VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm ax by c - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: / / / a x b y c Cách giải - Một số dạng tốn hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp cộng đại số 3 x y 3 x 2(5 x) 2 x y y 2x 3 x 10 x 7 x 14 y 2x y 2x x x y 2.2 y 3 x y 3 x y 7 x 14 2 x y 4 x y 10 2 x y x x 2.2 y y Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) nghiệm (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x y 6 x y 1) 2 x y 4 x y 10 2) x (1 ) y 5) (1 ) x y 3 x y 5 x y 14 3) 0,2 x 0,1 y 0,3 6) 3 x y Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 x y 3 x y 14 4) x 7) y x y 10 (3 x 2)(2 y 3) xy (4 x 5)( y 5) xy 2) 3) (2 x 3)(2 y 4) x( y 3) 54 ( x 1)(3 y 3) y ( x 1) 12 y 27 y 5x 5 2x 4) x y y 5x 1 ( x 2)( y 3) xy 50 5) xy ( x 2)( y 2) 32 2 6) 1) 2( x y ) 3( x y ) ( x y ) 2( x y ) ( x 20)( y 1) xy ( x 10)( y 1) xy ThuVienDeThi.com Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1 1 x y 12 1) 15 x y x y y 2x 2) 1 x y y x 3x x 1 y 3) 2x x y 3 x y 16 x y 18 x y 13 4) 5) 6) 3 x y 6 3 x y 10 2 x y 11 5 x y 2( x x) y 7) 8) 3( x x) y 7 2 x x y y 13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b hệ vơ nghiệm ii) Nếu a (1) x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm mx y 2m(1) 4 x my m 6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m m2 m2 m 2m m Khi y = Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 i) Nếu m2 – hay m x = ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm 2m m ;) m2 m2 - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R Vậy: - Nếu m hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y 3m mx y 10 m 2) x my m x my x my m x my 3m 4) 5) mx y m mx y m 1) (m 1) x my 3m 2 x y m 3) 2 x y m 6) mx y (m 1) ThuVienDeThi.com DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx y m 2 x my 2m HD Giải: 2mx y 2m mx y m 2 2 x my 2m 2mx m y 2m m (m 4) y 2m 3m (m 2)(2m 1) 2 x my 2m để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm (m 2)(2m 1) 2m y m2 m2 m 4 x m m2 m2 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m 1) x y m 2 m x y m m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx (m 1) y m n (m 2) x 3ny 2m HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + 3 ThuVienDeThi.com HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia b a a b f( ) 0 3 8 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 f (3) 18a 3b hết cho ax + b f(- ) = d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f (2) 4a 2b a 1 f (1) a b 4 b Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương 2 a b a 1 a b b trình Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3 x y x 0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25) x y y 1,25 nghiệm hệ phương trình: Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx y x my Cho hệ phương trình: Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 =3 m 4 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m - Giải hệ phương trình theo m ThuVienDeThi.com 8m y mx y (m 4) y 8m mx y m 4 x my mx m y 8m x my x 9m 32 m2 9m 32 8m - Thay x = ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 38 2 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx y 10 m (m tham số) x my Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m 1) x my 3m 2 x y m Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x y 2 x y m Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx y x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = ThuVienDeThi.com b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm Bài 5: x my mx y Cho hệ phương trình: a) b) c) d) Giải hệ phương trình m = Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m 3 Bài 6: mx y 3x my Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x y m2 m2 Bài 7: 3 x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = a) b) c) d) ThuVienDeThi.com ... luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình. .. = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác... hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x y m2 m2 Bài 7: 3 x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình