Thông tin tài liệu
LÊ QUANG XE LUYỆN THI d1 = d2 1z + c 2z = d 1y +c z = +b 1x + b 2y + c a b 3y a 2x x+ a3 TOÁN TOÁN CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A Tóm tắt lí thuyết B Một số dạng toán | Dạng Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss | Dạng Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay C Bài tập luyện tập D Bài tập rèn luyện 13 Bài ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 23 A Các dạng tốn ví dụ 23 | Dạng Giải tốn cách lập hệ phương trình 23 | Dạng Ứng dụng giải tốn Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học 24 | Dạng Ứng dụng giải toán kinh tế 26 B Bài tập rèn luyện 27 C Bài tập tự luận 30 Bài A B C BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 45 Bài tập tự luận 45 Bài tập sách giáo khoa 50 Bài tập nâng cao 56 PHẦN I ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BAChûúng ẨNBẬC NHẤT HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A BA ẨN TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hệ phương trình bậc ba ẩn Định nghĩa 1.1 ○ Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát ax + by + cz = d, x, y, z ba ẩn; a, b, c, d hệ số a, b, c không đồng thời không Mỗi ba số (x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn ax0 + by0 + cz0 = d gọi nghiệm phương trình bậc ba ẩn cho ○ Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ gồm số phương trình bậc ba ẩn Mỗi nghiệm chung phương trình gọi nghiệm hệ phương trình cho ○ Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 x, y, z ba ẩn; chữ số lại hệ số Ở đây, phương trình, hệ số , bi , ci (i = 1, 2, 3) phải khác Ví dụ Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (1; 1; 2), (−1; 3; 0) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng 2x − 2y + x = − 2xy + y = x + 3y + 2z = a) x + 2y − 2z = b) 2x + 3y + 5z = −2 c) 2x + 2y + z = − 4x − 7y + z − 4; 3x + y + z = − x + 3y − 2z = −2; Ê Lời giải GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ ba chứa x2 Hệ phương trình câu b) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ chứa xy Hệ phương trình câu c) hệ phương trình bậc ba ẩn ○ Thay x = 1; y = 1; z = vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: + · + · = (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: · + · + = (thỏa mãn); — Phương trình thứ ba: · + + = (thỏa mãn) Vậy (1; 1; 2) nghiệm hệ phương trình ○ Thay x = −1; y = 3; z = vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: (−1) + · + · = (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: · (−1) + · + = 6= (không thỏa mãn) Vậy (−1; 3; 0) nghiệm hệ phương trình B MỘT SỐ DẠNG TỐN Dạng Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa ẩn, sau thay giá trị tìm ẩn vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị ẩn thứ hai, cuối thay giá trị tìm vào phương trình cịn lại để tìm giá trị ẩn thứ ba Ví dụ Giải hệ phương trình x + y + 3z = 10 (1) y − z = (2) 2z = (3) Ê Lời giải Từ phương trình (3) ta có z = Thay z = vào phương trình (2) ta y − = hay y = Thay y = z = vào phương trình (1) ta x + + · = 10 hay x = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (−1; 5; 2) o a) Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, ta đưa hệ hệ đơn giản (thường có dạng tam giác), cách sử dụng phép biến đổi sau đây: ○ Nhân hai vế phương trình hệ với số khác ○ Đổi vị trí hai phương trình hệ ○ Cộng vế phương trình (sau nhân với số khác 0) với vế tương ứng phương trình khác để phương trình có số ẩn THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Từ giải hệ cho Phương pháp gọi phương pháp Gauss b) Hệ phương trình bậc ba ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm có vơ số nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x − 2y + 3z = 10 x − y + 2z = b) 2x + 3y − z = a) 2x + y − z = −1 x + 5y − 4z = 1; x + y + z = 5; Ê Lời giải 2x − y + 3z = c) x + y + 2z = 5x + 2y + 9z = a) Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 x + y + z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−1) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 2y − z = Nhân hai vế phương trình thứ hai với − cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − y + 2z = 3y − 5z = −9 z = Từ phương trình thứ ba, ta có z = Thế vào phương trình thứ hai ta 3y − · = −9 hay y = Thay z = y = vào phương trình đầu tiên, ta x − + · = hay x = Vậy nghiệm hệ phương trình cho (0; 2; 3) b) Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − 2y + 3z = 10 7y − 7z = −18 x + 5y − 4z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−1) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x − 2y + 3z = 10 7y − 7z = −18 7y − 7z = −9 GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Từ hai phương trình thứ hai thứ ba, suy −18 = −9, điều vơ lí Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Đổi chỗ phương trình thứ phương trình thứ hai ta hệ phương trình x + y + 2z = 2x − y + 3z = 5x + 2y + 9z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−2) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình x + y + 2z = −3y − z = −1 5x + 2y + 9z = Nhân hai vế phương trình thứ hệ với (−5) cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình x + y + 2z = −3y − z = −1 −3y − z = −1 Nhận thấy phương trình thứ hai thứ ba hệ giống nhau, ta hệ tương đương dạng hình thang ® x + y + 2z = −3y − z = −1 Rút z theo y từ phương trình thứ hai hệ ta z = −3y + Thế vào phương trình thứ ta x + y + 2(−3y + 1) = hay x = 5y − Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S = {(5y − 1; y; −3y + 1) | y ∈ R} Ví dụ Ba bạn Lan, Anh Khoa chợ mua trái Bạn Lan mua kí cam kí ổi hết 295 nghìn đồng, bạn Khoa mua kí táo kí ổi hết 345 nghìn đồng bạn Anh mua kí táo, kí cam kí ổi hết 355 nghìn đồng Hỏi giá kí loại cam, táo ổi bao nhiêu? Ê Lời giải Gọi x, y, z (nghìn đồng) giá kí loại cam, táo ổi (điều kiện x, y, z ≥ 0) Bạn Lan mua kí cam kí ổi hết 295 nghìn đồng nên ta có 2x + 3z = 295 Bạn Khoa mua kí táo kí ổi hết 345 nghìn đồng nên ta có 4y + z = 345 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN bạn Anh mua kí táo, kí cam kí ổi hết 355 nghìn đồng nên ta có 3x + 2y + z = 355 Do đó, ta có hệ phương trình bậc ba ẩn 2x + 3z = 295 4y + z = 345 3x + 2y + z = 355 Giải hệ phương trình ta x = 50, y = 70 z = 65 Vậy giá kí cam 50 nghìn đồng, giá kí táo 70 nghìn đồng giá kí ổi 65 nghìn đồng Dạng Tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn máy tính cầm tay Ta dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc ba ẩn Sau mở máy, ta thực thao tác sau: ○ Vào chương trình giải hệ phương trình ba ẩn, ấn — Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE — Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU ○ Nhập hệ số để giải hệ phương trình Ví dụ Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ phương trình sau: x − 3y + z = x − y + z = −3 − 2x + y + 2z = c) b) a) 3x + 2y + 3z = 2x − y − 4z = 3; x + 2y − 3z = 2; Ê Lời giải 5x + y − 4z = 3x + 3y − 2z = x − y − z = −1 Vào chương trình giải hệ phương trình ba ẩn, ấn ○ Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE ○ Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU a) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = − = = − = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: = = = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = − = − = = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình x = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình y = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình z = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình (1; 3; −1) GV: LÊ QUANG XE Trang HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN b) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = − = = = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: − = = = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = = − = = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình No Solution Vậy phương trình cho vơ nghiệm c) Nhập hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số phương trình thứ nhất: = = − = = ○ Nhập hệ số phương trình thứ hai: = = − = = ○ Nhập hệ số phương tình thứ ba: = − = − = − = Ấn tiếp phím = , ta thấy hình Infinite Solution Vậy phương trình cho có vơ số nghiệm BÀI TẬP LUYỆN TẬP C Bài Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (−3; 2; −1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x + 2y − 3z = −x+y+z = a) 2x − 3y + 7z = 15 b) 2x + y − 3z = −1 3x − 2z = −7 3x − 4y + z = −3; Ê Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ ba chứa x2 Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x = −3; y = 2; z = −1 vào vế trái phương trình hệ câu c) so sánh với vế phải, ta được: ○ Phương trình thứ nhất: −(−3) + + (−1) = (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ hai: · (−3) + − · (−1) = −1 (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ ba: · (−3) − · (−1) = −7 (thỏa mãn) Vậy (−3; 2; −1) nghiệm hệ phương trình Bài Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) (−1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 4x − 2y + z = x + 2z = a) 4xz − 5y + 2z = −7 b) 2x − y + z = −1 − x + 3y + 2z = 3; 3x − 2y = −7 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 43 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài 26 Bà Hà có tỉ đồng để đàu tư vào cổ phiếu, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng Cổ phiếu sinh lợi nhuận 12%/năm, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng cho lãi suất 8%/năm 4%/năm Bà Hà quy định số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng phải tổng 20% số tiền đầu tư cổ phiếu 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu Bà Hà nên phân bố vốn để nhận 100 triệu đồng tiền lãi từ khoản đầu tư năm đầu tiên? Ê Lời giải Gọi số tiền bà Hà nên đầu tư cổ phiếu, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng x, y, z (triệu đồng) Theo đề ta có: Bà Hà có tỉ đồng nên x + y + z = 1000 Số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng tổng 20% số tiền đầu tư cổ phiếu 10% số tiền đầu tư vào trái phiếu nên z = 20%x + 10%y hay 2x + y − 10z = Số tiền lãi 100 triệu đồng, suy 12%x + 5%y + 4%z = 100 hay 3x + 2y + z = 2500 Do ta có hệ phương trình: x + y + z = 1000 x = 650 2x + y − 10z = ⇔ y = 200 3x + 2y + z = 2500 z = 150 Vậy số tiền bà Hà nên đầu tư vào cổ phiếu, trái phiếu gửi tiết kiệm ngân hàng 650 triệu đồng, 200 triệu đồng, 150 triệu đồng Bài 27 Trên thị trường có ba loại sản phẩm A, B, C với giá sản phẩm tương ứng x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Lượng cung lượng cầu sản phẩm cho bảng đây: Sản phẩm A B C Lượng cung QS A = 4x − y − z − QSB = − x + 4y − z − QSC = − x − y + 4z − Lượng cầu Q D A = −2x + y + z + Q DB = x − 2y + z + Q DC = x + y − 2z − Tìm giá sản phẩm để thị trường cân QS A = Q D A Thị trường cân QSB = Q DB Q S C = Q DC Ê Lời giải 4x − y − z − = −2x + y + z + 6x − 2y − 2z = 14 x = 4, ⇔ − x + 4y − z − = x − 2y + z + ⇔ 2x − 6y + 2z = −8 ⇔ y = 3, 75 − x − y + 4z − = x + y − 2z − 2x + 2y − 6z = z = 2, 75 Vậy giá sản phẩm A, B, C để thị trường cân 4,5 triệu đồng; 3,75 triệu đồng; 2,75 triệu đồng THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 44 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài 28 Vé vào xem kịch có ba mức giá khác thùy theo khu vực ngồi nhà hát Số lượng vé bán doanh thu ba suất diễn cho bảng sau: Suất diễn 10h00-12h00 15h00-17h00 20h00-22h00 Số vé bán Khu vực Khu vực Khu vực 210 152 125 225 165 118 254 186 130 Doanh thu (triệu đồng) 212,7 224,4 252,2 Tìm giá vé ứng với khu vực ngồi nhà hát Ê Lời giải Gọi giá vé ứng với khu vực 1, khu vực2, khu vực x, y, z (triệu đồng) x = 0, 210x + 152y + 125z = 212, Dựa vào bảng ta có hệ phương trình: 225x + 165y + 118z = 22, ⇔ y = 0, z = 0, 254x + 186y + 130z = 252, Vậy giá vé tương ứng với khu vực 1, khu vực 2, khu vực 400 nghìn đồng, 600 nghìn đồng 300 nghìn đồng GV: LÊ QUANG XE Trang 45 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ §3 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP TỰ LUẬN A Bài Giải hệ phương trình sau: x + y + z = a) x + 2y + 3z = 14 ; 3x − 2y − z = −4 2x − 2y + z = b) 3x + 2y + 5z = ; 7x + 3y − 6z = 2x + y − 6z = c) 3x + 2y − 5z = ; 7x + 4y − 17z = 5x + 2y − 7z = d) 2x + 3y + 2z = 9x + 8y − 3z = Ê Lời giải x + y + z = x + y + z = x + y + z = x = a) x + 2y + 3z = 14 ⇔ 2x + y = ⇔ 2x + y = ⇔ y = 3x − 2y − z = −4 4x − y = x=1 z=3 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y; z = (1; 2; 3) 79 x= 55 2x − 2y + z = 2x − 2y + z = 2x − 2y + z = 178 Vậy hệ phương b) 3x + 2y + 5z = ⇔ 7x − 12y = 23 ⇔ 7x − 12y = 23 ⇔ y = − 165 7x + 3y − 6z = 19x − 9y = 37 − 55x = −79 z = 32 33 ã Å 79 178 32 ;− ; trình có nghiệm (x; y; z) = 55 165 33 x = x0 2x + y − 6z = 2x + y − 6z = 25 − 8x0 c) 3x + 2y − 5z = ⇔ − 8x − 7y = −25 ⇔ y = (x0 ∈ R) − 8x − 7y = −25 7x + 4y − 17z = z = 6x0 + 18 Å 42 ã 25 − 8x0 6x0 + 18 Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm dạng x; y; z = x0 ; ; (x0 ∈ R) 42 5x + 2y − 7z = 5x + 2y − 7z = 5x + 2y − 7z = d) 2x + 3y + 2z = ⇔ 24x + 25y = 61 ⇔ 24x + 25y = 61 9x + 8y − 3z = − 48x − 50y = 11 0x + 0y = 133 Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài Tìm số thực A, B C thỏa mãn x3 A Bx + C = + x+1 x −x+1 +1 Ê Lời giải THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 46 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Ta có: A Bx + C + = x+1 x −x+1 = Vì x3 A x2 − x + + (Bx + C) (x + 1) (x + 1) x2 − x + (A + B) x2 + (− A + B + C) x + A + C x3 + 1 A Bx + C = + nên ta suy x+1 x −x+1 +1 Vậy A = , B = − C = 3 A= A + B = −A+B+C = ⇔ B = − A+C = C = Bài Tìm parabol y = ax2 + bx + c trường hợp sau: a) Parabol qua ba điểm A (2; −1) , B (4; 3) C (−1; 8) b) Parabol nhận đường thẳng x M(1; 0), N(5; −4) = làm trục đối xứng qua hai điểm Ê Lời giải 4a + 2b + c = −1 a) Parabol qua ba điểm A(2; −1), B(4; 3) C(−1; 8) nên ta có hệ: 16a + 4b + c = a−b+c = Giải hệ ta a = 1, b = −4, c = Vậy parabol cần tìm y = x2 − 4x + b) Parabol nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng qua hai điểm M(1; 0), N(5; −4) nên b − = 5a + b = 2a ⇔ a+b+c = ta có hệ: a + b + c = 25a + 5b + c = −4 25a + 5b + c = −4 Giải hệ ta a = −1, b = c = −4 Vậy parabol cần tìm y = − x2 + 5x − Bài Trong mặt phẳng tọa độ, viết phương trình đường trịn qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) C(4; 1) Ê Lời giải x2 + y2 Phương trình đường trịn có dạng: − 2ax − 2by + c = Đường tròn qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) C(4; 1) nên ta có hệ: GV: LÊ QUANG XE Trang 47 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 2 + − 2.0.a − 2.1.b + c = − 2b + c = − a = 2 + − 2.2.a − 2.3.b + c = ⇔ − 4a − 6b + c = −13 ⇔ b = c=1 − 8a − 2b + c = −17 + 12 − 2.4.a − 2.1.b + c = Vậy phương trình đường trịn cần tìm x2 + y2 − 4x − 2y + = Bài Một đoàn xe chở 225 gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt Đồn xe có 36 gồm loại: xe chở tấn, xe chở xe chở 10 Biết tổng số hai loại xe chở nhiều gấp ba lần số xe chở 10 Hỏi loại xe có chiếc? Ê Lời giải Gọi x, y, z số xe chở tấn, xe chở xe chở 10 (x, y, z ∈ N; < x, y, z < 36) x + y + z = 36 Theo đề ta có hệ phương trình: x + y = 3z 5x + 7y + 10z = 255 Giải hệ ta được: x = 12, y = 15, z = Vậy đoàn xe có 12 xe loại tấn, 15 xe loại xe loại 10 Bài Bác An chủ cửa hàng kinh doanh cà phê cho người sành cà phê Bác có ba loại cà phê tiếng Việt Nam: Arabica, Robusta Moka với giá bán 302 nghìn đồng/kg, 280 nghìn đồng/ kg 260 nghìn đồng/ kg Bác muốn trộn ba loại cà phê để hỗn hợp cà phê, sau đóng thành gói 1kg, bán với giá 300 nghìn đồng/ kg lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta gói Hỏi bác cần trộn ba lồi cà phê theo tỉ lệ nào? Ê Lời giải Gọi x, y, z tỉ lệ pha trộn cà phê Arabica, Robusta Moka (0 ≤ x, y, z ≤ 1) x + y + z = Theo đề ta có hệ phương trình: z = 2y 320x + 280y + 260z = 300 Giải hệ ta được: x = , y = , z = · 8 Vậy tỉ lệ pha trộn cà phê Arabica, Robusta Moka , · 8 Bài Bác Việt có 12 đất canh tác để trồng ba loại cây: ngô, khoai tây đậu tương Chi phí trồng ngô triệu đồng, khoai tây triệu đồng đậu tương 4, triệu đồng Do nhu cầu thị trường, bác trồng khoai tây phần diện tích gấp đơi diện tích trồng ngơ Tổng chi phí trồng loại 45, 25 triệu đồng Hỏi diện tích trồng loại bao nhiêu? Ê Lời giải Gọi diện tích trồng ngơ, khoai tây, đậu tương x, y, z(ha) Điều kiện < x < 12, < y < 12, < z < 12 