HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm ax by c - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: / / / a x b y c Cách giải - Một số dạng toán hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương pháp Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 3 x y 3 x 2(5 x) 2 x y y 2x 3 x 10 x 7 x 14 y 2x y 2x x x y 2.2 y 3 x y 3 x y 7 x 14 2 x y 4 x y 10 2 x y x x 2.2 y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x y 6 x y 1) 2 x y 4 x y 10 3 x y 5 x y 14 2) x (1 ) y 5) (1 ) x y (3 x 2)(2 y 3) xy (4 x 5)( y 5) xy 1) 2 x y 3 x y 14 4) x 7) y x y 10 0,2 x 0,1 y 0,3 6) 3 x y Bài 2: Giải hệ phương trình sau: y 27 y 5x 5 2x 4) 5) x y y 5x 3) 2( x y ) 3( x y ) ( x y ) 2( x y ) 2) (2 x 3)(2 y 4) x( y 3) 54 ( x 1)(3 y 3) y ( x 1) 12 3) 1 ( x 2)( y 3) xy 50 xy ( x 2)( y 2) 32 ( x 20)( y 1) xy ( x 10)( y 1) xy 6) Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1 1 x y 12 1) 15 x y x y y 2x 2) 1 x y y x x y 13 4) 3 x y 6 5) 3 x y 16 3x x 1 y 3) 2x x y x y 18 3 x y 10 6) 2 x y 11 5 x y 2( x x) y 7) 8) 3( x x) y 7 2 x x y y 13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x ThuVienDeThi.com Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b hệ vơ nghiệm b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ phương trình có nghiệm a mx y 2m(1) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: 4 x my m 6(2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m i) Nếu m2 – hay m x = m2 m2 m 2m m Khi y = Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 ii) Nếu a (1) x = ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm 2m m ;) m2 m2 - Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x R Vậy: - Nếu m hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y 3m x my m 1) mx y 10 m x my 2) x my 3m x my m 4) 5) 2 mx y m mx y m (m 1) x my 3m 2 x y m 3) 2 x y m 6) mx y (m 1) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k với n, k nguyên f (m) Viết x, y hệ dạng: n + Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx y m 2 x my 2m HD Giải: 2mx y 2m (m 4) y 2m 3m (m 2)(2m 1) 2 2mx m y 2m m 2 x my 2m để hệ có nghiệm m – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm (m 2)(2m 1) 2m 2 y m2 m2 m 4 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;1;3;3 m x 1 m2 m2 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 mx y m 2 x my 2m Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: ThuVienDeThi.com (m 1) x y m 2 m x y m m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx (m 1) y m n (m 2) x 3ny 2m HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết cho ax + b f(- b )=0 a a b f( ) 0 3 8 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 f (3) 18a 3b d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f (2) 4a 2b a 1 f (1) a b 4 b Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: 2 a b a b Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình a 1 b Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: 3 x y x y - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = nghiệm hệ phương trình: x 0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25) y 1,25 Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy BT BS Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx y 38 Với giá trị m để hệ có nghiệm (x;y) tm hệ thức:2x + y + =3 m 4 x my Cho hệ phương trình: HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m 2; Giải hệ phương trình theo m mx y mx y mx m y m x my - Thay x = 8m y m (m 4) y 8m x my x 9m 32 m2 9m 32 8m ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 38 2 + + =3 m 4 m 4 m 4 ThuVienDeThi.com => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx y 10 m (m tham số) x my Cho hệ phương trình a) b) c) d) Bài 2: Giải hệ phương trình m = Giải biện luận hệ phương trình theo m Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương (m 1) x my 3m 2 x y m Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x y 2 x y m Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b)Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c)Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx y a)Giải hệ phương trình m = b)Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) x my Cho hệ phương trình: c)Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm x my mx y Bài 5: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b)Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c)Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d)Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = mx y 3x my 28 -3 m 3 Bài 6: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x y m2 m2 Bài 7: 3 x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = a) b) c) d) ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác... Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x y m2 m2 Bài 7: 3 x my 9 mx y 16 Cho hệ phương trình. .. a)Giải hệ phương trình m = b)Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) x my Cho hệ phương trình: c)Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm x my mx y Bài 5: Cho hệ phương trình: