x   2x2  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  pt  x  x   x  x    x  x   2 x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 65 Giải phƣơng trình x  x   x  x   x  x  11  2 x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 36 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Pt  x  x   x  x    x  x  11  2 x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 66 Giải phƣơng trình x    3  x  x  x   x  x  10  2 x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x      Pt  x  x  x  x    x  x  10  2 x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 67 Giải phƣơng trình 6x  2x   x  2x  x   x 1  4x  6x  Hƣớng dẫn 37 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Pt  3 6x2  x   x2   (2 x 2 6  3x  3)   2 x  x   x   (2 x  3x  5)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 68 Giải phƣơng trình 5x  8x   x  x  x  12 x   x   x  11x  17 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  Pt  3  5x  8x   x  x  (2 x  5x  6)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  38 3  x  12 x   x   (2 x  x  11)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 69 Giải phƣơng trình 14 x  x   x   18x  10 x   x  3x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  Pt  3 14x   x   x   (2 x  3x  5)   18x PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ 70 Giải phƣơng trình x3   6x  x   2x  x   x  x   x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  39   10 x   x  ( x  4)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) pt  x   x  x   x   2 x  x   x  x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 71 Giải phƣơng trình x3   x  2x   2 x  x   x3  x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  pt  x3   x  x   x   2 x  x   x  x  x   x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 72 Giải phƣơng trình x  x   x x  x    x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là 2x2  4x   pt  x  x   ( x  x  1)  x (3 x  x   2)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  40 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 73 Giải phƣơng trình x  x   x x  24 x  26  x3  3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là 2x2  4x   x  pt  x  x   ( x  x  1)  x (3 x  x   x  2)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 74 Giải phƣơng trình x  x   x  x  x   3x  5 x2  x2  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  pt  2( x  x   x  x  1) 3(2 x  x   x  x  2)  0 x2  x2  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 41 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 75 Giải phƣơng trình 14 x  x   3x  18 x  10 x   x   4 x2  x2  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  pt  14 x  x   3x  18 x  10 x   x    1  x2  x2  PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ 76 Giải phƣơng trình  6x    x   2 x  x    ( x  x  3) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  42 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT    6x  6x 2        x   x  x  2 x  x    ( x  x  3) 2 x  x    x  x       x   x  x  2 x  x    ( x  x  3) 2 x  x   x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 77 Giải phƣơng trình  14x    x   18x  10 x    ( x  x  5) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2;4 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  14 x  x  a  b  c  a    Do  1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  1 c  4 a  a  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   14 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   18x  10 x  pt   14x  6x   x2  x   18x  PTcó nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ 78 Giải phƣơng trình  6x    10 x    ( x  x  5) 18x  10 x   x  x      x   x  x  2 x  x   x  x   (2 x  3) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  43 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT   6x    PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 79 Giải phƣơng trình x2  x   x4 x2   2x2  x  2 x  x  2x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  Pt  (1    x   x  x  2 x  x   x  x   (2 x  3) 2 x  x   x  x   x4 x2  )  x2  x   2x2  x   x2  x  2x2  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 80 Giải phƣơng trình x  3x   x  10  6x2  2x  x 2 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  pt  x  x   x  10  x2  x   6x2  2x   x 2 44 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  x  x  3x x  x  3x  0 x2  x2  x   6x2  2x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 81 Giải phƣơng trình x  3x   x  10  6x2  2x  x 2 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  pt  x  x    x  10  x2  x   6x2  2x   x2  x  x  3x x  x  3x  0 x2  x2  x   6x2  2x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 Thí dụ 82 Giải phƣơng trình 12 x  x   x  x   x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 biểu thức liên hợp cần tìm là | x  x  |  12 x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  pt  x  x   x  x   x  x   12 x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3 45 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 83 Giải phƣơng trình x2  x  2x2  x  2 6x2  2x  x2  x   ( x  1)( x  x  1)  x 2( x  1) x  x   x 6x2  2x  x2  x  Hay 2 x2  x   6x2  2x  ( x  1)( x  x  1)  x x  x   2x2  2x   2x2  x  x  x  x  2( x  1) x  x  Hƣớng dẫn Giải phƣơng trình đã cho ta không cần nhẩm nghiệm, mà biến đổi PT tích nhân liên hợp Các bạn đọc phần ghép phƣơng trình thành phƣơng trình viết phần tìm biểu thức liên hợp dùng Casio biết hƣớng làm cụ thể Dạng PT thí dụ này nhƣ sau : a c c a a c  ( m  n)( p  q)  ( m  n)( p  q)    mq  np  b d d b b d  Ý tƣởng :PT thí dụ 73 đƣợc tạo từ Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  2x   2x2  x   2x2  2x  Biểu thức liên hợp là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp là x  x   2 x  x  Và chọn m  1; n  2; p  x  1; q  x PTcó nghiệm (đã kiểm tra) x  0; x  1; x  3; x   Thí dụ 84 Giải phƣơng trình 2 x  3x  2( x  1) x  3x   x x2  x  x  x   x2  x  ( x  1)( x  x  3) 9 x 10 x  14 x  13 10 x  14 x  13 46 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hay x  x  18  2 x  3x  x  x   10 x  14 x  13  x  x  x  2( x  1) x  3x  ( x  1)( x  x  3)  x 10 x  14 x  13 Hƣớng dẫn PT thí dụ 74 tạo từ PT: 2 x  3x   10 x  14 x  13  x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   10 x  14 x  13 Chọn m  1; n  9; p  x  1; q  x PTcó nghiệm(đã kiểm tra) x  1; x  2; x  9 Thí dụ 85 Giải phƣơng trình 6x2  2x  x3 6x  2x   5 x2  x  x  x   x2  x  x5  x  2x3 2 5 2x2  x  2x2  x  Hay 2x2  2x   6x2  2x  x2  x   2x2  x   5x  5x   x x  x  x  x  x  10 x  x  Hƣớng dẫn Giải phƣơng trình đã cho nhìn phức tạp ta không cần nhẩm nghiệm, mà cần biết nó có a c c a a c  dạng ( m  n)( p  q)  ( m  n)( p  q)    mq  np  b d d b b d  Nhƣ ta cần biến đổi PT tích nhân liên hợp (nếu cần) cách a c a c a b d c    11    0 b d b d b d Từ PT x  x   2 x  x   x  x  47 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  c  a    Do 0;1;3 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c   b  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   2 x  x  PT  x  x   x  x   x  x   2 x  x   PT đã cho có nghiệm(đã kiểm tra) x  0; x  1; x  3; x  Thí dụ 86 Giải phƣơng trình 2x2  2x   6x2  2x  x3  x  x  6x  2x   x2  x   2x2  x  3x  3x   x x  x  Hƣớng dẫn Từ Thí dụ Giải phƣơng trình 6x2  2x   2x2  x   2x2  2x  Biểu thức liên hợp là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp là x  x   2 x  x  Và chọn m  1; n  2; p  3; q  x PTcó nghiệm(đã kiểm tra) x  0; x  1; x  3; x  Thí dụ 87 Giải phƣơng trình x  12 x   ( x  2) ( x  2)  x2   2x  Hƣớng dẫn 48 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT  5x  12 x   ( x  2) ( x   1)  x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1, x  1; x  Các biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  ứng với nghiệm PT là x  1, x  1; x  và x  x    x ứng với nghiệm PT là x  1, x  1 Nghiệm PT đã cho là x  1, x  1 Thí dụ 88 Giải phƣơng trình 3x  x  10 x  x  10  x  x  3x   6x2  4x  x Hƣớng dẫn pt  ( x  x  10  x )( x  x   x ) x  x  10  x  x  3x   6x2  4x  x  x x  5x  10  x x  3x   5x  x  8(*)  x  5x3  10 x  x  3x3  x  5x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT(*) là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   x  5x3  10 x và x  x   x  3x  x PTcó nghiệm x  ; x  2 Thí dụ 89 Giải phƣơng trình 3x  x  10 x  x  10  x  x  3x   6x2  4x  x Hƣớng dẫn Do x  5x  10  x  x  3x  5x  10  x  x  x  Nên VT  mà x  x   nên x  49 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT  x  5x3  10 x  x  3x3  x  5x  x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp (kể nghiệm âm ) PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   x  5x3  10 x và x  x   x  3x  x PTcó nghiệm x  ; x  Thí dụ 90 Giải phƣơng trình x  x  18 16 x  x  18  x  x  x  14  x  3x  x Hƣớng dẫn pt  ( 16 x  x  18  x )( 16 x  x  18  x ) 16 x  x  18  x  x  x  14  x  3x  x  16 x  x3  18x  x  x3  14 x  10 x  3x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   16 x  x  18x và 3x  x   x  x  14 x PTcó nghiệm x  ; x  2 Thí dụ 91 Giải phƣơng trình x  x  18 16 x  x  18  x  x  x  14  x  3x  x Hƣớng dẫn pt  ( 16 x  x  18  x )( 16 x  x  18  x ) 16 x  x  18  x  x  x  14   16 x  x3  18x  x  x3  14 x  10 x  3x  50 x  3x  x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   16 x  x  18x và 3x  x   x  x  14 x PTcó nghiệm x  ; x  2 Thí dụ 92 Giải phƣơng trình x  x  18 16 x  x  18  3x  x  x  14  x  3x  x Hƣớng dẫn Tƣơng tự các ví dụ trên ta thấy x  pt  ( 16 x  x  18  3x)( 16 x  x  18  x ) 16 x  x  18  3x  x  x  14   16 x  x3  18x  x  x3  14 x  10 x  3x  Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   16 x  x  18x và 3x  x   x  x  14 x PTcó nghiệm x  ; x  2 Thí dụ 93 Giải phƣơng trình 5x  10 x   3x  x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  10 x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  x  5x  10 x   ( x  x  3)  2[ 3x  x   ( x  x  2)]  51 x  3x  x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Nâng cấp: a )Giải phƣơng trình pt   5x x2  2x x  10 x   x   5x  10 x   x   3x  x   3x  x    10 x   x  x  10 x   x  3x  x   3x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  b )Giải phƣơng trình x  10 x   x  3x  x   x  2x  x  5x  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  c)Giải phƣơng trình x  10 x  x2  2x   x2  2x  3x  x    3x  PT  3x  x  5x  10 x   x  x   PTcó nghiệm x  0; x  1; x  d )2 3x  x   x  10 x   7( x  1) 3x  x  Hƣớng dẫn PT  3x  x   x  10 x   (2 3x  x   x  10 x  )(2 3x  x   x  10 x  ) 3x  x  2 3x  x   x  10 x   PT   2 3x  x   x  10 x   3x  x  7(*) Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  10 x  biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  x  PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  52   x   x  x  ( x  x  3)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 94 Giải phƣơng trình 5x  12 x   x  16 x   3x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  12 x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  16 x  13 PT đã cho có nghiệm x  1; x  1; x  Nâng cấp: Giải phƣơng trình 5x  12 x    x  16 x  13  x   x  1(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  1; x  Biểu thức liên hợp cần tìm là 5x  12 x    ( x  1) x  16 x  13  x   ( x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là Do VT (*)  suy VP (*)  x    x  Xét   x  có: 2 x  16 x  13  x   x  ( x  1)(3x  13)  x   x  3x  16 x  13  x  x  x   x     suy VT (*)  Do  x  suy VP(*)  x   Vì PT(*) có nghiệm x  Khi đó 5x  12 x    ( x  1)  53 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x  16 x  13  x   ( x  1)  PT (*)  5x  12 x   ( x  x  2) x  x  13  ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  Thí dụ 95 Giải phƣơng trình x  x   8x  8x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  8x  PT đã cho có nghiệm x  1; x  1; x  2; x  Nâng cấp: Giải phƣơng trình x  x   3x   8x  8x   3x   x  8(*) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  1; x  2; x  Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x   ( x  2) 8x  8x   3x   ( x  2) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là Do VT (*)  suy VP(*)  x    x  2 Khi đó x  x   3x   ( x  2)  x  x   3x   ( x  2)  54 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT (*)  x  x   ( x  x  2) 8x  x   ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  2; x  Thí dụ 96 Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn) 2x2  4x   1 2 x  2x  x  12 x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  12 x  và x  x   2 x  x  Ta có: 2x2  4x   1 2 x  2x  x  12 x    12 x  2   x  3  x  12 x  2 x  x   x  x   x  x   6x2 2x2  4x   x2 Nhân liên hợp PT đã cho có nghiệm x  1; x  3 Thí dụ 97 Giải phƣơng trình x  10 x   x  1  2x2  4x  3x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x  x   5x  10 x  Ta có: 55 x  12 x   ( x  x  2)  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x  10 x   x  1    x   5x 2x2  4x  3x  x    x  3 2(  3x  x  5x  10 x   x  x   x  x   3x 2  10 x   x x  12 x   x  x  2)  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 98 Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong ) 3x  x   1 2 x x2 x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   3x  x  Ta có: 3x  x   1 2 x x2 x  3x    3x  2   x  4   x  3x  2 3x  x   x  x   x  x   2x2 3x  x   x 2 x  3x   ( x  x  2)  Nhân liên hợp PT suy PT đã cho có nghiệm x  2; x  Thí dụ 99 Giải phƣơng trình 11x  14 x   x   x ( x  x  1) x  10 x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   11x  14 x  và x  x   x  10 x  Ta có: 56 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 11x  14 x   x     10 x  1 11x x ( x  x  1) x  10 x    x  10 x  11x  14 x   x   x ( x  x  1)  7x2   14 x   x  x   x [ x  10 x   ( x  x  1)]  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  2; x  Thí dụ 100 Giải phƣơng trình x  13x  x   x   17 x  10 x   1  x2 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   13x  8x  và x  x   17 x  10 x  Ta có: x  13x  x    x   17 x  10 x  x  13x  x    1  x2 1   0 2  2x x   17 x  10 x   x Nhân liên hợp lần phân thức suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  Chú ý:Biểu thức x  13x  8x   và x   17 x  10 x   Thí dụ 101 Giải phƣơng trình 2 x  3x    x  10 x   2x  2x  2 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   x  10 x  57 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta có: 2 x  3x     x  10 x  2 x  3x     2x  2x  2 1   0 x  x  x  10 x  x  x  2 Nhân liên hợp lần phân thức suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  2; x  Chú ý:Biểu thức 2 x  3x    và x  10 x   Thí dụ 102 Giải phƣơng trình 11x  16 x   (1  x ) x  x   2 x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   11x  16 x  và  x  x  Ta có: 11x  16 x   (1  x ) x  x   2 x  x   11x  16 x   ( x  x  3)  (1  x )( x  x   3)  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  1; x  Nâng cấp a) Giải phƣơng trình x2  2x  11x  16 x   13x  20 x  16  x2  2x   13x  20 x  16  x2  2x  Hƣớng dẫn x2  2x  11x  16 x   x2  2x  11x  16 x  11 13x  20 x  16  0 x2  2x  58 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  x  x   11x  16 x  11x  16 x   x  x   13x  20 x  16 0 x2  2x  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  1; x  b) Giải phƣơng trình  11x  16 x   x  13x   20 x  16  x   ( x  3) Hƣớng dẫn x2  pt  11x  16 x   x  13x  20 x  16  x  x2  x2  13x  20 x  16  x   11 0 x2  11x  16 x   x  x  x   11x  16 x  11x  16 x   x  x  x   13x  20 x  16 0 x2  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  1; x  Chú ý: 11x  16 x   x  0, x 13x  20 x  16  x   0, x Nên ta có thể đƣa giải bất phƣơng trình chẳng hạn Giải bất phƣơng trình  11x  16 x   x  13x   20 x  16  x   ( x  3) Thí dụ 103 Giải phƣơng trình x  10 x    11x  14 x    x x2 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   11x  14 x  và x  x   x  10 x  Ta có: 59 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x  10 x   1 x  10 x     11x  14 x    x x2 1   0 x x2 11x  14 x   x  x  2 Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  2; x  Chú ý:Biểu thức 11x  14 x    Nâng cấp Giải phƣơng trình x2  x  11x  14 x   x  10 x  x2  x  Hƣớng dẫn x2  x  x  10 x  pt  11 0 x2  x  11x  14 x   x  x   11x  14 x  11x  14 x   x  x   x  10 x  0 x2  x  Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  2; x  B.Các Phƣơng trình tìm nhân tử không dùng Casio Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   12 x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  1; x  3 Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau  x  x   12 x  x   x  x  5(*) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT(*) là x  Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  60 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Do x  1; x  3 là nghiệm PT nên là nghiệm biểu thức cần tìm a  b  c  9a  3b  c  ta có hệ  Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=0 nên x=0 là nghiệm biểu thức ax  bx  c  x  x  suy c  1 Từ đó ta có a  1; b  1; c  1 Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là x  x   12 x  x  Cho biểu thức suy 2 x  x   12 x  x    suy nhân tử cần xuất là: 2 x  x   12 x  x   Đặt x  x   a  ; 12 x  x   b  Tacó 4a  b  4 x  x  3(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)   2 x  x   12 x  x    0(**) Cách Từ (*) và (**) suy x  x   x  x  và 12 x  x   x  x  Cách Chuyển vế và bình phƣơng PT(**) PTcó nghiệm x  1; x  3 !!