CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT ******************** CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Tác giả :Nguyễn Thị Anh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Lý Thường Kiệt Tổ : Toán - Tin Bắc Ninh, tháng 11 năm 2020 Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú vị đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi cịn đối tượng mà người đam mê tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chun đề ''Giải phương trình vơ tỉ'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi THPTQG Trong chuyên đề với thời gian tiết cho phép xin giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ Trong chuyên đề phương pháp có dành nhiều tập cho học sinh tự luyện Tôi hy vọng chuyên đề mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp tốn học qua phương trình vơ tỷ Mặc dù cố gắng nhiều, chuyên đề khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ thầy cô em học sinh để chuyên đề ngày hoàn thiện hơn! Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ PHẦN II- NỘI DUNG CHUN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ I Mục tiêu : Về kiến thức: +/ -Nắm vững dạng cách giải để làm tập +/ Học sinh hiểu vận dụng giải dạng toán liên quan Về kỹ năng: +/ Biết vận dụng pp giải toán để giải tập Thái độ: +/ Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch +/ Tư vấn đề logic, hệ thống +/Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận,chính xác,chăm học tập Các lực hướng tới hình thành phát triển học sinh: + Năng lực tự học: Học sinh xác định đắn động thái độ học tập;tự đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; tự nhận sai sót cách khắc phục sai sót + Năng lực giải quyết vấn đề : Biết tiếp nhận câu hỏi, tập có vấn đề đặt câu hỏi Phân tích tình học tập + Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân trình học tập vào sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho thành viên nhóm, thành viên tự ý thức nhiệm vụ hồn thành nhiệm vụ giao + Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực giao tiếp + Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ nhóm, trách nhiệm thân đưa ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ chủ đề + Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói viết xác ngơn ngữ Tốn học + Năng lực sử dụng công nghệ thông tin truyền thông - Năng lực chuyên biệt: + Năng lực tự học: Đọc trước nghiên cứu chủ đề qua nội dung sách giáo khoa lớp 10 ( Ban bản) + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sử dụng ngôn ngữ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ II CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP KIẾN THỨC 1: PHƯƠNG PHÁP : NÂNG LUỸ THỪA 1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1 Mục tiêu: Tạo tình để học sinh tiếp cận cách giải pt cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân nhóm nhỏ + Chuyển giao: Bài 1: Giải phương trình: x + = x − Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HS : lên bảng trình bày GV : xác hóa lời giải Bài 1: Giải phương trình: x + = x − (1) x − ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x=3   2 x =  x + = (x − 1)  x − 3x = Bài 2: Giải phương trình: x − x + = HD:Ta có: x − x + = ⇔ x + = x x ≥ ⇔ 2 x + = x HD: (1) ⇔  x ≥ ⇔ x − 2x − = x ≥  ⇔   x = −1 ⇔ x =  x =  Từ GV tổng quát hóa dạng Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ 2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC A - LÝ THUYẾT  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥  f ( x) = g ( x)  1/  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x )  f ( x) ≥  f ( x ) + g ( x ) = h( x ) ⇔  g ( x ) ≥   f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) 2/ 3/ 4/ 2n f ( x) = 2n  f ( x) ≥  g ( x) ⇔  g ( x) ≥ (n ∈ N * )  f ( x) = g ( x )   g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔  (n ∈ N * ) 2n f ( x ) = g ( x )  6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) (n ∈ N * ) 5/ 2n 7/ n +1 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) (n ∈ N * ) … B- BÀI TẬP Mục tiêu: HS sử dụng cách giải pt cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs nhóm + Chuyển giao: Bài 3- (mõi nhóm trình bày câu vào bảng phụ sau phút nộp sp) + Các nhóm nhận xét sp chéo Bài 3: Giải phương trình: x + − − x = − x HD: Ta có: x + − − x = − x ⇔ x + = − x + − x 1 − x ≥  ⇔ 1 − x ≥   x + = − x + − x + (1 − x)(1 − x)  x≤    x ≤ ⇔ ⇔ 2 x + ≥ 2 x + = x − 3x + (2 x + 1) = x − x +    Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ  −1 ≤x≤  −1   ≤x≤ 2 ⇔ ⇔ x=0 ⇔ x=0  x + 7x =     x = −7 Bài 4: Giải phương trình: x − − x − = x − ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (1) x − ≥ x − − ( x − 2)( x + 2) = ⇔ x − − x + = HD:ĐK:  PT ( )  x−2 =0 ⇔ ⇔  1− x + =  ( ) x =   x = −17  (2) Kết hợp (1) (2) ta được:x = Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − HD:Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : (1+ 3+ x ) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 Bài 6: Giải phương trình sau: x−7 x−3 −9 = Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ 3/ HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP KT Mục tiêu: Rèn luyện cách giải pt cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân làm giấy, sp thu lại GV chấm sau + Chuyển giao: Bài 1-6 Bài 1:Giải phương trình sau: 1/ x + x − = 13 2/ x + 34 − x − = 3/ x + = − x − 4/ + x x + = x + Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: x − − x = m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm − x + 3x − = 2m + x − x KIẾN THỨC 2: PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ 1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1 Mục tiêu: Tạo tình để học sinh tiếp cận cách giải pt cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân nhóm nhỏ + Chuyển giao: Ví dụ : 2x− x2 + 6x2 − 12x+ = (1) Phân tích : Nếu bình phương vế làm tốn phức tập lên ta làm sau: Đặt : t= 2 x2 − 12 x + ≥ ⇒ t = 6x - 12x + ⇒ 2x− x2 = (1) ⇔ − t2 − t2 + t = ⇔ -t2 + 6t + = t = ⇔ 6x2 − 12 x + = ⇔  t = −1(loaïi)⇔ x2 − x − = ⇔ x = ± 2 2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH VÀ LUYỆN TẬP KT2 Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp cận vài pp đặt ẩn phụ để giải pt vô tỷ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải đặt t = f ( x ) ý điều kiện t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ chứa biến t quan trọng ta giải phương trình theo t việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Bài Giải phương trình: HD:Điều kiện: x ≥ Nhận xét x − x2 − + x + x2 − = x − x − x + x − = 1 Đặt t = x − x − phương trình có dạng: t + = ⇔ t = t x = Thay vào tìm Bài Giải phương trình: x − x − = x + HD:Điều kiện: x ≥ − t2 − Thay vào ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − (t − 5) − = t ⇔ t − 22t − 8t + 27 = 16 ⇔ (t + 2t − 7)(t − 2t − 11) = Đặt t = x + 5(t ≥ 0) x = Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận gái trị t1 = −1 + 2, t3 = + Từ tìm nghiệm phương trình l: x = − vàx = + BT tương tự Bài Giải phương trình sau: x + + x − = HD:Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt y = x − 1( y ≥ 0) phương trình trở thành: y + y + = ⇔ y − 10 y − y + 20 = ( với y ≤ 5) + 21 −1 + 17 (loaïi), y = 2 11 − 17 Từ ta tìm giá trị x = ⇔ ( y + y − 4)( y − y − 5) = ⇔ y = ( )( Bài Giải phương trình sau : x = 2004 + x − − x HD: ĐK: ≤ x ≤ Đặt y = − x phương trình trở thành: 2( 1− y) (y ) + y − 1002 ) = ⇔ y = ⇔ x = Bài Giải phương trình sau : x + x x − = 3x + x HD:Điều kiện: −1 ≤ x < Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − 1 = 3+ x x x Đặt t = x − , ta giải Bài Giải phương trình : x + x − x = x + HD: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: 1   x − ÷+ x − = x x  1± Đặt t= x − , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Bài 7.Giải phương trình: 3x + 21x + 18 + x + x + = HD:Đặt y = x + x + ; y ≥ −5  y=  ⇔ y =1 Phương trình có dạng: 3y + 2y - = ⇔  y =1  x = −1 Với y = ⇔ x + x + = ⇔  Là nghiệm phương trình cho  x = −6 Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải quyết lớp đơn giản, phương trình t lại q khó giải Đặt ẩn phụ đưa hệ:  Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v ( ) 3 3 Bài Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 HD:Đặt y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35  xy ( x + y ) = 30 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau:  3 , giải hệ  x + y = 35 ta tìm ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} Bài Giải phương trình: 629 − x + 77 + x = HD:ĐK: −77 ≤ x ≤ 629  u = 629 − x Đặt   v = 77 + x (u; v ≥ 0) ⇒ u + v = 8, u + v = 706 Đặt t = uv ⇒ t − 128t + 1695 =  t = 15 ⇔ t = 113 Với t = 15 ⇒ x = Với t = 113 ⇒ x = 548 Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Bài Giải phương trình: x3 + x − + x3 + x + = HD:Với điều kiện: x3 + x − ≥ ⇒ x3 + x + > (1)  u = x + x − Đặt  Với v > u ≥ v = x + x + Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình  u+v =3  2 v − u =  u+v =3 u + v = u = ⇔ ⇔ ⇔ v = v − u = (v + u )(v − u ) =  x + x − = ⇔  x + x + =  x3 + x − = ⇔ x + x + = ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 2) = ⇔ x = (do x + x + > ∀x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} Bài Giải phương trình: 18 + x + 64 − x = HD:Với điều kiện  18  x ≥ − 18 64 18 + x ≥ ⇔ ⇔− ≤x≤  64 5 64 − x ≥  x≤   (*) Đặt u = 18 + x , v = 64 − x , với u ≥ 0, v ≥ u = 18 + x Suy  v = 64 − x Phương trình cho tương đương với hệ:  u+v =4 u+v =    2 u + v = 82 ⇔  u + v − 2(uv) = 82  v ≥ 0, v ≥  v ≥ 0, v ≥   ( ) Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S =4   2  S − P − P = 82  P ≥ 0, S ≥   S =4 S =4    ⇒  p − 32 P + 87 = ⇔  P = ∨ P = 29   P≥0 P≥0   ( ) (1) Với S = 4, P = Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 10 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ u v nghiệm phương trình: y =1 y2 − y + = ⇔  y = u = u = ∨ Do ta có:  v =  v = 4  18 + x =  18 + x = ∨ Suy    64 − x =  64 − x =  18 + x = 18 + x = 81 ⇔ ∨ 64 − x = 81  64 − x = 17 63 ⇔x=− ∨x= thoả mãn (*) 5 (2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn u v Vậy phương trình cho có nghiệm là: 17   x1 = −   x = 63  HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ : Với thời gian cho phépbài học dừng lại phương pháp giả pt vô tỷ BÀI TẬP TỔNG HỢP ( BTVN) Bài 3: Giải phương trình sau: x − + 2x − = 3( x − x + 1) = ( x + x − 1) x − + x +1 = x + 48 = x − + x + 35 2( x + 2) = x + x2 − x + = ( 27 x − x + 864 = 10 − x = x b) x − x + x + = −3 x − d) 3x + 15 x + x + x + = c) x − x + = x − x + 12 e) ( x + 4)( x + 1) − x + x + = f) g) x + 3x + − 2 x + x + = − Bài 11: Giải phương trình: x+ (1− x ) x x2 − = = x ( − x2 ) 35 12 3+x 3x + x = x + x + − x Bài 10: Giải phương trình: a) x + x + x + = 12 − x x3 + ) x + 17 − x + x 17 − x = − 10 − x = x − )( x −3 4− x = 9− x x2 + 5x + − 2 x2 + 5x − = h) x + x + 11 = 31 + − x2  ( − x ) −  ( x − 3) ( x + 1) + ( x − 3) Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc  = + − x2  x +1 = −3 x−3 ( 1+ x) 11 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ − x − 2x − x2 − x2 + = 64 x − 112 x + 56 x − = − x Bài 12: Cho phương trình: + x + − x + ( + x ) ( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1)-Kết luận học sinh Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 12 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Qua việc dạy chun đề giải phương trình vơ tỉ hoc sinh 10A8 thấy : -Học sinh khơng ngại gặp dạng tốn giải phương trình vô tỉ -Hoc sinh thấy hứng thú mơn tốn đặc biệt giải phương trình vơ tỉ 2) Bài học kinh nghiệm Từ kết cụ thể rút số kinh nghiệm cho thân cho đồng nghiệp hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ sau - Phương pháp giải phương trình vơ tỉ khơng khó học sinh giỏi, mà điều cần lưu ý giáo viên dạy toán + Cần phân dạng phương trình vơ tỉ, phương pháp giải cụ thể dạng với ví dụ cụ thể + Những dạng tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu gợi mở, giúp kích thích óc sáng tạo học sinh khơng cao siêu trừu tượng + Hướng dẫn em trước giải phương trình cần phân loại dạng tốn, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích tốn tìm hiểu cách giải, phán đốn cách giải, bước giải để em đến lời giải thông minh ngắn gọn + Rèn kĩ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh, thường xun để ý giúp em sửa chữa sai lầm thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ ĐKXĐ + Trên sở làm số tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng tập nhà có nội dụng tương tự mở rộng để em tự giải quyết phương trình vơ tỉ - Nếu có việc làm tin tất em học sinh khơng cịn lúng túng giải phương trình đặc biệt pt vơ tỉ 3) Kết luận Trong chuyên đề cố gắng lựa chọn lượng kiến thức phù hợp với lượng thời gian cho phép Do thời gian có hạn kinh nghiệm cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh sai sót cách trình bày hệ thống tâp đưa hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học mong thầy bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chun đề hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hạp lĩnh , ngày tháng 11 năm 2020 Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Anh Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 13 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Tài liệu tham khảo: - Nâng cao phát triển toán - Tập - Vũ Hữu Bình - Tài liệu chun tốn lớp tập – Vũ Hữu Bình - Các đề thi học sinh giỏi tỉnh thành nước - Báo toán học tuổi trẻ - Toán sơ cấp - Các trang báo mạng toán Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 14 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 15 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 16 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 17 Sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vơ tỉ Giáo viên viết thực - Tạ Văn Đức – THCS Yên Lạc 18