Đang tải... (xem toàn văn)
Lưu ý: Với hệ phương trình bậc nhất chứa tham số ta vẫn giải như hệ phương trình bậc nhất khi có đầy đủ các hệ số nhưng lưu ý khi chia hai vế cho đại lượng nào đó thì đại lượng đó khác[r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Giải hệ phương trình bậc hai ẩn:
1 1
2 2
1
a x b y c I
a x b y c
a Phương pháp thế:
Bước 1: Từ phương trình hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).
Bước 2: Thế biểu thức tìm x (hoặc y) vào phương trình cịn lại để phương trình bậc ẩn Giải phương trình bậc vừa tìm
Bước 3: Thay giá trị vừa tìm ẩn vào biểu thức tìm bước thứ để tìm giá trị của ẩn lại
b Phương pháp cộng đại số:
Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường x (hoặc y). Bước 2:
- Xem xét hệ số ẩn muốn khử.
- Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ.
- Khi hệ số ẩn bằng nhau ta trừ theo vế hệ.
- Nếu hệ số khơng nhau ta nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số x (hoặc y) hai phương trình hệ đối (đồng nhất hệ số) Rồi thực bước
- Ta phương trình mới, ẩn muốn khử có hệ số 0.
Bước 3: Giải hệ phương trình gồm phương trình (một ẩn) phương trình cho. Ta suy nghiệm hệ
* Đối với số toán ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình cho
thành hệ phương trình đơn giản với ẩn mới.
Sau tìm nghiệm hệ phương trình mới, ta tìm nghiệm hệ phương trình ban đầu. * Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:
Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn
Nếu hệ phương trình theo thứ tự
1 1
2 2
1
a x b y c a x b y c
Ta nhập số liệu tương ứng:
Hàng thứ nhất: a1; b1 ; c1 và hàng thứ hai: a2 ; b2 ; c2
(2)B.CÁC DẠNG TOÁN I PHƯƠNG PHÁP THẾ
Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp giải
Thực theo hai bước
Bước 1. Từ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ có ẩn)
Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1)
Ví dụ: Giải hệ phương trình :2
3
x y I
x y
phương pháp
Hướng dẫn giải
Ta có 3 2
3
3
y x
y x
I
x x
x y
9 5
y x y x
x x
1
y x y
x x
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 1;1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2
x y x y
phương pháp
Hướng dẫn giải
Ta có 3
2 3
2 4
x y
x y x y
y y
x y x y
6 2
x y x y x
y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 1;
Lưu ý: Trong phương pháp lựa chọn rút x theo y hay rút y theo x nên cố gắng chọn các phương trình cho liên hệ y x, có hệ số nguyên
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 3
4
x y x y
phương pháp
(3)Ta có
3
3 4 2
2 3
4 5
4
4
2
y x
x y y x y x
x y x y
x x
x y
3 3
3
2 2
1
2 2
2
9 1
2
4 6
2 2
y x y x y x
y
y x
x x
x x x x
Vậy hệ phương trình 3
4
x y x y
có nghiệm x y; 2;1
Lưu ý: Nếu lựa chọn phương trình để liên hệ y x, có hệ số ngun sẽ lựa chọn phương trình để liên hệ y x, dễ biến đổi
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Giải hệ phương trình 3
4
x y x y
phương pháp
Câu 2: Giải hệ phương trình
3 11
x y x y
phương pháp
ĐÁP ÁN Câu 1:
34 58 4 32 32 3 4 310
y x
x y y x y x
x x
x y x y x x
10 2 1
y x y x y x y
x x x x
Vậy hệ phương trình 3
4
x y x y
nhận x y; 1; nghiệm
Câu 2:
3
2 4 2
2 3
3 11 11
3 11
3 11
2
x y
x y x y x y
x y x y
y y
x y
3
3
2
1
2
2
9 17
2
6 11 17
2
x y x y
x
x y
y y
y y y
Vậy hệ phương trình
3 11
x y x y
(4)Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp Phương pháp giải
Thực theo bước sau
Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ phương trình phương trình bậc hai ẩn
Bước 2: Giải hệ phương trình phương pháp
Bước 3: Kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3
4
x y
x y
phương pháp
Hướng dẫn giải
3
4
x y
x y
3 2 3
4 3 10
x y x y
x y x y
3
3
2
2 3 1
4 10
4 10
2
y x
y x
x x
x y
3
2
9
4 10
2
y x
x x
3
3
2
2
2
17 17
1
2
y x
y
y x
x x
x
Vậy hệ phương trình
3
4
x y
x y
có
nghiệm x y; 1;
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 3
2
x y y x
x y y x
phương pháp
Hướng dẫn giải
Xét hệ phương trình
3
2
x y y x
x y y x
2
2 2 3
xy x yx y x y y x
xy x xy y x y x y
(5)
2
y x y
x x
Vậy hệ phương trình
3
2
x y y x
x y y x
có nghiệm x y; 2;1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 23 11 23 12 45
x y y x
x y y x
phương pháp
Hướng dẫn giải
32 11 23 12 45 32 32 54
x y y x xy x xy y
xy x xy y
x y y x
2
x y x y
2
y x x y
2
y x
x x
3
y x x
3
y x x
y x
Vậy hệ phương trình
32 11 23 12 45
x y y x
x y y x
có nghiệm x y; 3;1
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Giải hệ phương trình
2
3
x y
x y
phương pháp
Câu 2: Giải hệ phương trình 22 21 22 21 78
x y y x
x y y x
phương pháp
Câu 3: Giải hệ phương trình
2
3
x y y
x y
phương pháp
Câu 4: Giải hệ phương trình
3
3
y x x y
x y y x
(6)ĐÁP ÁN Câu 1:
Ta có
2 13 3 13 14
3 9
3
x y x y x x x x
x y y x y
x y y x
Vậy hệ phương trình
2
3
x y
x y
có nghiệm x y; 2;
Câu 2:
Ta có
22 21 22 21 87 22 22 87 2 28 7 22 32
x y y x xy x xy y x y x y x
y y
x xy xy y x y y
x y y x
Vậy hệ phương trình
22 21 22 21 78
x y y x
x y y x
có nghiệm x y; 3;
Câu 3:
Ta có
2 2 3 4
3 3 3
3
x y y x y y x y y x
x y x y x y
x y
2
3 2
y x
x x
3
y x x x
7
y x x
7
y x x
2
5
y x x
18
7
y
x
Vậy hệ phương trình
2
3
x y y
x y
có nghiệm
5 18
; ;
7
x y
Câu 4:
(7)
6
y x x y
6
x y x y
6
x y
x y
5
6
x y
y y
36 30
x y
y y
34 34
x y
y
1
x y
y
1
x y
Vậy hệ phương trình
3
3
y x x y
x y y x
có nghiệm x y; 1; 1
Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải
Thực theo bước sau
Bước 1. Đặt điều kiện
Bước 2. Đặt ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình để đưa hệ phương trình dạng hệ phương trình bậc hai ẩn Chú ý điều kiện ẩn phụ
Bước 3. Sử dụng phương pháp giải hệ phương trình theo ẩn phụ
Bước 4. Với giá trị ẩn phụ tìm thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm hệ phương trình
Bước 5. Kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1 2
1
x y
x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x0; y0
Đặt a
x ;
1
b
y a b, 0 Hệ phương trình
cho trở thành 2
3
a b a b
2 2
3 4
a b a b
a b a b
2
3 2
a b
b b
(8) 2 10
a b
b
2
10
a b
b
2 2
a b
b
1
a b
Với a1 suy 1 x
x (thỏa mãn);
1
b suy 1
2 y
y (thỏa mãn)
Vậy nghiệm hệ phương trình
x y; 1;
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
3
1
1
1
1
x y
x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x1; y 2
Đặt
1 a
x ;
1 b
y a b, 0
Hệ phương trình cho trở thành
3
4
3
a b a b
Ta có
4
3
3 4
3
4
2
2
3
3
b b
a b a b
a b a b
a b
10b
(9)1
2
b
a b
1
b
a
Với
3
a suy 1
1 x x
x (thỏa mãn điều kiện);
1
b suy 1 2
2 y y
y (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm hệ phương trình x y; 4;
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2
3 2
x y
x y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x2; y 1
Đặt x 2 a; y 1 b a0;b0
Hệ phương trình cho trở thành 2
3 b
a b a
Giải hệ phương trình
3
2
2
2 2 2
3
3 b 7
2
2
a a
a b a b
a b a
b a
13 21 13 13
4
1
2 2
3 7
2 2
a a
a b
b a b a
(thỏa mãn điều kiện)
Với a1 suy x 2 x x (thỏa mãn điều kiện);
2
b suy y 1 y y (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình 2
3 2
x y
x y
có nghiệm x y; 3;3
(10)Câu 1: Giải hệ phương trình
2
2
4
2
x y
x y
Câu 2: Giải hệ phương trình
6
3
1
2
x y x y
x y x y
Câu 3: Giải hệ phương trình 2 1
3
x y
x y
ĐÁP ÁN Câu 1:
Đặt
ax a0;
b y b0 ta có hệ phương trình sau 4
2
a b a b
Giải hệ phương trình 4
2
a b a b
Ta có 4 4 4 16
2 4 4
b b
a b a b b b
a b a b a b a b
16 11 11 11
4 4 2
b b b b
a b a b a b a
(thỏa mãn điều kiện)
Với a2 suy x2 2 x
1
b suy x2 1 x
Vậy hệ phương trình
2
2
4
2
x y
x y
có nghiệm
x y; 2;1 ; 2;1 ; 2; ; 2; 1 Câu 2:
Điều kiện: x y; x2y
Đặt a
x y
;
1
b
x y
a b; 0 ta có hệ phương trình sau
6 3
7
a b a b
Giải hệ phương trình 6 3
7
a b a b
Ta có
6 3 6 3 2 3 12 42 3 45 15
7 2 7 7
b b b
a b a b b b b
a b a b a b a b a b
a
(11)Với
a suy
5 x y
xy
1
b suy 1
2 x y
x y
Vậy suy x y; nghiệm hệ phương trình
5
2
x y x y
Ta có
5
5
3
3 5 5
2 5 5
3
x y x y
x y x y
x y x y y y y
5 25
3
10 10 10
3
3 9
x y x y x
y y y
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình
6
3
1
2
x y x y
x y x y
có nghiệm ; 25; 10
9
x y
Câu 3:
Đặt a x a0; b y b0 ta có hệ phương trình sau 7
3
a b a b
Ta có 7 7 2 6 13 12
3 6 6
a a
a b a b a
a b b a b a b a
13 13
3 6
a a a
b a b a b
(thỏa mãn điều kiện)
Với a1 suy 2 1
2
x x
x
x x
3
b suy 3
1
y y
y
y y
Vậy hệ phương trình 2 1
3
x y
x y
có nghiệm
x y; 1; ; 1; ; 3; ; 3; 4
(12)Tìm giá trị tham số để hệ phương trình nhận x y0; 0 nghiệm
Hệ phương trình ax by c
a x b y c
có nghiệm
x y0; 0
0
0
ax by c a x b y c
- Tìm giá trị tham số để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn số điều kiện khác
Bước 1. Dựa vào điều kiện nghiệm thiết lập phương trình có ẩn tham số
Bước 2. Giải phương trình tham số
Bước 3. Kết luận
Ví dụ: Cho hệ phương trình 1
2
m x ny mx y
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm x y; 1;
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình 1
2
m x ny mx y
nhận cặp số
x y; 1; nghiệm hệ phương trình nên
1 2
m n
m
2
2 2
m n m
2
m n m
n m
Vậy với
0
n m
hệ phương trình
1
2
m x ny mx y
nhận x y; 1; nghiệm
của hệ phương trình
Ví dụ mẫu
Ví dụ Cho hệ phương trình
2
x y x y m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y0; 0 với y0 x0
Hướng dẫn giải
Ta có 2
2 2
2 2
x y
x y x y
y y m
x y m x y m
6
x y
y m
(13)3
3
x y
m y
2
3
3
m x
m y
Vậy hệ phương trình
2
x y x y m
nhận
2
; ;
3
m m
x y
nghiệm
Mặt khác theo đề hệ phương trình
2
x y x y m
có nghiệm x y0; 0 với y0 x0 nên
2
2 15
3
m m
m m m m
Vậy với m5 hệ phương trình
2
x y x y m
có nghiệm x y0; 0 với y0 x0
Lưu ý: Với hệ phương trình bậc chứa tham số ta giải hệ phương trình bậc có đầy đủ hệ số lưu ý chia hai vế cho đại lượng đại lượng khác
Ví dụ Cho hệ phương trình
x y m
x y m
(m tham số, m0) Tìm điều kiện m để
hệ phương trình có nghiệm x y0; 0 cho x0y0 nhỏ
Hướng dẫn giải
Ta có 6
2
x y m x y m
x y m y x m
2 2
2
x x m m
y x m
2 3 6
2
x x m m
y x m
5 12
2
x m
y x m
12
2
x m
y x m
(14)12 5
x m
y
Suy hệ phương trình
2
x y m
x y m
ln có nghiệm
0
12
; ;
5
x y m
với m0
Khi 0 0 12 14
5 5
x y m m
Vì m0 nên 0 0 14 14 14
5 5
x y m
Dấu "=" xảy m0
Vậy với m0 hệ phương trình
2
x y m
x y m
có nghiệm x y0; 0 thỏa mãn x0y0
nhỏ
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Xác định m để hệ phương trình
2
1 12
m x n y
m x n y
có nghiệm x y; 1;
Câu 2: Xác định m để hệ phương trình
2
x y x y a
có nghiệm x y; cho x2y
Câu 3: Tìmm để hệ phương trình
3
x y a
x y a
có nghiệm x y; , cho x y; số
nguyên
Câu 4: Cho hệ phương trình
1
x my m mx y m
Tìm số nguyên m cho hệ phương trình có
nghiệm x y; mà x y, số nguyên
ĐÁP ÁN Câu 1:
Hệ phương trình
2 1 1 2 12
m x n y
m x n y
có nghiệm x y; 1; suy
2 1 2 2 14 28 14 24
1 12 15
1 2 12
m n m n m
m n m n
m n
(15) 12 15
m n
m n
12
7 12 15
m n
n n
12 27
m n
n
12
m n
n
m n
Vậy với m9;n3 hệ phương trình
2 1 1 2 12
m x n y
m x n y
có nghiệm
x y; 1; Câu 2:
Ta có 3
2
2 2
y x
x y y x
x x a
x y a x y a
3 3
2
3 8
3
3
a
y x y
y x y x
a
x a x a x a
x
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 2;
3
a a
x y
Theo giả thiết hệ phương trình
2
x y x y a
có nghiệm x y; cho x2y nên
2
2 6
3
a a
a a a a
Vậy với a 1 hệ phương trình
2
x y x y a
có nghiệm x y; cho x2y
Câu 3:
Ta có
3 2
3 5
y x a
x y a y x a
x x a a
x y a x y a
2 10
y x a
x a a
2 10
y x a
x a
(16)2 10
2
y x a a x
2
5
y x a a x
Vậy hệ phương trình
3
x y a
x y a
nhận
3
; 5; x a
2
a
x y
nghiệm
Để hệ phương trình có nghiệm ngun
5
2
a
x a
Vì 5 để
2
a
thì
2
a
a k
k
Với x ; a suy y x a
Vậy để hệ phương trình
3
x y a
x y a
có nghiệm số ngun a2k k
Câu 4:
Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx
Thế vào phương trình (1) ta
3 1
xm m mx m m x m m (3)
Hệ phương trình có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, tức
2
1
m m
Khi hệ phương trình tương đương với
2
1
3
3
1 1
1
3 1
3
1
1
m m
m m m
x x
m m m m m
m
m y
y m m
m m
m
Để x y,
1
m Do m 1 2; 1;1; 2 m 3; 2; 0;1
Kết hợp điều kiện m 1chỉ có m 3; 2; 0 thỏa mãn
(17)II PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp giải
Thực theo hai bước
Bước 1 Cộng trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình
Bước 2. Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia) Giải hệ phương trình tìm
Chú ý:
Trường hợp 1: Nếu hệ số ẩn hai phương trình ta trừ hai phương trình đó, đối ta cộng hai phương trình
Trường hợp 2: Nếu hệ số ẩn hai phương trình khơng khơng đối ta phải thực hỉện biến đổi nhân hai vế phương trình với số để đưa trường hợp
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x 3y x 2y
Hướng dẫn giải
Ta lấy phương trình thứ hai nhân với sau trừ hai phương trình cho
2x 3y 2x 3y 2x 3y x 2y 2x 4y y
2x x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y 2;1
Ví dụ mẫu
Ví dụ Giải hệ phương trình x 2y 3x 2y 13
phương pháp cộng đại số
Hướng dẫn giải
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ ta hệ phương trình x 2y x 2y 2y 2y x
2x x x x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3;2
Ví dụ Tìm số nghiệm hệ phương trình sau 4x 3y x y
(18)Ta nhân hai vế phương trình thứ hai với sau cộng hai phương trình lại với hệ phương trình
4x 3y 4x 3y 4.2 3y 3y y
7x 14 x x x x
Vậy hệ phương trình 4x 3y
x y
có nghiệm x;y 2;1
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Giải hệ phương trình 7x 2y 5x 3y 11
phương pháp cộng đại số
Câu 2: Giải hệ phương trình 4x 5y 23 2x 3y 13
phương pháp cộng đại số
Câu 3: Giải hệ phương trình x 4y 2x 5y 13
phương pháp cộng đại số
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số
Phương pháp giải Thực theo bước sau
Bước 1 Nhân khai triển chuyển vế đưa hệ phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn
Bước 2 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
Bước 3 Kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 x y x 2 y
Hướng dẫn giải
Ta có
2 x y x 2 y
2x 3y 2x 3y 3x 2y 3x 2y 12
Nhân hai vế phương trình với hai vế phương trình hai với sau ta cộng hai vế phương trình với
2x 3y 4x 6y 10 3x 2y 12 9x 6y 36
2x 3y 2x 3y 13x 26 13x 26
2x3y 5 2.23y 5
(19)3y x
y x
Vậy hệ phương trình
2 x y x 2 y
có
nghiệm x; y 2;3
Ví dụ mẫu
Ví dụ Giải hệ phương trình
2x y y 2x x y y x
Hướng dẫn giải
Ta có
2x y y 2x 2xy 4x 2xy y 4x y xy x 2y xy x 2y x y y x
Giải hệ phương trình 4x y
x 2y
Nhân hai vế phương trình với sau cộng hai phương trình lại với ta hệ phương trình
9x 18 x x x
x 2y x 2y 2y y
Vậy hệ phương trình
2x y y 2x x y y x
có nghiệm x; y 2;3
Ví dụ Giải hệ phương trình
3x y y 3x 2x y 2y x
Hướng dẫn giải
Ta có
3x y y 3x 3xy 3x 2y 3xy 2xy 4x 2yx 4y 2x y 2y x
3x 2y 3x 2y 4x 4y x y
Giải hệ phương trình 3x 2y
x y
(20)Nhân hai vế phương trình hai với sau cộng hai phương trình lại với ta hệ
phương trình x x
x y y
Vậy hệ phương trình
3x y y 3x 2x y 2y x
có nghiệm nhất: x;y 3; 4
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Giải hệ phương trình
4 x y y x y
Câu 2: Giải hệ phương trình
2x 2y 4y x 3x y y 3x 15
Câu 3: Giải hệ phương trình
2y x x 2y 5x y y 5x
Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn dụ Phương pháp giải
Thực theo bước sau
Bước 1. Đặt ẩn phụ cho biểu thức cùa hệ phương trình để đưa hệ phương trình dạng hệ phương trình bậc hai ẩn
Bước 2. Đặt điều kiện ẩn phụ
Bước 3. Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình theo ẩn phụ
Bước 4 Với giá trị ẩn phụ tìm thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm hệ phương trình
Bước 5 Kết luận
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1
2 x y
1
x y 2
Hướng dẫn giải
Điều kiện x x
y y
Đặt a; b
x 1 y2 ta có hệ phương trình sau
a 3b a 2b
2
Điều kiện a, b0
Giải hệ phương trình
a 3b a 2b
2
(21)1
a
a 3b a 3b
2
3
a 2b b
b
2
2
1 a
2 b
2
(thỏa mãn điều kiện)
Với a
2 1
x x
x 1 2 (TMĐK)
Với b
2 1
y 2 y
y2 2 (TMĐK)
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 3;0
Ví dụ mẫu
Ví dụ Giải hệ phương trình x y x y
Hướng dẫn giải
Đặt a x a 0 ; b y b 0
Hệ phương trình cho trở thành 3a 2b
2a 3b
Giải hệ phương trình 3a 2b
2a 3b
3a 2b 9a 6b 12 3a 2b 2a 3b 4a 6b 14 13a 26
3a 2b 3.2 2b 2b b
a a a a
Với a2 x x x
x x
(22)b1 y y y y y
Vậy hệ phương trình x y
2 x y
có nghiệm
x;y 3; ; 3; ; 1; ; 1; 3
Ví dụ Giải hệ phương trình 2x y 2 2x y 13
Hướng dẫn giải
Điều kiện
1 2x x
2 y
y
Đặt a 2x a 0 ; b y2 b 0
Hệ phương trình cho trở thành: 4a 3b
2a 3b 13
Giải hệ phương trình 4a 3b
2a 3b 13
4a 3b 4a 3b 4a 3b 2a 3b 13 4a 6b 26 9b 27
4a 3b 4a 3.3 4a a
b b b b
Với a2 2x 2x 2x x
2 b3 y 2 y y 11
Vậy nghiệm hệ phương trình 2x y
2 2x y 13
3 x; y ;11
2
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Giải hệ phương trình
15 x 2y
6
x 2y 2
(23)Câu 2: Giải hệ phương trình
4
3 x
2y
x
2y
Câu 3: Giải hệ phương trình
2x 2y 1 x 2y 11
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
- Tìm giá trị tham số để hệ phương trình nhận x ; y0 0 nghiệm
Hệ phương trình ax by c
a x b y c
có nghiệm
x ; y0 0
0
0 ax by c a x b y c
- Tìm giá trị tham số để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn số điều kiện khác
Bước Tìm nghiệm hệ phương trình
theo tham số m
Bước Dựa vào điều kiện nghiệm thiết lập phương trình chứa tham số
Bước Giải phương trình tham số
Bước Kết luận
Ví dụ: Cho hệ phương trình 2m x ny mx n y
Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm x;y 1;2
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
2m x ny mx n y
nhận cặp số
x;y 1;2 nghiệm hệ phương trình nên
2m 1 n.2 2m 2n m 2n m.1 n 2
m n
m 2n m
Vậy với n
m
hệ phương trình
2m x ny mx n y
nhận x;y 1;2 làm
nghiệm
Ví dụ mẫu
Ví dụ Cho hệ phương trình x 2y 3x 4y m
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
(24)Hướng dẫn giải
Ta có:
m
x 2y 3x 6y 2y m y
2 3x 4y m 3x 4y m x 2y
x m
Theo đề hệ phương trình x 2y
3x 4y m
có nghiệm x ; y0 0 thỏa mãn x0 y02
nên m m 2m m m
2
Vậy với m2 hệ phương trình x 2y
3x 4y m
có nghiệm x ; y0 0 thỏa mãn
0 x y 2
Ví dụ Cho hệ phương trình x y m
2x 5y 3m
(m tham số) Tìm điều kiện m để hệ phương
trình có nghiệm số nguyên
Hướng dẫn giải
Ta có:
x y m
x y m 2x 2y 2m x y m
m 2x 5y 3m 2x 5y 3m 3y m y
3
Để hệ phương trình có nghiệm số nguyên m m
3
Suy m có dạng m3k k
Vậy với m3k k hệ phương trình cho có nghiệm số nguyên
Bài tập tự luyện dạng
Câu 1: Xác định m; n để hệ phương trình
2 m x 2n y m x 3ny 21
có nghiệm x; y 3;2
Câu 2: Xác định a để hệ phương trình x 2y 3x 2y 2a
có nghiệm x; y thỏa mãn x 2 y
Câu 3: Xác định m để hệ phương trình m x y mx y m
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
(25)Câu
Ta có 7x 2y 21x 6y 31x 31 x x x
5x 3y 11 10x 6y 22 7x 2y 7.1 2y 2y y
Vậy nghiệm hệ phương trình 7x 2y
5x 3y 11
x;y 1;2 Câu
Ta có 4x 5y 23 4x 5y 23 y y y y
2x 3y 13 4x 6y 26 2x 3y 13 2x 3.3 13 2x x
Vậy nghiệm hệ phương trình 4x 5y 23
2x 3y 13
x; y 2;3 Câu
Ta có x 4y 2x 8y 16 3y y x
2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5y 13 2x 5.1 13 y
Vậy nghiệm hệ phương trình x 4y
2x 5y 13
x; y 4;1
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số
Câu
Ta có
4 x y y 4x 4y 3y 3 7 4x y 4 6x 0 x 0
2x y 2x y 2x y y
2 x y
Vậy nghiệm hệ phương trình
4 x y y x y
x;y 0; 4 Câu
Ta có
2x 2y 4y x 2x 4xy 4xy 4y 3xy 3x 3y 3xy 15 3x y y 3x 15
x 2y x y
3y x y
y x
y x
(26)Vậy nghiệm hệ phương trình
2x 2y 4y x 3x y y 3x 15
x;y 2;3 Câu
Ta có
2y x x 2y 2yx 4y 4x 2xy 4 4x 4y 4 5xy 15x 5xy 4y 15x 4y 5x y y 5x
11x 11 15x 4y
x
15.1 4y
x 4y
x y
Vậy nghiệm hệ
2y x x 2y 5x y y 5x
x;y 1;2 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn dụ Câu
Điều kiện x0; y1
Đặt a 1; b a;b 0
x 2y
ta hệ phương trình
15a 3b 6a b
2
Giải hệ phương trình
1 15a 3b 15a 3b 11 a
33a 6
2
3
1 6a b 18a 3b
15a 3b b
2
2
Với a
6
1 x x 6
Với b
2
1 2y 2 2y y 2y2 2
Vậy nghiệm hệ phương trình
5 x 2y
5 x 2y
(27)Điều kiện x 1; y
Đặt a x a ; b b 0 2y
ta hệ phương trình
3a 4b a 6b
Giải hệ phương trình 3a 4b
a 6b
1
1 b
3a 4b 3a 4b 22b 11 2 b
2 a 6b 3a 18b 18 a 6b
a a 6
2
Với a3 x 1 3 x x
1 b
2
1 y 2y 2y
1 2
2y
2y 2y 2y 3
y
Vậy nghiệm hệ phương trình
4
3 x
2y
x
2y
là x; y 8;1 ; 8;
2
Câu
Ta có
2x 2y 1 2x 2y 1 2x 2y 1 x 2y 11 2x 2y 11 2x 2y
Đặt ax; b 2y b 0 ta hệ phương trình 2a 3b 2a 3b
2a 3b 2a 3b 2a 3b 2.2 3b 3b b
2a 3b 4a a a a a
Với a2 x2
b1 2y 1 2y 1 2y y 2y 1 2y y
Vậy cặp nghiệm hệ phương trình
2x 2y 1 x 2y 11
x;y 2;0 ; 2; 1
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
(28)Hệ phương trình
2 m x 2n y m x 3ny 21
nhận cặp số x; y 3;2 nghiệm nên
2 m x 2n y 6m 6 4n 2 2 6m 4n 2 3m 2n 1 3m 6n 21 3m 6n 15 3m 6n 15 m x 3ny 21
8n 16 n n n n
3m 2n 3m 2n 3m 2.2 3m m
Vậy với m1; n2 hệ phương trình
2 m x 2n y m x 3ny 21
nhận cặp số x; y 3;2
nghiệm Câu
Ta có
x a a
x 2y x 2y y y y
2 2 2
3x 2y 2a 2x 2a
x a x a x a
Vậy hệ phương trình x 2y
3x 2y 2a
nhận
a x; y a 3;
2
nghiệm
Theo giả thiết hệ phương trình x 2y
3x 2y 2a
có nghiệm x; y thỏa mãn x 2 y nên
a
a
2
a
a 2a a 10 3a 12 a
Vậy với a4 hệ phương trình x 2y
3x 2y 2a
có nghiệm x; y thỏa mãn x 2 y
Câu
Ta có m x y 2m x m
mx y m mx y m
Với m
2
ta có hệ phương trình
5
5
0.x 2
2
1
mx y m x y
2
(vô lí)
Vậy với m
2
(29)Với m
ta có:
m x m x m
2m x m x 2m 1 2m 1
2m
3 m m
mx y m
mx y m m y m y m m
2m 2m
2 2 2
3 m m m m
x x x x
2m 2m 2m 2m
m 2m 3m m 2m m 3m m 2m m 3m m m 2m
y y y
y
2m 2m 2m 2m
2m 2m
Suy
2
3 m m 2m m m x y
2m 2m 2m
Theo x y nên
2
m m 2m
Ta có
2
2 1 11 11
m m m 2.m m
2 4
với
1 m
2 Vậy để
2
m m 2m
1 2m m
2
Để hệ phương trình m x y
mx y m
có nghiệm thỏa mãn điều kiện x y
1 m
2
III Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ minh họa 3: Bằng cách đặt ẩn phụ, giải hệ phương trình sau:
5
10
1
1
18
1
x y
x y
Hướng dẫn giải:
Điều kiện để hệ phương trình xác định là: 1
1
x x
y y
Đặt ;
1
u v
x y
(30)5 10
5 10
1
1 3 18
18
1
u v
x y
u v
x y
Giải hệ phương trình phương pháp thế:
Từ phương trình 5u v 10, ta có: v5u10
Thế vào phương trình u3v 18, ta được:
3 18 10 18
u v u u
16u 30 18 16u 48
3
u
Thay u 3 vào phương trình v5u10, ta v5. 3 10 5
Vậy
5
u v
, nên ta có hệ phương trình:
1
1 1 3
1
1 5 1 5
1
x x
x
y y
y
2
3 3
5 4
5
x x
y
y
Vậy, hệ phương trình cho nghiệm 4;
3
IV Một số tốn liên quan
Ví dụ minh họa 4: Xác định phương trình đường thẳng yaxb biết qua hai điểm 1; 6
A B2; 3
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng yaxb qua điểm A1; 6, nên ta có 6a 1 b a b 1
Đường thẳng yaxb qua điểm B2; 3 , nên ta có 3 a.2 b 2a b 2
Vì a, b phải nghiệm hai phương trình (1) (2) nên a, b nghiệm hệ phương
trình:
6
2 3
a b a a
a b a b b
(31)Ví dụ minh họa 5: Cho hệ phương trình: 1
mx y mx my m
Giải hệ phương trình khi:
a) m3; b) m2; c) m0
Hướng dẫn giải:
Cho hệ phương trình
1
mx y mx my m
a Khi m3, ta có hệ phương trình: 3
3 3 3
x y x y
x y x y
1
3
3
1
y x
x
y
Vậy, m3, hệ phương trình cho có nghiệm ; 1;1
3
x y
b Khi m2, ta có hệ phương trình: 2
2
x y x y
Hệ phương trình có vơ số nghiệm Cơng thức nghiệm tổng quát hệ phương trình là:
2
2
x x y
22
y y x
c Khi m0, ta có hệ phương trình:
0 1
0 0
x y x y
Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, cịn phương trình thứ (2) vơ nghiệm, nên hệ phương trình vơ nghiệm
(32)SƠ ĐỒ TƯ DUY PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
1 1
2 2
a x b y c a x b y c
Giải hệ Phương pháp
Giải hệ Phương pháp cộng
đại số
Bước 1: Chọn PT dễ (thường pt có hệ số đơn giản) Rút ẩn: biểu diễn ẩn theo ẩn (1) Rồi thay vào phương trình cịn lại (2)
Bước 2: Giải phương trình (2) ẩn, ta thay ẩn vào phương trình (1) để tìm ẩn cịn lại Kết luận nghiệm
Bước 1: Xác định ẩn muốn khử (x y? )
Bước 2: Đồng hệ số Xem xét hệ số đứng trước ẩn muốn khử hai phương trình (khơng quan tâm dấu ) Nhân vế phương trình cho số thích hợp cho hệ số đứng trước ẩn muốn khử (không quan tâm dấu)
Bước 3: Cộng vế theo vế hệ số ẩn muốn khử hai phương trình trái dấu, trừ vế theo vế hệ số ẩn muốn khử hai phương trình dấu
(33)PHẦN II.TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ PHẢN XẠ
I Giải hệ phương trình phương pháp thế Câu Cho hệ phương trình
3 18
x y
x y có nghiệm ( ; )x y Tính x y là:
A. B 84
25 C
25
84 D
84 Câu Cho hệ phương trình
3 18
x y
x y có nghiệm ( ; )x y Tích
2. x y là:
A. 7000 B. 490 C. 70 D. 700
Câu Cho hệ phương trình
10 21
x y
x y có nghiệm ( ; )x y Tổng x y là:
A
4 B
9
2 C
3
2 D
7 Câu Cho hệ phương trình
4
x y
x y có nghiệm ( ; )x y Tổng x y là:
A
9 B
5
19 C
5
19 D
5 Câu Cho hệ phương trình 12
2 3
x y
x y Số nghiệm hệ phương trình là:
A. B. 0 C. D.
Câu Cho hệ phương trình 12
2
x y
x y Nghiệm hệ phương trình là:
A ( ; ) 15;
4
x y B ( ; ) 15;
4
x y C ( ; ) 15 3; 4
x y D ( ; ) 15;
4
x y
Câu Số nghiệm hệ phương trình
2
x y
x y là:
A. B. C. D.Vô số
Câu Hệ phương trình
3
x y
x y có nghiệm?
A. B. C. D.Vô số
Câu Số nghiệm hệ phương trình 1
3
( )( )
( )( 3)
x y xy
x y xy là:
A. B. C. D.Vô số
Câu 10 Cho hệ phương trình 3
3
( )( ) ( )(
1
)
( )( ) ( )( 3)
x y x y
(34)A.Hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (1;1) B.Hệ phương trình vơ nghiệm
C.Hệ phương trình vơ số nghiệm D Hệ phương trình có nghiệm (x y; ) (0; 0)
Câu 11 Cho hệ phương trình
2
x by
bx ay Biết hệ phương trình có
nghiệm (1; 2) Tính a b
A 13
8 B.
13
8 C
5
8 D
5 Câu 12 Cho hệ phương trình
5 x by
bx ay Biết hệ phương trình có nghiệm (1; 2), tính
a b
A. B.1 C. D.
Câu 13 Cho hai đường thẳng: :mx 2(3n 2)y
d d2 : (3m 1)x 2ny 56
Tìm tích m n để hai đường thẳng cắt điểm I( 2; 3)
A. B 1 C. D.
Câu 14 Cho hai đường thẳng: :m 2(3 2) 18
d x n y d2 : (3m 1)x 2ny 37
Tìm tích m n để hai đường thẳng d d1, 2 cắt điểm I( 5;2)
A m 2;n B m 2;n C m 2;n D m 3;n
Câu 15 Tìm a b, để đường thẳng y ax b qua hai điểm M(3; 5), (1;2)N
A 7; 11
2
a b B 7; 11
2
a b C 7; 11
2
a b D 7; 11
2
a b
Câu 16 Số nghiệm hệ phương trình
1
2
2
1 2
2
1
x y
x y
là:
A. B. C. D.Vô số
Câu 17 Hệ phương trình
3
1
3
1
1
x y
x y
x y
x y
có nghiệm là:
A 1;
2 B 2;
2 C
1 2;
2 D 2;
2
Câu 18 Tìm giá trị m n cho đa thức P x( ) mx3 (m 2)x2 (3n 5)x 4n
đồng thời chia hết cho x x
A 22;
9
m n B 22;
9
m n
C 22;
9
m n D 7; 22
9
m n
(35)A 4; 24
5
n m B 4;
5
m n
C 4; 24
5
m n D 4; 24
5
m n
Câu 20 Cho hệ phương trình
2 5
2
3
2
3
x y x y
x y x y
Nếu đặt ;
2x y a x 2y b ta hệ phương trình là:
A
5
2
6
3
5 a b
a b
B
6
2
5
3
3 a b a b
C
5
2
6
3
5 a b
a b
D
5
6
3
5 a b a b
Câu 21 Cho hệ phương trình
2
3
3
4
1
x y x y
x y x y
(y 0;x )y Nếu đặt ta hệ
phương trình là: A
1
3
2
1
1
4
a b
a b
B
4
a b
a b C
2
4
b a
b a D
6
3
4
a b
a b
Câu 22 Biết nghiệm hệ phương trình
1 1
5 x y x y
( ; )x y Tính 9x 2y
A. 10 B.14 C. 11 D. 13
Câu 23 Cho hệ phương trình
15
9
4
5
x x
y y
x x
y y
đặt x a; x b
y
y (với x 0;y 0) ta
được hệ phương trình là:
A 15
4
a b
a b B
15
4
a b
a b C
15
1
4
5 a b
a b D.
15
4
a b
(36)Câu 24 Nghiệm hệ phương trình 3( 5) 2( 3)
( ) ( )
0
7 14
y x
x x y ( ; )x y
Tính x2 y2
A. B. 34 C. 21 D. 24
Câu 25 Nghiệm hệ phương trình 2( ) 3( )
( ) (
4
2 )
x y x y
x y x y ( ; )x y Chọn câu
A. x 0;y B. x y C. x y D. x y
II Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số
Câu Cho hệ phương trình 16
8 24
x y
x y Nghiệm hệ phương trình là:
A ( ; ) 3;
x y B ( ; ) 4;
x y C ( ; ) 3;
x y D ( ; )x y ( 2;2) Câu Cho hệ phương trình
2
x y
x y Nghiệm hệ phương trình là:
A. ( ; )x y ( 2; 3) B ( ; )x y ( 3; 2) C ( ; )x y ( 2; 3) D ( ; )x y (3; 2) Câu Cho hệ phương trình
4
x y
x y Nghiệm hệ phương trình
(x y; ) Tính x y
A. x y B x y C. x y D. x y
Câu Cho hệ phương trình
3
x y
x y Nghiệm hệ phương trình
(x y; ) Tính x 3y
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
Câu Cho hệ phương trình 2
6 2
x y
x y Nghiệm hệ phương trình
(x y; ) Tính 6x 3y A
2 B
5
2 C
6
2 D
Câu Cho hệ phương trình 0, 0, 1, 1,
x y
x y Nghiệm hệ phương trình
là (x y; ) Tính x y
A. 225 B. C. 125 D. 15
(37)A. B. C. D. Câu Cho hệ phương trình
2
3
2
y x
y x
Nghiệm hệ phương trình (x y; ) Tính x
y
A. B. C
2 D
1 Câu Số nghiệm hệ phương trình 99
3
( ) ( )
7
x y x y
x y x y là:
A. B.Vô số C. D.
Câu 10 Số nghiệm phương trình
4
(x y) (x y)
x y x y là:
A. B Vô số C 1 D.
Câu 11 Kết luận nói nghiệm (x y; ) hệ phương trình
5
1
x y x y
x y
A. x 0;y B. x 0;y C. x 0;y D. x 0;y Câu 12 Kết luận nói nghiệm hệ phương trình
2
2
25
2
y x
x
x y
y
A. x 0;y B. x 0;y C. x 0;y D. x 0;y
Câu 13 Hệ phương trình
4
( )( ) ( )( )
( )(3 6) (6 2)( 3)
x y x y
x y x y tương đương với hệ phương trình
nào sau đây?
A 13
42
x y
x y B
42 78 48
42
x y
x y C
42 78 48
42
x y
x y D
7 13
4
x y
x y
Câu 14 Kết luận nghiệm ( ; )x y hệ phương trình 13
2
x y
x y
A. x y 16 B. x y 10 C. x y D. y x:
Câu 15 Kết luận nghiệm ( ; )x y hệ phương trình 2
2
x y
x y
A. x y B. x y C. x y D. y x:
Câu 16 Tìm a b, để hệ phương trình ax by
bx ay có nghiệm là(3; 4)
A 1;
2
a b B 1;
2
a b C 1;
2
a b D 1;
2
(38)Câu 17 Tìm a,b để hệ phương trình
3
ax by
bx ay có nghiệm (2; 3)
A. a 1;b 11 B 1; 11
6
a b C 1; 11
6
a b D 1; 11
6
a b
Câu 18 Nghiệm hệ phương trình
1
2
2
2
1
2
x y
x y
có tính chất là:
A. x y; số nguyên B. x y; số vô tỉ
C. x y; phân số tối giản có tổng tử số là27 D xnguyên dương, y không âm
Câu 19 Nghiệm hệ phương trình
5
7
1
6
7
7
5
x y
x y
có tính chất là:
A. x y; số nguyên B. x y; số vô tỉ
C. x y; nguyên âm D. xnguyên dương, y khơng âm
Câu 20 Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình:
1
1
4
2
1
2
x y
x y
x y
x y
Cũng nghiệm phương trình m x 7my m 225
A. m 40 B. m C. m 50 D. m 60
Câu 21 Tìm giá trị m để nghiệm hệ phương trình:
2 1 2
3
2
2 2
4
x y x y
x y
x y
Cũng nghiệm phương trình 6mx 5y 2m 66
A. m B m C m D. m
Câu 22 Tìm a b, biết đường thẳng d y: ax b qua điểm ( 4; 2), (2;1)
A B
A 0;
2
a b B 1;
2
a b C. a 1;b D 1;
2
a b
III Hệ phương trình bậc hai ẩn chứa tham số
Câu Biết hệ phương trình
5 x by a
bx ay có nghiệm x 1;y Tính
10(a b)
A. 15 B.16 C. 14 D. 17
Câu Cho hệ phương trình
2
x y m
(39)A. m B m C. m D m Câu Cho hệ phương trình
2
x y m
x y Có giá trị m để
hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x2 2y2 2
A. B.1 C. D.
Câu Cho hệ phương trình
7
2
2
4
x y m
x y m
Có giá trị m mà
1
m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: 2 25
16
x y
A. B.1 C. D 3
Câu Cho hệ phương trình ( 1)
m x y
mx y m (m tham số) Nghiệm hệ phương trình
2 m là:
A. ( ; )x y (1; 1) B.( ; )x y ( 1; 1) C ( ; )x y ( 1;1) D. ( ; )x y (1;1) Câu Với m hệ phương trình
2
x y m
x y m có cặp nghiệm ( ; )x y là:
A. (3;1) B.(1; 3) C. ( 1; 3) D. ( 3; 1) Câu Cho hệ phương trình ( 1)
1
m x y
mx y m (m tham số) Kết luận sau
nói nghiệm ( ; )x y hệ phương trình
A.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn 2x y
B.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn 2x y
C.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn 2x y
D.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn 2x y
Câu Cho hệ phương trình (1)
1(2) x my m
mx y (m tham số) Kết luận sau nói
về nghiệm ( ; )x y hệ phương trình
A.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn
2
2
1
m m
x y
m
B.Hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn
2
2
1
m m
x y
m
C.Hệ phương trình có vơ số nghiệm với m
D.Hệ phương trình vơ nghiệm với m
Câu Biết hệ phương trình ( 2)
m x y
x my có nghiệm với mọim Tìm
(40)A ( ; ) 29 ; 23
2 3
m m
x y
m m m m B 2
9
( ; ) ;
2 3
m m
x y
m m m m
C ( ; ) 2 ; 2
2 3
m m
x y
m m m m D 2
9
( ; ) ;
2 3
m m
x y
m m m m
Câu 10 Biết hệ phương trình
2
mx y m
x my m có nghiệm với m Tìm
nghiệm theo m
A
2
2
2
( ; ) ;
2
m m m
x y
m m B
2
2
3 2
( ; ) ;
2
m m m
x y
m m
C
2
2
2
( ; ) ;
2
m m m
x y
m m D
2
2
2
( ; ) ;
2
m m m
x y
m m
Câu 11 Cho hệ phương trình
x y m
x y có nghiệm ( ; )x y Tìm m để biểu thức
1
A xy x đạt giá trị lớn
A. m B. m C. m D m
Câu 12 Cho hệ phương trình
2 x my m
mx y m (m tham số) Tìm m để hệ phương trình có
nghiệm ( ; )x y thỏa mãn
1 x y
A. m B. m C.m 1 D. m
Câu 13 Cho hệ phương trình
3
x ay
ax y Hệ phương trình có nghiệm khi:
A. a B.a C.mọi a D. a
Câu 14 Với giá trị m hệ phương trình
mx y m
x my m có vơ số nghiệm
A. m B. m C m D m
Câu 15 Cho hệ phương trình ( 1) (1)
( 1) (2)
a x y a
x a y (a tham số)
Với a hệ có nghiệm ( ; )x y Tính x y theo a
A
2
2
a a
x y
a B
2
2 a x y
a C
2
1 a a x y
a D
2 a x y
a Câu 16 Cho hệ phương trình
2
2 2
mx y m
x my m m Trong trường hợp hệ có nghiệm
nhất, tính x y theo m
A
4 2 m
x y B
4 4 2
m m
(41)C
4
2 m x y
m D
4
2 m x y
m
Câu 17 Cho hệ phương trình ( 1) (1)
( 1) (2)
a x y a
x a y (a tham số) với a hệ có nghiệm
duy ( ; )x y Tìm số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun
A a B a C a D a
Câu 18 Tìm giá trị m để hệ phương trình x y
mx y m có nghiệm nguyên
A. m B m 0;m C. m 0;m D m 2;m
Câu 19 Cho hệ phương trình x 2y
mx y m Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm
nhất ( ; )x y , tìm điều kiện m để x y
A. m B. m C. m D m
Câu 20 Cho hệ phương trình
4
mx y m
x my m Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm
duy ( ; )x y , tìm hệ thức liên hệ x y; không phụ thuộc vàom
A. 2x y B 2x y C 2x y D. 2x y Câu 21 Cho hệ phương trình x my
mx y m Hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào
giá trị m
A. 2x y B. x
y C. xy D
2 1
x y
Câu 22 Cho hệ phương trình
4
mx y m
x my m Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm
duy ( ; )x y , tìm giá trị m để: 6x 2y 13
A. m B m C. m D. m
Câu 23 Cho hệ phương trình 1
4 (
2 )
x m y
x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y
thỏa mãn 2x 2y
A
8
m B
8
m C
5
m D
5
m
HƯỚNG DẪN
I Giải hệ phương trình phương pháp thế Câu Đáp án B
Ta có
3 18
x y
x y
5
3.( 5) 18 15 18
x y x y
(42)3 28
5 5 5
5 3
5
5
y x
x y y
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 28 3; 84
5 25
x y x y
Câu Đáp án D
Ta có 3 10
3 3( 3) 7
x y x y x y x
x y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (10;7)
Do x y2 10 72 700
Câu Đáp án D
Ta có
8
2 2
8
10 21 10. 3 21
2 y x
x y
y
x y y
8
2
40 35 21 38 19
y y
x x
y y y
8
2
1
2
y
x y
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 9;
4
x y x y
Câu Đáp án C
Ta có
11 11
7 19 19
4 2 11
2
1 19
( )
9
x x
x y x x
x y y x
y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 11;
19 19 19
x y x y
Câu Đáp án A
Ta có
( )
2 12 12 12
2 3 12 3 21
x y x y x y
x y y y y
3
12 2.( 3)
y x
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (6; 3)
Câu Đáp án A
Ta có
(
3 15
2 12 3 8 4
2 3 2 12 3
3
4
)
y x
x y x y x y
x y y y y
(43)Câu Đáp án D
Ta có
2
2 3
2
2 6
x y
x y x y
y y
x y y y
2
2
6
y
x y
x y
Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm Câu Đáp án A
Ta
có 3
3 2
y y
x y
x y x y
2 6
2 3
y y
x y x y
6
6
2 3
3 1
y
y x y
x
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ; ) 1;
3
x y
Câu Đáp án A
Ta có 1 1
3 3 3
( )( )
( )( ) 3 12
x y xy xy x y xy x y
x y xy xy x y xy x y
2
3 12 12 2
x y x y x y x
y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y; ) (2;2)
Câu 10 Đáp án D
Ta có ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )(
1 3 3 3
3 1 3) 3 3
x y x y xy x y xy x y
x y x y xy x y xy x y
6 0
4 0
x y x y x y x y x
x y y y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (0; 0)
Câu 11 Đáp án B
Thay x 1;y vào hệ ta
3 2.1 ( 2)
(
.1
4
)
1 b
b b
b a b a
(44)3
13
1
8 b
a b a
Vậy 13
8
a b
Câu 12 Đáp án A
Thay x 1;y vào hệ ta ( )
(
2
2) b
b a
Ta coi hệ phương trình bậc hai ẩn a b giải hệ phương trình
2 3
2
( )
( ) 5
b b b b
b a b a a a
Suy a b
Câu 13 Đáp án A
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta
.( 2) 2(3 2).3 18 18 9
m n m n m n
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta
(3m 1).( 2) 3n 56 6m 6n 56 m n Suy hệ phương trình
9 9
9 9 10
m n m n m n n
m n
m n n n n m
Vậy m n
Câu 14 Đáp án C
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d1 ta
.( 5) 2(3 2).2 18 12 18 12 26
m n m n m n
+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình d2 ta
(3m 1).( 5) 2n 37 15m 4n 37 15m 4n 42 Suy hệ phương trình
15 42
5 12 26
5 12 26 4
15 42
15 42 15 42
5 12 26
4 4
m
m n n
m n
m
m n n m
m
15 42 15 42 2
4 3
5 15( 42) 26 50 126 26
m m m
n n
n
m m m
Vậy m 2;n
Câu 15 Đáp án D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta 3a b
(45)Từ ta có hệ phương trình
7
2 2 2
3 5 11
2 a
a b b a b a
a b a a a
b
Vậy 7; 11
2
a b
Câu 16 Đáp án A
Điều kiện: 2;
2
x y
Đặt ;
2 a b
x y ta có hệ phương trình
2
2 2( )
a b a b
a b b b
3
2 2
2 5 5
3
5 3
5 5 5
a b a a
a b
b b
b b
Trả lại biến ta
1 19
7 14
2
1
2
x x
x
y
y y
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 19 4;
7
x y
Câu 17 Đáp án C
Điều kiện: x 1;y
Ta có
3
1 1
3
1
1 1
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Đặt ;
1
x y
a b
x y ta có hệ phương trình
2 3 3
3 3( ) 10
a b b a b a b a
a b a a a a a
2
3 2.2
a a
b b
Thay trở lại cách đặt ta
2
2 2 2
1
1
1 2
1
x x
x x
x
y y y y
y
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 2;
2
x y
Câu 18 Đáp án C
(46)Áp dụng mệnh đề với a 1, với a 3, ta có
3
3
( 1) ( 1) ( 2).( 1) (3 5).( 1) (3) ( 2).3 (3 5).3 36 13
P m m n n n
P m m n n m n
Theo giả thiết, P x( )chia hết cho x nên P( 1) tức n
Tương tự, P x( )chia hết cho x nên P(3) tức 36m 13n
Vậy ta phải giải hệ phương trình
(
7
7
22
36 13 36 13 7)
9 n
n n
m n m m
Trả lời: Vậy 22;
9
m n
Câu 19 Đáp án D
Ta sử dụng: Đa thức Q x( ) chia hết cho đa thức x a Q a( )
Áp dụng mệnh đề cho với a 2, với a , ta có
3
3
(2) (3 1)2 (2 5)2 72
24 8 20 72 15 10 60
( 3) (3 1)( 3) (2 5)( 3) ( 3) 72
81 27 18 45 72 90 15
Q m n n m
m n n m m n
Q m n n m
m n n m m n
Theo giả thiết, Q x( )chia hết cho x nên Q(2) tức 15m 10n 60 (1)
Tương tự, Q x( )chia hết cho x nênQ( 3) tức 90m 15n (2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
4
15 10 60 5
90 15 15 10 60 24
5
( )
m
m n n m
m n m m
n
Trả lời: Vậy 4; 24
5
m n
Câu 20 Đáp án A
Ta có
2 5
2
3
2
3
x y x y
x y x y
1
1
3
5
2
2
3
6
2
x y x y
x y x y
Đặt ;
2x y a x 2y b ta hệ phương trình
5
2
6
3
5
a b
a b Câu 21 Đáp án D
Ta có
2
3
3
4
1
x y x y
x y x y
2 1
3
1
4
3
x y x y
(47)Đặt ;
3 a b
x y x y ta hệ phương trình
2
6
3
4
a b a b Câu 22 Đáp án B
Điều kiện: x 0;y
Đặt a;1 b
x y ta có hệ phương trình
( )
1 1
3 5
a b a b a b
a b b b b
2
7
2
1
7
b a
a b
Trả lại biến ta
1
7
1
7
a x
b y
(Thỏa mãn điều kiện)
Khi 9.7 2.7 14
9
x y
Câu 23 Đáp án B
Ta có
15
9 15
4
5
x x x x
y y
y y
x x x x
y y
y y
Đặt x a; x b
y
y ta hệ phương trình
15
4
a b a b Câu 24 Đáp án B
Ta có
3( 5) 2( 3)
( ) ( )
0
7 14
y x
x x y
3 15 21
7 28 3 14 10 45
y x x y
x x y x y
3 21 3
8 24 15
y x x x
x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm x y; 3;5 x2 y2 32 52 34
Câu 25 Đáp án D
Ta có ( ) ( )
(
2 2 3
2
) ( ) 5
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
5 5
3 5 (3 5) 5
x y y x y x
(48)1 1
2
2 1 13
3 3. 5
2
x x
x
y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 1; 13
2
x y x y x y
II Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Câu Đáp án A
Ta có 16 16 16
8 24 (8 ) 16 ( 24) 10 40
x y x y x y
x y x y x y y
4
3 7.4 16
2 y
y
x x Vậy hệ phương trình có nghiệm
3 ( ; ) ;
2
x y
Câu Đáp án D
Ta giải hệ phương trình cách nhân hai vế phương trình thứ hai với trừ vế
hai phương trình:
4 6 6
2 4 2
( )
x y x y x y x x
x y x y y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (3; 2)
Câu Đáp án B
Ta có 3
4 12 27 14 28
x y x y x y x
x y x y x y
Vậy hệ cho có nghiệm ( ; )x y (2;1) x y 1
Câu Đáp án D
2 3
3 2
x y x y
x y x y
2
2
1
6
6
x y
x y
y y
6 6 3
3 3
6 1
2
3
y y
x x
Vậy hệ cho có nghiệm ( ; ) 1;
3
x y x 3y 3 2
Câu Đáp án C
(49)5 2 6 6
6 2 2 2
x y x y x
x y x y x y
1 1
6 6
1
2 2
6
x x
y y
6
6
2
2
2 x
x
y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 6;
6
x y
6
6 3 3 6
6 2
x y
Câu Đáp án A
ĐK: x 0;y
Nhân hai vế phương trình thứ với trừ vế hai phương trình:
0, 0, 1, 2, 15 1, 1, 1, 1,
x y x y
x y x y
4, 13,
1, 1, 1, 2.3 1,
y y
x y x
9 9
25
1, 7, 5
y y y
x
x x (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (25;9) xy 25.9 225
Câu Đáp án B
ĐK: x 0;y
Ta có 4 4
2 4
x y x y
x y x y
5 0
1
2 2
y y y
x
x y x (tm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (1; 0) x y
Câu Đáp án C
ĐK: x
Ta có
2 1 1
3
2
1 2 3 1
2 4
y y x x
x x
x y y
y y
x x
(TM)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 1; 1
2
x x y
y
Câu Đáp án C
Ta có 99 10 3 99 13 99
3
( ) ( )
7 17 17
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
6 39 297 17
6 17 40 280
x y x y y
(50)Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (4;7) Câu 10 Đáp án D
Ta
có
4
(x y) (x y)
x y x y (
2 3
4 5 5 )
x y x y x y
VL
x y x y x y x y
Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Câu 11 Đáp án D
Ta có
1
x y x y
x y
3 5
2 4
x y x y x y x y
x y x y x y
4
2
x y y
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (2; 8) x 0;y
Câu 12 Đáp án A
Ta có
2
2
25
2
y x
x
x y
y
2 3 31
4 24 25 33 25
x y x y x
x y y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (31; 3)
0;
x y
Câu 13 Đáp án B
Ta có
4
( )( ) ( )( )
( )(3 6) (6 2)( 3)
x y x y
x y x y
7 13 42 78 48
42 42
x y x y
x y x y
Câu 14 Đáp án C
Điều kiện: x 1;y
Ta có 13
2
x y
x y
3 13
4 21
x y x y
x y x
1
1 10
4
2
3.3 13 x
x x
y y
y (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (10; 4) Nên x y 10
Câu 15 Đáp án B
Điều kiện: x 3;y Ta có 2
2
x y
x y
2 4 2
2
x y x y
x y y
1 1
(51)Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (1; 1)
Nên x y ( 1)
Câu 16 Đáp án A
Thay x 3;y vào hệ phương trình ta
2 12
.3
( )
5
) 12 15
(
a b a b a b
b a a b a b
1 17 17
1
4
2 b b
a b a
Vậy 1;
2
a b
Câu 17 Đáp án D
Thay x 2;y vào hệ phương trình ta
4 2 3 5
3
( ) (
.2 3) 8
a b a b a
b a a b a b
1
1
11
3.1 11
6 a
a a
b b b Vậy
11 1;
6
a b
Câu 18 Đáp án C
ĐK: x 2;y
1 1
2
2
2 1
1
2
x y x y
x y x y
Đặt ; ( ; 0)
2 u v u v
x y ta có hệ
2 2
2 3
3
5
3
2
( )
u v u v v
u v u v u v
v v
TM
u u
Thay lại cách đặt ta
5 19
1 2
1 7 7
2 5 8
1 1
3
( )
x x
TM x
y y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 19 8;
7 x y
Câu 19 Đáp án D
Điều kiện: x 0;x 7;y
Đặt ;
7 a b
x y ta
5 21 12 5
7
3 1
1 20 12 2
5 6
6
a b
a b
a b
(52)1 21 12
3
41 1 1
41 21. 12 5
3 3 6
a b a a
a b b
Trả lại biến ta có
1
7
( 100
7
1
6
) 6
x x
x TM
y y
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (100; 0)
Câu 20 Đáp án C
Ta có
1
1
4
2
1
2
x y
x y
x y
x y
1
1 4
2
3 2 6 0
x y x y x y y
x y x y x y x
Thay 0;
2
x y vào phương trình (m 2)x 7my m 225 ta
1
( 2).0 225 225 50
2
m m m m m
Câu 21 Đáp án A
Ta có
2 1 2
3
2
2 2
4
x y x y
x y
x y
40 20 15 15 48 24 24 19
6 16 24 24 24 30 28 31
x y x y x y
x y x y x y
11 120 135 285
2
120 112 124 7
x y x
x y y
Thay 11;
2
x y vào phương trình 6mx 5y 2m 66 ta
11
6 5.7 66
m m 31m 31 m
Câu 22 Đáp án B
Đường thẳng y ax b qua điểm A( 4; 2) 4a b (1)
Đường thẳng y ax b qua điểm B(2;1) 2a b (2)
Từ (1) (2) ta có hệ
1 1
4 2
2 a
(53)Vậy 1;
a b
III Hệ phương trình bậc hai ẩn chứa tham số Câu Đáp án B
Thay x 1;y vào hệ ta có: 2.1 3
.1 5
b a a b a b
b a a b a b
1
10 10
3 17
10 b b
a b
a
Vậy 1; 17
10 10
a b hệ phương trình có nghiệm x 1,y 10(a b) 16
Câu Đáp án A
Ta có
5
2 7
2 3 6
7 m x
x y m x y m x y m
x y m x y m y m m
y
Hệ phương trình có nghiệm ( ; ) 9;
7
m m
x y
Lại có x y hay
5
3 21 36
7
m m
m m m m
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm ( , )x y thỏa mãn x y
Câu Đáp án C
Ta có 5 2
2 2 5( ) 10
x y m y m x y m x x m
x y x m x x m y m
Thay vào x2 2y2 ta có x2 2y2 (2m)2 2(m 1)2
2
2
2 m
m m
m
Vậy m 2;
Câu Đáp án B
Ta có
7 4 6 7 2 7 7 7
2
2 4 5 4 5
4
x y m y m
x y m
x y m x y m
x y m
1
4 (1 ) 14
y m y m
(54)Thay vào 2 25 16
x y ta có
2
2 25 (1 )2 25
16 16
m
x y m
2
16m 8m 16m 32m 16 25
2
2
32 24
1
4 (4 1)( 1) 1
4
m m m m
m
m m m m m
m
Mà 1
2
m m thỏa mãn Vậy m
Câu Đáp án D
Thay m vào hệ ta
2
x y x y
Khi 2
2 1
x y x y x
x y x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) m
Câu Đáp án A
Thay m vào hệ phương trình cho ta được:
2 2
2 5
x y x y x x
x y x y x y y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;1) m
Câu Đáp án A
Từ (m 1)x y vào phương trình cịn lại ta phương trình:
2 ( 1) 1
mx m x m x m suy y (m 1)2 với m
Vậy hệ phương trình ln có nghiệm ( ; )x y m 1;2 (m 1)2
2
2x y 2(m 1) (m 1) m 4m 3 (m 2)2 3 với m
Câu Đáp án B
Từ phương trình (1 )x my m x m my vào phương trình (2) ta phương
trình:
2
2 2
2
( ) 1 ( 1)
1 m
m m my y m m y y m y m y
m
(vì m2 0; m)suy
2
2
1
1
m m
x m m
m m với m
Vậy hệ phương trình ln có nghiệm
2
2
2
( ; ) ;
1
m m
x y
m m
2
2 2
2
1 1
m m m m
x y
m m m
(55)2 2 2 3 3 1 1
3
3
) ( )
(m m y m ( )
m m y my y
x my
x my
Ta có: m2 2m (m 1)2 m nên PT (1) có nghiệm m Hay hệ
phương trình có nghiệm m
Từ (1) ta có: 23
2
m y
m m thay vào (2) ta có
9
2
m x
m m
Vậy ( ; ) 29 ; 23
2 3
m m
x y
m m m m
Câu 10 Đáp án D
Ta có
2
mx y m
x my m
2
2
2
2 ( 1) 2
y mx m
y mx m
x m mx m m x m x m m m
2 2 2
( ) ( )
( 1 2)
m x m
y mx m
Ta có: m2 0; m nên PT (1) có nghiệm m Hệ phương trình có nghiệm
nhất m
Từ (1)ta có:
2
2
2 m x
m thay vào (2) ta có
2
2
2
2
m m m
y m m
m m
Vậy
2
2
2
( ; ) ;
2
m m m
x y
m m
Câu 11 Đáp án A
Ta có
5
x y m
x y
2
1
3 ( )
x m
A xy x m
y m Amax
1 m
Câu 12 Đáp án B
Xét hệ (1)
2 (2)
x my m
mx y m
Từ (2) y 2m mx thay vào (1) ta
được x m m(2 mx) m 1 2m2 m x2 x m 1
2 2
(1 m x) 2m m (m 1)x 2m m 1(3)
Hệ phương trình cho có nghiệm ( )3 có nghiệm m2 1 0 m 1
Khi hệ cho có nghiệm
2
1 m x
m m y
(56)Ta có
2 1
2
2 1 1
1
1
1
1
m
x m m
x m m
y m
m m
Kết hợp với ( ) ta giá trị m cần tìm m
Câu 13 Đáp án C Ta xét trường hợp:
+ Nếu a 0, hệ có dạng:
2
2
5
3
3 x
x
y y Vậy hệ có nghiệm
+ Nếu a 0, hệ có nghiệm khi: 2 6
3 a
a
a (ln đúng,
2 0 a
với a)
Do đó, với a 0, hệ ln có nghiệm
Tóm lại hệ phương trình cho có nghiệm với a
Câu 14 Đáp án B
2
2
2 )
2
1 (
m y m mx y m mx
m
x y m
x my m x m m mx m x m m x
2 2
( )
2
1
y m mx
x m m m
Với m2 1 0 m2 1 m 1
Nếu m ta 0x (đúng với x ) ⇒ hệ phương trình có vơ số nghiệm
Nếu m ta 0x (vơ lí) ⇒⇒ hệ phương trình vơ nghiệm
Vậy m hệ cho vô số nghiệm
Câu 15 Đáp án A
Từ PT (1) ta có: y (a 1)x (a ( )) vào PT (2) ta được:
2 2
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) (3)
x a a x a
x a x a a x a
Với a 0, phương trình (3) có nghiệm
2
1 a x
a Thay vào ( ) ta có:
2 2
2
3
2
1 ( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
1
a a a a a
y a a
a a
a a a a a a
a a
Suy hệ phương trình cho có nghiệm
2
2
1
( ; )x y a ;a
a a
2
2 2
1
a a a a
x y
a a a
(57)2
3 ( 2)
2 2 2
mx y m y mx m
x my m m x m mx m m m
2
2
2
2
2
2
2 2
2 )
(
m x
y mx m m
m
x m m
y m m
m
2
2 ( )
2 2
0;
2
m m m
x y vì m m
m m
Suy
4
2 m x y
m
Câu 17 Đáp án D
Từ PT (1) ta có: y (a 1)x (a 1) ( ) vào PT (2) ta
2 2
( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) (3)
x a a x a
x a x a a x a
Với a 0, phương trình (3) có nghiệm
2
1 a x
a Thay vào ( ) ta có:
2 2
2
3
2
1 ( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
1
a a a a a
y a a
a a
a a a a a a
a a
Suy hệ phương trình cho có nghiệm
2
2
1
( ; )x y a ;a
a a
Hệ phương trình có nghiệm ngun:
2
2
)
1 (
a
x a
a
y a
a Điều kiện cần:
2
2
1
1 a
x
a a
1
a mà
2 0
a a2 1 a 1
(TMa
)
Điều kiện đủ: a y (nhận); a y (nhận)
Vậy a hệ phương trình cho có nghiệm ngun
Câu 18 Đáp án C
Ta có x y x mx m x m( 1) m
mx y m Nếu m 0.x (vơ lí)
Nếu 1
1
m
m x
m m
Để hệ phương trình cho có nghiệm ngun x nguyên m 0;m
Với
0 x m
(58)Với 2 x m
y (thỏa mãn)
Câu 19 Đáp án A
Ta có 2 2 2
1
(2 ) (2 )
x y x y x y
mx y m m y y m m y m
Để hệ phương trình có nghiệm
2 m
Suy 2 2
2 2
m m m
y x x
m m m
Vậy hệ có nghiệm
2
2
2
m x
m m y
m Để
2
1
1 2 1
0
0
2
m x
x m
y m
y m
1 1
0 2 1 0
2 2 0
0 0
0
2
m m
m m
m m m
m
Kết hợp điều kiện
2
m ta có m
Câu 20 Đáp án D
Ta có
4
mx y m
x my m 2
2
4 ( ) ( 4)
y mx m
y mx m
x m mx m m x m m m
Hệ phương trình có nghiệm m2 4 0 m 2; 2
Khi
2
2 (2 3)( 2)
( 2)( 2)
4
m m m m m
x
m m m
m
2
2
m m
y m m
m m
2
2
2 2
2
1
2 2
m
x x x
m m m
m
y y y
m m m
2x y
Vậy hệ thức không phụ thuộc vào m 2x y
Câu 21 Đáp án D
2
1
1
1
( ) ( )
x my x my
x my x my
mx y m m my y m m m y y m y m m
Do
2
2
2 2
2
1 1
1 1
m m m
m y x my
m m m
Xét
2 2 2 4 2
2
2 2 2 2 2
4 (1 ) 2 (1 )
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
m m m m m m m m
x y
m m m m m
(59)Ta có 2 2 2
4 ( ) ( 4)
y mx m
mx y m y mx m
x my m x m mx m m x m m m
Hệ phương trình có nghiệm m2 m 2;2
Khi
2
2 (2 3)( 2)
( 2)( 2)
4
m m m m m
x
m m m
m
2
2 m
y m m
m
Thay
2
2 m x
m m y
m
vào phương trình 6x 2y 13 ta được:
2 14 18
6 13 13
2 2
m m m
m m m 14m 18 13m 26 m TM
Vậy m giá trị cần tìm
Câu 23 Đáp án A
Từ hệ phương trình 1
4 (
2 )
x m y
x y
Ta có hệ
1
4 10 10
2 2 2
25 x
x y x y x
x y x y x y
y
Thay
10
x vào 12
5
y phương trình x (m 1)y
Ta ( 1).12 1 24( 1) 10 24 15
(60)PHẦN III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a
2 x y x y b x y x y
c 10
8 x y x y d
5 14
x y x y
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a
1
3 10
x y x y b
5 10
1
2 5
y x y
y x y
c x y y x d 20 8 x y x x x y
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a 2
2
x y x y b
3
x y x y
c
5 x y x y d
2
5 x y x y Bài Giải hệ phương trình sau:
a 3 5 3 5
4
x y x y
b
3
3 1
x y x y Bài Giải hệ phương trình sau:
a
4
2 1
x y x y
x y b
3
4 2
x x y
x x y
Bài Xác định giá trị a, b để hệ phương trình: 12 x by ax by
a Có nghiệm 1; b Có nghiệm 2; 2
Bài Giải phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ:
a
1 1
3
1 1
x y b 1
1 1
(61)c 1 2 20 2
x y x y
x y x y
d 3 3
x y x y
x y x y
Bài Cho hệ phương trình:
15 10
x y a
x y
a Có vơ số nghiệm với a1
b Vô nghiệm với a1
Bài Giải phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a 10
3 18 x y x y b
4 10
2
x y x y c
1 27
2 10
9 15 2 x y x y d 1 18 x y x y
Bài 10 Giải phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a 19
2 31
x y x y b
15 46
3 5 x y x y
c 10
6 17
x y x y d
5 20
1 1 x y x y
Bài 11 Giải phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a 5 3 99
3 17
x y x y
x y x
b
2 21
7 14
x y
x x y
c
2
3 1
x y x y d
4
8
x y x y
Bài 12 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
3
3 1
x y x y
Bài 13 Xác định hệ số a, b để đồ thị hàm số yaxb qua hai điểm M N trường hợp sau:
a M 1;3 N2; 2 b M1; 3 N2; 3
c M 0; N 3; d M1; 4 N4; 1
(62)a Hệ phương trình
5
x my n mx ny
có nghiệm x2;y5?
b Hệ phương trình
3
x y m x y n
có nghiệm x1;y2?
Bài 15 Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ:
a 10 1 25 2 x y x y b 27 32 45 48
x y x y
x y x y
c*
5 1
x y x y d*
4
3
x y x y x y x y
Bài 16* Giải hệ phương trình sau:
a
3
2
2
x y z x y z x y z
b
3
2
3
x y z x y z x y z
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a Biến đổi hệ phương trình
2
2
2
2 x y x y y y x y 16 14
2 6 3 3
4 12 16 16 16
3
x x
x y x y
y y y
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 14 16;
3
b Biến đổi hệ phương trình
3
3
2
2 x y x y y y x y 18 29
3 5 5 5
6 10 18 18 18
5
x x
x y x y
y y y
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 29; 18
5
10
x y
(63)10 10 10
2 10 2 1
x y x y x x
y y y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 9; 1
d Biến đổi hệ phương trình
3
3
5 14
5 14
y x x y
x x
x y
24 24
3 5 11 11
24
5 10 14 11 24 17
3
11 11
x x
y x y x
x x x
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 24 17;
11 11
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a Biến đổi hệ phương trình
1 1
1
2
1
3 10
3 10
2
y x
x y
x x
x y
1
4
1
2
1
3 10 2
x
x
y x y x
y y
x x x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 4; 1
b Biến đổi hệ phương trình
1
2
5 10
1 2
2 5
y x y
y x y
y x y y x y
5
2 5 7
5
5 2 2
2
7
y x
y x y x y
y x y x y
x x
5
11
7 7
15 11
2
7 7
y x y x
x y
x x x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 11;8
(64)Khi đó, biến đổi hệ phương trình
0
3
2
4 9
4 x y x y x y y x
3
3
4 4 32 36
4
x y x y x y
x y x y
x y 19 12
4
4
3 19
x y x
x y
y y
x y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình ; 12
19 19
d Biến đổi hệ phương trình
20 20 8 8 x y x y x x
x x y x
x y 20 20 20
6 20
8 8
x y
x y x y
y y
x x y x x y
20 80
2 120 60
x y x
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 80; 60
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
a Biến đổi hệ phương trình
2
2
2 2
2
x y x y y y x y
1
2
2 2
4 6 1 6
5
x
x y x y
y y y
y
1 2 2 4 12 5 3
2
5 5
1 6
5 x x y y
(65)Vậy, nghiệm hệ phương trình 2 3 6;
5
b Biến đổi hệ phương trình
3
3 3
3
x y
x y
y y
x y
1 3 3
3
3 5
3 3 1 3
5
x x
x y
y y
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 3 1;
5
c Biến đổi hệ phương trình 5
5 2
x y x y
x y x y
5
5
2 5
2
x y
x y
y y
x y
5
2 5 1
x y x y
y y y
1
5 1
5
2 1
5
x x
y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 1;
5
d Biến đổi hệ phương trình 2 2
5 5 2
y y
x y
x y x y
2
5 2 5
5
5 5 2 0
5
y
y y
x y x x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 0;
5
(66)Bài Giải hệ phương trình sau:
a Biến đổi hệ phương trình 3 5 3 5
4
x y x y
3 5 3 4 5 5 4
x x
y x
15 5 15 5 4
x x
y
y x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 1; 5
b Biến đổi hệ phương trình
3
3
3 1 3
y x
x y
x y x x
3 3 1 3
3 3 3
y x y x
x x x
4 3 4 3 3
3 3
3 3
4
4
3
y y
x x
1
4
3
y
x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 3;
3
Bài Giải hệ phương trình sau:
a Biến đổi hệ phương trình
4
2 1
x y x y
x y
4 5
2
2 1
x y x y x y x y
x y
x y
3
9
9
9 2
3
2
4
2
y y
x y x y
x y x y
x y
(67)29
27 27
36 28
56
2
29
3
4
4
56
2
y
y y y
x
x y x y
29 56
y
x
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 29;
7 56
b Biến đổi hệ phương trình
3
4 2
x x y
x x y
3 21 6 6 27
4 4 14 10
x x y x y
x x y x y
2
2 9
6 10
6 10 44
x y
x y x y
y y
x y y
2 11
2
x
y
Vậy, nghiệm hệ phương trình là:
11 2;
2
Bài Hệ phương trình:
12
x by ax by
a Có nghiệm 1; 3.1 5
.1 12 12
b b
a b a b
3 2 1
12 12 12 11
b b b b
a b a b a a
Vậy, hệ số a11;b1
b Có nghiệm
3 2
2;
2 12
2 12
b b
a b
a b
11 11
2 11 2 2
6 11
6
2
b b
b a b
a a
Vậy, hệ số 1; 11
2
a b Bài
a Điều kiện x0;y0 Đặt ẩn phụ: a;1 b
(68)Khi đó, hệ phương trình
1 1 1 1 1
3 3 12 3
1 1 1
12 12 12
b b
a b x y
a b a b
x y
1
1 1
2
8
3 12
1 1
1
12 12
12 24
b
b b b
a b a
a b a
Với
1 1
24
8
5
5
8
24 24
b
x y
y a
x
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 24;8
5
b Điều kiện: x1;y 2 Đặt ẩn phụ: ;
1 a b
x y
khi đó, hệ phương trình
7
1 7 5 1
1
1
1 1
12
1 12
a b
x y
a b
x y
1 5
7
7 12
12 12 144
1
1 17
1 12
12 144
12
b b
a b b b
a b
a b a
a b
Với
1 144 144
5
2
2 144 5
144
17 17 144 144
1
144 144 17 17
y y
b
y
a x x
x
134 161
17
y
x
(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 161 134;
17
c Điều kiện: x 2y Đặt ẩn phụ: ;
2 a b
(69)khi đó, hệ phương trình
4
1
4
2
20 20
1
2
a b x y x y
a b x y x y
4 8
20 1 32
2
a
b a b a
a a a
b Với 1 8
1 2
1 2 2 x a x y x y
x y y
b x y
(thỏa điều kiện)
Kết luận, hệ phương trình có nghiệm x y
d Điều kiện:
1 x y x y
Đặt ẩn phụ:
1
;
3 a b
x y x y
Khi đó, hệ phương trình
5 14
8
5
3 11
3 3
3
3 11
a a b
x y x y
a b
b
x y x y
Với
1 14 11 53
14
3
3 11 14 14
11
11 19
9
1
9
11 11
x y x y
a
x y
x y x y
b x y 211 252 743 252 x y
Vậy, nghiệm hệ phương trình là:
211 252 743 252 x y Bài Cho hệ phương trình:
15 10
x y a
x y
a Với a1, ta có: 3
15 10
x y x y
x y x y
(70)Hệ phương trình với a1 hệ gồm hai phương trình giống (hai đường thẳng trùng nhau) nên chúng có vơ số nghiệm
Nghiệm tổng qt hệ phương trình là: 3 1
2
x
y x
Cách 2: Ta nhìn nhanh số nghiệm hệ phương trình lập tỉ số hệ số hai đường thẳng:
Vì:
15 10
nên hệ phương trình có vơ số nghiệm
b Với a1 Ta có hệ phương trình:
15 10
x y a
x y
Vì a1 nên
15 10
a
Do đó, hệ phương trình vơ nghiệm
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a Biến đổi hệ phương trình 10 15 30
3 18 18
x y x y
x y x y
16 48
3 18
x x
x y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 3; 5
b Biến đổi hệ phương trình 10 10
2 10 16
x y x y
x y x y
13 26
2
y y
x y x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 1; 2
c Biến đổi hệ phương trình
1 27
5 12 27
2 10
2 15
9 15
2
x y
x y
x y x y
5 12 27 10 24 54
2 15 10 45 75
x y x y
x y x y
21 21
2 15
y y
x y x
Vậy, nghiệm hệ phương trình 3;1
1
2
3x y 3x y
(71)26
15 26
15 15
2
2 15 18 12
18 5
5
x x
x y y
x y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 15;12
Bài 10 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a Biến đổi hệ phương trình: 19 10 38
2 31 10 45 155
x y x y
x y x y
39 117
5 19 19
y y x
x y x y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 2;3
b Biến đổi hệ phương trình:
15 46
15 46
3
5
5
x y
x y x y x y
15 46 17 34 2
15 12 5
x y y y x
x y x y x y
Vậy, nghiệm hệ phương trình 2;
c Hệ phương trình 10
6 17
x y x y
có tỉ lệ hệ số là:
3 10
6 17
dạng
a b c a b c
nên hệ phương trình vơ nghiệm
d Hệ phương trình
5 20
1
1
4
x y
x y
có tỉ lệ hệ số là:
5 20
1 1
4
dạng a b c
a b c
nên hệ phương trình có vơ số nghiệm
Với nghiệm tổng quát hệ phương trình là: 5
5
x
y x
4
5
y
x y
Bài 11 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
a Biến đổi hệ phương trình 5 3 99
3 17
x y x y
x y x
5 10 3 99 13 99
6 17 17
x y x y x y
x y x y
(72)70 19
6 39 297 36 280 18
70
6 17 17 70
6 17
9
y x
x y y
x y x y
x y
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 19 70;
18
b Biến đổi hệ phương trình
2 21
7 14
x y
x x y
2 21 21
7 28 3 14 10 45
x y x y
x x y x y
8 24 3
3 21 21
x x x
y x y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 3;5
c Biến đổi hệ phương trình
2
3 1
x y
x y
2 5 11
3 2
x y x y
x y x y
6 15 33 11 33
6
x y y
x y x y
3
3
y x
x y y
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 2; 3
* (Những tốn đơn giản khơng nên đặt ẩn phụ, tạo nhiều bước thực để hồn thành tốn Cách tốt khai triển, làm gọn hệ phương trình cho Sau giải theo phương pháp thầy nêu.)
d Biến đổi hệ phương trình
4
8
x y
x y
4 6
8 15 15
x y x y
x y x y
8 12
8 15 4
x y y
x y x y
2
3
2
y x
(73)Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 3;
4
Bài 12 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:
Biến đổi phương trình
3
3 1
x y
x y
3 3
3 3 3
x y x y
x y x y
1
3
3
3
3
y y
x y
x y
1
3
1 3
3
3 3 1
y y
y
x x
1
3 3
3
3
3 3
y
x
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 3;
3
Bài 13 Xác định hệ số a, b để đồ thị hàm số yaxb qua hai điểm M N trường hợp sau:
a Hàm số yaxb qua hai điểm M 1;3 N2; 2:
Điểm M 1;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3 a b 1
Điểm N2; 2 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 2 2ab 2
Suy ra: a, b nghiệm hệ phương trình
1
3 3
2
3
a a b
a b b
Vậy,
3
a
b
(74)Điểm M1; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3 a b 1
Điểm N2; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 32ab 2
Suy ra: a, b nghiệm hệ phương trình
3
a a b
b a b
Vậy,
3
a b
c Hàm số yaxb qua hai điểm M 0; N 3; :
Điểm M 0; thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: b0 1
Điểm N 3; thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 33ab 2
Suy ra: a, b nghiệm hệ phương trình
3
b a
a b b
Vậy,
0
a b
d Hàm số yaxb qua hai điểm M1; 4 N4; 1 :
Điểm M1; 4 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 4 a b 1
Điểm N4; 1 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 1 4ab 2
Suy ra: a, b nghiệm hệ phương trình
1
a b a
a b b
Vậy,
3
a b
Bài 14 Xác định giá trị hệ số m, n sao cho:
a Hệ phương trình
5
x my n mx ny
có nghiệm x2;y5
Thay giá trị x2;y5 vào hệ phương trình, ta có hệ:
5
4 5 9
2 5 5 11
9
m
m n m n
m n m n
n
Vậy, với
9
m 11
n hệ phương trình cho có nghiệm x2;y5
b Hệ phương trình
3
x y m x y n
(75)1
3
x y m m m
x y n n n
Vậy với m 1 n6 hệ phương trình cho có nghiệm x1;y2
Bài 15 Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ:
a Hệ phương trình
10
1
1
25
2
1
x y
x y
có điều kiện x1;y 2
Với x thỏa điểu kiện
Đặt ẩn phụ: ;
1
a b
x y
, ta có hệ phương trình mới:
10
1
10
1
25 25
2
1
a b
x y
a b
x y
1
30 3
5
25 10
1
a b a a
a b a b
b
Từ kết
a b
, suy ra:
1
1
1
x
y
1
2
x x
y y
(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm hệ phương trình 6; 3
b Hệ phương trình
27 32
7
2
45 48
1
2
x y x y
x y x y
có điều kiện
3
x y x y
Với xthỏa điều kiện
Đặt ẩn phụ: ;
2
a b
x y x y
, ta có hệ phương trình mới:
27 32 1
7
27 32
2 9
45 48 45 48 1
1
2
a
a b
x y x y
a b
b x y x y
(76)Từ kết
a
b
, suy ra:
1
2
1
3
x y
x y
2
3
x y x
x y y
(thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm hệ phương trình 5;1
c*
5 1
x y
x y
Đặt a x ;b y
Ta có hệ phương trình: 5
5 1
5 1
x y a b a
a b b
x y
Với
1
a b
, suy ra:
1 1
6
2
6 1
1
3
1
6
4 1
x y x
x y
y x
y x y
Giải 1
1
x x
y y
Giải 2
1
x x
y y
Giải 3
1
x x
y y
Giải 4
1
x x
y y
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 7; ; 5; ; 7; ; 5; 0
d*
3
x y x y x y x y
Đặt a x y b; x y
Ta có hệ phương trình: 8
3
3
x y x y a b a
a b b
x y x y
(77)Với
a b
, suy
1
2
0
2
x y
x y x y
x y x y
x y
Giải 1
0
x y x
x y y
Giải 2
0
x y x
x y y
Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 1;1 1; 1
Bài 16* Giải hệ phương trình sau:
a
3
3
2 2
2 2 3 3 1 0
z x y x y z
x y z x y x y
x y z x y x y
3 3
2 2 4
2 3 8
z x y z x y z x y
x y x y x y y
x y x y x y x y
3 1
1 1
8 1
z x y z x y z
y y y
x x x
Vậy, nghiệm hệ phương trình là: 1; 1;1
b
3
3
2 6
3 6
x y x y
x y z
x y z x y x y
x y z z x y
3 3 6 2 12 8
2 6 6
3
3
x y x y x y x y
x y x y x y x y
z x y
z x y
5 4
0
3 10
x y y
x x
z x y z