*Giải phƣơng trình(nâng cấp thí dụ 1) Tác giả: Vũ Hồng Phong 2( x  1) x  x   x  3x  ( x  2) 12 x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  1; x  3 Nếu coi nghiệm là nghiệm biểu thức thì 61 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   2x2  2x  3 biểu thức cần tìm là 2 x  x   12 x  x  3 Đến đây có lẽ ta không phát đƣợc mối liên nào đặc biệt ! Có vẻ cần coi ít nghiệm nào đó nghiệm là nghiệm ngoại lai biểu thức cần tìm Do thí dụ ta đã biết x=0 là nghiệm ngoại lai biểu thức cần tìm thì có mối liên hệ đặc biệt!! Nhƣ biểu thức cần tìm là x  x   x  x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là x  x   12 x  x  Cho biểu thức suy 2 x  x   12 x  x    suy nhân tử cần xuất là: 2 x  x   12 x  x   Đặt x  x   a  ; 12 x  x   b  Tacó 4a  b  4 x  x  3(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  x  3)  +Với 2a  b    2 x  x   12 x  x    0(**) Từ (*) và (**) suy x  x   x  x  và 12 x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  3 +Với 2a  b   x   2 x  x   12 x  x    x Giải tƣơng tự PTcó thêm nghiệm x  và x  Nghiệm PT đã cho là x  0; x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình  x  x   8x   x  8x  Hƣớng dẫn 62 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x  là nghiệm kép (lƣu ý có thể tìm nghiệm ngoại lai x  ) Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c   x  x  Lấy đạo hàm đƣợc 2ax  b  x2  x2  4x  Do x  0; x  là nghiệm PT nên là nghiệm biểu thức cần tìm c  a  b  c  ta có hệ  Do x=0 là nghiệm kép biểu thức ax  bx  c   x  x  suy 2a.0  b  Từ đó ta có a  1; b  2; c  Biểu thức cần tìm là  x  x    x  x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là  x  x  11  8x  Cho biểu thức suy  x  x   8x    suy nhân tử cần xuất là:  x  x   8x   Đặt  x  x   a  ; 8x   b  Tacó 4a  b  4 x  8x  3(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)    x  x   8x    0(**) Cách Từ (*) và (**) suy  x  x    x  x  và Cách Chuyển vế và bình phƣơng PT(**) PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ Giải phƣơng trình(nâng cấp thí dụ 3) 63 8x   2 x  x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) (2 x  2)  x  x   ( x  3) 8x   5x  8x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x  là nghiệm kép(hoặc nghiệm ngoại lai x  ) Biểu thức cần tìm là  x  x    x  x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là  x  x  11  8x  Cho biểu thức suy  x  x   8x    suy nhân tử cần xuất là:  x  x   8x   Đặt  x  x   a  ; 8x   b  Tacó 4a  b  4 x  8x  3(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  x  2)    x  x   8x    0(**) Cách Từ (*) và (**) suy  x  x    x  x  và 8x   2 x  x  Cách Chuyển vế và bình phƣơng PT(**) PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ Giải phƣơng trình ( x  1) x  x   x  16 x3  8x  x  16 x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x  là nghiệm kép(bội) Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là x  x  x  16 x3  8x 64 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Cho biểu thức suy ( x  1) x  x   x  16 x  8x   suy nhân tử cần xuất là: ( x  1) x  x   x  16 x  8x  Đặt ( x  1) x  x   a  ; x  16 x  8x  b  Tacó a  b  7 x  16 x  x  1(*) Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)   ( x  1) x  x   x  16 x3  8x   0(**) Từ (*) và (**) suy  x  x    x  x  và 8x   2 x  x  PTcó nghiệm x  0; x  Thí dụ Giải phƣơng trình x  12 x   5x  8x   x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  1; x  Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  12 x  Do x  0; x  1; x  là nghiệm PT nên là nghiệm biểu thức cần tìm c   ta có hệ a  b  c  9a  3b  c   Từ đó ta có a  1; b  2; c  Biểu thức cần tìm là x  x   x  12 x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  Cho biểu thức suy x  12 x   5x  8x    suy nhân tử cần xuất là: x  12 x   5x  8x    65 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt x  12 x   a  ; 5x  8x   b  Tacó a  b  x  x  3(*) Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)   x  12 x   5x  8x    0(**) Cách Từ (*) và (**) suy x  12 x   x  x  và 5x  8x   x  x  Cách Chuyển vế và bình phƣơng PT(**) PTcó nghiệm x  0; x  1; x   Thí dụ Giải phƣơng trình 2( x  1) x   16 x  24 x   x  8x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  1 Đặc biệt dùng đạo hàm thấy x  1 là nghiệm kép(bội) Hƣớng khác: ( tìm nghiệm ngoại lai x=2 là nghiệm PT: 2( x  1) x   16 x3  24 x   x  8x  ) Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  Tƣơng tự,biểu thức cần tìm là  x  x   16 x3  24 x  Cho biểu thức suy 2( x  1) x   16 x  24 x    suy nhân tử cần xuất là: 2( x  1) x   16 x  24 x   Đặt ( x  1) x   a  ; 16 x3  24 x   b  Tacó 4a  b  12 x  24 x  3(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  3)(2a  b)  Với 2a  b    2( x  1) x   16 x  24 x    0(**) 66 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Từ (*) và (**) suy ( x  1) x   x  x  và 16 x3  24 x   2 x  x  PT(**) có nghiệm x  0; x  1 Với 2a  b   2( x  1) x   16 x  24 x   x  PT đã cho có là x  0; x  1 ; x  2 2 Thí dụ Giải phƣơng trình x  x    x  20 x  25  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  0; x  1 Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau x  x    x  20 x  25  x  x  3(*) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT(*) là x  Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  x  x  Vì cách đổi dấu trƣớc nên x  0; x  1; x  là nghiệm PT biểu thức cần tìm c  a    ta có hệ a  b  c   b  1 9a  3b  c  c    Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  (1) Xét ax  bx  c   x  20 x  25 Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=3 nên x=3 là nghiệm biểu thức ax  bx  c   x  20 x  25 67 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) c  a  2    b  Từ đó ta có a  b  c  9a  3b  c  7 c    biểu thức cần tìm là  x  x    x  20 x  25 (2) Cho biểu thức (1),(2)bằng suy x  x    x  20 x  25   suy nhân tử cần xuất là: x  x    x  20 x  25  Đặt x  x   a  ;  x  20 x  25  b  Tacó 4a  b  28x  28x  21 Thay vào PT đƣợc (2a  b  7)(2a  b)  Giải trƣờng hợp suy PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  1 ;x  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  12 x   17  8x  x  8x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  1; x  Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau 5x  12 x   17  8x  x  8x  3(*) Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT(*) là x  1 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  12 x  Vì cách đổi dấu trƣớc nên x  1; x  2; x  1 là nghiệm PT biểu thức cần tìm a  b  c  a    ta có hệ 4a  2b  c   b  2 a  b  c  c    Biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  (1) 68 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Xét ax  bx  c  17  8x Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=-1 nên x=-1 là nghiệm biểu thức ax  bx  c  17  8x Từ đó ta có biểu thức cần tìm là  x  x   17  8x (2) Cho biểu thức (1),(2)bằng suy 5x  12 x   17  8x   suy nhân tử cần xuất là: 5x  12 x   17  8x  Đặt 5x  12 x   a  ; 17  8x  b  Tacó 4a  b  20 x  40 x  15 Thay vào PT đƣợc (2a  b  5)(2a  b)  Giải trƣờng hợp suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  2; x  ;x  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  12 x    x  x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT đã cho là x  1; x  Có vẻ cần tìm thêm nghiệm ngoại lai Ta xét PT sau 5x  12 x    x  x  x  Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT(*) là x  1 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  12 x  Vì cách đổi dấu trƣớc nên x  1; x  2; x  1 là nghiệm PT biểu thức cần tìm a  b  c  a    ta có hệ 4a  2b  c   b  2 a  b  c  c    69 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  (1) Xét ax  bx  c   x Do cách đổi dấu tìm nghiệm ngoại lai x=-1 nên x=-1 là nghiệm biểu thức ax  bx  c   x Từ đó ta có biểu thức cần tìm là  x  x    x (2) Cho biểu thức (1),(2)bằng suy 5x  12 x    x   suy nhân tử cần xuất là: Đặt 5x  12 x    x   5x  12 x   a  ; 17  8x  b  Tacó a  b  x  12 x  Thay vào PT đƣợc (a  b  3)(a  b)  Giải trƣờng hợp suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  2; x   1 ; x  1 2 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình 5x  x  37 x  24 x  12  8x  12 x  10 Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  4 Các biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x và x  3x   37 x  24 x  12 Cho biểu thức suy 5x  x  37 x  24 x  12   suy nhân tử cần xuất là: 5x  x  37 x  24 x  12  Đặt 5x  x  a  ; 37 x  24 x  12  b  Tacó a  b  8x  12 x  10(*) Thay vào PT đƣợc (a  b  2)(a  b  1)  70 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) suy 5x  x  37 x  24 x  12   0(**) Từ (*),(**) suy a,b theo x (chính là kết tìm biểu thức trên) Nghiệm PT là x  1; x  4 Thí dụ 11 Giải phƣơng trình x  x   42 x  x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Các biểu thức cần tìm là x  x   ( x  x  1) và 42 x  x   (3x  3x  1) Cho biểu thức suy x  x   42 x  x    suy nhân tử cần xuất là: x  x   42 x  x   Đặt x  x   a  ; 42 x  x   b  Tacó 9a  b  12 x  12 x  8(*)  9a  b   3(4 x  x  2) Thay vào PT đƣợc (3a  b  2)(3a  b  1)  suy x  x   42 x  x    0(**) Từ (*),(**) suy a,b theo x (chính là kết tìm biểu thức trên) Nghiệm PT là x  0; x  3; x  Thí dụ 12 Giải phƣơng trình 2 x  3x   20 x  36 x  17  3x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là  1;2 Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   20 x  36 x  17 71 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Cho biểu thức suy x  3x   20 x  36 x  17   suy nhân tử cần xuất là: x  3x   20 x  36 x  17  Đặt 2 x  3x   a  ; 20 x  36 x  17  b  Tacó 4a  b  12 x  12 x  15(*) 4a  b   12 x  12 x  12 Thay vào PT đƣợc (2a  b  3)(2a  b  1)  suy x  3x   20 x  36 x  17   0(**) Từ (*),(**) suy a,b theo x (chính là kết tìm biểu thức trên) PTcó nghiệm x  1; x  2 Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 5x  8x    24 x  56 x  49  x  8x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và  x  x    24 x  56 x  49 Cho biểu thức suy 5x  8x    24 x  56 x  49  11  suy nhân tử cần xuất là: 5x  8x    24 x  56 x  49  11 Đặt 5x  8x   a  ;  24 x  56 x  49  b  Tacó 4a  b  11(4 x  8x  3)(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  11)(2a  b)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  3; x   72 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 14 Giải phƣơng trình 5x  8x   24 x  40 x  25  x  8x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Biểu thức cần tìm là x  x   5x  8x  và x  x   24 x  40 x  25 Cho biểu thức suy 5x  8x   24 x  40 x  25   suy nhân tử cần xuất là: 5x  8x   24 x  40 x  25   Đặt 5x  8x   a  ; 24 x  40 x  25  b  Tacó 4a  b  (4 x  8x  9)(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)  PTcó nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 15 Giải phƣơng trình x  x   x 5x  8x   (2 x  2) x  12 x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;3 Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax  bx  c  5x  8x  c  a     b  2 Do 0;1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ a  b  c  9a  3a  c  c    Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  12 x  73 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Cho biểu thức suy x  12 x   5x  8x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt x  12 x   5x  8x   x  12 x   a  ; 5x  8x   b  Tacó a  b  x  x  5(*) Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  x  1)  TH1: x  12 x   5x  8x    Kết hợp với PT(*) tìm a,b theo x bình phƣơng ta có nghiệm x  0; x  1; x  TH2: x  12 x   5x  8x   x  ta có nghiệm x  1; x   73 38 PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  ; x   73 38 Thí dụ 16 Giải phƣơng trình(Tác giả Vũ Hồng Phong Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du,Bắc Ninh) x  x  10  (3x  6) 5x  10 x   (4  3x) 3x  x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  10 x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  x  Cho biểu thức suy 5x  10 x   3x  x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt 5x  10 x   3x  x   5x  10 x   a  ; 3x  x   b  Tacó a  b  x  x  5(*) 74 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  3x  5)  TH1: 5x  10 x   3x  x    Kết hợp với PT(*) tìm a,b theo x bình phƣơng ta có nghiệm x  0; x  1; x  TH2: 5x  10 x   3x  x    3x ta có nghiệm x  0; x  47  21 59 PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  ; x  47  21 59 Thí dụ 17 Giải phƣơng trình (2 x  1)(2 x  3)  3x  x    8x  16 x  Hƣớng dẫn Pt    3x  x    x  16 x  3x  x    x  16 x    3x  x    x  16 x  PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  ; x  ;x  2 Thí dụ 18 Giải phƣơng trình(PT này phức tạp để tham khảo) 5(4 x  x  6)  (2 x  16) 3x  x   ( x  2)  8x  16 x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là  x  x    8x  16 x  Cho biểu thức suy 3x  x    8x  16 x    suy nhân tử cần xuất là: 3x  x    8x  16 x   75 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt 3x  x   a  ;  8x  16 x   b  Tacó 4a  b  20 x  40 x  15(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  5)(2a  b  x  3)  TH1: 3x  x    8x  16 x    Kết hợp với PT(*) tìm a,b theo x bình phƣơng ta có nghiệm x  0; x  1; x  TH2: 3x  x    8x  16 x   x     71  x  ; x  86   16033  6550 ta có nghiệm  131  16033  6550    71  ; x  86   16033  6550 PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x   131  16033  6550  Thí dụ 19 Giải phƣơng trình 2( x  2) 5x  x   (3  x) 24 x  8x   x  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là 0;1;2 Biểu thức liên hợp cần tìm là x   5x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x   24 x  8x  Cho biểu thức suy 5x  x   24 x  8x    suy nhân tử cần xuất là: 5x  x   24 x  8x   Đặt 5x  x   a  ; 24 x  8x   b  Tacó 4a  b  4 x  5(*) Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  x  5)  TH1: 5x  x   24 x  8x    76 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Kết hợp với PT(*) tìm a,b theo x bình phƣơng ta có nghiệm x  0; x  1; x  TH2: 5x  x   24 x  8x    x ta có nghiệm x  0; x  13  41 10 PT đã cho có nghiệm x  0; x  1; x  ; x  13  41 10 Thí dụ 20 Giải phƣơng trình x  3x   x  10 x   3x  3x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  2; x  1; x  Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   x  10 x  PTcó nghiệm x  2; x  1; x  Nâng cấp 1) Giải phƣơng trình x  x   2 x  3x   x  10 x   Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  2; x  1; x  Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  và x  x   x  10 x  Cho biểu thức suy 2 x  3x   x  10 x    suy nhân tử cần xuất là: 2 x  3x   x  10 x   Đặt 2 x  3x   a  ; x  10 x   b  77 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PTcó nghiệm x  2; x  1; x  2) Giải phƣơng trình x  3x   x   16 x  16 0 x2  x  Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  2; x  1; x  Biểu thức cần tìm là x  x   2 x  3x  Biểu thức cần tìm(nếu dùng Casio với nghiệm xấu) là x   x  3x  2 x  3x   x   16 x  16 x3  5x  x    x  x   x2  x  x2  x   ( x  x  6) x  3x   x3  5x  x    2 x  3x   ( x  x  2)  2x PTcó nghiệm x  2; x  1; x  2; x    3x   x    57 Muốn PT nhìn phức tạp ta nhân liên hợp và qui đồng đƣợc : Giải phƣơng trình x  11x  14 x   x  3x   16 x  16 0 x2  x  PTcó nghiệm x  2; x  1; x  2; x   57 3) Giải phƣơng trình x  10 x   x   12 x  0 x2  78 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Ta nhẩm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  2; x  1; x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  10 x  x  10 x   x   12 x  x  x  10 x    x  10 x   x2  x2   ( x  2) x  10 x   x  x  10 x   ( x  x   x  1) x  10 x   x   x  10 x    6x  10 x   ( x  x  1)  2x PTcó nghiệm x  2; x  1; x  2; x    3x   x   Muốn PT nhìn phức tạp ta nhân liên hợp và qui đồng đƣợc: Giải phƣơng trình x  22 x  31 x   x  10 x   12 x  0 x2  PTcó nghiệm x  2; x  1; x  2; x  PHƢƠNG TRÌNH DÙNG CASIO HỖ TRỢ Chuyên đề TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP Chuyên đề này xin đƣợc giới thiệu các phƣơng trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax  bx  c  k P( x) ,với a,b,c là các số nguyên Khi a=0 là trƣờng hợp quen thuộc! Sau đây là các thí dụ đơn giản dạng này Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  x   5x  4 x 79 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)  x  x3  x  x  x3  x  5x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  x và 3x  x   x  x  x PTcó nghiệm x  1; x  1   1 Thí dụ Giải phƣơng trình x2  2x   6x2  6x   x  6 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  x   x2  6x  (*) x Do x  x   nên x  PT (*)  x  x3  x  x  x3  x  x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  x và 3x  x   x  x  x PTcó nghiệm x  1; x  1   1 Nâng cấp: Giải phƣơng trình x2  2x   5x  x  x  6x2  6x  PTcó nghiệm x  1; x   6x  6 x 1   1 80 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình  x  12 x  18x  24  x  8 x Hƣớng dẫn PT   x  12 x  18 x  24  x  8x  (*) x Do x  8x   nên x  PT (*)  8x  x3  12 x  18x3  24 x  x  8x  Biểu thức cần tìm là x  x   8x  x và x  x   12 x  18x  24 x PTcó nghiệm x  2; x  1 3  Thí dụ Giải phƣơng trình  x  12 x  18x  24  8x  12  12 x Hƣớng dẫn PT   x  12 x  18 x  24  x  12 x  12 (*) x Do x  8x   nên x  PT (*)  8x  x3  12 x  18x3  24 x  8x  12 x  12 Biểu thức cần tìm là x  x   8x  x và x  x   12 x  18x  24 x PTcó nghiệm x  2; x  1 3  Nâng cấp: Giải phƣơng trình  2x  3x  18 x  24 3x  12 x  18 x  24  5x  12  12 x 81 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  2; x  1 3  Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  3x   x  2 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  3x   4x2  2x  (*) x Do x  x   nên x  PT (*)  x  x3  x  5x  3x3  x  8x  x  Biểu thức cần tìm là 3x  x   x  x3  x và 5x  x   5x  3x3  x PTcó nghiệm x  1; x    16 Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  3x   x  4 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  3x   14 x  x  (*) x Do 14 x  8x   nên x  PT (*)  x  x3  x  5x  3x3  x  8x  x  Biểu thức cần tìm là 3x  x   x  x3  x và 5x  x   5x  3x3  x PTcó nghiệm x  1; x    16 82 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nâng cấp: Giải phƣơng trình x2  x   x  3x  x  3x   x PTcó nghiệm x  1; x   8x  4 x   16 Thí dụ Giải phƣơng trình x   3x  x   3x  4 x Hƣớng dẫn PT  x   3x  x   3x  x  (*) x Do 3x  x   nên x  PT (*)  x3  x  3x  x3  x  3x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x3  x và x  x   3x  x  x PTcó nghiệm x  3; x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x   3x  x   x  15  10 x Hƣớng dẫn PT  x   3x  x   x  10 x  15 (*) x Do x  10 x  15  nên x  PT (*)  x3  x  3x  x3  x  x  10 x  15 Biểu thức cần tìm là x  x   x3  x và x  x   3x  x  x PTcó nghiệm x  3; x  1 83 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nâng cấp: Giải phƣơng trình 3x  x  2x2  4x  15    10  x  x  2 x  3x  x  x PTcó nghiệm x  3; x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x  x  10  3x  x   x  4 x Hƣớng dẫn PT  x  x  10  3x  x   5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)  8x  x3  10 x  3x  x3  x  5x  x  Biểu thức cần tìm là 3x  x   8x  x  10 x và x  x   3x  x  x PTcó nghiệm x  3; x  1 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình x  x  10  3x  x   x  6 x Hƣớng dẫn PT  x  x  10  3x  x   x2  6x  (*) x Do x  x   nên x  PT (*)  8x  x3  10 x  3x  x3  x  x  x  Biểu thức cần tìm là 3x  x   8x  x  10 x và x  x   3x  x  x PTcó nghiệm x  3; x  1 84 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nâng cấp: Giải phƣơng trình 4x2  4x  3x  x   x  x  x  10 3x  x  x  10  6x  6 x PTcó nghiệm x  3; x  1 Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 3x  x   8x  x  13  5x  4 x Hƣớng dẫn PT  3x  x   x  x  13  5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)  3x  x3  5x  8x  5x3  13x  5x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   8x  5x  13x và 3x  x   8x  5x  13x PTcó nghiệm x  4; x  1 3 Thí dụ 12 Giải phƣơng trình 3x  x   x  5x  13  x  12 6 x Hƣớng dẫn PT  3x  x   x  x  13  x  x  12 (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)  3x  x3  5x  8x  5x3  13x  x  x  12 Biểu thức cần tìm là x  x   8x  5x  13x và 3x  x   8x  5x  13x PTcó nghiệm x  4; x  1 3 85 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 13 Giải phƣơng trình  x  10 x  17  ( x  3)(3x  7)  5x  6 x Hƣớng dẫn PT   x  10 x  17  ( x  3)(3x  7)  5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)   x  10 x3  17 x  x ( x  3)(3x  7)  5x  x  Biểu thức cần tìm là x  3x    x  10 x  17 x và 3x  3x   x ( x  3)(3x  7) PTcó nghiệm x  ; x3 Thí dụ 14 Giải phƣơng trình  x  10 x  17  ( x  3)(3x  7)  x   12 x Hƣớng dẫn x  12 x  PT   x  10 x  17  ( x  3)(3x  7)  (*) x Do x  12 x   nên x  PT (*)   x  10 x3  17 x  x ( x  3)(3x  7)  x  12 x  Biểu thức cần tìm là x  3x    x  10 x  17 x và 3x  3x   x ( x  3)(3x  7) PTcó nghiệm x  ; x3 Thí dụ 15 Giải phƣơng trình x  8x   x  12 x   5x  4 x Hƣớng dẫn 86 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT  x  x   x  12 x   5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  PT (*)  x  8x3  x  x  12 x3  8x  5x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  8x  x và 3x  x   x  12 x  8x PTcó nghiệm x   Thí dụ 16 Giải phƣơng trình x  8x   x  12 x   x  6 x Hƣớng dẫn PT  x  x   x  12 x   x2  6x  (*) x Do x  x   nên x  PT (*)  x  8x3  x  x  12 x3  8x  x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  8x  x và 3x  x   x  12 x  8x PTcó nghiệm x   Thí dụ 17 Giải phƣơng trình x  x  10  x  x  14  5x  2 x Hƣớng dẫn PT  x  x  10  x  x  14  5x  x  (*) x Do 5x  x   nên x  87 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT (*)  x  x3  10 x  x  x3  14 x  5x  x  Cần tìm thêm nghiệm ngoại lai từ đó có Biểu thức cần tìm là x  x   x  8x  x và 3x  x   x  x  14 x PTcó nghiệm x  2  2 Thí dụ 18 Giải phƣơng trình x  x  10  x  x  14  x  4 x Hƣớng dẫn 9x2  4x  PT  x  x  10  x  x  14  (*) x Do x  x   nên x  2 PT (*)  x  x3  10 x  x  x3  14 x  x  x  Cần tìm thêm nghiệm ngoại lai từ đó có Biểu thức cần tìm là x  x   x  8x  x và 3x  x   x  x  14 x PTcó nghiệm x  2  2 Thí dụ 19 Giải phƣơng trình 3x   x  x  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 Nâng cấp: a)Giải phƣơng trình 3x  x2  x   x2  x  5x  x 88 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)   5x  PT  5x  x 3x   x  x     x  x  x  ( x  x  1)  PTcó nghiệm x  2; x  3 b)Giải phƣơng trình PT   3x   x   3x   5x   ( x  3)  5x  x  5x   x  5x  x  5x   ( x  3)  3x   ( x  x  1) x  x  ( x  x  2)  0 MS1 MS PTcó nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 20 Giải phƣơng trình 3x   x  x  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 21 Giải phƣơng trình 3x   x2  2x  5x  x  x   3x  x  Hƣớng dẫn pt  3x   ( x  x  x  1)( x  x  x  1) 5x  x  x   3x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 22 Giải phƣơng trình 5x   x  x   x  x  Hƣớng dẫn 89 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  Nâng cấp 1)Giải phƣơng trình 5x  2x2  x   2x2  x  9x2  2x    5x  PT  5x  x  x   x  x   PTcó nghiệm x  1; x  2)Giải phƣơng trình    x  x  (2 x  x  2)  9x2  2x  2x2  x   ( x  1)(2 x  1)  Hƣớng dẫn 9x2  2x  2x2  x    ( x  1)(2 x  1)  9x2  2x  ( x  1)(2 x  1)    9x   x  x   ( x  1)(2 x3  1)   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  1; x  2  2x2  x  2   x   x  x  ( x  1)(2 x  1)   Thí dụ 23 Giải phƣơng trình 5x   x  x   10 x  5x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  Nâng cấp Giải phƣơng trình 5x   x  x   11x  x  6 x  3x  90 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn 2 pt  x   x  x    5x   x  x  2 5x   x  x  x  3x  2 x   x  x    2 x   x  x   x  3x  4(*) Giải (*) có biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x    67 ;x  11 PT đã cho có nghiệm x  1; x  Thí dụ 24 Giải phƣơng trình 5x   5x  x  9x  2x   2x  6x2  x  Hƣớng dẫn pt  x    9x  2x   2x  9x  2x   2x 9x  2x   2x   6x x4 Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 25 Giải phƣơng trình 2x2 1  x2  x   2x2  4x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp:Giải phƣơng trình  2x2  x2  2x   x2  2x  2 x2  x    2x PT  x  x  x   x  x   91    x  x  ( x  x  3)   Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 26 Giải phƣơng trình x   x  x   x  8x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp Giải phƣơng trình 2x2   x2  x   14 x  x  13 x  8x  Hƣớng dẫn pt  x   x  x   3  2x2   x2  x  2x2   x2  x  x  8x   3 x   x  x    3 x   x  x   x  x  9(*) Giải (*) có biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  PT đã cho có nghiệm x  1; x  1  ; x   186 14 Thí dụ 27 Giải phƣơng trình 3x  x  2x   x   8x  x  x   2x   4x2  9x  Hƣớng dẫn Pt  ( x   x  1)( x   x  1) 2x   x   (2 x  x   x  1)(2 x  x   x  1) x  x   2x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  92  4x2  9x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 28 Giải phƣơng trình 3x   5x  x  16  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   3x  và x  3x   5x  3x  16 PTcó nghiệm x  0; x  2  10 2)Giải phƣơng trình 9x2  2x  2x2  x   ( x  1)(2 x  1)  Hƣớng dẫn 9x2  2x  2x2  x    ( x  1)(2 x  1)  9x2  2x  ( x  1)(2 x  1)    9x   x  x   ( x  1)(2 x3  1)   Nhân liên hợp PTcó nghiệm x  1; x  2  2x2  x  2   x   x  x  ( x  1)(2 x  1)   Thí dụ 29 Giải phƣơng trình 3x   5x  x  16  3x  x  10 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   3x  và x  3x   5x  x  16 PTcó nghiệm x  0; x  2  10 Thí dụ 30 Giải phƣơng trình 3x   x  x  15 x  x  16  x   x  14 x  14 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   3x  và x  3x   5x  x  16 93 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  0; x  2  10 Thí dụ 31 Giải phƣơng trình 5x  x  16  3x  x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x  16 và x  3x   3x  x  PTcó nghiệm x  0; x   17 Nâng cấp: Giải phƣơng trình x  x  x  16  x  3x  x   2x  x  x  12 PTcó nghiệm x  0; x  (2  17 ) Thí dụ 32 Giải phƣơng trình 5x  x  16  3x  x   5x  15x  17 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x  16 và x  3x   3x  x  PTcó nghiệm x  0; x   17 Nâng cấp Giải phƣơng trình 3x  x   x  x  16  x  27 x  20 3x  x  10 Hƣớng dẫn pt  3x  x   x  x  16  2  3x  x   x  x  16 3x  x   x  x  16 3x  x  10 2 3x  x   x  x  16   2 3x  x   x  x  16  3x  x  10(*) Giải (*) có biểu thức cần tìm là x  3x   3x  x  và x  3x   5x  x  16 94  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT đã cho có nghiệm x  1; x   17 ; x   20 ;x  Thí dụ 33 Giải phƣơng trình 5x  x  16  3x  3x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x  16 và x  3x   3x  3x  PTcó nghiệm x  0; x  2  Thí dụ 34 Giải phƣơng trình 5x  x  16  3x  3x   3x  x  11 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   5x  x  16 và x  3x   3x  3x  PTcó nghiệm x  0; x  2  Thí dụ 35 Giải phƣơng trình 2x2  2x   4x2  6x   4x2  2x  3x  x  Hƣớng dẫn pt  2 x  x   x  x   2  2x2  2x   4x2  6x  2x2  2x   4x2  6x  3x  x  2 x  x   x  x    2 x  x   x  x   3x  x  7(*) Giải (*) có biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PT đã cho có nghiệm x  1; x   ; x   Thí dụ 36 Giải phƣơng trình 2x2  2x   4x2  6x   2x2  4x  95  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp: a)Giải phƣơng trình x  2x  x   x  4x  x   2x  x  5x  PTcó nghiệm x  1; x  (1  ) b)Giải phƣơng trình 2x2  2x   2x   x  x   x   x  1(*) Hƣớng dẫn Ta dùng Casio tìm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  2,25992105 biểu thức liên hợp cần tìm là 2x2  2x   2x   x x  x   x   ( x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là ĐKXĐ: x  x   x   0(1) và Có: (1)  x  Khi đó x  x   x   0(2) 1 3 3 suy x  (2)  x  2 2x2  2x   2x   x  x  x   x   ( x  1)  PT (*)  x  x   ( x  x  2) x  x   ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  1 96 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 37 Giải phƣơng trình x  x   x  x   x  8x  11 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp: Giải phƣơng trình 2 x  2x  x   x  4x  x   x  12 x  5x  PTcó nghiệm x  1; x  (1  ) Thí dụ 38 Giải phƣơng trình 2x2  2x  2x  2x   2  x  12 x  12 4x  6x   x  3x  x  Hƣớng dẫn PT   ( x  x   2)( x  x   2) 2x2  2x   ( x  x   x)( x  x   x) 4x  6x   x  3x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 39 Giải phƣơng trình x  x   x   x  14 x  10 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  Chú ý :x=1 thì x  x   x   97 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp a)Giải phƣơng trình: x  x  15  x  x   34 x  94 x2  Hƣớng dẫn pt  ( x  x   x  x  1)(2 x  x   x  x  1)  PTcó nghiệm x  1; x   ; x  1 b)Giải phƣơng trình 2x2  2x   4x   x   x   x  1(*) Hƣớng dẫn.ĐK: x  Ta dùng Casio tìm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  2,25992105 biểu thức liên hợp cần tìm là 2x   2x   x x  x   x   ( x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là Khi đó 2x   2x   x  x  x   x   ( x  1)  PT (*)  x  x   ( x  x  2) x   ( x  x  1)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 40 Giải phƣơng trình x  3x   3x  x   x  x  Hƣớng dẫn 98 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   5x  3x  và x  x   3x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Thí dụ 41 Giải phƣơng trình x  3x   3x  x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  3x  và x  x   3x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Thí dụ 42 Giải phƣơng trình x  3x  x  3x   x  4x2  2x  3x  x   x   3x  x  Hƣớng dẫn Pt   ( x  3x   x)( x  3x   x) x  3x   x ( 3x  x   x  1)( 3x  x   x  1) 3x  x   x   3x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   5x  3x  và x  x   3x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Thí dụ 43 Giải phƣơng trình x  15x  23  x  23x  34  x  8x  11 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  15x  23 và x  x   x  23x  34 PTcó nghiệm x  2; x   99 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 44 Giải phƣơng trình 2 x  15x  23  x  23x  34  3x  12 x  16 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  15x  23 và x  x   x  23x  34 PTcó nghiệm x  2; x   Thí dụ 45 Giải phƣơng trình x  x   x  x   3x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1 Nâng cấp Giải phƣơng trình 4x2  2x   6x2  4x   10 x  x 3x  3x  Hƣớng dẫn pt  x  x   x  x   2  4x2  2x   6x2  4x  4x2  2x   6x2  4x  3x  3x  2 x  x   x  x    2 x  x   x  x   3x  3x  4(*) Giải (*) có biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PT đã cho có nghiệm x  0; x   ; x  1  Thí dụ 46 Giải phƣơng trình x  x   x  x   5x  5x  100  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x  x   5x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1 Thí dụ 47 Giải phƣơng trình x   x  x  16  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   x  và 3x  3x   x  x  16 PTcó nghiệm x  0; x  2  81  6369 81  6369  9 Thí dụ 48 Giải phƣơng trình x  13  x  x  18  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  13 và x  x   x  x  18 PTcó nghiệm x  1; x  96 3 96 Thí dụ 49 Giải phƣơng trình x  14  x  x  17  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  14 và x  x   x  x  17 PTcó nghiệm x  1; x    24 78  181  24 78  181 Thí dụ 50 Giải phƣơng trình 3x   x  x   x  x  Hƣớng dẫn 101 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  0; x  1 Thí dụ 51 Giải phƣơng trình 5x  10 x    12 x3  x  12  x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   5x  10 x  và x    12 x  x  12 PTcó nghiệm x  1 Thí dụ 52 Giải phƣơng trình 3x  x   x  x  3x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x   8x  x  x  PTcó nghiệm x   17 Thí dụ 53 Giải phƣơng trình 18x  5x   64 x  16 x  23  x  3x  Biểu thức cần tìm là x  x   18x  5x  và x  x   64 x  16 x  23 PTcó nghiệm x  1 17   33 ; x 4 Thí dụ 54 Giải phƣơng trình 18x  5x   64 x  16 x  23  8x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   18x  5x  và x  x   64 x  16 x  23 PTcó nghiệm x  1 17   33 ; x 4 102 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 55 Giải phƣơng trình 14 x  11x   32 x  32 x   x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   14 x  11x  và x  x   32 x  32 x  PTcó nghiệm x  1 17 1 ; x  1; x  Thí dụ 56 Giải phƣơng trình 8x  10 x   24 x  36 x  17  x  3x  Biểu thức cần tìm là x  x   8x  10 x  và x  x   24 x  36 x  17 PTcó nghiệm x   17 Thí dụ 57 Giải phƣơng trình 8x  10 x   ( x  1)(8x  21x  17)  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   8x  10 x  và x  3x   ( x  1)(8x  21x  17) PTcó nghiệm x   17 Thí dụ 58 Giải phƣơng trình 8x  10 x   8x3  37 x  44 x  20  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   8x  10 x  và x  3x   8x3  37 x  44 x  20 103 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x   17 Thí dụ 59 Giải phƣơng trình x   x  x  x   5x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  và 3x  x   x  x  x  PTcó nghiệm x  ; x    17 Thí dụ 60 Giải phƣơng trình ( x  1) x   2 x  x  1 x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  và x  x   2 x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x   108  12 69  108  12 69 Thí dụ 61 Giải phƣơng trình 2x   2x2  x   3x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) x  và x  x   3x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x   108  12 69  108  12 69 Thí dụ 62 Giải phƣơng trình (3x  1) x   14 x  x  x  1 4x2  x 1 104 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   (3x  1) x  và x  14 x  x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x   359  12 78  359  12 78 Thí dụ 63 Giải phƣơng trình x  x   x  3x  1 2x2  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x   x  x  và x  x   x  3x    17  37  17  37 PT đã cho có nghiệm: x  ; x  Thí dụ 64 Giải phƣơng trình ( x  1) 3x    x  5x  x  1 2x2  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) 3x  và x  x    x  5x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x  81  633 81  633  2 Thí dụ 65 Giải phƣơng trình ( x  1) 3x   x  x  x  1 2x2  x  105 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  1) 3x  và x   x  x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x  27  633  27  633 18 Thí dụ 66 Giải phƣơng trình ( x  2) 3x    x  x  10 x  1 4x2  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   ( x  2) 3x  và x    x  x  10 x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x    5(281  18 249 )  5(281  18 249 ) 12 Thí dụ 67 Giải hệ phƣơng trình 2   x  y  xy   2  ( x  2) 3x   x  x  x   x  y Hƣớng dẫn Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng với x  x  y   2 Với x=2 các bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ này Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x   x3  x  8x   x  x  2(*) Biểu thức cần tìm là 3x  x   ( x  2) 3x  và x  x  x  8x  1 PT(*) có nghiệm: x  ; x  183  31 3 183  31  4 106 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 68 Giải hệ phƣơng trình  x  y2  0  y4  y2   x 1  2 2  y 3x  13  x  16 x  41  3x  y  Hƣớng dẫn Sử dụng Hàm đặc trƣng có Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng x  y   2 Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x  13  x  16 x  41  3x  3x  11(*) Biểu thức cần tìm là x  3x   ( x  2) 3x  13 và x   x  16 x  41 PT(*) có nghiệm: x  ; x    23 57   23 57  Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 69 Giải hệ phƣơng trình 2   x  xy  x  y    2 2   y 3x  13  x  10 x  67  3x  3x  15 Hƣớng dẫn Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng với x  x  y   2 Với x=1 các bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ này Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x  13  x  10 x  67  3x  3x  15(*) Biểu thức cần tìm là x  3x   ( x  2) 3x  13 và x   x  10 x  67 107 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)   17  681  17  681 PT(*) có nghiệm: x  ; x  Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 70 Giải phƣơng trình 3x   12 x  x  x  3 2x2  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là 3x  x   3x  và 3x  x   12 x3  x  x  PT đã cho có nghiệm: x  ; x   53  41  53  41 Thí dụ 71 Giải phƣơng trình x  5x   x  x  x Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  5x  1 PT đã cho có nghiệm: x  ; x  57  67 57  67  4 Thí dụ 72 Giải phƣơng trình x  3x   3x  x   x  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 PT  x  3x   x   3x  x   5x  x  x   108 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 73 Giải phƣơng trình x  x  x   x  3x   x  x   x   x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  Pt  x  5x  5x   x   x  3x   x  x   x   PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 74 Giải phƣơng trình ( x  1)  x   x  x  11  x  x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  PT  ( x  1)  x    x  x  11  x  x    PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 75 Giải phƣơng trình x  3x   3x   x  3x  13  5x  3x  16  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   3x  và x  3x   5x  3x  16 pt  x  3x   3x    x  3x  13  5x  3x  16   PTcó nghiệm x  0; x  2  10 Thí dụ 76 Giải phƣơng trình 5x   x  x  x   x   x  x  109 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  pt  2 5x   x   (3x PTcó nghiệm x  1; x   x  2)  2  x  x   x   (3x  x  3)  Thí dụ 77 Giải phƣơng trình 3      2x2  2x   4x2  6x   x2  2x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 78 Giải phƣơng trình 3x  x   2x2  2x  x4   2 x  2x  2 4x  2x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  pt  3x  x   x  x   ( x4   )0 x  2x  4x  2x  2 PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Thí dụ 79 Giải phƣơng trình 2x  2x   4x  6x   x  2x   x  2x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  110 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 80 Giải phƣơng trình 3x  x   ( x  1)3 3x  x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x   3x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Thí dụ 81 Giải phƣơng trình x  x   ( x  1)3 ( x  1)3   ( x  2) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và  ( x  1)3  PTcó nghiệm x  1; x  1 Chuyên đề phụ: Ý tƣởng ghép phƣơng trình thành phƣơng trình Hay cách tạo phƣơng trình Tích từ các biểu thức tùy ý (chọn hợp lí ) Tác giả ý tưởng:Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự,Hoàn Sơn,Tiên Du,Bắc Ninh Từ hai phƣơng trình sau: Giải phƣơng trình: 3x   5x  x  x  x  (1) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 Giải phƣơng trình: x   x  x   x  x  (2) 111 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  Hƣớng dẫn Từ (1) và (2) ta có thể ghép lại thành PT sau: Thí dụ 82 Giải phƣơng trình(đây là PT để minh họa ý tƣởng`)  3x  x   ( x  x  2)( x  x  3)     ( x  x  )  x  x      x  x 1 5x  x     ( x  x  2) x   ( x  x  3) 3x      ( x  x  2)   x  x  2     x  x  5x  x    x 2 x  3x   x  x  (3x  3)(2 x  1)  x  x    2x  x  2 ( x  x  2)( x  x  3) 2x 1  x2  x 1 ( x  x  2)  x  2x  2 5x  x 5x  x 2 HD Với (a;b),(c;d) là biểu thức liên hợp PT thứ (m;n),(p;q) là biểu thức liên hợp PT thứ hai Ta có PT: a  c  c  a  a c   m  n  p  q    m  n  p  q     (mq  np)  b  d  d  b  b d  Suy PT thí dụ 82 đã cho tƣơng đƣơng với PT    3x  x  x     2 x  x  x   ( x  x  2)( x  x  3)    x2  x  x  x   3x  x  x  3x  x2  x        0 TH1: x  x  x2  x  5x  x 5x  x  3x   ( x  x  1) x  x  ( x  x  2)  0 x2  x  5x  x PTcó nghiệm x  2; x  3 112 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) TH2: làm tương tự  2 x  x  x   ( x  x  2)( x  x  3)   2x2  x2  2x   x2  2x  2 x2  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 PT đã cho có nghiệm x  2; x  3 ; x  1; x  1 Các PT trên là minh họa cho ý tƣởng ghép phƣơng trình thành phƣơng trình Mở rộng:Dùng kĩ thuật ghép này cho phƣơng trình liên hợp dạng bậc số có khả tạo đƣợc Pt đỡ phức tạp Dạng PT này ( a c c a a c  m  n)( p  q)  ( m  n)( p  q)    mq  np  có thể mở rộng dấu b d d b b d  cộng hay trừ và thêm các số dấu ngoặc a c c a a c  ( m  n)( p  q)  ( m  n)( p  q)    mq  np  b d d b b d  Hoặc (am  bn)(cp  dq)  (cm  dn)(ap  bq)  ad  bcmq  np Hoặc (am  bn)(cp  dq)  (cm  dn)(ap  bq)  ad  bcmq  np  Nếu không thích ghép phƣơng trình thì cần lấy phƣơng trình tƣơng ứng gồm cặp biểu thức liên hơp,các biểu thức còn lại chọn tùy ý chứa ẩn số hay mở rộng ta chọn a,b,c,d,m,n,p,q bất kì!!! A.Các cách tạo phƣơng trình dạng này Giải phƣơng trình x  x  2; x   x  cùng phƣơng trình nhân liên hợp x   x  1; x   11x  cùng phƣơng trình nhân liên hợp Sau đây là hƣớng tạo PT dạng này từ các biểu thức trên: Giải phƣơng trình    2 11x   x    1   x   x   ( x  1) x 6x     113 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)   x  3x   44 x  x  12    x    x  3  x 6x      2 44 x  x  12 1   x   x   x3 x  x  Hay x  3x  11x   9x  ( x  1)  x3 6x  6x  Hay Hay x  2 4x   x 9x  44 x  x  12  x  3x  x  3x  11x   9x  ( x  1)  x 3 6x  6x  x  2 4x   x 9x  x  3x   54 x  3x   44 x  x  12  x  3x ( x  1) 11x   ( x  3) x  PT đã cho có nghiệm x   ; x   13 B Vận Dụng Ta có thể tạo các PT đơn giản dƣới đây (nhìn khó nhƣng biến đổi nhẹ nhàng gồm kĩ đƣa phƣơng trình Tích và nhân Liên hợp cần +Casio bậc nhất) Thí dụ 1,Giải phƣơng trình 2x x2 3 4 4x   4x  2 6x 1 x 6x 1 3 4 x 1 x 1 2x  4x  x2  4x   hay (nhìn tạm ổn) x   3x  x x   x  PT đã cho có nghiệm(đã kiểm tra) x   ; x  Thí dụ 2,Giải phƣơng trình 114 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x 3x 2  x2 4x  x   6x 1 6x 1 2  x2 x 1 x 1 hay x  4x  3x  x x   (nhìn tạm ổn) x   x  x   x3  x PT đã cho có nghiệm x   ; x  Thí dụ 3,Giải phƣơng trình x 3x 2  x2 4x  x   6x 1 6x 1 2  x2 x 1 x 1 hay x  4x  3x  x x   (nhìn tạm ổn) x   x  x   x3  x PT đã cho có nghiệm(đã kiểm tra) x   ; x  Thí dụ 4,Giải phƣơng trình 9x  9x  3  x3 x2 x   x3 2x  3  x3 11x  11x  x   3x  x   x  x3  hay (nhìn tạm ổn) x   11x  x   x 11x  PT đã cho có nghiệm(đã kiểm tra) x   13 ;x  Thí dụ 5,Giải phƣơng trình x   3x   33 x  x  x x   ( x  1) x  ( x  1)3 x  x Hƣớng dẫn Chọn a  x  ; b  x  1; c  1; d  x  x 115 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Chọn m  1; n  3; p  x ; q  x  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1 13 ; x  1 Thí dụ 6,Giải phƣơng trình 8x   x    x2  4x  x 8x   x   x  43 x  x Hƣớng dẫn Chọn a  8x  3; b  x  2; c  1; d  x  x Chọn m  2; n  1; p  x ; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  2 ; x   Chú ý tìm đƣợc nghiệm thì x  2 loại đkxđ Thí dụ 7,Giải phƣơng trình 20 x  13  x  3x  x x  2x   20 x  13  10 x  15  53 x  x  Hƣớng dẫn Chọn a  20 x  13; b  x  3; c  2; d  x  x  Chọn m  1; n  x; p  3; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ; x  1 Thí dụ 8,Giải phƣơng trình x   x  x x 28 x   x   x   8x  x   28 x  Hƣớng dẫn Chọn a  8x  2; b  x  2; c  x  2; d  28x  Chọn m  1; n  x3 ; p  3; q  116 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ;x  2 Thí dụ 9,Giải phƣơng trình 4x   x2 x   x 3x  x   x   3x x   3x  x  Hƣớng dẫn Chọn a  x  2; b  x; c  x  1; d  3x  8x  Chọn m  1; n  x; p  2; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ;x  2 2 Thí dụ 10,Giải phƣơng trình ( x  1) x   x x  x   ( x  1)  x   x 1   2x Hƣớng dẫn Chọn a  x  1; b  1; c    x ; d  Chọn m  x  1; n  x ; p  1; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x   13  21 ;x  Thí dụ 11,Giải phƣơng trình x4 x2   x2  x  x x   x  x   x5  x  x3  x  x  12 Hƣớng dẫn Chọn a  x  x  2; b  5; c  x x  3; d  x  x  Chọn m  1; n  2; p  x3 ; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ;x  117 13  ;x  73  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 12,Giải phƣơng trình 2x   x  23  x  2x   x    x Hƣớng dẫn Chọn a  x  1; b  1; c    x ; d  Chọn m  1; n  x; p  2; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  61  11 17 ;x  16 Thí dụ 13 Cách tạo nhƣ sau: Từ phƣơng trình dùng Casio bậc nhất: ( x  1) x   x 20 x   3x  3x   x 20 x    ( x  1)(3x  x  1) Chọn a  3x  x  1; b  1; c  x 20 x   1; d  x  m  x3 ; n  1; p  1; q  ta có thể ngụy trang thành phương trình sau Thí dụ 13,Giải phƣơng trình 3x  x x   x 20 x   x  x   3x  x   x 20 x   x  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ;x  2 Thí dụ 14,Giải phƣơng trình x  3x  x  x   x2  3 x  3x  x  x  x2  x   x  Hƣớng dẫn Chọn a  x5  3x3  x ; b  1; c  x  x  2; d  Chọn m  1; n  x  1; p  1; q  x  Sau đó ta phải các giải pt sau: 118 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 3 x  3x  x  x  x   x  x    x   1(khix  0)   x x x  x  x   x    x   x  4 PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  0; x  1; x  2; x  4 Thí dụ 15 Cách tạo nhƣ sau: Từ phƣơng trình dùng Casio : ( x  1) x   ( x  2)3 x  3x  ( x  2)  ( x  1) x   ( x  2)( x   x  3x ) Chọn a  x  3; b  x  2; c  x   x  3x ; d  x  m  x ; n  1; p  2; q  ta có thể ngụy trang thành phương trình sau Thí dụ 15,Giải phƣơng trình x   x x  x  x  x   x x  3x  x   7x  3x   23 x  3x PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ;x  3 Thí dụ 16,Giải phƣơng trình x2  x   x2 6x2  2x  x2  x   6x2  2x   x  x3  x   2 x  x  2x2  2x   2x2  x  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x   ; x  0; x  1; x  3 Thí dụ 17,Giải phƣơng trình x x   x  x  x  x   x 3x    8x  x   3x  Hƣớng dẫn Chọn a  8x   x  3; b  x  1; c  x   3x  2; d  119 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Chọn m  1; n  4; p  x; q  Giải PT liên hợp bậc nhất: ( x  1) 3x   8x   x  x  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1 ;x  Thí dụ 18,Giải phƣơng trình  x   x  x2 1 x  x 2  1 x  1 x 1  x2 1 Hƣớng dẫn Chọn a   x   x ; b  1; c   x ; d  Chọn m  1; n  x ; p  2; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ; x   Thí dụ 19,Giải phƣơng trình x6  x3   x  2x2  2x  x6  x3   2 x  3x  Hƣớng dẫn Chọn a  x  x3  1; b  1; c  x  3x  2; d  Chọn m  1; n  x; p  1; q  Giải PT x  x   x  3x   x  15 11  x  1; x    14 1   2( x  )  3 x x 22 30  45 14 15 11 PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1; x  ; x    14 Thí dụ 20,Giải phƣơng trình 120 22 30  45 14 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 5x  x   x   5x  x   x  3x  x  3x   x  Hƣớng dẫn Chọn a  5x  x   x  1; b  1; c  3x  x  3; d  Chọn m  1; n  x ; p  1; q  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1 ; x   Thí dụ 21,Giải phƣơng trình x x2   x2  x(2  x  1)  ( x  1) x   x  x  2x2   x x4  2x2  Hƣớng dẫn Chọn a  x; b  x  1; c  x  1; d  x  x  Chọn m  x  ; n  1; p  2; q  x Đƣa PT tích ta phải giải các PT: x x2   x2 1 x4  2x2   x  x2 1  x  1 (dùng hàm đặc trƣng) x  x x2     2 x  x ( x  2)  1 PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1 ;x  Thí dụ 22,Giải phƣơng trình x3  x  x  x2   x4  x2  x4  2x2  x2 1  x4  2x2  Hƣớng dẫn Chọn a  x; b  x  1; c  x  1; d  x  x  Chọn m  x ; n  1; p  1; q  121 1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đƣa PT tích ta phải giải các PT: x x 1  x2 1 x  2x   x  x2 1  x  1 (dùng hàm đặc trƣng) 2 2x2   x   PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  1 ;x   2 Thí dụ 23,Giải phƣơng trình  x  x  x2  2  x x  23 x 3  x 2  x Hƣớng dẫn Chọn a   x ; b  ; c   x  2; d  Chọn m  1; n  x; p  3; q  Đƣa PT tích ta phải giải các PT:  x2  (  2x2  x )  2x  x2   2 (*)  x2  x2 Sử dụng a,b không âm có Bất đẳng thức: a  b  2(a  b ) đẳng thức xảy a  b  x    x   x  x Áp dụng : VT (*)  2(    2  VP (*)  )  2      x2  x2   x    x   đẳng thức xảy x   3x  2.1  x  PT đã cho có nghiệm (đã kiểm tra) x  ; x  1 Thí dụ 24,Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1) 122 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  x  3x  x   x4  18 x  3x  x2 Hƣớng dẫn Chọn a   x  3x ; b  8x; c   x ; d   x Chọn m  1; n  x ; p  1; q  Đƣa PT tích:  x  3x  x   x4   18 x  3x  x2   [  x  3x (1  x )  8x(1  x )]( x  2)  ta phải giải PT:    x  3x (1  x )  8x(1  x )  2x  x2 2x  x2   (*)  x2  x2  x2  x2   Đặt x  tan t với t    ;   2 Pt(*) trở thành sin 2t  cos 2t  sin 2t cos 2t  sin 2t  cos 2t  sin 4t   t   k   sin 4t  sin(2t  )   (k  Z ) t    k  Suy t   ;t   ;t  Pt(*) có nghiệm x  4  2 ;t  9  4  2 ; x  tan ; x  tan ; x  tan 9 Pt(*) có nghiệm x   ; x   4  2 ; x  tan ; x  tan ; x  tan 9 Thí dụ 25,Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du )   x  3x  x   18 x  3x   x  x3  x  x2 123 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Chọn a    x  3x ; b  8x; c   x ; d   x Chọn m  1; n  x3 ; p  1; q  Đƣa PT tích:   x  3x  x   18 x  3x   x  x3  x  x2    [   x  3x (1  x )  8x(1  x )]( x3  2)  ta phải giải PT:     x  3x (1  x )  8x(1  x ) 2x  x2 2x  x2   (*)  x2  x2  x2  x2   Đặt x  tan t với t    ;   2 Pt(*) trở thành sin 2t  cos 2t  sin 2t cos 2t  sin 2t  cos 2t  sin 4t   t   k   sin 4t  sin(2t  )   (k  Z ) t  2  k  Suy t    ;t  2   4 ;t  ;t  9 Pt(*) có nghiệm x  2   4 1 ; x  tan ; x  tan ; x  tan 9 Pt(*) có nghiệm x  ; x  2   4 1 ; x  tan ; x  tan ; x  tan 9 Thí dụ 26,Giải phƣơng trình(Vũ Hồng PhongToán K35B ĐHSP TN)  3x  x  x  x  x  (1  x )3   x2  (16  ) x  x Hƣớng dẫn 124 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Chọn a   3x  x ; b  8x; c   x ; d   x Chọn m  1; n   x ; p  1; q  Đƣa PT tích  3x  x  x  x  x  (1  x )3   x2  (16  ) x  x    [  3x  x (1  x )  8x(1  x )](  x  2)  ta phải giải các PT:     3x  x (1  x )  8x(1  x )   3x  x 2x  x2   (*)  x2  x2  x2  x2   Đặt x  tan t với t    ;   2 Pt(*) trở thành sin 2t  cos 2t  sin 2t cos 2t  sin 2t  cos 2t  sin 4t   t  k   12  sin 4t  sin(2t  )   (k  Z ) t  5  k 36  Suy t   12 ;t  5 17  7 ;t  ;t  36 36 36 Pt(*) có nghiệm x  tan  12   ; x  tan Pt(*) có nghiệm x   3; x  tan  12 5 17  7 ; x  tan ; x  tan 36 36 36   ; x  tan Thí dụ 27,Giải phƣơng trình  3x  x  x  x  x  (1  x )3   x2  (16  ) x  x Hƣớng dẫn Chọn a   3x  x ; b  8x; c   x ; d   x 125 5 17  7 ; x  tan ; x  tan 36 36 36 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Chọn m  1; n   x ; p  1; q  Đƣa PT tích  3x  x  x  x  x  (1  x )3   x2  (16  ) x  x    [  3x  x (1  x )  8x(1  x )](  x  2)  ta phải giải các PT:     3x  x (1  x )  8x(1  x )   3x  x 2x  x2   4 (*)  x2  x2  x2  x2   Đặt x  tan t với t    ;   2 Pt(*) trở thành  sin 2t  cos 2t  sin 2t cos 2t  sin 2t  cos 2t  2 sin 4t  k  t    36  sin(2t  )  sin(4t )   (k  Z ) t   7  k  12 Suy t   36 ;t  13  11 5 ;t  ;t  36 36 12 Pt(*) có nghiệm x  tan 5  13  11   ; x  tan ; x  tan ; x  tan 12 36 36 36 Pt(*) có nghiệm x   3; x  tan 5  13  11   ; x  tan ; x  tan ; x  tan 12 36 36 36 Thí dụ 28,Giải phƣơng trình  x  x  x  (2  ) x  x   x4  x2 Hƣớng dẫn Chọn a   x  x ; b  x; c   x ; d   x Chọn m  1; n  x ; p  1; q  126 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đƣa PT tích:   x  x  x  (2  ) x  x   x4  x2   [  x  x (1  x )  x(1  x )]( x  2)  ta phải giải PT: 1  2x  x (1  x )   2 x(1  x ) 2x  x2 2x  x2   2 (*)  x2  x2  x2  x2   Đặt x  tan t với t    ;   2 Pt(*) trở thành sin 2t  cos 2t  2 sin 2t cos 2t  sin 2t  cos 2t  sin 4t   t   k  sin 4t  sin(2t  )   (k  Z ) t    k   Suy t   ;t  11  5 ;t  24 24 Pt(*) có nghiệm x  tan    ; x  tan  5 ; x  tan  2  96 24 Pt có nghiệm x   ; x  tan ; x  tan  11  2  96 24   ; x  tan 11  2  96 24  5  2  96 24 Thí dụ 29 Giải phƣơng trình  3x  x  sin x x  (6  sin x) x   sin x  x  11x   3x  x Hƣớng dẫn Chọn a   3x  x ; b  2, c  x  x  1; d   x 127 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) m  1; n  sin x; p  2; q  Ta giải các PT sin x     x 2  3x  x   1(*)   2 2 2    1 x 1 x 1 x         Đặt x  tan t với t   ;   2 PT(*) trở thành sin 2t  cos 2t  2(2 cos 2t  1)  sin 2t  cos 2t  cos 4t   t   k 2   cos(2t  )  cos 4t   t    k  18 Suy t    7  5 ;t  ;t  ;t  18 18 18 PT(*) có nghiệm x  1  7  5 ; x  tan ; t  tan ; t  tan( ) 18 18 18 Pt đã cho có nghiệm 1  7  5  5 x ; x  tan ; x  tan ; x  tan( ); x   k 2 ; x   k 2 (k  Z ) 18 18 18 6 Chú ý: Có thể tạo nhiều PT giải phương pháp lượng giác hóa sau    x 2  3x  x   1(*)   2 2 2    1 x 1 x 1 x     Từ PT(*) ta có thể tạo các PT tương tự:    x 2  3x  x   1   2 2    x    x2  x2      x 2  3x  x   1    2 2    x    x2  x2   128 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)    x   3x  x      2   x2  x2  x         x   3x  x      2   x2  x2  x         x 2  2x  3x   1   2 2    x    x2  x2      x 2  2x  3x   1   2 2    x    x2  x2      x 2  2x  3x   1   2 2    x    x2  x2      x 2   2x  3x   1   2 2    x    x2  x2   Các thí dụ trước có thể tạo các PT (giải lượng giác hóa )theo hướng này Thêm số dạng PT lƣợng giác hóa: x(1  x ) x4  6x2  2x  x2 ; cos t  ; sin t  ; cos x  ; x  tan t (1  x ) (1  x )  x2  x2 x  cos 2t x  cos 2t    sin t    sin t  ; cos t  ;t  ;  2  2  x2  x2 sin 4t  t    Chú ý: Do t    ;  nên sin t; sin và x cùng dấu với  2 cos t  cos t 1 1 x2 t  cos t   ; sin   2 2 2 1 x  sin t  x  2x2   x2 129  x 1 1 x2  x  2x  1 x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x(1  x ) x4  6x2  4x x(1  x ) x4  6x2         4 x  x2  x2 (1  x ) (1  x )  x2 a)   4 x(1  x )  3( x  x  1)  4 x(1  x ) x(1  x ) x4  6x2   2x2    (1  x ) (1  x )  x2 b)  3x(1  x ) x  x  4x c)    2 2 (1  x ) (1  x )  x2 d)  3x(1  x ) x  x   2x2    (1  x ) (1  x )  x2 e)  x(1  x ) x  x  2x   2 2 (1  x ) (1  x )  x2 f ) x(1  x ) x  x   2x2    (1  x ) (1  x )  x2 m)  x(1  x ) x4  6x2  1    1; ; 3;   sin ;  ; 2 2 (1  x ) (1  x ) n)  2x 2x  x2   2 1 x 1 x  x2 n1 )  2x 1 x2 2x   2 1 x 1 x 1 x2 p)  2x 3x  x   2 1 x 1 x  x2 p1 )  3x  x 2x   2 1 x 1 x 1 x2 q)  2x  x2   2 1 x 1 x  x2 k)  3x  x 2   2 1 x 1 x  x2 l)  2x  x2   2 1 x 1 x  x2 2x 2x  x2 h)    2 1 x 1 x  x2 2x 2x  x2 h1 )    2 1 x 1 x  x2 130 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 2x x(1  x ) ( x  x  1)   2 2 (1  x ) (1  x ) 1 x2 i)  2x x(1  x ) ( x  x  1)   2 2 (1  x ) (1  x )  x2 j)  2x 3x(1  x ) x  x  2x 3x(1  x ) x  x  j )       2 2 2 2 (1  x ) (1  x ) (1  x ) (1  x )  x2 1 x2 i1 )  x(1  x ) ( x  x  1) u)    2 2 (1  x ) (1  x )  x2 v)  3x(1  x ) x  x    2 2 (1  x ) (1  x )  x2 r)  x(1  x ) x  x    2 2 (1  x ) (1  x )  x2 t)  2x x(1  x ) x  x    2 2 (1  x ) (1  x )  x2 w1)  t1 )  x(1  x ) x  x  2x   2 2 (1  x ) (1  x ) 1 x2 x x(1  x )    1 x2 1 x2 (1  x ) w2)  3x 2( x  x  1)     x2  x2 (1  x ) w3)  x x(1  x )    1 x2 1 x2 (1  x ) x ( x  x  1) w4)    1 x2 1 x2 (1  x ) cos t 1 1 x2 t  ; sin  2 2 1 x Với cos  sin 1 x2  x 1 x2 t 1 1 x2 t  cos t  ; sin   2 2 1 x t   x 1 1 x x  2x2   x2 131  x  2x   x Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Xin dành để các bạn có thể tự tạo các PT khác(giải lượng giác hóa )theo hướng trên Như ta có khá nhiều PT giải lượng giác hóa (Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1) Nguồn gốc từ các PT lƣợng giác kiểu nhƣ sau:  sin 2t  cos 2t  2 sin 4t  sin 2t  cos 2t  2 cos 4t  sin 2t  cos 2t  2 sin 4t  sin 2t  cos 2t  2 cos 4t  sin 4t  cos 4t  2 sin 2t  sin 4t  cos 4t  2 cos 2t  sin 4t  cos 4t  2 sin 2t  sin 4t  cos 4t  2 cos 2t  sin 4t  cos 4t   sin 2t  sin 4t  cos 4t   cos 2t  sin 2t  cos 2t   sin 2t  sin 2t  cos 2t   cos 2t  sin 4t  cos 4t   2m; m  { ; ; ; } 2 2  sin 4t  cos 4t  2m; m  { ; ; ; } 2 2  sin 4t  cos 4t  2m; m  { ; ; ; } 2  sin 2t  cos 2t  2 sin t  sin 2t  cos 2t  2 sin t  sin 2t  cos 2t  2 cos t 132 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  sin 2t  cos 2t  2 cos t  sin 4t  cos 4t  2 sin t  sin 4t  cos 4t  2 sin t  sin 4t  cos 4t  2 cos t  sin 4t  cos 4t  2 cos t  sin 2t  cos 2t   cos t  sin 2t  cos 2t   sin t  sin 4t  cos 4t   cos t  sin 4t  cos 4t   sin t  sin 4t  cos 4t   sin t  sin 4t  cos 4t   cos t  sin 2t  cos 2t  2 sin t  sin 2t  cos 2t  2 cos t …………………….(các bạn tự tìm các dạng khác ) Thí dụ 30 Giải phƣơng trình x  x  (2  1) x  2 x  x   (2  1) x  2 x  2   x  2x   2x Hƣớng dẫn Chọn a  x  1; b  (2  1) x  2 x  1; c   x ; d  m  x; n  1; p  1; q  133 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta phải giải PT (2  1) x  2 x    x  x   (2 x  x  1)(1  x )  x(1  x )  2x  x2 2x  x2   2  x2  x2  x2  x2 Đặt x  tan t ta giải PT sin 2t  cos 2t  sin 4t PTđã cho có nghiệm: x  tan( x  tan  )   ; (nghiệm kép) 5  11  2    ; x  tan  2    ; x  24 24 Đến đây tác giả tin người dễ dàng tự tạo nhiều phương trình Tích dù là dạng đơn giản hay phức tạp tùy theo ý mình Tác giả ý tưởng :Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du1,Tiên Du,Bắc Ninh Tiếp tục Casio bậc Thí dụ 83 Giải phƣơng trình 5x  5x    x3 2x2  x  x  x   2x2 x  x  3x  2  x3 2 9x  2x  9x  2x  Hƣớng dẫn Phƣơng trình đƣợc tạo từ PT 5x   x  x   x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   5x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x  Chọn m  1; n  2; p  3; q  x3 PT đã cho có nghiệm x  1; x  ;x  134 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 84 Giải phƣơng trình x2  x  3 2x2  2x   x2 x  3x   x  3x  3x  x  3x  x    x2 x2  x  x2  x  2 Hƣớng dẫn Từ PT: 5x  3x   3x  x   x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   5x  3x  và x  x   3x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1 3 Chọn m  1; n  3; p  2; q   x PTcó nghiệm x  1; x  1  3; x   Thí dụ 85 Giải phƣơng trình x2  2x  2 3x  x  x 2x2  2x  x  x   4x2  6x  4x2  6x   x x2  2x  x2  2x  Hƣớng dẫn Từ PT: x  x   x  x   x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  x  PTcó nghiệm x  1; x   ; x  Chọn m  1; n  2; p  3; q  x PT đã cho có nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 86 Giải phƣơng trình 10 x  14 x   x  2  44 x  60 x  37  x  135  x2 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   10 x  14 x  và x  x   44 x  60 x  37 10 x  14 x   x  2   0 2 x 44 x  60 x  37  x  x  PT đã cho có nghiệm x  3  13 ;x  2 Thí dụ 87 Giải phƣơng trình 48x  60 x  25  x   13x  16 x   x  2  2x2 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   48x  60 x  25 và x  x   13x  16 x  pt  48 x  60 x  25  x   1   0 2 2x 13x  16 x   x  x PT đã cho có nghiệm x   ; x  1  Thí dụ 88 Giải phƣơng trình 48 x  60 x  25  x  13x  16 x   x  3x  2x4  x2  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   48x  60 x  25 và x  x   13x  16 x  48x  60 x  25  x  1   0 2x  13x  16 x   x x  2 PT đã cho có nghiệm x   ; x  1  Thí dụ 89 Giải phƣơng trình 48x  60 x  25  x   13x  16 x   x   x 136 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   48x  60 x  25 và x  x   13x  16 x  48x  60 x  25  x   x  13x  16 x   x   x  PT đã cho có nghiệm x   ; x  1  Thí dụ 90 Giải phƣơng trình 44 x  60 x  37  x  10  10 x  14 x   x   x Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   10 x  14 x  và x  x   44 x  60 x  37 44 x  60 x  37  x  10  x  PT đã cho có nghiệm x  10 x  14 x   x   x  3  13 ;x  2 Thí dụ 91 Giải phƣơng trình  5x    3  x    12 x  8x  11   9(2 x  x)3 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  x  và x  x   12 x  8x  11 pt   5x    3  x    (2 x  x)3  12 x  8x  11   8(2 x  x)3  PTcó nghiệm x  1; x  3 Thí dụ 92 Giải phƣơng trình(tác giả Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1) x  x   24 x  x   x Hƣớng dẫn Đặt x  a  PT đã cho trở thành 8a  6a   24 6a  2a   a 137 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 8a  6a    Điều kiện: 6a  2a    a   43  a   Biểu thức cần tìm là a  2a   8a  6a  và a   6a  2a  pt  8a  6a   (a  2a  2)  2[4 6a  2a   (a  1)]  0(*) PT(*)có nghiệm a  4; a  PT đã cho có nghiệm x  2; a  6 Thí dụ 93 Giải phƣơng trình 8x  x   34 x  x   x  x  Hƣớng dẫn Đặt x  a  PT đã cho trở thành 8a  6a   24 6a  2a   a  a  8a  6a    Điều kiện: 6a  2a    a   43  a   Biểu thức cần tìm là a  2a   8a  6a  và a   6a  2a  pt  8a  6a   (a  2a  2)  3[4 6a  2a   (a  1)]  0(*) PT(*)có nghiệm a  4; a  PT đã cho có nghiệm x  2; a  6 Thí dụ 94 Giải phƣơng trình(tác giả Vũ Hồng Phong ) 10 x  x   34 x  x  11  x  x Hƣớng dẫn Đặt x  a  PT đã cho trở thành 10a  9a   34 6a  a  11  a  a 138 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 10a  9a    Điều kiện: 6a  a  11   a  59   10 a   Biểu thức cần tìm là a  2a   10a  9a  và a   6a  a  11 pt  10a  9a   (a  2a  3)  3[4 6a  a   (a  1)]  0(*) PT(*)có nghiệm a  4; a  3 PT đã cho có nghiệm x  2; a  6 Thí dụ 95 Giải phƣơng trình 5x  12 x   x  14 x   3x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  12 x  và x  x   x  14 x  PTcó nghiệm x  1; x   Nâng cấp: Giải phƣơng trình 5x  12 x   x   x  14 x   x   5x  2(*) Hƣớng dẫn Ta dùng Casio tìm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  0,817120592 biểu thức liên hợp cần tìm là 5x  12 x   x   ( x  1) x  14 x   x   x Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là ĐKXĐ: 5x  12 x   x   0(1) và x  14 x   x   0(2) 139 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)     46   57 x  x  Có: (1)   (2)       46   57 x  x    Do VT (*)   VP (*)  x    x  Khi đó 2   46 suy x  5x  12 x   x   ( x  1)  x  14 x   x   x  PT (*)  x  12 x   ( x  x  2) x  14 x   ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x   Thí dụ 96 Giải phƣơng trình x(5x  11)  x  13x   3x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x(5x  11) và x  x   x  13x  PTcó nghiệm x  1; x  1 Nâng cấp: Giải phƣơng trình 5x  11x  5x   x  13x   5x   x  4(*) Hƣớng dẫn Ta dùng Casio tìm đƣợc nghiệm đẹp PT là x  1; x  0,709975946 biểu thức liên hợp cần tìm là 5x  11x  5x   ( x  2) x  13x   5x   ( x  2) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là 140 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) ĐKXĐ: 5x  11x  5x   0(1) và x  13x   5x   0(2)   23  817 11  13  29 x  x  36 14 Có: (1)   (2)      31  641 13  29 x0 x   40 14  Do VT (*)   VP (*)  x    x  Khi đó 2   46 suy x  5x  11x  5x   ( x  2)  x  13x   5x   ( x  2)  PT (*)  x  11x  ( x  x  2) x  13x   ( x  x  3)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  1; x  1 Thí dụ 97 Giải phƣơng trình (2 x  7)(5x  1)  8x  33x   3x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   (2 x  7)(5x  1) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  33x  PT đã cho có nghiệm x  2; x   Nâng cấp: Giải phƣơng trình (2 x  7)(5x  1)   8x  33x     x(*) Hƣớng dẫn Ta dùng casio tìm đƣợc các nghiệm đẹp PT là x  2; x  0,0080083823 141 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức liên hợp cần tìm là (2 x  7)(5x  1)   (1  x) 8x  33x    (1  x) Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là Do VT (*)  suy VP(*)   x   x  (2 x  7)(5x  1)   (1  x) Khi đó 8x  33x    (1  x) PT (*)  (2 x  7)(5 x  1)  ( x  x  3) 8x  33x   ( x  x  2)  0 MS1 MS Nhân liên hợp lần kết hợp điều kiện ta suy PT đã cho có nghiệm x  2; x   Thí dụ 98 Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn) x  10 x  10  1 x  2x  2x2  6x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  10 x  10 Ta có: x  10 x  10  1 2 x  2x  2x  6x    6x   4x   x  3  x  x  x  10 x  10  x  x   x  x   2x2  10 x  10  x 2 x  x   ( x  x  2)  Nhân liên hợp PT đã cho có nghiệm x  1; x  1  Thí dụ 99 Giải phƣơng trình 142 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x  3x    13x  x    2x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  3x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   13x  5x  PT  x  3x    2   0 2x  x  13x  x   2 x  x  Nhân liên hợp lần phân thức suy PTcó nghiệm x  1; x  Thí dụ 100 Giải phƣơng trình 5x  x    24 x  28x  41   2x  2x  2 Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   24 x  28x  41 PT  5x  x    1   0 x  x 1 24 x  28 x  41  x  x  2 Nhân liên hợp lần phân thức suy PTcó nghiệm x  2; x  2 Chú ý: 5x  x    ; 24 x  28x  41   Thí dụ 101 Giải phƣơng trình 3x  5x   ( x  2)3 3x  3x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  5x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x   3x  3x  143 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT  3x  5x   ( x  x  1)  ( x  2)[3 3x  3x   x  1]  Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 102 Giải phƣơng trình 3x  x  11  x   x  24 x  41  x   2x2 Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   3x  x  11 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  24 x  41 3x  x  11  x   [ 3x  x  11  x  x  24 x  41  x    2x2 1 ][  2]0 2 x 8x  24 x  41  x  x Quy đồng Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  2; x  Chú ý: 3x  x  11  x   0; x ; 8x  24 x  41  x   0; x Tƣơng tự: Giải phƣơng trình 3x  x  11  x   8x  24 x  41  x   x Hƣớng dẫn 3x  x  11  x   8x  24 x  41  x   x  3x  x  11  x   x  8x  24 x  41  x   x  Nhân liên hợp lần suy PTcó nghiệm x  2; x  Thí dụ 103 Giải phƣơng trình x  31x   2  10 x  35 x  11   x  2x  144 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  31x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   10 x  35x  11 pt  [ 8x  31x   2  1 ][  ]0 x  2x  10 x  35 x  11  x  x  Quy đồng Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  2; x   Nâng cấp Giải phƣơng trình x2  2x  x  31x    10 x  35 x  11  x2  2x  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  31x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   10 x  35x  11 x2  2x  x  31x     x2  2x  x  31x   10 x  35 x  11  x2  2x   10 x  35 x  11  x2  2x  x2  2x  10 x  35 x  11   11 0 x2  2x  x  31x    x  x   x  31x  x  31x    x  x   10 x  35 x  11 0 x2  2x  Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  2; x   Thí dụ 104 Giải phƣơng trình 2x2  x  3x   x  x  5x   x 2x2  145 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  3x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   x  5x  2x2  x  3x   x     2x2  x  3x   x 2x2  x  3x   x x  5x   x 2x2   x  5x   x 2x2  11 x  x   x  3x  x  3x   x x  5x   x 0 2x2   x  x   x  5x  0 2x2  Nhân liên hợp suy PTcó nghiệm x  1; x  3 Chuyên đề TÌM NHÂN TỬ CỦA PHƢƠNG TRÌNH DÙNG CASIO Thí dụ Giải phƣơng trình  x  x   x  x  x  8x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  Chú ý: ta có ( x  x)  (2 x  x  3)  x  x3  x  x  PT đã cho có nghiệm: x  1 Chú ý: Bấm máy tính ta tìm đƣợc nghiệm.Ta tìm thêm x  là nghiệm ngoại lai nó là nghiệm PT:   x  x   x  x3  x  8x  *Giải phƣơng trình sau (không dùng CASIO)  2x2  6x   2x   2x2  4x  146 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt  a  b  x  x  x   a ;  x  x   b suy  2  a  b  x  x  Tìm a,b theo x suy x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình  2x2  6x   2x   2x2  4x  Hƣớng dẫn Bấm máy tính ta tìm đƣợc nghiệm Tìm đƣợc nghiệm ngoại lai đẹp x=1bằng cách đổi dấu trƣớc Đƣợc PT sau:   x  x   x   x  x  Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   x  Cho biểu thức suy  x  x   x    suy nhân tử cần xuất là:  x  x   x   Dùng casio giúp ta định hƣớng đƣợc PT đã cho có thể đƣa PT tích Cụ thể nhƣ sau Đặt  x  x   a ; x   b Tacó a  b  2 x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  Giải PT  x  x   x    cách chuyển vế,bình phƣơng Hoặc tìm a,b theo x ta Suy PT có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình 3x  x  x   x  3x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   3x  x và x  3x   x  Cho biểu thức suy 3x  x  x    suy nhân tử cần xuất là: 3x  x  x   147 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt 3x  x  a  ; x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  3)  Giải PT 3x  x  x    cách chuyển vế,bình phƣơng Hoặc tìm a,b theo x ta Suy PT có nghiệm x  1 ; x  Thí dụ Giải phƣơng trình  12 x  25x    x  x   8x  16 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là  x  x    12 x  25x  và  x  x    x  x  Cho biểu thức suy  12 x  25x    x  x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt  12 x  25x    x  x   3x  x  a  ; x   b  Tacó a  b  8x  16 x Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  3)  PT có nghiệm x  1 ; x 1 Thí dụ Giải phƣơng trình 3  5x   x  x   x  x   Hƣớng dẫn Bấm máy tính ta tìm đƣợc nghiệm Tìm thêm nghiệm ngoại lai là nghiệm PT: 3  5x   x  x   x  x   Biểu thức cần tìm là x  x    5x và x  x    x  x  Cho biểu thức suy  5x   x  x    suy nhân tử cần xuất là:  5x   x  x   148 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt  5x  a  ;  x  x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  4)  PT có nghiệm x    17 Thí dụ Giải phƣơng trình 4x2  6x    2x2   6x2  6x   Hƣớng dẫn Tìm thêm nghiệm ngoại lai là nghiệm PT: x  x    x   x  x   Biểu thức cần tìm là x  3x    x và x  3x   x  x  Cho biểu thức suy  x   x  x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt  2x2   6x2  6x    x  a  ;  x  x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PT có nghiệm x   1 2 Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   3x   x  x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  và x  x   8x  x  Cho biểu thức suy 3x   8x  x    suy nhân tử cần xuất là: 3x   8x  x    Đặt 3x   a  ; 8x  x   b  Tacó a  b  x  x  149 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PT có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x   25x  12 x  12  12 x  x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   25x  12 x  12 và x  3x   12 x  x  Cho biểu thức suy 25x  12 x  12  12 x  x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt 25x  12 x  12  12 x  x   25x  12 x  12  a  ; 12 x  x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  3)    15 Thí dụ Giải phƣơng trình PT có nghiệm x  x  x   3x  x   10 x  12 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x  x   10 x  12 x  Cho biểu thức suy 3x  x   10 x  12 x    suy nhân tử cần xuất là: 3x  x   10 x  12 x   Đặt 3x  x   a  ; 10 x  12 x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PT có nghiệm x  1 ; x  2  150 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nâng cấp: Giải phƣơng trình(tác giả Vũ Hồng Phong) x  3x   2( x  3) 3x  x   ( x  1) 10 x  12 x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x  và x  x   10 x  12 x  Cho biểu thức suy 3x  x   10 x  12 x    suy nhân tử cần xuất là: 3x  x   10 x  12 x   Đặt 3x  x   a  ; 10 x  12 x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  x  2)  +PT : 3x  x   10 x  12 x    có nghiệm x  1 ; x  2  +PT : 3x  x   10 x  12 x    x có nghiệm x  1 ; x  1 PT đã cho có nghiệm x  1 ; x  2  5; x  1 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình x  x   10 x  26 x   8x  20 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  3x   10 x  26 x  và x  3x   8x  20 x  Cho biểu thức suy 10 x  26 x   8x  20 x    suy nhân tử cần xuất là: 10 x  26 x   8x  20 x    151 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt 10 x  26 x   a  ; 8x  20 x   b  Tacó a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PT có nghiệm x  1 ; x  2  Thí dụ 11 Giải phƣơng trình x  x   16 x  12 x   33x  24 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   16 x  12 x  và 3x  3x   33x  24 x  Cho biểu thức suy 16 x  12 x   33x  24 x    suy nhân tử cần xuất là: 16 x  12 x   33x  24 x    Đặt 16 x  12 x   a  ; 33x  24 x   b  Ta dựa vào hệ số bất định giả sử x  x  m  na  pb Suy n  3; p  4 5 ; m  nên có x  x   3a  b 3 3 Thay vào PT đƣợc (3a  2b  1)(3a  2b  2)  PT có nghiệm x  1 ; x  1  Thí dụ 12 Giải phƣơng trình x  8x   44 x  56 x   10 x  12 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   44 x  56 x  và x  x   10 x  12 x  Cho biểu thức suy 44 x  56 x   10 x  12 x    suy nhân tử cần xuất là: 44 x  56 x   10 x  12 x    152 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt 44 x  56 x   a  ; 10 x  12 x   b  Ta dựa vào hệ số bất định giả sử x  8x  m  na  pb Suy n  1; p  4; m  nên có x  8x   a  4b Thay vào PT đƣợc (a  2b  1)(a  2b  2)  PT có nghiệm x   ; x  2  Thí dụ 13 Giải phƣơng trình x  8x   8x  33x   28x  124 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   8x  33x  và x  x   28x  124 x  Cho biểu thức suy 8x  33x   28x  124 x    suy nhân tử cần xuất là: 8x  33x   28x  124 x   Đặt 8x  33x   a  ; 28x  124 x   b  Ta dựa vào hệ số bất định giả sử x  8x  m  na  pb Suy n  4; p  1; m  nên có x  8x   4a  b Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)  PT có nghiệm x  2 ; x   Thí dụ 14 Giải phƣơng trình x  x   12 x  16 x  13  x  8x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và x  x   12 x  16 x  13 Cho biểu thức suy 2 x  x   12 x  16 x  13   153 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) suy nhân tử cần xuất là: 2 x  x   12 x  16 x  13   Đặt 8x  33x   a  ; 28x  124 x   b  Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)  PT có nghiệm x  1 ; x  1  Thí dụ 15 Giải phƣơng trình x  x   x x  18x  14  20 x  45x  20 Hƣớng dẫn (dùng máy tính dùng tính chất A  A2 ) Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  và 3x  3x   x x  18x  14 Cho biểu thức suy x  x   x x  18x  14   suy nhân tử cần xuất là: x  x   x x  18x  14  Đặt x  x   a  ; x x  18x  14  b  Chú ý: 9a  b  x  90 x  45 Thay vào PT đƣợc (3a  b  5)(3a  b  1)  PT có nghiệm x  3  2 Thí dụ 16 Giải phƣơng trình x  x  10  x 16 x  32 x  26  30 x  80 x  35 Hƣớng dẫn (dùng máy tính dùng tính chất A  A2 để dấu ||) Biểu thức cần tìm là x  x   x  x  10 và x  x   x 16 x  32 x  26 2 Cho biểu thức suy x  x  10  x 16 x  32 x  26   2 suy nhân tử cần xuất là: x  x  10  x 16 x  32 x  26   154 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt x  x  10  a  ; x 16 x  32 x  26  b  Chú ý: 4a  b  30 x  80 x  40 Thay vào PT đƣợc (2a  b  5)(2a  b  1)  PT có nghiệm x  43 2 Thí dụ 17 Giải phƣơng trình x  x   10 x  x   36 x  20 x   Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   10 x  x  và x  x   36 x  20 x  Cho biểu thức suy 10 x  x   36 x  20 x    suy nhân tử cần xuất là: 10 x  x   36 x  20 x    Đặt 10 x  x   a  ; 36 x  20 x   b  Tacó 4a  b  x  x  Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)  PT có nghiệm x    13 1 ;x  2 Thí dụ 18 Giải phƣơng trình 8x  x   5x  x   12 x  8x  11  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   5x  x  và x  x   12 x  8x  11 Cho biểu thức suy 5x  x   12 x  8x  11   suy nhân tử cần xuất là: 5x  x   12 x  8x  11  Dùng casio giúp ta định hƣớng đƣợc PT đã cho có thể đƣa PT tích Cụ thể nhƣ sau 155 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Đặt 5x  x   a ; 12 x  8x  11  b Tacó 4a  b  8x  x  Thay vào PT đƣợc (2a  b  1)(2a  b  2)  Giải PT 5x  x   12 x  8x  11   cách chuyển vế,bình phƣơng Hoặc tìm a,b theo x ta Suy PT có nghiệm x  1; x  3 Thí dụ 19 Giải phƣơng trình 8x  20 x   5x  8x   3x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   5x  8x  Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   8x  20 x  Đặt 5x  8x   a  ; 8x  20 x   b  Suy 4a  b  12 x  12 x  15 Pt đã cho có dạng (2a  b  3)(2a  b  1)  PT đã cho có nghiệm x  1; x  1  Thí dụ 20 Giải phƣơng trình (bài khó để tham khảo) 5x  x  9x2  2x    (4 x   1) x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  pt  x  x  (3 x   1)(3 x   1) 2(3 x   1)  (4 x   1) x  x   10 x  x   x   2(4 x   1) x  x  Tìm nghiệm đẹp x=-1 và x=-2,587401052 156 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   x  và x  x   x  x  Suy x  x   x   là nhân tử cần xuất pt  [2 x  x   x   1][2 x  x   x  1]  PTcó nghiệm x  1; x  1  ; x   186 14 Lƣu ý: +dùng hệ số bất định có 10 x  x   (2 x  x  1)  3( x  1) +dùng Casio tìm đƣợc nghiệm là nghiệm pt bậc vd X=1,117012978 dùng casio ta tinh ý thì biết đƣợc điều sau x  x   x   Thí dụ 21 Giải phƣơng trình ( x  x  1)  x  11x   x  x  Hƣớng dẫn Dùng Casio các bạn tìm đƣợc nghiệm là nghiệm PT bậc có tổng,tích đẹp thì nó là pt: x  x   pt  ( x  x  1)  x  11x   ( x  x  1)( x  x  1)  PT đã cho có nghiệm x  1  ; x   3 Chú ý: Nếu tìm 1nghiệm không là nghiệm bậc thì cần tìm thêm nghiệm ngoại lai là Thí dụ 22 Giải phƣơng trình x   2x  2x2  6x   x4  Hƣớng dẫn Dùng Casio biểu thức cần tìm là x  x   ( x  x  2) pt  ( x  x  2) x  x   ( x  x  2)( x  x  2)  PT đã cho có nghiệm x  1; x  1  157 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 23 Giải phƣơng trình 8x  33x   x  29 x   3x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm là x  x   8x  33x  và x  x   x  29 x  PTcó nghiệm x  2; x  2  Nâng cấp 1) Giải phƣơng trình x  x   8x  33x   x  29 x   Hƣớng dẫn Ta dùng Casio tìm đƣợc các nghiệmcủa PT là x  2; x  0,0080083823 Biểu thức cần tìm là x  x   8x  33x  và x  x   x  29 x  Cho biểu thức suy 8x  33x   x  29 x    suy nhân tử cần xuất là: Đặt 8x  33x   x  29 x    8x  33x   a  ; x  29 x   b  Tacó a  b2  x  x  Thay vào PT đƣợc (a  b  1)(a  b  2)  PTcó nghiệm x  2; x  2  2) Giải phƣơng trình   2  x    x  29 x   x  x  32 x   Hƣớng dẫn 158 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Biểu thức cần tìm là x  x   x  29 x  Biểu thức cần tìm là x   x  29 x      2 2  x    x  29 x   x  x  32  x  3x  x  29 x   x  x  32 x x      x  x   x  x  29 x   ( x  1)3  x  29 x    6x  29 x   ( x  x  1)  6x PTcó nghiệm x  2; x   2; x    29 x   x    27  769 10 Thí dụ 24 Giải phƣơng trình 3x  x  x  x   x  16 x  3x  3x  Hƣớng dẫn 3x  x  x  x   x  16 x  3x  3x   3x  x  x  x   2  3x  x  x  x  3x  x  x  x  3x  3x   3x  x  5x  8x   3x  x  x  x   3x  3x  Biểu thức cần tìm là x  x   3x  x và x  x   5x  8x  PTcó nghiệm x  1; x  1  ; x    85 Nâng cấp Giải phƣơng trình 3x  x  x   8x  x2  159  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn ĐKXĐ… 3x  x  x   8x   x  3x  x   x  x  x2  x2   ( x  x    x) 3x  x  3x  x  (1  x)( x  x  1)   3x    x  x  x  3x 6 x  x   PTcó nghiệm x  1; x  1  ; x  43 2 Pt trên để nhìn phức tạp ta chuyển thành Giải phƣơng trình: x  12 x   3x  x  x  Hay Giải phƣơng trình: 8x  x2  x2  3x  x  x  PTcó nghiệm x  1; x  1  ; x   8x  x  12 x  43 2 Thí dụ 25 Giải phƣơng trình 3x  8x    16 x  x  13  (2 x  1)(2 x  3) Hƣớng dẫn ĐKXĐ…… 3x  8x    16 x  x  13  (2 x  1)(2 x  3)  3x  x    16 x  x  13  2  3x  x    16 x  x  13 3x  x    16 x  x  13   3x  8x    16 x  x  13  3x  8x    16 x  x  13  7(*) Biểu thức cần tìm là x  x   3x  8x  và  x  x    16 x  x  13 160 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Có (2 3x  8x  )  (  16 x  x  13)  7(2 x  1)(2 x  3)(**) Để giải (*) ta kết hợp với (**) suy x  x   3x  8x  và  x  x    16 x  x  13 PT đã cho có nghiệm x  1; x   ; x  1 Thí dụ 26 Giải phƣơng trình x  x   10 x  35x  11  8x  31x   Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   10 x  35x  11 Tƣơng tự,biểu thức liên hợp cần tìm là x  x   10 x  35x  11 PT  [ 10 x  35x  11  8x  31x   1][ 10 x  35x  11  8x  31x   2]  PT có nghiệm x  2; x   Hƣớng dẫn số cách hay dùng để tạo phƣơng trình Tích(Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1) Muốn có nghiệm x  2; x  3 cần có pt: ( x  2)( x3  3)  x  x3  3x  Biểu thức liên hợp cần tìm là x  x  m  A Nếu cần biểu thức x  x   A thì A  ( x  x  1)  ( x  2)( x3  3)  3x  5x  Nếu cần biểu thức x  x   B thì B  ( x  x  2)  ( x  2)( x3  3)  5x  x  10 Nếu cần biểu thức x  x   C thì C  (2 x  x  1)  4( x  2)( x3  3)  8x  16 x  25 161 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nếu cần biểu thức 3x  3x   D thì D  (3x  3x  1)  9( x  2)( x3  3)  15x  33x  55 Nếu cần biểu thức  x  x   E thì E  ( x  x  4)  ( x  2)( x3  3)  7 x  5x  22 Khi này dựa vào các biểu thức tạo trên các bạn thích tạo PT nhân liên hợp hay đƣa PT tích là tùy ý thích Chẳng hạn Pt giải nhân liên hợp 3x  5x   5x  x  10  3x  3x  3x  5x   8x  16 x  25  5x  5x  3x  5x   15x  33x  55  5x  5x  Để tạo PT tích ta có thể làm theo hướng sau: Ta nhận thấy từ cách tạo: 5x  x  10  3x  5x    8x  16 x  25  3x  5x     x  5x  22  3x  5x    Ta tạo PT tích nhƣ sau a)[ 5x  x  10  3x  5x   1][ 5x  x  10  3x  5x   2]   x  x   5x  x  10  3x  5x   PT có nghiệm x  2; x  3 b)[ 8x  16 x  25  3x  5x   1][ 8x  16 x  25  3x  5x   2]   8x  16 x  25  3x  5x   (2 x  1) 162 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT có nghiệm x  2; x  3 c)[  x  5x  22  3x  5x   5][  x  5x  22  3x  5x  ]    x  5x  22  3x  5x   2 x  x  PT có nghiệm x  2; x  3 3; x  1 (nhƣ có khả tự tạo đƣợc các phƣơng trình tƣơng tự các PT bài viết này) Một số phƣơng trình khác Pt nhiều nhân tử,Pt liên hợp có bậc 1,bậc 2,… 1.Giải phƣơng trình 3( x  2) (3  x)( x  x  1)  x  x  x  x  Nhân tử cần tìm là x   (3  x)( x  x  1) 3( x  2) (3  x)( x  x  1)  x  x  x  x   ( x  3x   x  1) (3  x)( x  x  1)  (3  x)( x  x  1)  ( x  1)( x  3x  5)   [ (3  x)( x  x  1)  ( x  1)][ (3  x)( x  x  1)  x  3x  5]   [ (3  x)( x  x  1)  ( x  1)][ (3  x)( x  x  1)  x  x   2(3  x)]   [ (3  x)( x  x  1)  ( x  1)][ x  x    x ][ x  x    x ]  Pt có nghiệm x  1; x  2; x  1  2.Giải phƣơng trình x   ( x  1) x   x  3x  x HD:đkxđ x  3  x20 163 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x   ( x  1) x   x  3x  x  [ x   x  2]  ( x  1)[ x   x  2]  Nhân liên hợp suy Pt có nghiệm x  1; x   2.Giải phƣơng trình x   ( x  1) x   x  3x  x HD:đkxđ x  3  x20 x   ( x  1) x   x  3x  x  [ x   x  2]  ( x  1)[ x   x  2]  Nhân liên hợp suy Pt có nghiệm x  1; x   Thí dụ Giải phƣơng trình 11x   ( x  2) x   x  3x  x  Hƣớng dẫn 11x   ( x  2) x   x  3x  x   [ 11x   x  3]  ( x  2)[ x   x  2]  0(đk : x  7 ) Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x   2; x   Thí dụ Giải phƣơng trình 19 x   2( x  1) 3x   x  5x  x Hƣớng dẫn 19 x   2( x  1) 3x   x  5x  x  [ 19 x   x  3]  ( x  1)[2 3x   x  3]  0(đk : x  1) 164 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  1; x   Thí dụ Giải phƣơng trình 5x   ( x  1) x   x  3x  x  Hƣớng dẫn đk: x  1  x   5x   ( x  1) x   x  3x  x   [ 5x   x  2]  ( x  1)( x   x  2)  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x   Chú ý:Tìm biểu thức liên hợp x   x  từ đó suy đoán biểu thức liên hợp 5x   x  Thí dụ Giải phƣơng trình  3x  ( x  2) 8x   x  x  x  Hƣớng dẫn đk:   x   x    3x  ( x  2) 8x   x  x  x   [  3x  x  1]  ( x  2)( 8x   x  1)  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x   Thí dụ Giải phƣơng trình x  x    3x  ( x  2) 5x  x  Hƣớng dẫn đk:   x   x   x  x    3x  ( x  2) 5x  x   [  3x  x  1]  ( x  2)[ x   5x  x  ]  165 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x   Thí dụ Giải phƣơng trình 11x   ( x  4) x   x  3x  x  5 Hƣớng dẫn đk: x    x   11x   ( x  4) x   x  3x  x   [ 11x   x  3]  ( x  4)[ x   x  2]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 13x  12  ( x  1) x  13  x  x  x  Hƣớng dẫn đk: x   13  x3 13x  12  ( x  1) x  13  x  x  x   [ 13x  12  x  4]  ( x  1)[ x  13  x  3]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  1; x  2 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình x  x   ( x  x) x   x  x  x  Hƣớng dẫn đk: x    x   x  x   ( x  x) x   x  x  x   [ x  x   x  x  2]  ( x  x)( x   x  2]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  1; x  0; x  166 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 11 Giải phƣơng trình 8x  8x   ( x  x) 10 x   x  x  5x  Hƣớng dẫn đk: x    x   8x  8x   ( x  x) 10 x   x  x  5x   [ 8x  8x   x  x  1]  ( x  x)[ 10 x   x  3]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  1; x  Thí dụ 12 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  2)3 3x  3x   x  x  Hƣớng dẫn 5x  x  ( x  2)3 3x  3x   x  x   [ 5x  x  x  x  2]  ( x  2)[3 3x  3x   x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 13 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  2)3 x   x  x  Hƣớng dẫn 5x  x  ( x  2)3 x   x  x   [ 5x  x  x  x  2]  ( x  2)[1  x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 14 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  2)3 x   x Hƣớng dẫn 167 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 5x  x  ( x  2)3 x   x  5x  x  x  x   ( x  2)[1  x  ]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 15 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  2)3 x  10  x  x  Hƣớng dẫn 5x  x  ( x  2)3 x  10  x  x   [ 5x  x  x  x  2]  ( x  2)[3 x  10  2]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 16 Giải phƣơng trình 5x  x  ( x  2)3 x   x  3x  Hƣớng dẫn 5x  x  ( x  2)3 x   x  3x   [ 5x  x  x  x  2]  ( x  2)[2  x  ]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 17 Giải phƣơng trình x  10 x   x.3 x  x   x  x  Hƣớng dẫn x  10 x   x.3 x  x   x  x   [ x  10 x   x  x  1]  x[3 x  x   x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  2; x  2; x  168 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 18 Giải phƣơng trình 11x  x   ( x  1)3 12 x  10 x   x  x  Hƣớng dẫn 11x  x   ( x  1)3 12 x  10 x   x  x   [ 11x  x   x  x  2]  ( x  1)[3 12 x  10 x   x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  1; x   Thí dụ 19 Giải phƣơng trình 11x  x   ( x  1)3 x  x   x  x  Hƣớng dẫn 11x  x   ( x  1)3 x  x   x  x   [ 11x  x   x  x  2]  ( x  1)[1  x  x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  1; x   Thí dụ 20 Giải phƣơng trình 11x  x   ( x  1)3 x  x   x  Hƣớng dẫn 11x  x   ( x  1)3 x  x   x   [ 11x  x   x  x  2]  ( x  1)[1  x  x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  1; x   Thí dụ 21 Giải phƣơng trình 10 x   ( x  1) x   ( x  3) x  x  1 x2  2x  169 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Hƣớng dẫn 10 x   ( x  1) x   ( x  3) x  x  1 x2  2x     10 x   x   x     x   x   ( x  3) x  x   x   Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  1; x   Thí dụ 22 Giải phƣơng trình 5x  x   ( x  2)3 3x  5x   x  x  Hƣớng dẫn 5x  x   ( x  2)3 3x  5x   x  x   [ 5x  x   x  x  1]  ( x  2)[3 3x  5x   x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  2; x   Thí dụ 23 Giải phƣơng trình 5x  x   x.3  x  5x   x  x  Hƣớng dẫn 5x  x   x.3  x  5x   x  x   5x  x   x  x   x.[3  x  5x   x  1]  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  2; x   Thí dụ 24 Giải phƣơng trình 5x  x   x.3 5x  5x   x  Hƣớng dẫn 5x  x   x.3 5x  5x   x   [ 5x  x   x  x  1]  x[3 5x  5x   x  1]  170 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp suy PT có nghiệm x  0; x  2; x   Thí dụ 25 Giải phƣơng trình 5x  x    ( x  2) x  x  Hƣớng dẫn 5x  x    ( x  2) x  x  5x  x   x  x   ( x  2)[ x  x   x  1]  Nhân liên hợp và kiểm tra đkxđ suy PT có nghiệm x  0; x  2; x  Thí dụ 26 Giải phƣơng trình x   5x  x   ( x  2) x  x  x  Hƣớng dẫn x   5x  x   ( x  2) x  x  x   [ 5x  x   x  x  1]  ( x  2)[ x  x  x   x  2]  Nhân liên hợp và kiểm tra đkxđ suy PT có nghiệm x  0; x  2; x   Thí dụ 27 Giải phƣơng trình x2   12 x   ( x  4)( x  3)  x2   4x   ( x  4)( x  3)  x2   4x  Hƣớng dẫn x2   12 x    x2   12 x  1 x   12 x  1  12 x  ( x  4)( x  3)  ( x  4)   4x   ( x  4)( x   x  ) 0  4x  171 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x  2, x   2; x  Thí dụ 28 Giải phƣơng trình x2  x  x  3x  x    x2  4x  x  7x  Hƣớng dẫn x2  x  x  7x2   x  3x  x   x2  4x  x2  x  ( x  1)( x  3)    x2  4x  x  7x    x2  x  x  7x2  1  x2   7x2  x  7x2  ( x  1)( x  3)  ( x  1)   4x  ( x  1)( x   x  )  0  4x  Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x  1, x   Thí dụ 29 Giải phƣơng trình x2 1 ( x  4)( x  4)   x2  x  x   x   x  10 Hƣớng dẫn x2 1 8x  8x   x     ( x  4)( x  4)  x2   x  10 x2  8x  8x   x  1 x   8x  8x  x   8x  8x   ( x  4)( x  4)  ( x  4)   x  10 ( x  4)( x   x  10 ) 0  x  10 Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x  1, x  172 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 30 Giải phƣơng trình x2  6x2  6x   x  ( x  x)( x  3)  ( x  1)  4x   ( x  x)( x  3)  ( x  1)  4x  Hƣớng dẫn x2  6x2  6x   x   x2  6x2  6x   x 1 ( x  x)( x  3)  ( x  x)   4x  x  x   6x  6x  6x  6x   x  ( x  x)( x   x  ) 0  4x  Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x  1, x  0; x  Thí dụ 31 Giải phƣơng trình x2  1 7x2   x2   2x  x2  Hƣớng dẫn x2  1 7x2     x2   x2   7x2  2x  x2    x2   x2   7x2  1 7x2   ( x  1) 2x2  x2  x2   x2  0 Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x  1, x   Thí dụ 32 Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1) x2  2  17 x   2x2   4x2  x2  Hƣớng dẫn 173 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x2  2  17 x     2x   x2  2  17 x  2  4x2  x2  4x 1 4x 1   0 2 x2  2 x   17 x  2(2  17 x  )  (4 x  1)( x   2) x2  0 Nhân liên hợp và đối chiếu ĐKXĐ suy PT có nghiệm x   , x   Thí dụ 33 Giải phƣơng trình x6 x  17  5x  x  x3 Hƣớng dẫn x6 x  17  5x  x  x3  5x   ( x   x  2) 5x   ( x  1)( x  2)   [ 5x   ( x  1)][ 5x   ( x  2)]  PT đã cho có nghiệm x  1; x   ; x  1 Để PT đã cho nhìn phức tạp ta chuyển vế ,nhân liên hợp để đƣa các PT sau: x4  x  17 5( x  1)  x  x   5x  x  17 x  x  13  ( x  4) x   0 x2  x   5x  Thí dụ 34 Giải phƣơng trình x  ( x  1) x   5x  x  2x 1  Hƣớng dẫn 174 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)     x  ( x  1) x   x   x  x  x   x  x   5x  x  2x 1   ( 5x   x  1)( 5x   x   1)  PT đã cho có nghiệm x  1; x   Thí dụ 35 Giải phƣơng trình x2 1 x 3 x  1 x  x2 1   x  1 x2  7x         4x  x3 5 Hƣớng dẫn ĐK: x  x2   x    4x  x3 x   x2   x2   7x2  x  1  x 2    4x  x3     x   4x  0 x3 Nhân liên hợp và đối chiếu điều kiện suy PT có nghiệm x  1; x  Thí dụ 36 Giải phƣơng trình x3  2x  x  x   x 5x   x2   7x2  2 x   5x  Hƣớng dẫn Xem phần tạo PT Tích từ các biểu thức a  x  2; b  x  2; c  x  1; d  5x  m  1; n  x; p  2; q  x3  2x  x  x   x 5x 1  x2   7x2  2 x   5x 1 175 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  5x  x    x  2 x 1 7x2  5x  x2      x  2 x 1 7x2 Nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm: x  1; x   ; x  Thí dụ 37 Giải phƣơng trình (2 x  6) x   (3  x) 16 x   12 x  3x  15 Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x   x  và x   16 x  (2 x  6) x   (3  x) 16 x   12 x  3x  15  (2 x   16 x   3)(2 x   16 x   x)  PTcó nghiệm x  1; x   Chú ý: x   x  x  x  x  x  Thí dụ 38 Giải phƣơng trình (2 x  6) 8x   ( x  3) 20 x  11  12 x  3x  15  Hƣớng dẫn Biểu thức liên hợp cần tìm là x   8x  và x   20 x  11 (2 x  6) 8x   ( x  3) 20 x  11  12 x  3x  15   (2 8x   20 x  11  3)(2 8x   20 x  11  x)  176 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PTcó nghiệm x  1; x   Chú ý: 8x   x  8x  x  x  x  Thí dụ 39 Giải phƣơng trình 5x  x  2x     3x  x  2 x2  x  3x  x   ( x  2) 3x  x  Hƣớng dẫn 5x  x  2x     3x  x  2 x x2 3x  x   ( x  2) 3x  x   5x  x   x2  x   5x  x   x2  x   3x  4x   x    3x  4x   x  2 3x  x  x   3x  x   3x  4x   x  3x  x  2   1  3x  x  5x  x  2 x  1   3x  x  2 x x2 3x  x   5x  x  2 x   3x  x  2 x x2 3x  x   5x  x  3( x  x  1)  x2  x  3x  x   5x  x  x2  x 1  x2  x  3x  x   5x  x  x2  x     0 x2  x  3x  x   x  x   ( x  x  2) 3x  x   ( x  x  1)  0 x2  x  3x  x  Nhân liên hợp suy PT có nghiệm là x  2; x  3 177   1 3x  x  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhận xét:Thí dụ 39 Xuất phát là Giải phƣơng trình 5x  x  x2  x   x2  x  3x  x  Thí dụ 40 Xuất phát từ phƣơng trình ( 3x  x   x  x  1)( 3x  x   x)   ( x  x `1) 3x  x   x  x  x   3x  x   2x3  x  2x  x2  x 1  3x  x   x    3x (*) x  x 1 Để ngụy trang tiếp PT(*) ta có số hƣớng sau: hƣớng (*)  3x  x   ( x  2)  x    2x 1 x   3x  x   x 1  3x (ở đây ta đã nhân liên hợp để ngụy trang) x  x 1 hƣớng (*)  x   3x  x     x2  x   3x  x  x2 x   3x  x     3x x  x 1  3x 0 x  x 1  3x  (ở đây ta đã nhân liên hợp để ngụy trang) x  x 1 x  x 1 (ở đây ta bỏ bớt nhân tử có chứa nghiệm PT ban đầu) Thí dụ 40 Giải phƣơng trình a) 2x2  x   3x  x   x 1  3x x  x 1 PT có nghiệm là x  2; x  3 ; x  178 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) b) x2 x   3x  x   x  x 1 PT có nghiệm là x  3 ; x  Thí dụ 41 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)( x 5x   x  1)   ( x  x  x `1) 5x   ( x  1)  5x  x  ( x  1)( x `1) 5x   ( x  1)  5x  x  ( x  1) x   x   5x  x x2 1 5x3  x Giải phƣơng trình ( x  1) x   x   x 1 2 Chú ý: giải phƣơng trình x 5x   x   x   x 5x   x     x 1 2  x (5 x  1)  ( x  1) PT có nghiệm là x  1; x   Thí dụ 42 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)( x 5x   x  2)   ( x  x  x `2) 5x   5x  x  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x `1) 5x   5x   5x  x  ( x  1)( x  2)  ( x  1) x   x   5x  x  5x  x2 1 179 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) phƣơng trình ( 5x   x  1)( x 5x   x  2)   ( x  x  x `2) 5x   x  5x  3x  x   2x  x   x   5x  x3  x  x  Thí dụ 42 Giải phƣơng trình(Vũ Hồng Phong) 2x2  7x  a)  x   5x  x x x2 PT có nghiệm là x  1; x   ; x  b)( x  1) x   x    89 5x3  x  5x  x2  PT có nghiệm là x  1; x   ; x   89 Chú ý: giải phƣơng trình x 5x   x   x   89  x 5x   x    x 2  x (5 x  1)  ( x  2) Thí dụ 43 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)( 5x   x)   ( x  x `1) 5x   x  5x  x   4x 1  5x   x x2  x 1 Thí dụ 43 giải phƣơng trình 4x 1  5x 1  x x  x 1 180 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT có nghiệm là x  1; x   ; x  Nhƣ việc tạo đƣợc phƣơng trình TÍCH là không quá khó khăn và có nhiều cách để tạo Xin giới thiệu tiếp cách tạo PT Tích dạng phức tạp Thí dụ 44 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)( 5x   8x   3x)     ( x  3x `1) 5x   x   5x  8x   3x  5x  3x  PT có nghiệm là x  1; x   ; x  Giải phƣơng trình x   x   3x  Ngoài cách chuyển -3x bình phƣơng thì còn cách đặt ẩn phụ Cụ thể nhƣ sau x   x   x   x   x   3x  3x  đặt ẩn phụ 5x   a; b  x Thí dụ 45 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)(3 5x   8x   x)     (3x  x `3) 5x   x   5x  8x   x  15x  x  Ta có Giải phƣơng trình   (3x  x `3) 5x   x   5x  8x   x  15x  x  PT có nghiệm là x  1; x   ; x  4 ;x  79 Giải phƣơng trình 5x   8x   x  Ngoài cách chuyển -x bình phƣơng thì còn cách đặt ẩn phụ Cụ thể nhƣ sau 181 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x   x   x   x   x   3x  x  đặt ẩn phụ 5x   a; b  x Thí dụ 46 Xuất phát từ phƣơng trình ( 5x   x  1)(3 5x   x   x)     (3x  x `3) 5x   x   5x  8x   x  15x  x  Ta có Giải phƣơng trình   (3x  x `3) 5x   x   5x  x   x  15x  x  PT có nghiệm là x  1; x   ; x   2(139  33 ) 1189 Giải phƣơng trình 5x   8x   x  Ngoài cách chuyển -x bình phƣơng thì còn cách đặt ẩn phụ Cụ thể nhƣ sau 5x   x   x   5x   2(5x  1)  x  x  đặt ẩn phụ 5x   a; b  x Thí dụ 47 Xuất phát từ PT ( x  2)( x  2)  Tạo biểu thức x  x   A và biểu thức x  x   B Nhƣ sau: A  ( x  x  1)  ( x  2)( x  2)  3x  x  B  ( x  x  2)  ( x  2)( x  2)  5x  x  Suy có PT mà 3x  x   x  5x  x   x   ứng với  ứng với vế bên PT x2 vế bên PT x2 182 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) có thể tạo PT 3x  x   x   5x  x   x   x2 nhân liên hợp ta đƣợc PT cần tạo nhƣ sau: 3x  x   x  5x  x   x  2   2x  2x  4x  2x  x Ta có Giải phƣơng trình 3x  x   x  5x  x   x    x2  x  2x  x  x PT có nghiệm x  2; x  3 có thể tạo PT 3x  x   x  Tƣơng tự ta có Giải phƣơng trình  5x  x   x   x2 3x  x   x  5x  x   x    2x  2x  2x  x  x PT có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 48 Xuất phát từ PT ( x  2)( x  2)   2x3  2x   x 1 x2 1 Biểu thức liên hợp đã biết x  x   3x  x  2x3  2x  Ta có thể tạo PT 3x  x    x  x   x 1 x 1 2x3  2x   3x  x   x    x2  x2  x 1 2x2  2x  2x3  2x     x2  x2  2 x 1 3x  x   x  Ta có Giải phƣơng trình 2x2  2x  3x  x   x   PT có nghiệm x  2; x  3 183 2x3  2x   x2  x2  x2  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Thí dụ 49 Xuất phát từ PT ( x  2)( x  2)  Tạo biểu thức x  x   A và biểu thức x  x   B Nhƣ sau: A  ( x  x  1)  ( x  2)( x  2)  3x  x  B  ( x  x  2)  ( x  2)( x  2)  5x  x  Nếu muốn kết hợp Nhị thức NiuTơn suy ( x  1)  ( x  1)  x( x  10 x  5) x Ta có Giải phƣơng trình      x  x   x   3x  x   2x x  10 x  Hƣớng dẫn giải: x      x  x   x   3x  x   2x x  10 x  Bấm máy tính tìm đƣợc X  2; X  1,25992105 Các biểu thức cần xuất x  x   3x  x  ; x  x   5x  x  Suy x   5x  x   x  ; x   3x  x   x  PT  ( x   5x  x  )  ( x   3x  x  )  x( x  10 x  5)  ( x   5x  x  )5  ( x   3x  x  )5  ( x  1)5  ( x  1)5  ( x   5x  x  )  ( x  1)  ( x   3x  x  )  ( x  1)  Sử dụng đẳng thức nhân liên hợp suy PT đã cho có nghiệm x  2; x  3 Thí dụ 50 Xuất phát từ PT ( x  2)( x  2)  Tạo biểu thức x  x   A và biểu thức x  x   B Nhƣ sau: A  ( x  x  1)  ( x  2)( x  2)  3x  x  184 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) B  ( x  x  2)  ( x  2)( x  2)  5x  x  Các biểu thức cần xuất x  x   3x  x  ; x  x   5x  x  x  x   3x  x   Để PT có thì từ trên ta Suy Ta có Giải phƣơng trình x  x   3x  x   2 5x  x  x x2 Hƣớng dẫn giải: x  x   3x  x   2 5x  x  x x2  x  x   3x  x    5x  x  x2  x  5x  x  1 x2  x  x  x   3x  x     [ x  x   3x  x   1]  x  x   5x  x  0 x2  x  Nhân liên hợp lần biểu thức đầu,1 lân phân thức sau suy PT có nghiệm x  2; x  3 Để PT có dấu giá trị tuyệt đối không khó khăn gì Ta có x  x   3x  x   Giải phƣơng trình x  x   ( x  x  1)  x  x 1 x  x   3x  x   2 5x  x  x x2 Hƣớng dẫn giải: x 1 x  x   3x  x   2 5x  x  x x2  x  x   3x  x   x 1 5x  x  ( xétx  1) x2  x  185 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)   x  x   3x  x  1  x 1 5x  x   1( xétx  1) x2  x  2 x  x   3x  x   x  x 1  x  x   5x  x   0( xétx  1) x2  x  Nhân liên hợp lần biểu thức đầu,1 lân phân thức sau suy Phƣơng trình có nghiệm x  2, x  3 Thí dụ 51 Để kết hợp với Đạo hàm   Từ Phƣơng trình 3x   x  ( 3x    13x  23  x  x  14 3x  ( x  3)( 3x   Giải phƣơng trình x  7)  1 2x ) 13x  23  x  x  14 3x  ( x  3)( 3x   1 2x ) Phƣơng trình có nghiệm x  1; x  5; x  2 Phƣơng trình 3x   x   có vế trái là hàm đồng biến nên có nghiệm x  2 là nghiệm Thí dụ 52 Để kết hợp với Đạo hàm Từ Phƣơng trình   3x    x  x  ( 3x   x   1)  x  x   x  3x  x   3x  ( x  x  1)( 3x   x  1) Giải phƣơng trình 1 x  x   x  3x  x   3x  ( x  x  1)( 3x   x  1) 1 Phƣơng trình có nghiệm x  1; x  2; x  Phƣơng trình 3x   x    có vế trái là hàm đồng biến có nghiệm x  186 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Làm nào sáng tác ngoài cách mò nghiệm đẹp nhẩm thì còn cách mò máy tính Casio nhƣ sau: Bấm MODE nhập F ( X )  X  Máy hỏi Start bấm -9, End bấm Quan sát bảng ta thấy F(X) giá trị nguyên X là -7,-2;-1;1;2;7 ví dụ TRÊN TÁC GiẢ chọn x=1, Bây xin thử thêm với x=-2 Từ Phƣơng trình   3x    x  x  ( 3x   x   2)  x  x   (2  x  ) 3x   3x   x  x  x 1 Khi này giải PT 3x   x    cách đặt x   t suy PTcó nghiệm x  2; x  Giải phƣơng trình  129 x  x   (2  x  ) 3x   3x   x  x  x 1 suy PTcó nghiệm x  2; x  ; x  2; x   129 Thử thêm với x=7 Từ Phƣơng trình Với PT 3x    3x    x  x  ( 3x   3x   14)  3x   14  có vế trái là hàm đồng biến nên có nghiệm x=7 là nghiệm các bạn tự tạo PT trƣờng hợp này Thí dụ 52 Dùng máy tính Casio trợ giúp sáng tác PT Làm nào sáng tác ngoài cách mò nghiệm đẹp mò máy tính Casio nhƣ sau: Bấm MODE hạn nhập F ( X )  X  X  Máy hỏi Start bấm -9, End bấm Quan sát bảng ta thấy F(X) giá trị nguyên X là -5,-2;1;2;7 187 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhƣ có khá nhiều lựa chọn nghiệm đẹp chẳng hạn tác giả chọn x=-2 Để tạo PT dùng tính đơn điệu để giải ta tạo PT: 3x  x    x   0(*) Chỉ cần biết tính đơn điệu hàm số y  3x  x  thì biết tác giả chọn 1 x Có Vế trái PT(*) là hàm nghịch biến trên khoảng trên khoảng xác định (; ] nên có nghiệm x=-2 Khi này ta có PT tích dạng nhƣ sau: ( 3x  x    x  8)( 3x  x   x  x  1)   11x  12 x  13  (  x  8) 3x  x   ( x  x  1)(  x  3x  x  )  11x  12 x  13  (  x  8) 3x  x  ( x  x  1)(  x  3x  x  ) 1 PT có nghiệm x  2; x  3 Khi này giải PT bạn nào thử dùng Casio tìm nhân tử thì ta tìm nghiệm đẹp ngoại lai (kiểu ngoại lai này tác giả đã nói đến phần trƣớc)bằng cách coi  x  ta giải PT sau: 11x  12 x  13  3x  x   ( x  x  1)( 3x  x  )(**) ta tìm nghiệm đẹp ngoại lai x=2.Khi này nhân tử cần tìm là: 3x  x   x  x   Từ (**) ta còn thu đƣợc PT sau:  3x  x   11x  3x  x   11x  12 x  13 x2  x  x  86 x  86  3x  x    11x x  x9 x  x9 Cách giải pT  ( 3x  x   8)( 3x  x   x  x  1)  188 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) PT có nghiệm x  2; x  3 ; x   181 Nếu các bạn thích tạo PT Tích có thêm cách đặt ẩn phụ nhân tử thì có thể làm nhƣ sau: Tác giả xin chọn x=1;x=2;… Và tạo số PT: 3x  x   x    nghiệm x  3x  x   x   nghiệm x  3x  x   x    nghiệm x  1; x   3x  x   x    nghiệm x  1; x   13 3  13 13  177 3x  x    x   nghiệm x  1; x  3 37  11  3x  x    x   nghiệm x  1; x   37  11 3x  x    x   nghiệm x  1; x  2 3x  x   3x    nghiệm x  1; x  3x  x    x   nghiệm x  2; x  2 bạn nào không thích nghiệm đẹp thì có thể tạo PT kiểu sau: 3x  x   x    có nghiệm x  54 54 ;x  3 Việc ghép lại thành phƣơng trình hoàn thiện xin dành cho bạn đọc chẳng hạn: ( 3x  x   x   4)( 3x  x   x  x  1)  189 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  x  x   ( x   4) 3x  x  ( x  x  1)( x   3x  x  ) PT có nghiệm: x  1; x  1  177 ; x  2; x  3 2 Sử dụng lí thuyết chuyên đề dƣới đây có thể tìm các biểu thức cần xuất chuyên đề và KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Chuyên đề PHƢƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Một kĩ hữu ích có thể giúp ta giải đƣợc phƣơng trình vô tỉ là kĩ tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp Đôi việc tìm các biểu thức đó là khó khăn ta không có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết này xin đƣợc giới thiệu kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp có dạng ax  bx  c  k P( x) ,với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x  3x  x  10 x   x  3x  2 Lời giải Phƣơng trình(PT) đã cho tƣơng đƣơng với PT: x  3x  3x  8x  x  12  x  3x   0(1) Ta tìm nghiệm PT(1) máy tính CASIO fx-570VN PLUS nhƣ sau: Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 Ấn nút sang trái để quay lại PT(1) 190 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm  10 =, máy cho ta nghiệm X  2,546818277 Bấm SHIFT STO A (lƣu nghiệm vừa tìm vào A) Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax  bx  c  x  3x  chứa nghiệm vừa tìm Nghiệm X=2 suy 4a  2b  c    c  4a  2b  Nhân tử PT(1) trở thành: ax  bx  4a  2b   x  3x   a( x  2)( x  2)  b( x  2)   x  3x  Xét a( x  2)( x  2)  b( x  2)   x  3x   suy b  x  3x    a( x  2) (2) x2 Vì A là nghiệm PT(2) nên ta tìm a,b là số nguyên cách bấm máy tính sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập A2  A    ( A  2) X bấm = A2 Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên Nhƣ a=1,b=0,c=  Nên nhân tử cần tìm là x   x  3x  Suy PT xuất 4( x   x  3x  ) Biểu thức còn lại là x  3x  3x3  12 x  x  Biểu thức này chứa nhân tử cần tìm nên nó chứa nhân tử sau: 191 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) ( x  2)  ( x  3x  6)  x  5x  3x  Thật vậy,sử dụng kĩ chia đa thức ta đƣợc x  3x  3x3  12 x  x   ( x  5x  3x  2)( x  2) Do đó PT (1)  ( x  5x  3x  2)( x  2)  4( x   x  3x  )   ( x   x  3x  )( x   x  3x  )( x  2)  4( x   x  3x  )     ( x   x  3x  ) x  ( x  2) x  3x    x  3x   x  2(3)   x  ( x  2) x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm  x   x    PT (3)        x  3x   x  x  ( x  2)( x  x  x  1)  23 Giải tiếp ta nghiệm x  và x  61  29 61  29  2 23 Vậy PT đã cho có nghiệm: x  ; x  61  29 61  29  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x  x  2x  6x  ( x  2) x  x  3 1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(1) Nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm SHIFT SOLVE 192 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO A Nhập biểu thức VT (1) : ( X  A) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm = , chờ gần phút máy Can’t Solve Khi này ta chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT cách đổi dấu trước PT đã cho.Dẫn tới tìm nghiệm PT sau: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(2) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(2) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi này xem bảng ta thấy X  `1 thì F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1 Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax  bx  c  8x  x  Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: ax  bx  c  8x  x   suy a  b  c    c  a  b  Nhân tử PT(*) trở thành: ax  bx  a  b   8x  x   a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x  Xét a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x   suy b  8x  x    a( x  1)  Z x 1 Ta tìm a,b cách bấm máy tính sau: 193 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) MODE máy f(X)= ,ta nhập A3  A    ( A  1) X bấm = A 1 Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1 thì F(X)=3 là số nguyên Nhƣ a=1,b=3,c=0.Ta nhân tử là x  3x  8x  x  Mà ( x  3x)  (8x  x  3)  x  x  PT(1) trở thành: x  x   ( x  2)( x  3x  8x  x  )   ( x  3x  8x  x  )(2 x  3x   8x  x  3)   x  x   x  3x(3)   2( x  )   x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm   x  3x   x  1 PT (3)    ( x  1) ( x  1)     Vậy PT đã cho có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x   x  36 x  44 x  17 x  x  1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 5x  3x   36 x  44 x  17 x  x   x   0(1) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(1) sau: Bấm MODE máy f(X)= 194 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X  0,629960524 x  3x    a( x  1) và x 1 Làm tương tự các thí dụ trên ta được: b  b 36 x  44 x  17 x  x    a( x  1) x 1 5x  3x   (2 x  x  1) và x  3x   36 x  44 x  17 x  x  Nên là các biểu thức cần xuất phƣơng trình PT(1) trở thành: 2( 5x  3x   x  x  1)  (4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  )   2    4 x x  3x   x  x  x  3x   x  x   4 x  x  x  1[   3x   36 x  44 x  17 x  x  4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  2 x  3x   x  x   5 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  x   x  x  x    ( x  1)(4 x  1)     x  3  4 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn Vậy PT đã cho có nghiệm x  ; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình 195 0 ]0 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x  x  14  x  x  x  x  x   x  x  16 x  12 x  11 1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  5x   0(1) Bấm máy tính các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có Tìm và lưu các nghiệm ta ít nghiệm là A  2,732050808 ; B  1,414213562 ; C  0,732050807 Chú ý: Nếu máy Continue:[=] thì ta bấm = ,đợi lúc ta đƣợc nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax  bx  c  x  x  x  Do A,B,C là nghiệm biểu thức nên ta có aA2  bA  c  A3  A2  A  aB  bB  c  4B  B  2B  aC  bC  c  4C  7C  2C  Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm PT trên.Ta đƣợc a=1;b=1;c=1 Nhƣ biểu thức thứ cần tìm là x  x   x  x  x  Tƣơng tự biểu thức thứ hai cần tìm là x   x  x  16 x  12 x  11 PT (1)  x  x   x  x  x   x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  x    ( x  x  x  x  4) P( x)  0(2) với P( x)  x  x   4x  x  2x  3  x   x  x  16 x  12 x  11 196 1  Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) x   Suy PT (2)  x  x  x  x    ( x  x  2)( x  2)     x   Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn Vậy PT đã cho có nghiệm x  1 ; x   Chú ý: Do A  C  ; AC  2 nên PT có nhân tử là x  x  Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đƣa tìm các biểu thức dạng nk P( x)  ( px  qx  r ) ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dƣơng ta tìm đƣợc ta thử chọn Vấn đề đặt là liệu có phƣơng trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp chẳng hạn nhƣ k P( x)  (ax  bx  cx  d ) Hãy làm bài tập dƣới đây các bạn rõ Bài tập Giải phương trình 1) x  13x  x  x  16 x  x  1 x  7x3   x3  9x  2)  3 x  3x  3) 4) 5) 6) 7) 8) x  x  3x  x  ( x  x  1) x  3x  14 1 3x  x  x   3x  x  1 3x  x  16 x  12 x  x  24 x  23  x 3x  x  14 x  13  x   x  12 x  x  1  12 x  x  x  3  x  x  3x  x   x  x  3x  x  1 1 1 x  x   x  27 x  x  20 x  x   x  26 x  x  1 197 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 9) x  x  x  x  10 x  x  10)  ( x  2)3 x  x  12 x  x 1 18 x  12  20 x  x  30 x  20 2 x  x   x  3x  x  ( x  x) x  x  x  x  x  11) 1 3x  x  x  x  x  12) 13) x  x  3x  21x  15 x  27 x  x  14 x   x  11x  x  11x  1 (28 x  29 x  11) x  43x  x   x x x   (36 x  25 x  11) x  35 x  x  1 14) 21x  19 x  13x  x  x  x   x  x  20 x  19 x  19 x  12 x  x  x  Chuyên đề PHƢƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh Điều kiện sử dụng phƣơng pháp: Bấm máy tính tìm đƣợc ít nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P(x) thì giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ax  bx  c  P( x) ,trong đó a,b,c là các số nguyên Do A,B là nghiệm biểu thức nên aA2  bA  c  P( A)  0(*) aB  bB  c  P( B)  Chú ý: Nếu B là nghiệm ngoại lai ta có aB  bB  c  P( B)  (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta đƣợc: a( A  B)( A  B)  b( A  B)  P( A)  P( B) 198 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Suy b  P( A)  P( B)  ( A  B)a A B Trƣờng hợp 1: A  B  thì b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy giá trị b cần tìm A B Từ (*) suy c  P( A)  aA2  bA Ta tìm a,c máy tính nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  XA  bA bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy a=X,c=F(X) Trƣờng hợp 2: A  B  Do b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b máy tính nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ đó suy a=X,b=F(X) Từ PT(*) ta tìm c  P( A)  aA2  bA 199 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Nhập biểu thức P( A)  aA2  bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau đây là các thí dụ Thí dụ Giải phƣơng trình x  x  6x  6x  2x  2x  1 3x  12 x  x  10 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  x  3x  12 x  x  10  0(1) Với P( x )  x  x  x  x  x  Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lƣu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lƣu nghiệm vào A Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO B Bấm máy A+B máy suy b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy -1 Vậy b=-1 A B Do b= -1 nên c  P( A)  aA2  (1) A  P( A)  aA2  A Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  A2 X  A bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = 200 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=3 thì F(X)=1 nguyên Suy a=3,c=1 Biểu thức cần tìm là: x  x  x  x  x   (3x  x  1) P( x)  (3x  x  1)  x  3x  x   PT(1) trở thành P( x)  (3x  x  1)  P( x)  x  x  x  3x  x   P( x)  x  x  [  x  3x  x   P( x)  x  x   x  3x  x    1]( x  3x  x  9)   x  3x  x    ( x  3x)  (3x  3)   ( x  3x  3x  3)( x  3x  3x  3)  ( x  1)  2  ( x  1)  ( x `1)      x  (1  ) ( x  1)     Vậy PT đã cho có nghiệm x  (1  ) Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  x  x  5x  x  x  x  x  x  10 x  12 x  1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  Q( x)  3x  x  4(1) Với P( x)  x  x  x  10 x  12 x  Q( x)  x  x  x  5x  x  201 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Tìm và lưu các nghiệm thí dụ ta nghiệm là A  0,793700526 ; B  1,25992105 Ta có A  B  0,4662205239  Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 X=1 Suy a=1,b= -2 Khi này c  P( A)  A2  A Nhập biểu thức P( A)  A  A bấm = máy số Ta đƣợc c=3 P( x)  ( x  x  3) Biểu thức cần tìm là Tƣơng tự biểu thức cần tìm là Q( x)  (2 x  x  1) PT(1) trở thành   P( x)  ( x  x  3)  Q( x)  (2 x  x  1)  P( x)  ( x  x  3) P( x)  x  x  x  3x  P( x)  x  x   ( x  2)(2 x  1)[   Q( x)  (2 x  x  1) Q( x )  x  x  x  3x  Q( x)  x  x  1 P( x)  x  x   0 0 ]0 Q( x)  x  x  202 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016)  x  3  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  3 ; x   ( x  2)(2 x  1)     x  Vấn đề đặt là liệu với biểu thức P(x) có nào có nhiều lựa chọn biểu thức dạng ax  bx  c  P( x) hay không.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều này Thí dụ Giải phƣơng trình x  2x  x  2x  12 x  24 x  x   12 x  51x  1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   P( x)  Q( x)  0(1) Với P( x)  12 x  24 x  x  và Q( x)  12 x  51x  Tìm và lƣu các nghiệm ta đƣợc nghiệm là A  3,449489743 ; B  1,449489743 Bấm máy tính có A  B   ; AB  5 (Theo Định lí Vi-ét thì PT có nhân tử là x  x  ) Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy tất các giá trị F(X) nguyên Vì ta chọn cặp là X=2;F(X)= Suy a=2,b=1  c  P( A)  A2  A 203 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) P( A)  A2  A bấm = máy số 1.Ta đƣợc c=1 Nhập biểu thức Suy x  x   P( x) là biểu thức cần tìm Tƣơng tự ta chọn đƣợc 3x  x   Q( x) là biểu thức cần tìm Phƣơng trình(1) tƣơng đƣơng với PT: x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  x  x  x  x    x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  ( x  x  5)( x  1)    4x  9x   ( x  x  5)   x  1   x  x   P ( x) x  x   Q( x )     x  x    x  1 Vậy phƣơng trình có nghiệm x  1 Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn x  3x   P( x) ; 3x  x   Q( x) ta giải đƣợc PT theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ là tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng đƣợc cách nhân liên hợp Xin dành cho ngƣời tìm hiểu điều này + Một số phƣơng trình ta có thể tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn P( x)  (ax  bx  cx  d ) và có thể giải theo cách bài viết đã nêu điều kiện nghiệm PT ta tìm đƣợc nhiều hơn(kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập Giải phƣơng trình 3x  24 x  x  x  1) 1 x  8x  x  2) 3) x  x  5x  x  x  x  12 x  x   3x x  x  18 x  x  12 x  3x  10 x   x 2 x  x  1 204 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) 4) 5) 6) 7) 8) 9) x  x   x  16 x  x  1 x  x  20  16 x  49 x  26 x  21 x  x   x  x  x  12 x  x   x  x 11x  x  15 x  3x   x  x  x  x  17 x  x  x 5 x  x  20 x  x  x  x  14  x  x  x  3x  x  `1  x  x 5 x  x  x  3x  24 x  x  x   x  33x  x  x  x  10) 11) 12) 1  1 3x  3x   x  x  x  x  1 1  x3 3x  3x   x  x  x  12 x  16 x  x  x 4 x  x  x  15 x  x  x  18 x  x  16 x  x  x  18 x  3x  x  15 1  2x  x  15 x  18 x  x  11x  x  x  x  x  19 x  22 x  14 x  x  8 1 205 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh ( Hoàn thành 28-5-2016) Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự,Hoàn Sơn,Tiên Du,Bắc Ninh ToánBK35 ĐHSP Thái Nguyên 206