Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I Lý thuyết 1 Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng ax by c (1) a ''''x b ''''y c '''' (2) + = + = Trong[.]
Giải hệ phương trình bậc hai ẩn I Lý thuyết Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn - Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: (1) ax + by = c a 'x + b' y = c' (2) Trong a, b, a’, b’ số thực cho trước a + b a '2 + b'2 - Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung ( x ; y ) ( x ; y ) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm - Giải hệ phương trình tìm tất tập nghiệm - Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn - Tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng ax + by = c a’x + b’y = c’ Trường hợp 1: d d ' = A ( x ; y ) Hệ phương trình có nghiệm ( x ; y0 ) ; Trường hợp 2: d // d’ Hệ phương trình vơ nghiệm Trường hợp 3: d d' Hệ phương trình có vơ số nghiệm Chú ý: Với trường hợp a ';b';c' Hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình vơ nghiệm a b c = ; a ' b' c' Hệ phương trình vô số nghiệm II Dạng tập a b ; a ' b' a b c = = a ' b' c' Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình, ta biến đổi hệ cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản Để giải phương trình phương pháp ta sử dụng quy tắc sau: Bước 1: Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau 2x − y = a) x + y = ( ) −1 x − y = b) x + + y = ( ) Lời giải: 2x − y = a) x + y = y = 2x − x + ( 2x − 3) = y = 2x − x + 2x − = y = 2x − 3x − = y = 2x − 3x = x = : y = 2x − x = y = 2.3 − x = y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (3; 3) ( ) −1 x − y = b) x + + y = ( ) y = x + ( ( ) + 1) ( ( y = x + ( ( ) + 1)( ( ) ( ) ( ) −1 x − ) ) −1 x − = −1 x − ) −1 x − y = − x − x + x − − = y = − x − 2x = + + y = − x − 2x = + ( ) +1 =1 3+ x = y = − ( ). +2 − 3+ x = y = −1 + −1 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau cách quy phương pháp thế: 3 ( y − ) + ( x − 3) = a) 7 ( x − ) + ( x + y − 1) − 14 = ( x + 1)( y − 1) = ( x − )( y + 1) − b) 2 ( x − ) y − x = 2xy − Lời giải: 3 ( y − ) + ( x − 3) = 7 ( x − ) + ( x + y − 1) − 14 = 3y − 15 + 2x − = 7x − 28 + 3x + 3y − − 14 = 2x + 3y = 15 + 10x + 3y = 28 + 14 + 2x + 3y = 21 10x + 3y = 45 3y = 21 − 2x 10x + ( 21 − 2x ) = 45 3y = 21 − 2x 10x + 21 − 2x = 45 8x = 45 − 21 3y = 21 − 2x 8x = 24 3y = 21 − 2x x = 24 : 3y = 21 − 2x x = 3y = 21 − 2.3 x = 3y = 15 x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (3; 5) ( x + 1)( y − 1) = ( x − )( y + 1) − b) 2 ( x − ) y − x = 2xy − xy − x + y − = xy + x − 2y − − 2xy − 4y − x = 2xy − xy − x + y − xy − x + 2y = − − 2xy − 4y − x − 2xy = −3 −2x + 3y = −2 − x − 4y = −3 x = −4y + −2 ( −4y + 3) + 3y = −2 x = −4y + 8y − + 3y = −2 x = −4y + 11y = −2 + x = −4y + 11y = 4 x = −4.11 + y = 11 17 x = 11 y = 11 17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) ; 11 11 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Phương pháp giải: Để giải phương trình phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ hai vế hai phương trình hệ phương trình cho để hệ phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ giữ nguyên phương trình ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho Bước 3: Giải hệ phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 2x − 3y = a) 2x + 4y = x + 7y = −2 b) −2x − 7y = 11 Lời giải: 2x − 3y = (1) a) 2x + 4y = (2) Lấy (1) – (2) ta được: 2x − 3y = ( 2x − 3y ) − ( 2x + 4y ) = − 2x − 3y = 2x − 3y − 2x − 4y = −2 2x − 3y = −7y = −2 2x − 3y = y = 2x − =5 y = 2x = + y = 41 2x = y = 41 x = 14 y = 41 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) ; 14 (3) x + 7y = −2 b) −2x − 7y = 11 (4) Nhận hai vế phương trình (1) với ta được: (5) 2x + 7y = −4 −2x − 7y = 11 (4) Lây (4) + (5) ta ( ) ( ) 2x + 7y + −2x − 7y = −4 + 11 −2x − 7y = 11 2x + 7y − 2x − 7y = −4 + 11 −2x − 7y = 11 0 = −4 + 11 −2x − 7y = 11 Vì = −4 + 11 (vơ lí) nên hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 4x − x + y = x + 3y = − 9y 14 Lời giải: 4x − x + y = x + 3y = − 9y 14 5x + 5y = 4x − 14x + 42y = 15 − 9y 5x + 5y − 4x = −3 14x + 42y + 9y = 15 (1) x + 5y = −3 14x + 51y = 15 (2) Nhân hai vế phương trình (1) với 14 ta được: 14x + 70y = −42 (3) 14x + 51y = 15 (2) Lấy (3) – (2) ta được: 14x + 70y = −42 (14x + 70y ) − (14x + 51y ) = −42 − 15 14x + 70y = −42 14x + 70y − 14x − 51y = −57 14x + 70y = −42 19y = −57 14x + 70y = −42 y = −57 :17 14x + 70y = −42 y = −3 14x + 70.(−3) = −42 y = −3 14x = −42 + 210 y = −3 14x = 168 y = −3 x = 168 :14 y = −3 x = 12 y = −3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (12; -3) Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp giải: Ta thực theo ba bước sau Bước 1: Lấy điều kiện biến (nếu có) Bước 2: Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng Bước 3: Giải hệ phương trình bậc vừa tìm phương pháp cộng đại số Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: + x − y + = a) − =1 x − y + x − + y − = 22 b) −3 x − + y − = 18 3 x − + y = 13 c) 2 x − − y = Lời giải: + x − y + = a) với x 1; y −2 1 − =1 x − y + Đặt: 1 = a; = b hệ phương trình trở thành x −1 y+2 3a + b = (1) 2a − b = (2) Lấy (1) + (2) ta được: ( 3a + b ) + ( 2a − b ) = + 2a − b = 3a + b + 2a − b = 2a − b = 5a = 2a − b = a = : 2a − b = a = 2.1 − b = a=1 a = 2 − b = b = − a = b = x − = =1 y + x − = y + = x = (thỏa mãn) y = − Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (1; -1) x − + y − = 22 b) −3 x − + y − = 18 x − = a (a 0) Đặt y − = b (b 0) (1) a + b = 22 Khi hệ phương trình trở thành −3a + 4b = 18 (2) Nhân hai vế phương trình (1) với ta hệ mới: 3a + 3b = 66 (3) −3a + 4b = 18 (4) Lấy (3) + (4) ta được: 3a + 3b = 66 7b = 84 3a + 3b = 66 b = 84 : 3a + 3b = 66 b = 12 3a + 3.12 = 66 b = 12 3a = 66 − 36 b = 12 3a = 30 b = 12 a = 30 : a = 10 b = 12 b = 12 + Với a = 10 x − = 10 x − = 10 x = 10 + x = 12 x − = −10 x = −10 + x = −8 + Với b = 12 y − = 12 y − = 12 y = 12 + y = 13 y − = −12 y = −12 + x = −11 Vậy ta tìm cặp nghiệm (x; y) (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11), 3 x − + y = 13 c) 2 x − − y = Điều kiện: x 1; y x − = a (a 0) Đặt y = b (b 0) 3a + 2b = 13 (1) Khi hệ phương trình trở thành 2a − b = (2) Nhân hai vế phương trình (2) với ta có hệ 3a + 2b = 13 (1) 4a − 2b = (3) Lấy (1) + (3) ta hệ 3a + 2b + 4a − 2b = 13 + 3a + 2b = 13 7a = 21 3a + 2b = 13 a = 21: 3a + 2b = 13 a = 3.3 + 2b = 13 a = 2b = 13 − a = 2b = a = b = x −1 = y =2 x − = x = 10 y y = = 4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (10; 4) Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp Phương pháp giải: f (x; y) = a1 (1) Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng g(x; y) = a (2) Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực theo ba bước sau: Bước 1: Nhân phương trình (1) với a phương trình (2) với a1 trừ phương trình để làm hệ số tự Bước 2: Phương trình hai ẩn x y ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Nếu x = y = Ta thay vào phương trình ban đầu hệ để giải ẩn lại Trường hợp 2: Nếu x y ta chia hai vế phương trình cho bậc cao x y Bước 3: Giải phương trình với ẩn x y sau tìm nghiệm hệ phương y x trình Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 2x + xy − 3y = 2 x − 2xy + 2y = Lời giải: 2x + xy − 3y = (1) 2 x − 2xy + 2y = (2) Nhân hai vế phương trình (2) với ta hệ mới: 2x + xy − 3y = (1) 2 2x − 4xy + 4y = (3) Trừ phương trình (1) cho phương trình (3) ta được: ( 2x + xy − 3y2 ) − ( 2x − 4xy + 4y ) = − 2x + xy − 3y − 2x + 4xy − 4y = 5xy − 7y = y ( 5x − 7y ) = y = 5x − 7y = y = 5x = 7y + Với y = 2x + x.0 − 3.02 = 2x = x2 = x = x = −2 + Với 5x = 7y x = 7y thay vào phương trình (1) ta có: 7y 7y + y − 3y = 49 y + y − 3y2 = 25 98 y2 + − = 25 y2 58 =8 25 y2 = 8: y2 = 100 29 y= Với x = 58 25 100 10 10 29 = = 29 29 29 7y 14 29 x= 29 Vậy ta tìm cặp nghiệm (x; y) 14 29 10 29 −14 29 −10 29 ; ; ( 2;0 ) ; ( −2;0 ) ; ; 29 29 29 29 Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng Phương pháp giải: Hệ phương trình đối xứng ta thay x y y x hệ phương trình cho khơng đổi Để giải hệ phương trình ta làm theo ba bước Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện S P S2 4P Bước 3: Thay x; y S P vào hệ phương trình Tìm S, P tìm x; y Ví dụ: Giải hệ phương trình x + y + xy = 11 2 x y + y x = 30 Lời giải: x + y + xy = 11 2 x y + y x = 30 x + y + xy = 11 xy(x + y) = 30 S = x + y Đặt (S 4P ) P = xy S + P = 11 Khi hệ phương trình trở thành S.P = 30 S = 11 − P (11 − P)P = 30 S = 11 − P 11P − P = 30 S = 11 − P P − 11P + 30 = S = 11 − P ( P − 11)( P − ) = S = 11 − P P = 11 P = S = (tm) P = S = (tm) P = S = x + y = x = − y Với P = xy = (6 − y)y = x = x = − y y = x = − y + 6y − = y = x + y = x = − y S = Với xy = P = (5 − y)y = x = x = − y y = x = − y + 5y − = y = Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm III Bài tập vận dụng: Bài 1: Bằng phương pháp giải hệ phương trình sau: x − y = a) 3x − 4y = x y − =1 b) 5x − 8y = 2(x + y) + 3(x − y) = c) (x + y) + 2(x − y) = ( x + 1)( y − 1) = xy − d) ( x − 3)( y + 3) = xy − Bài 2: Bằng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình sau ( x + 1)( y − 1) = xy − a) ( x − 3)( y + 3) = xy − 5(x + 2y) − 3(x − y) = 99 b) x − 3y = 7x − 4y − 17 (x + y)(x − 1) = (x − y)(x + 1) + 2(xy + 1) c) (y − x)(y + 1) = (y + x)(y − 2) − 2xy x + y x − y = d) x = y +1 Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 1 x + y = −1 a) 3 − = x y 2x + + 4y = 18 b) v 2x + + y = 10 x x + + c) 8x + x + 1 = y + 12 15 =1 y+4 − = x −7 y +6 d) + = 13 x − y +6 ... hai bước sau: Bước 1: Cộng hay trừ hai vế hai phương trình hệ phương trình cho để hệ phương trình Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ giữ nguyên phương trình ta hệ phương trình. .. Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất) , ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình. .. Bước 2: Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng Bước 3: Giải hệ phương trình bậc vừa tìm phương pháp cộng đại số Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: