Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

Rèn luyện được tư duy cho học sinh để học sinh có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bài toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo ra bài toán mới trên nền kiến thức đã tíc

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

STT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn ……… …i

Danh mục các chữ viết tắt ……… ii

Danh mục các bảng và hình vẽ………iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Tư duy 5

1.1.1 Khái niệm tư duy 5

1.1.2 Các bước của quá trình tư duy 7

1.2 Sáng tạo 8

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo 8

1.2.2 Các giai đoạn của quá trình sáng tạo 9

1.3 Tư duy sáng tạo………10

1.3.1 Khái niệm về tư duy sáng tạo 10

1.3.2 Các thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo……… 11

1.3.3 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh……… 15

1.4 Dạy học giảit bài tập toán ở trường Trung học phổ thông ……… 17

1.4.1 Nội dung phần phương trình vô tỷ trong chương trình toán phổ thông ……… 17

1.4.2 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học……… 17

1.4.3 Phương pháp giải bải tập toán học……… 18

Kết luận chương 1……… 22

Chương 2: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ ……….23

2.1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ……….…… 23

2.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả………… 23

2.1 2 Phương pháp đặt ẩn phụ……… 27

2.1.3 Phương pháp dùng các tính chất của vectơ……….… 38

2.1.4 Phương pháp đánh giá……….… 42

2.1.5 Phương pháp hàm số……….…44

2.1.6 Phương pháp lượng giác……….… 49

2.2 Rèn luyện các yếu tố của tư duy sáng tạo trong các bài toán phương trình vô tỷ…….………54

2.2.1 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn………54

2.2.2 Rèn luyện tính mềm dẻo………58

2.2.3 Rèn luyện tính nhạy cảm……… 62

2.2.4 Rèn luyện tính độc đáo……… 68

Kết luận chương 2……… ……72

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… 73

3.1 Nhiệm vụ, phương pháp, kế hoạch thực nghiệm……….73

3.1.1 Nhiệm vụ……… 73

3.1.2 Phương pháp……… 73

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm……… …73

3.2 Tiến trình thực nghiệm sư phạm ……….73

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm……… 74

Kết luận chương 3……… 88

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ………89

TÀI LIỆU THAM KHẢO.………90

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có rất nhiều cách

khác nhau như rèn luyện cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng phân tích, rèn luyện kỹ năng tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc một vấn đề khoa học là rất quan trọng

Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy chương trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập của học sinh, để học sinh đáp ứng được yêu cầu của xã hội và đáp ứng được xu thế hội nhập toàn cầu hiện nay

Rèn luyện được tư duy cho học sinh để học sinh có khả năng phân tích tình huống hoặc vấn đề mà bài toán nêu ra và cao hơn nữa là tư duy sáng tạo

ra bài toán mới trên nền kiến thức đã tích lũy được lại càng khó khăn hơn, điều đó đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp giáo dục

Về phương pháp giáo dục, điều 4, Luật Giáo dục (2005) quy định:

“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập

và ý chí vương lên”

Còn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thông tác giả nhận thấy việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo, mục tiêu giáo dục học sinh của những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng Điều đó được nêu

cụ thể trong Luật giáo dục, Chương I, điều 2:

2

"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" Cụ thể hóa mục tiêu này, mục tiêu dạy học của

môn Toán là:

- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;

- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và toán học nói riêng vào thực tiễn cuộc sống;

- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh;

- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học

Qua tìm hiểu thực tế cũng như trong quá trình nghiên cứu, giảng dạy, tác giả thấy rằng đa phần học sinh hiện nay mới chỉ tập trung vào việc hiểu được vấn đề, ghi nhớ và vận dụng kiến thức của mình để giải quyết một bài toán, một vấn đề cụ thể mà chưa thể sáng tạo ra các bải toán mới, cách làm mới và việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học - cao đẳng thì chuyên đề Phương trình vô tỷ xuất hiện khá đều, mà ở đó bài toán đưa ra rất đa dạng và giàu tính sáng tạo cũng như phương pháp giải, cho nên để làm được những bài toán này học sinh phải có cái nhìn tổng quát, ngoài việc biết sử dụng kiến thức đã có yêu câu học sinh phải biết tìm ra mối liên hệ của bài toán và phải

có tư duy sáng tạo

Với ý tưởng rèn luyện tư duy giải quyết bài toán thông qua giảng dạy

chuyên đề “ Phương trình vô tỷ ” để nâng cao kiến thức, khâ năng tư duy

cho học sinh, từ đó hình thành tính sáng tạo cho các em trong việc nhận thức

và giải quyết câc bài toán khác mà xa hơn là có thể tư duy sáng tạo giải quyết vấn đề thường gặp trong cuộc sống Thực tế đã có nhiều công trình, đề tài viết về phương trình vô tỷ, tác giả thấy rằng những đề tài đó phần nhiều mới chỉ dừng lại ở việc phân tích bài toán, rèn kỹ năng giải toán mà thôi Và tác

3

giả cũng muốn góp thêm vào đó một chuyên đề của mình nhằm mục tiêu rèn cho học sinh tư duy sáng tạo trong các bài toán về phương trình vô tỷ

Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là:

“ Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề ra một số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về tư duy toán học, tư duy sáng tạo

- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ

- Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vô tỷ

- Thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài trong dạy học

Ở trường Trung học phổ thông dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

như thế nào để rèn luyện được cho học sinh tư duy sáng tạo?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ theo định hướng rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể nâng cao chất lượng dạy học chuyên

đề này ở trường Trung học phổ thông

8 Phương pháp nghiên cứu

- Thực nghiệm sư phạm

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông

thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

5

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Theo X L Rubinstêin, tư duy thường bắt đầu từ một vấn đề hay một câu

hỏi, từ sự ngạc nhiên, sự thắc mắc hay từ một mâu thuẫn nào đó lôi cuốn cá nhân vào hoạt động tư duy Những vấn đề đó được ông gọi là tình huống có vấn đề Để một vấn đề trở thành tình huống có vấn đề của tư duy, đòi hỏi chủ thể phải có nhu cầu, mong muốn giải quyết vấn đề đó Mặt khác, chủ thể cũng phải có tri thức cần thiết có liên quan thì việc giải quyết vấn đề mới có thể diễn ra, quá trình tư duy mới được diễn ra Tư duy là sản phẩm cao cấp của một dạng vật chất hữu cơ có tổ chức cao, đó là bộ não của con người Trong quá trình phản ánh hiện thực khách quan bằng những khái niệm, phán đoán tư duy bao giờ cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức hoạt động của vật chất, sự hoạt động của não người Trong khi xác đính sự giống nhau giữa tâm lý người và động vật, các nhà tâm lý học Mác - xít cũng chỉ ra

sự khác nhau căn bản giữa tư duy của con người và hoạt động tâm lý động vật Một trong những khác nhau ấy là tư duy con người sử dụng khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hoá, tư duy được ra đời do lao động và trên

cơ sở của sự phát triển xã hội Thông qua hoạt động thực tiễn, thế giới tự nhiên tác động vào các giác quan tạo ra cảm giác, tri giác và biểu tượng là cơ

sở ban đầu của tư duy

Tư duy khái quát những thu nhận của cảm giác bằng những khái niệm và những phạm trù khoa học, mang lại cho chúng ta những quan điểm rộng hơn, sâu hơn những cảm giác trực tiếp Nhờ trừu tượng hoá mà tư duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiện tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản ánh các mối liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó Như vậy, tư duy trước hết là sự phản ánh ở trình độ cao bằng con đường khái quát hoá, hướng sâu vào nhận thức bản chất, quy luật của đối tượng Phản ánh ở đây hiểu theo quan niệm của chủ nghĩa Mác là phản ánh biện

chứng, "Là một quá trình phức tạp và mâu thuẫn của sự tác động qua lại giữa nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính, giữa hoạt động tư duy và hoạt

6

động thực tiễn, như là một quá trình trong đó con người không thích nghi một cách thụ động với thế giới bên ngoài, mà tác động tới nó, cải tạo nó và bắt nó phải phục tùng những mục đích của mình"[18, tr.430]

Theo V.I Lê nin, tư duy là sự phản ánh thế giới tự nhiên sâu sắc hơn, trung thành hơn, đầy đủ hơn, đi sâu một cách vô hạn, tiến gần đến chân lý khách quan hơn Tư duy của người ta - đi sâu một cách vô hạn, từ giả tưởng tới bản chất, từ bản chất cấp một, nếu có thể như vậy, đến bản chất cấp hai đến vô hạn X.L Rubinstêin thì cho rằng: Tư duy là sự thâm nhập vào những tầng mới của bản thể, là giành lấy và đưa ra ánh sáng những cái cho đến nay vẫn giấu kín trong cõi sâu bí ẩn: Đặt ra và giải quyết vấn đề của thực tại và cuộc sống, tìm tòi và giải đáp câu hỏi thực ra nó là như thế nào, câu trả lời đó

là cần thiết để biết nên sống thế nào cho đúng và cần làm gì?[17, tr9 - 10] A Spiếckin lại cho rằng: Tư duy của con người, phản ánh hiện thực, về bản chất

là quá trình truyền đạt gồm hai tính chất: Một mặt, con người hướng về vật chất, phản ánh những nét đặc trưng và những mối liên hệ của vật ấy với vật khác, và mặt khác con người hướng về xã hội để truyền đạt những kết quả của tư duy của mình

Còn theo tác giả Đặng Phương Kiệt quan niệm: "Tư duy là một quá trình tâm trí phức tạp, tạo ra một biểu tượng mới bằng cách làm biến đổi thông tin

có sẵn", tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng "Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay các hiện tượng của hiện thực khách quan" Tác giả cho rằng, tư duy khác hẳn với tri giác ở chỗ tư duy không chỉ thực hiện được những bước như đã xảy ra ở tri giác, là tách các phần riêng lẻ của sự vật, mà còn cố gắng hiểu các phần đó có quan hệ với nhau như thế nào Tư duy phản ánh bản chất của sự vật, và do đó là hình thức phản ánh hiện thực cao nhất Với việc xem tư duy như là quá trình phân tích, tổng hợp Nguyễn Đình Trãi cho rằng: Tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu đã thu được qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm để rút ra cái chung, cái bản chất của sự vật Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn Quang Uẩn, Ngô

7

Công Hoàn, Hoàng Mộc Lan lại coi " Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính của bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết ”

1.1.2 Các bước của quá trình tư duy

1.1.2.1 Tư duy tích cực

Tư duy tích cực: học sinh chú ý nghe giảng, tham gia xây dựng bài sôi nổi,

cố gắng hiểu bài và nội dung định lý

1.1.2.2 Tư duy độc lập

Tư duy độc lập: Học sinh tự đọc sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu các vấn đề như các định lý, các ví dụ, và tự làm bài tập, học sinh hoạt động một cách độc lập theo định hướng mà giáo viên nêu ra trước đó

1.1.3 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo: Học sinh có thể tìm ra cách giải bài toán theo cách mới hoặc tự chứng minh các định lý theo các cách khác nhau, học sinh có thể tìm

ra các định lý mới dựa vào kiến thức đã biết và phù hợp với kiến thức của mình

Theo nhà tâm lý học G.Mehlhorn: " Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục"

Tuỳ vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo Mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức

độ tư duy đi sau Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực Còn tư duy độc lập thể hiện

ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và

tư duy độc lập

Tác giả V.A Krutexcki, nhà tâm lý học đã chỉ ra ba vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tư duy như sau:

Tư duy tích cực

8

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

Hình 1.1 Mối quan hệ của ba dạng tƣ duy

1.2 Sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn thì “ Sáng tạo là sự vận động của tư duy

từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới ”

Còn theo từ điển tiếng Việt thì “ Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có ”

Với mô hình cấu trúc tài năng của Renzuli (Nhật, 93) dưới đây thì sáng tạo

là cơ sở của cấu trúc tài năng

I: Intelligence (thông minh)

C: Creativity (sáng tạo)

M: Motivation (sự thúc đẩy)

G: Gift (năng khiếu, tài năng)

Hình 1.2 Mô hình cấu trúc tài năng

Như vậy, sáng tạo liên quan đến việc khám phá về các ý tưởng hoặc khái niệm mới Có khả năng tạo ra hoặc nếu không thì mang một cái gì đó mới mẻ vào những cái đã tồn tại, và có giá trị – như là một giải pháp mới để giải quyết một vấn đề, một phương pháp hay một thiết bị mới, hoặc một vật thể, một hình dáng hay một ý tưởng nghệ thuật mới Dù bằng cách nào, kết quả cuối cùng của tư tưởng sáng tạo đều phải độc đáo và thiết thực Một số đặc điểm tính cách đã được chứng minh là có liên quan đến năng suất sáng tạo Một mức độ cao của sự tự tin là một nhu cầu cơ bản đối với

I

Quá trình sáng tạo có những đặc điểm sau:

+ Nó là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới

+ Nhận thấy các vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tượng quen thuộc

+ Tìm được cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

+ Biết lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau

+ Có năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi đã biết được nhiều phương pháp giải quyết truyền thống

1.2.2 Các giai đoạn của quá trình sáng tạo

Các giai đoạn của quá trình sáng tạo trải qua các bước sau:

1.2.2.1 Giai đoạn chuẩn bị

Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm các cách giải quyết vấn đề, tìm hiểu thông tin liên quan và thu thập tài liệu

Ở giai đoạn này cần nhận diện thu thập và phân tích những dữ liệu cần thiết Xác định vấn đề chung, trọng tâm cần giải quyết, sau đó xác định những vấn đề phụ Cần tránh nhầm lẫn vấn đề với hiện tượng

1.2.2.2 Giai đoạn ấp ủ

Trong giai đoạn này nuôi dưỡng những ý tưởng, giải pháp mới lạ ngược lại với những quy phạm đã có, giai đoạn này diễn ra sự xung đổt trong tiềm thức giữa những gì đang được chấp nhận, những trật tự đã có với những điều mới lạ, những khả năng chưa xảy ra

Giai đoạn ấp ủ bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn đề một cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các hoạt động bổ sung cho vấn đề được quan tâm,

1.2.2.3 Giai đoạn bừng sáng

10

Đây là thời điểm khám phá cần khẩn trương nhận ra và phát triển nó, giai đoạn này kéo dài từ giai đoạn ấp ủ cho đến khi bừng sáng trực giác, nó là bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhạn thức Nó xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo

1.2.2.4 Giai đoạn kiểm chứng

Những giải pháp hay, những ý tưởng mới cần được thẩm tra, xem xét về

ý nghĩa thực tế, khả năng thực hiện và kết quả sẽ đạt được Đây là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, lúc đó sự sáng tạo mới được khẳng định

Ví dụ: Bốn giai đoạn của quá trình sáng tạo khi giải bài toán: Từ 6 que diêm đều nhau, hãy ghép thành 4 tam giác đều?

Giai đoạn 1: Học sinh loay hoay thử xếp trên bàn;

Giai đoạn 2: Suy nghĩ tìm cách giải quyết;

Giai đoạn 3: Xếp kênh que diêm khỏi mặt bàn;

Giai đoạn 4: Xếp thành tứ diện đều

1.3 Tƣ duy sáng tạo

1.3.1 Khái niệm về tư duy sáng tạo

Phần này trình bày dựa theo “ tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kì III ( 2004 - 2007 ) trang 113”

Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ về sự vật mới, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị

Lecne đã chỉ ra các thuộc tính của quá trình tư duy sáng tạo là:

- Có sự tự lục chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết đúng quy cách

- Nhìn thấy một chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cẩu trúc mới của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn lời giải ( khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau )

Như vây, từ các quan điểm nêu trên chỉ ra rằng có sự đồng ý nhất định về khái niệm sáng tạo, cái mới là thành phần cốt lõi của tư duy sáng tạo, không chỉ là sản phẩm mới mà quá trình tư duy cũng mới, khắc phục thói quen không phù hợp trong tư duy

1.3.2 Các thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo

Năm thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo là:

1.3.2.1 Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là chuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chuyển từ quan niệm góc độ này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới

Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ

đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

Tính mềm dẻo của tư duy có những đặc trưng nổi bật:

12

* Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn tương tự,

dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

* Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu

tố thay đổi Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

* Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

Do vậy, tính mềm dẻo là một đặc điểm nổi bật của tư duy sáng tạo và

để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh giáo viên nên cho học sinh làm bài tập, thông qua đó rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy

1.3.2.2 Tính nhuần nhuyễn

Đặc điểm nổi bật của tính nhuần nhuyễn là tìm được nhiều giải pháp,

xem xét nhiều phương diện, và năng lực tạo ra một cách nhanh tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ khác nhau Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một số ý tưởng nhất định Số ý tưởng càng nhiều thì càng nhiều khả năng xuất hiện các ý tưởng độc đáo

Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều mức độ và hoàn cảnh khác nhau Trước mỗi một vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn dễ dàng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau, từ đó tìm ra phương án tối ưu Khả năng xem xét đối tượng ở nhiều góc độ khác nhau và nhìn nó một cách sinh động nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải là nhìn chúng một cách bất biến, phiến diện, cứng nhắc

13

Ví dụ 1: Cho các phương trình sau:

x x x

x x

2 2    2     (1)

2 6

x x

x

26

2

2 2

sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết bài toán

1.3.2.3 Tính độc đáo

Sự nổi bật của tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức mới Giáo viên có thể phát hiện tính độc đáo trong tư duy sáng tạo của học sinh dựa vào lời giải của các em khi làm các bài tập

Tính độc đáo có những đặc trưng cơ bản sau:

* Khả năng tìm ra những ý tưởng mới và sự kết hợp mới lạ

* Khả năng nhìn thấy những mối quan hệ bên trong và những liên kết bên ngoài dường như không có mối quan hệ với nhau

* Khả năng nhìn ra những giải pháp mới dù đã biết những giải pháp khác trước đó

Những khả năng trên không tách rời nhau mà chúng có sự hỗ trợ, bổ sung cho nhau, khả năng dễ dàng chuyển hóa từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và khía cạnh khác nhau Từ đó đề xuất nhiều nhiều phương án khác nhau để tìm được giải pháp độc đáo

Ví dụ 2:

Giải phương trình:

f(x) = f(x + 1)  x + 1 = x, phương trình vô nghiệm

Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét: Rõ ràng việc cộng thêm x vào hai vế của phương trình và biến đổi

chút ít ta thaýhàm số đã xuất hiện dạng f(x) = f(x + 1), cách làm này đã thể hiện sự độc đáo trong khả năng tư duy sáng tạo của bài toán

Tính nhạy cảm vấn đề là phát hiện ra vấn đề một cách nhanh chóng, tìm

ra những mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu Từ đó nảy sinh nhu cầu muốn cấu trúc hợp lý, hài hòa và là cơ sở để tạo ra cái mới

15

Ngoài ra, tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính

chính xác, khả năng định giá trị, khả năng định nghĩa lại

1.3.3 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

(Phần này trình bày dựa theo “ Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông chu kì III ( 2004 - 2007 ) ” trang 115

Có thể rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh:

- Theo 5 thành phần của tư duy sáng tạo

- Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hóa, tương tự hóa

- Tìm nhiều lời giải một bài toán, khai thác, đào sâu kết quả bài toán

Biểu hiện của sáng tạo là:

- Nhìn nhận sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau

- Biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một hiện tượng

- Biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải xử lý một tình huống Học sinh học tập một cách sáng tạo, không vội vã bằng lòng với giải pháp đã có, không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới Việc đành giá tính sáng tạo được căn cứ vào số lượng tính mới

mẻ, tính độc đáo, tính hữu ích của các đề xuất Tuy nhiên, tính sáng tạo cũng

có tính chất tương đối: Sáng tạo đối với ai? Sáng tạo trong điều kiện nào? Phát triển tư duy sáng tạo toán học nằm trong việc phát triển năng lực trí tuệ chung, một nội dung quan trọng của mục đích dạy học môn toán Mục đích đó cần được thực hiện có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải tự phát Về phía người giáo viên, trong hoạt động dạy học toán cần vạch

ra những biện pháp cụ thể và thực hiện đầy đủ một số mặt sau đây:

- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác

- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản, các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, trừu tượng hoá

Học sinh học tập sáng tạo là cái đích cần đạt Tính sáng tạo liên quan đến tính tích cực, chủ động, độc lập Muốn phát triển trí sáng tạo, cần chú trọng

để học sinh tự lực khám phá kiến thức mới, phải dạy cho học sinh phương pháp học, mà cốt lõi là phương pháp tự học Chính qua các hoạt động tự lực được giao cho từng cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ, tiềm năng sáng tạo của mỗi học sinh được bộc lộ và phát huy

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn

luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc “ toán học hóa ” các tình huống

thực tế, tìm ra những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ các bài tập đã làm

1.4 Dạy học giải bài tập Toán học ở trường Trung học phổ thông

1.4.1 Nội dung phần phương trình vô tỷ trong chương trình toán phổ thông

* Bậc Trung học cơ sở: học sinh đã biết đến khái niệm căn thức và một số phương trình chứa căn thức ở dạng đơn giản

17

* Bậc Trung học phổ thông: Lớp 10, học sinh được học các phương trình, chứa căn cơ bản và các phương trình chứa căn quy về phương trình bậc hai Với kiến thức lớp 10, học sinh chỉ được học và biết cách giải được phương trình chứa căn bằng các phương pháp: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá, điều kiện cần và đủ Đến lớp 12, với công cụ đạo hàm trong phần ứng dụng của hàm số, học sinh được biết đến các phương pháp khác để giải phương trình chứa căn thức: Biết sử dụng tính liên tục của hàm số, sử dụng tính đơn điệu của hàm số, sử dụng định lý Lagrange và định lý Rôn vào giải bài tập

1.4.2.Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Theo sự nhìn nhận của đa số giáo viên thì mỗi bài tập hay bài toán đều đặt

ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách giải thích hợp và cao hơn nữa là xây dựng một phương hướng phù hợp với sự đa dạng của các bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu

Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán, để giải được phải tìm tòi cái mới, xâu chuỗi các kiến thức với nhau và giữa các kiến thức có thể sử dụng với việc áp dụng để

xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống

Bài tập toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán ở trường trung học phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Thông qua giải bài toán, học sinh phải thực hiện những hoạt động như nhận dạng, thể hiện các khái niệm, đĩnh nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung phổ biến trong toán học

Vị trí của bài tập toán học : Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và sử dụng toán học vào thực tiễn

18

Việc dạy học giải bài tập toán phải thể hiện được những điều sau:

* Mục đích dạy học: Bài tập Toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán, cụ thể:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát huy được năng lực trí tuệ, rèn luyện các thao tác tư duy

* Nội dung dạy học: Bài tập Toán học là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

* Phương pháp dạy học : Bài tập Toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong các hoạt động trao đổi Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học phải đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Về mặt kiểm tra, bài tập Toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp nhận kiến thức, khả năng làm việc độc lập và sự phát triển tư duy của học sinh và hiệu quả giảng dạy của người giáo viên

1.4.3 Phương pháp giải bài tập Toán học

Theo Polya(1975), phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải một bài toán bao gồm 4 bước sau:

 Tìm hiểu nội dung bài toán;

 Tìm cách giải;

 Trình bày lời giải;

 Nghiên cứu sâu lời giải

Nội dung cụ thể của từng bước như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

19

- Xác định được đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn?

- Xem xét các hình vẽ nếu có, sử dụng một ký hiệu thích hợp

- Biết phân biệt các phần khác nhau của điều kiện và có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không?

Qua đó ta thấy việc đánh giá được dữ kiện có thoả mãn hay không, thừa hay thiếu là bước đầu thể hiện được tư duy sáng tạo Nếu làm tốt được khâu này thì việc giải bài toán sẽ rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng

- Bài toán này liên quan đến bài đã giải lần nào chưa? Có thể sử dụng nó không?

Có thể sử dụng kết quả của nó không và cách thức sử dụng nó như thế nào?

- Có thể phát biểu bài toán đó dưới một dạng khác không?

- Nếu chưa giải được bài toán đã đề ra, ta hãy giải một bài toán có liên quan Một bài toán dễ hơn? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi

đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Và

từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

Qua những dẫn dắt trên, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở mức độ cao hơn như việc giải một bài toán liên quan, hay tổng quát chính là

sự thể hiện tư duy sáng tạo

Để tìm được cách giải, học sinh cần thực hiện các hoạt động sau:

20

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán như: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích

Kiểm tra lời giải bằng cách nghiên cứu kỹ từng bước thực hiện, đặc biệt hoá kết quả tìm được, đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan Tìm thêm các cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải tối ưu

Làm tốt các hoạt động trên thì tư duy sáng tạo đã được thể hiện ở cấp độ cao hơn Ví như việc liên hệ một bài toán liên quan hay tổng quát chính là sự thể hiên tư duy sáng tạo

Bước 3: Trình bày lời giải

Trong quá trình xây dựng cách giải bài toán, học sinh thường phải áp dụng thao tác mò mẫm dự đoán Do đó, có thể còn những ý tưởng, những thao tác chưa trọn vẹn, còn rườm rà, phức tạp, thậm chí sai sót, những suy luận dài dòng Cho nên, việc chỉnh sửa những ý tưởng, những thao tác hay những lập luận là cần thiết Không thể đưa nguyên những cái gì đã qua cho lời giải môt bài toán Thực tế cho thấy nhiều học sinh đã hiểu rõ cách thức giải bài toán, nhưng lại không thể trình bày một lời giải tọn vẹn Vì vậy, ngoài việc rèn luyện kỹ năng tìm tòi lời giải bài toán, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho lôgic, đầy đủ, chính xác và đẹp đẽ Ở đây cần chú ý sử dụng các ký hiệu, ngôn ngữ toán học phù hợp, chính xác

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, thể kiểm tra lại quá trình giải bài toán

- Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nào khác không?

21

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Trong quá trình giải toán, giáo viên nên làm cho học sinh biết các nội dung của logic hình thức một cách có ý thức Để thực hiện điều nay, sau khi giải xong mỗi bài toán, giáo viên nên khái quát lại phương pháp đã sử dụng

và nhấn mạnh điểm mấu chốt của việc giải bài toán, giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn cho mình

Giáo viên cũng nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ

đề hay mô hình nào đó giúp học sinh thấy được tính đa dạng của nó thông qua các chủ đề và mô hình đó, và đó cũng là cơ sở để phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu

Kết luận chương 1

Trong chương này của luận văn, tác giả đã làm rõ các khái niệm tư duy, các bước của quá trình tư duy, khái niệm sáng tạo, các giai đoạn của quá trình sáng tạo, khái niệm tư duy sáng tạo, các thành phần của tư duy sáng tạo và việc dạy và học tập toán ở trường Trung học phổ thông Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập là rất cần thiết, qua đó người giáo viên giúp học sinh học tập chủ động hơn, tích cực hơn, kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống

Trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần tìm ra các biện pháp để rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các phần của tư duy sáng tạo

22

Trên cơ sở của lý luận về tư duy, sáng tạo và tư duy sáng tạo, chúng ta thấy rằng: Vận dụng tốt các lý luận này vào giảng dạy nó không những phát huy được sự độc lập suy nghĩ của học sinh, mà còn kích thích được tư duy sáng tạo trong quá trình học tập, giúp học sinh phát triển năng lực toán học, một thành tố cơ bản của học sinh khá giỏi toán

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

2.1 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

2.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả

x x

x x

x

x

0 5 2 3

2 12

TM x

x x

0 2

6

) ( 1 2

KTM x

TM x

24

21 1 )

0 1

x x

x

) ( 2

5 1 1

0 0

) 1 )(

1

(

1 1

x

x

x x

x x

31

5x  x  x  (1)

Giải:

* Điều kiện: x  1

1 2

3 1 5

)

1

(  x   x   x 

) 11

2 (

, 2 0

4 24 11

) 1 )(

2 3 (

17 ( 2 ) 17 ( ) 17

(

) 2 ( 0 17

x x

x x x

15 17

x

(  x  x   x x  

) 3 ( 5 0

5 5

) 5 (

3 x  x  x

Giải:

3 3

3

3 ( 2 1 )( 2 1 ) ( 2 1 2 1 ) 16 3

1 2 1



3 3

( 4 16 ) 1 4

14

(

014

;22

3322

1

;210

; 2

332

;22

33

x     (1)

Giải:

* Điều kiện: x  0 ( 2 )

Với điều kiện (2), giả sử xlà một nghiệm của phương trình (1)

Khi đó, từ phương trình suy ra x  0(x  0 pt vô nghiệm), ta chỉ cần xét 0

x x

x

3 6

2

3 )

1

(

2 2

3 ( 0 72 36

30 7

2

0 ) 72 36

30 7

)(

2 ( 0 144 24

16

7

3 4

12 3

3 2

6 2

2

2 3

2 3

2 3

4

2 2

2 2

TM x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

x x x x

x x x

x x

27

Phương trình (3) vô nghiệm với x  0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x  0

Bài tập: Giải các pt sau:

Để giải một phương trình vô tỷ nếu cứ biến đổi tương đương ta sẽ ra

một phương trình phức tạp, như là bậc quá cao Khi đó, ta có thể sử dụng

phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về một phương trình đơn

giản và dễ dàng giải quyết hơn Các bước trong phương pháp này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện đối với ẩn phụ

Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ, giải

phương trình vừa biến đổi ra ( phương trình ẩn mới ), đối chiếu điều kiện để

x

Giải:

x x

+) Khi x > 0, thì phương trình ( 1 )  12  3  2  12  3  4

x x x

đặt  12  3  2

x x

2

3 0

6

2

KTM t

t t

Đặt:   12  3  2

x x

0 1 3

2 x2  x    x   TM

17 3

, 14

1

1 2

1 ) 1 ( 1

2

2 ) 1 2 ( 2

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

2

1 2

1

0 1

TM x

* Điều kiện: 0  x  1

* Đặt t  x  1  xthì

2

1 )

1 (   t2 

x

x nên pt (1) trở thành:

0 2

thỏa mãn (1)

30

4

9 2

3 ) 1 (

3

x x

* Đặt t  x2  3 x  0thì (1) trở thành:

)) (

5 (

2 0

10 3 3

1 3

2

x

x x

) 1 )(

1 ( 1

b b

b

11

1

TM x

x x

2 2

2 8

8 2

3 2

t

t t

4

x

x x

1 ( 4

) ( 3 0

15 2

2

KTM t

TM t

t

) ( 3

0 3

4 1

x

x x

9 4 2

1 7

) 1 )(

(

1

0

1 1

1

2 2

2 2

2 2

2

x y

x y

y x y

x y

x

y

x

y x y x

y x x

1

2      

x x

0(,0

)(10

2

KTM y

x

TM x

x x

Vậy pt đã cho có nghiệm: 2

5 1 ,

) 1 )(

(

5

0

5 5

5

2 2

2 2

2 2

2

x y

x y

y x y

x y

x

y

x

y x y x

y x x

0 5

2      

x x

Với y  x   1, ta có pt:

2

17 1

0 4

2       

x x

xy x

y

x

y x y

x x y

y x

(

) (

2 2

1

2

1

2 2

3 3 3

1 0

) 1 )(

1 ( 0 1

3

x

x x

x x

x

Vậy pt đã cho có nghiệm: 2

51,

5 3 ) 1 (

3

3

x y

x x

35

Vậy ta có phương trình:

) ( 2

2 0

4 3

5 3

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  x 1 ;   2

Bài tập: Giải các pt sau:

1 1 /

8

1 2

9

/

7

2 2

1

/

6

1 3

4

/

5

1 1 4 1

4

/

4

12 10

3

/

2

3 6 3 3

2 3

2

2 2

2

2 2

x x x x

x x

x

x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x

c Phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp chuyển về hệ với hai ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3  x  6  x  ( 3  x )( 6  x )  3Giải:

0 6

0 3

u x v

x u

khi đó pt được chuyển thành hệ:

) ( 6

3 0

6

0 3

0

0

) (

4

0 3

9 2

) ( 3

2

2

TM x

x x

x v

u

KTM uv

uv uv

v u

uv v

u uv

u x v

x u

Khi đó pt được chuyển thành hệ:

2 1

1 2

) (

3

2 1

v u

uv v

u uv

1

00

00

x

x x

x v

2

uv

v u

(vô nghiệm bởi S2  P4  0)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  0, x  1

v x

v

x u

Khi đó pt được chuyển thành hệ:

) ( 1

) ( 2

2

1

0

0 ) 2 (

1 ) 1 ( 1

2

3

TM x

TM x

TM x

u

u

u

u u u u

u v

u

v

u