x + y + z = 12 Từ kiện toán ta lập hệ phương trình: y = 2x 4x + 3y + 4, 5z = 45, 25 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 48 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN x = 2, Giải hệ ta có y = z = 4, Vậy diện tích trồng ngơ, khoai tây, đậu tương bác Việt là: 2, 5(ha), 5(ha), 4, 5(ha) Bài Cân phương trình phản ứng hóa học sau FeS2 + O2 → Fe2O3 + SO2 Ê Lời giải Gọi x, y, z, t hệ số cân đứng trước FeS2 , O2 , Fe2O3 , SO2 Khi phương trình phản ứng có dạng xFeS2 + yO2 → zFe2O3 + tSO2 Vì số nguyên tử Fe, S, O trước sau phản ứng nên ta có hệ phương trình z= x x = 2z 2x = t ⇔ t = 2x 2y = 3z + 2t y = 11 x Chọn x = ta có y = 11, z = 2, t = Suy ta cân phương trình hóa học sau 4FeS2 + 11O2 → 2Fe2O3 + 8SO2 Bài Bạn Mai có ba lọ dung dịch chứa loại acid Dung dịch A chứa 10%, dung dịch B chứa 30% dung dịch B chứa 50% Bạn Mai lấy từ lọ dung dịch hòa với để có 50g hỗn hợp chứa 32% acid lượng dung dịch loại C lấy nhiều gấp đôi dung dịch loại A Tính lượng dung dịch loại bạn Mai lấy Ê Lời giải Gọi lượng dung dịch loại A, B, C mà Mai lấy x, y, z (0 < x, y, z < 50) Theo x + y + z = 50 x + y + z = 50 ta có hệ phương trình: z = 2x ⇔ z = 2x x + y + z = 32 50 x + y + z = 16 10 10 10 100 10 10 10 x = Giải hệ ta có y = 35 z = 10 Vậy dung dịch loại A, B, C mà Mai lấy là: 5(g), 35(g), 10(g) Bài 10 Cho đoạn mạch hình vẽ GV: LÊ QUANG XE Trang 49 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ R1 I1 R2 I2 I3 R3 U Biết R1 = 36Ω, R2 = 45Ω, I3 = 1, 5A cường độ dịng điện mạch hiệu điện hai hai đầu đoạn mạch U = 60V Gọi I1 , I2 cường độ dịng điện mạch rẽ Tính I1 , I2 R3 Ê Lời giải Gọi U1 , U2 , U3 , U12 hiệu ® điện hai đầu R1 , R2 , R3 đoạn mạch mắc song song U1 = U2 = U12 Khi từ sơ đồ mạch điện ta có: (∗) U12 + U3 = 60 R R2 36.45 Vì R1 , R2 mắc song song nên R12 = = = 20 R1 + R 36 + 45 Mặt khác I12 = I3 = 1, 5( mắc nối tiếp), suy U12 = I12 R12 = 1, 5.20 = 30 30 U I1 = = = R1 36 ® U1 = U2 = U12 = 30 U 30 Theo (∗) ta suy ⇒ I1 = = = R2 45 U3 = 60 − U12 = 30 30 U R3 = = = 20 I3 1, I = (A) Vậy I1 = (A) R3 = 20 (Ω) Bài 11 Giải toán dân gian sau Em chợ phiên Anh gửi tiền Cam, n, qt Khơng nhiều Mua đủ trăm Cam ba đồng Quýt đồng năm Thanh yên tươi tốt Năm đồng trái Hỏi thứ mua trái, biết tiền 60 đồng? THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 50 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Ê Lời giải Gọi số cam, quýt, yên là: x,y, z (quả), (x, y, z ∈ N∗ , x, y, z < 100) x + y + z = 100 (1) Theo đề ta lập hệ phương trình: 3x + y + 5z = 60 (2) Từ (1) , ® (2) suy ra: 7x + 12z = 100 ⇔®7 (x − 16) = −12 (z + 1) x = −12k + 16 x − 16 = −12k Vì (k ∈ Z) ⇔ z = 7k − z + = 7k Để x, z nguyên dương k = từ tìm x = 4, y = 90, z = Vậy có cam, 90 quýt yên BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA B Bài Trong cácÅhệ phươngãtrình sau, hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số 1 (−1; 0; 1), ; − ; −1 có nghiệm hệ phương trinh bậc ba ẩn khơng? 2 2x − y + z = − 4x − 2y + z = 3x − 2y + zx = a) − x + 2y = ; b) 8x + 3z = ; c) xy − y + 2z = 3y − 2z = −2 − 6y + 2z = x + 2y − 3yz = −2 Ê Lời giải a) b) hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình hệ phương trình a) b) có dạng ax + by + cz = d a2 + b2 + c2 > c) khơng phải phương trình bậc ba ẩn chứa ẩn zx, xy, yz ◦ Bộ ba số (−1; 0; 1) nghiệm hệ a) thay số vào phương trình a) chúng có nghiệm Thật vậy, 2Å· (−1) − +ã1 = −1, −(−1) + · = 1, · − · = −2 1 ; − ; −1 không nghiệm hệ a) thay số vào phương trình thứ ◦ Bộ ba số 2 Å ã 1 hệ ta · − − + (−1) = −1, đẳng thức sai 2 ◦ Bộ ba số (−1; 0; 1) khơng nghiệm hệ b) thay số vào phương trình thứ hệ ta Å4 · (−1) − 2ã· + = 2, đẳng thức sai 1 ◦ Bộ ba số ; − ; −1 nghiệm hệ b) thay số vào phương trình chúng 2 có nghiệm Å ã Å ã 1 1 Thật vậy, · − − + (−1) = 2, · + · (−1) = 1, −6 − + · (−1) = 2 2 Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x − 2y + z = 3x − 2y − 4z = a) − y + z = ; b) 4x + 6y − z = 17 ; y + 2z = x + 2y = Ê Lời giải x + y + z = c) 3x − y − z = x + 5y + 5z = −1 GV: LÊ QUANG XE Trang 51 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ x − · (−1) + = x − 2y + z = x − 2y + z = x − 2y + z = a) − y + z = ⇔ − y + z = ⇔ − y + = ⇔ y = −1 z=1 z = 3z = y + 2z = x = ⇔ y = −1 z=1 Vậy (0; −1; 1) có nghiệm là hệ phương trình cho ® 3x − 2y − 4z = 3x − 2y − 4z = 3x − 2y − 4z = 3x − 2y − 4z = ⇔ b) 4x + 6y − z = 17 ⇔ − 13x − 26y = −65 ⇔ x + 2y = x + 2y = x + 2y = x + 2y = x + 2y = Từ phương trình thứ hai ta có x = −2y + 5, thay vào phương trình thứ ta z = −2y + Vậy 3) (−2y + 5; y; −2y + có vơ số nghiệm dạng hệ phương trình cho x + y + z = x + y + z = x + y + z = x + y + z = ⇔ 4y + 4z = −1 ⇔ 4y + 4z = −1 ⇔ 4y + 4z = −1 c) 3x − y − z = 0y + 0z = − 4y − 4z = x + 5y + 5z = −1 x + 5y + 5z = −1 Vì phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm nên hệ cho vơ nghiệm Bài Tìm phương trình parabol (P) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0), biết: a) Parabol (P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x = −2; x = qua điểm M(−1; 3); b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ y = −2 hàm số đạt giá trị nhỏ −4 taii x = Ê Lời giải a) (P) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x = −2; x = nên ta có hệ hai phương trình bậc ba ẩn: ® ® a · (−2)2 + b · (−2) + c = 4a − 2b + c = (1) ⇔ a + b + c = (2) = a · 12 + b · + c = (P) qua điểm M(−1; 3) nên = a · (− 1)2 + b · (−1) + c ⇔ a − b + c = (3) 4a − 2b + c = Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: a + b + c = a−b+c = 3 Giải hệ ta a = − , b = − , c = 2 3 Vậy phương trình (P) y = − x − x + 2 b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ = −2 nên a · 02 + b · + c = −2 hay c = −2 (1) Hàm số đạt giá trị nhỏ −4 x = nên ® − b = 4a + b = (2) 2a ⇔ 4a + 2b + c = −4 (3) a · 22 + b · + c = − c = −2 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình 4a + b = 4a + 2b + c = −4 THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 52 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Giải hệ ta a = , b = −2, c = −2 Vậy phương trình (P) y = x2 − 2x − 2 Bài Một viên lam ngọc hai viên hoàng ngọc trị giá gấp lần viên ngọc bích Cịn bảy viên lam ngọc viên hoàng ngọc trị giá gấp lần viên ngọc bích Biết giá tiền ba viên ngọc 270 triệu đồng Tính giá tiền viên ngọc Ê Lời giải Gọi giá tiễn viên lam ngọc, hồng ngọc, ngọc bích x, y, z (triệu đồng) Điều kiện: < x, y, z < 270 Theo đề ta có: ◦ Một viên lam ngọc hai viên hoàng ngọc trị giá gấp lần viên ngọc bích, suy x + 2y = 3z hay x + 2y − 3z = (1) ◦ Bảy viên lam ngọc viên hoàng ngọc trị giá gấp lần viên ngọc bích, suy 7x + y = 8z hay 7x + y − 8z = (2) ◦ Giá tiền ba viên ngọc 270 triệu đồng , suy x + y + z = 270 (3) x + 2y − 3z = Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình 7x + y − 8z = x + y + z = 270 Giải hệ ta x = 90, y = 90, z = 90 Vậy giá tiền viên ngọc 90 triệu đồng Bài Bốn ngư dân góp vốn mua chung thuyền Số tiền người đóng góp nửa tổng số tiền người cịn lại Người thứ hai đóng góp tổng số tiền người cịn lại Người thứ ba đóng góp tổng số tiền người lại Người thứ tư đóng góp 130 triệu đồng Chiếc thuyền mua giá bao nhiêu? Ê Lời giải Gọi số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đóng góp x, y, z (triệu đồng) Điều kiện: x, y, z > Theo đề ta có: ◦ Số tiền người đóng góp nửa tổng số tiền người lại, suy x = (y + z + 130) hay 2x − y − z = 130 (1) 1 ◦ Người thứ hai đóng góp tổng số tiền người lại, suy y = (x + z + 130) 3 hay − x + 3y − z = 130 (2) 1 ◦ Người thứ ba đóng góp tổng số tiền người lại, suy z = (x + y + 130) 4 hay − x − y + 4z = 130 (3) 2x − y − z = 130 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình − x + 3y − z = 130 − x − y + 4z = 130 Giải hệ ta x = 200, y = 150, z = 120 Suy tổng số tiền 200 + 150 + 120 + 130 = 600 (triệu đồng) Vậy thuyền mua với giá 600 triệu đồng GV: LÊ QUANG XE Trang 53 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ Bài Một quỹ đầu tư dự kiến dành khoản tiền 1, tỉ đồng để đầu tư vào cồ phiếu Để thấy mức độ rủi ro, cổ phiếu phân thành ba loại: rủi ro cao, rủi ro trung bình rủi ro thấp Ban Giám đốc quỹ ước tính cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình rủi ro thấp có lợi nhuận năm 15%, 10% 6% Nếu đặt mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình 9% /năm tổng số vốn đầu tư, quỹ nên đầu tư tiền vào loại cổ phiếu? Biết rằng, để an toàn, khoản đầu tư vào cổ phiếu rủi ro thấp gấp đôi tổng khoản đầu tư vào cổ phiếu thuộc hai loại lại Ê Lời giải Gọi số tiền nên đầu tư vào loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình rủi ro thấp x, y, z (tỉ đồng) Điều kiện: ≤ x, y, z ≤ 1, Theo đề ta có: ◦ Tổng số tiền đầu tư 1, tỉ đồng, suy x + y + z = 1, (1) ◦ Mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình 9% /năm tổng số vốn đầu tư, suy 15%x + 10%y + 6%z = 9% · 1, hay 15x + 10y + 6z = 10, (2) ◦ Khoản đầu tư vào cổ phiếu rủi ro thấp gấp đôi tổng khoản đầu tư vào cổ phiếu thuộc hai loại lại, suy z = 2(x + y) hay 2x + 2y − z = (3) x + y + z = 1, Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình 15x + 10y + 6z = 10, 2x + 2y − z = Giải hệ ta x = 0, 4, y = 0, z = 0, Vậy số tiền nên đầu tư vào loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình rủi ro thấp 0, tỉ đồng, đồng, 0, tỉ đồng Bài Ba loại tế bào A, B, C thực số lần nguyên phân 3, 4, tổng số tế bào tạo 216 Biết chưa thực nguyên phân, số tế bào loại C trung bình cộng số tế bào loại A loại B Sau thực nguyên phân, tổng số tế bào loại A loại B tạo số tế bào loại C tạo 40 Tính số tế bào loại lúc ban đầu Ê Lời giải Gọi số tế bào ban đầu loại A, B, C x, y, z Điều kiện: x, y, z ∈ Z+ , < x, y, z < 216 Theo đề ta có: ◦ Ba loại tế bào A, B, C thực số lần nguyên phân 3, 4, 5, suy số tế bào mối loại A, B, C 23 x, 24 y, 25 z hay 8x, 16y, 32z ◦ Tổng số tế bào tạo 216 , suy 8x + 16y + 32z = 216 hay x + 2y + 4z = 27 (1) ◦ Khi chưa thực nguyên phân, số tế bào loại C trung bình cộng số tế bào loại A loại B, suy z = (x + y) hay x + y − 2z = (2) ◦ Sau thực nguyên phân, tổng số tế bào loại A loại B tạo số tế bào loại C tạo 40, suy 8x + 16y = 32z − 40 hay x + 2y − 4z = −5 (3) x + 2y + 4z = 27 Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình x + y − 2z = x + 2y − 4z = −5 Giải hệ ta x = 5, y = 3, z = Vậy số tế bào ban đầu loại A, B, C 5, THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 54 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài Cho sơ đồ mạch điện Hình Biết R = R1 = R2 = Ω Hãy tính cường độ dịng điện I, I1 I2 I1 R1 I2 R2 I 4V R Ê Lời giải Điều kiện: I, I1 , I2 > Tổng cường độ dòng điện vào vào điểm B nên ta có I = I1 + I2 (1) Hiệu điện hai điểm A C tính bởi: U AC = IR + I1 R1 = 5I + 5I1 , suy 5I + 5I1 = (2) Hiệu điện hai điểm B C tính bởi: UBC = I1 R1 = I2 R2 , suy 5I1 = 5I2 hay I1 = I2 (3) I − I1 − I2 = Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình 5I + 5I1 = I1 − I2 = 4 Giải hệ ta I = , I1 = , I2 = 15 15 15 Bài Cho A, B C ba dung dịch loại acid có nồng độ khác Biết trộn ba dung dịch loại 100 ml dung dịch nồng độ 0, M (mol/lít); trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B dung dịch nồng độ 0, M; trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C dung dịch nồng độ 0, M Mỗi dung dịch A, B C có nồng độ bao nhiêu? Ê Lời giải Gọi nồng độ dung dịch A, B, C x, y, z (M) Điều kiện: x, y, z > Theo đề ta có: 0, 1x + 0, 1y + 0, 1z ◦ Nếu trộn ba dung dịch loại 100 ml dung dịch nồng độ 0, M, suy = 0, + 0, + 0, 0, hay x + y + z = 1, (1) ◦ Nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B dung dịch nồng độ 0, M, suy 0, 1x + 0, 2y = 0, hay x + 2y = 1, (2) 0, + 0, ◦ Nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C dung dịch nồng độ 0, M, suy 0, 1y + 0, 2z = 0, hay y + 2z = 0, (3) 0, + 0, x + y + z = 1, Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình x + 2y = 1, y + 2z = 0, GV: LÊ QUANG XE Trang 55 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ Giải hệ ta x = 0, 4, y = 0, 7, z = 0, Vậy nồng độ dung dịch A, B, C 0, M; 0, M; 0, M Bài 10 Xăng sinh học E5 hỗn hợp xăng khơng chì truyền thống cồn sinh học (bio – ethanol) Trong loại xăng chứa 5% cồn sinh học Khi động đốt cháy lượng cồn xảy phản ứng hoá học t◦ C2 H6O + O2 −→ CO2 + H2O Cân phương trình hố học Ê Lời giải Gọi x, y, z, t bốn hệ số nguyên dương thoả mãn cân phương trình phản ứng hố học: t◦ xC2 H6O + yO2 −→ zCO2 + tH2O Điều kiện: x, y, z ∈ Z+ Số nguyên tử C hai vế nhau, ta có 2x = z (1) Số nguyên tử H hai vế nhau, ta có 6x = 2t hay 3x = t (2) Số nguyên tử O hai vế nhau, ta có x + 2y = 2z + t (3) Thay (1) (2) vào (3) ta x + 2y = · 2x + 3x hay y = 3x Vậy y = 3x, z = 2x, t = 3x Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, y = 3, z = 2, t = t◦ Vậy phương trình cân phản ứng hóa học C2 H6O + 3O2 −→ 2CO2 + 3H2O Bài 11 Trên thị trường hàng hố có ba loại sản phẩm A, B, C với giá tương ứng x, y, z (đơn vị: triệu đồng, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) Lượng cung lượng cầu sản phẩm cho bảng đây: Sản phẩm A B C Lượng cung QS A = −60 + 4x − 2z QSB = −30 − x + 5y − z QSC = −30 − 2x + 3z Lượng cầu Q D A = 137 − 3x + y Q DB = 131 + x − 4y + z Q DC = 157 + y − 2z Tìm giá sản phẩm để thị trường cân Ê Lời giải QS A = Q D A Thị trường cân QSB = Q DB Q S C = Q DC − 60 + 4x − 2z = 137 − 3x + y 7x − y − 2z = 197 x = 54 ⇔ − 30 − x + 5y − z = 131 + x − 4y + z ⇔ 2x − 9y + 2z = −161 ⇔ y = 45 − 30 − 2x + 3z = 157 + y − 2z 2x + y − 5z = −187 z = 68 Vậy giá sản phẩm A, B, C 54, 45 68 triệu đồng Bài 12 Giải toán cổ sau: Trăm trâu, trăm cỏ THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131 Trang 56 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già? Ê Lời giải Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu giàlần lượt x, y, z (x, y, z ∈ Z+ ) x + y + z = 100 Theo đề ta có hệ phương trình: (∗) 5x + 3y + z = 100 − 300 + 4z 4z ® x = x = − 100 x + y = 100 − z 3 (∗) ⇔ ⇔ ⇔ 15x + 9y = 300 − z y = 600 − 7z y = 200 − −7z 3 4z Vì x > nên − 100 > ⇒ z > 75 −7z Vì y > nên 200 − > ⇒ z < 85 Mà z ∈ Z+ nên z ∈ {76; 77; ; 84} 4z − 100 ∈ Z+ , suy z ⇒ z ∈ {78; 81; 84} Lại có x ∈ Z+ nên ◦ Với z = 78 x = 4, y = 18 ◦ Với z = 81 x = 8, y = 11 ◦ Với z = 84 x = 12, y = Vậy số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự ba số (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84) BÀI TẬP NÂNG CAO C Bài Trong phân tử M2 X có tồng số hạt p, n, e 140, số hạt mang điện nhiều số hạt không mang điện 44 hạt Số khối M lớn số khối X 23 Tổng số hạt p, n, e nguyên tử M nhiều nguyên tử X 34 hạt Công thức phân từ M2 X Ê Lời giải Gọi số hạt p, n, e nguyên tử M X p M , n M , e M ; p X , n X , eX Trong phân tử M2 X có tồng số hạt p, n, e 140 nên ta có phương trình 2(p M + n M + e M ) + (p X + n X + eX ) = 140 ⇔ 2(2p M + n M ) + (2p X + n X ) = 140 ⇔ 4p M + 2n M + 2p X + n X = 140 (1) Số hạt mang điện nhiều số hạt khơng mang điện 44 hạt nên ta có phương trình 4p M − 2n M + 2p X − n X = 44 (2) Số khối M lớn số khối X 23 nên ta có phương trình (p M + n M ) − (p X + n X ) = 23 ⇔ p M + n M − p X − n X = 23 (3) Tổng số hạt p, n, e nguyên tử M nhiều nguyên tử X 34 hạt nên ta có phương trình (2p M + n M ) − (2p X + n X ) = 34 ⇔ 2p M + n M − 2p X − n X = 34 (4) GV: LÊ QUANG XE Trang 57 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ Từ (1), (2), (3) (4) ta có hệ phương trình 4p M + 2n M + 2p X + n X = 140 4p M + 2n M + 2p X + n X = 140 8p + 4p = 184 4p − 2n + 2p − n = 44 M X M M X X ⇔ 5p M + 3n M + p X = 163 p M + n M − p X − n X = 23 6p M + 3n M = 174 2p M + n M − 2p X − n X = 34 p M = 13 4p M + 2n M + 2p X + n X = 140 n = 20 p = 13 M M ⇔ ⇔ pX = n M = 20 nX = pX = Khi M K, X O Vậy công thức phân tử M2 X K2O Bài Tìm hệ số x, y, z để cân phương trình sau: xNa2 SO3 + 2KMnO4 + yNaHSO4 −→ zNa2 SO4 + 2MnSO4 + K2 SO4 + 3H2O Ê Lời giải Số nguyên tử Na hai vế nhau, ta có 2x + y = 2z hay 2x + y − 2z = (1) Số nguyên tử S hai vế nhau, ta có x + y = z + hay x + y − z = (2) Số nguyên tử O hai vế nhau, ta có 3x + 4y + = 4z + 15 hay 3x + 4y − 4z = (3) Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình 2x + y − 2z = x+y−z = 3x + 4y − 4z = Giải hệ phương trình ta x = 5, y = 6, z = Vậy phương trình cân phản ứng hóa học 5Na2 SO3 + 2KMnO4 + 6NaHSO4 −→ 8Na2 SO4 + 2MnSO4 + K2 SO4 + 3H2O THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
Ngày đăng: 07/07/2023, 14:34
Xem thêm:
