Đang tải... (xem toàn văn)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình A Lí thuyết Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1 Lập phương trình + Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số + Biểu diễn các dữ kiện chưa biết[.]
Giải tốn cách lập phương trình A Lí thuyết Các bước giải toán cách lập phương trình: Bước Lập phương trình: + Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số + Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số + Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết Bước Giải phương trình Bước Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) với đề để đưa kết luận B Các dạng tập ví dụ minh họa Dạng 1: Tốn cơng việc Phương pháp giải: - Năng suất tính tỉ số khối lượng cơng việc thời gian hồn thành - Đối với tốn cơng việc làm chung, làm riêng: Thường coi khối lượng công việc đơn vị Năng suất + Năng suất = Tổng suất Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo suất dự kiến Nếu tăng suất 10 sản phẩm ngày hồn thành sớm ngày so với giảm suất 20 sản phẩm ngày Tính suất dự kiến theo kế hoạch Lời giải: Gọi suất dự kiến tổ sản xuất làm ngày x (sản phẩm/ngày, x > 0) Số sản phẩm tổ sản xuất làm ngày tăng suất thêm 10 sản phẩm ngày là: x + 10 (sản phẩm/ ngày) Số ngày tổ sản xuất phải làm sau tăng suất 720 (sản phẩm) x 10 Số sản phẩm tổ sản xuất làm ngày giảm suất 20 sản phẩm ngày là: x – 20 (sản phẩm) Số ngày tổ sản xuất phải làm sau giảm suất 720 (sản phẩm) x 20 Vì tăng suất 10 sản phẩm ngày hồn thành sớm ngày so với giảm suất 20 sản phẩm ngày nên ta có phương trình: 720 720 4 x 20 x 10 720(x 10) 720(x 20) 4(x 10)(x 20) (x 10)(x 20) (x 10)(x 20) (x 10)(x 20 720(x 10) 720(x 20) 4(x 10)(x 20) 720x 7200 720x 14400 4(x 20x 10x 200) 720x 7200 720x 14400 4x 80x 40x 800 4x 40x 22400 (*) Giải phương trình (*) ta có: ' (20)2 4.(22400) 90000 > Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: x1 (20) 90000 80 (thỏa mãn điiều kiện) x2 (20) 90000 70 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy suất dự kiến theo kế hoạch 80 sản phẩm /ngày Ví dụ 2: Hai người làm cộng việc 12 phút xong, người thứ làm giờ, người thứ hai làm 50% cơng việc Hỏi người làm thì xong cơng việc ? Lời giải: Đổi 12 phút = 36 Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x giờ, x > 36 Do hai người làm cộng việc 12 phút xong nên Do đó, người giờ, hai người làm lượng công việc là: 36 36 5 (giờ) thứ hai làm lượng công việc 36 x Vì người thứ làm giờ, người thứ hai làm 50% công việc nên ta có phương trình: 1 3 x 36 x x 12 x 4.12 5x 3.12 6x 12x 12x 12x 12x 48 5x 36 6x x 12 (thỏa mãn điều kiện) 1 Vậy Thời 36 12 18 gian người thứ hai làm xong cơng việc 18 Trong người thứ hai làm lượng công việc là: Vậy người thứ làm 12 xong cơng việc, người thứ hai làm 18 Dạng 2: Tốn chuyển động Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức: Quãng đường = Vận tốc Thời gian + Nếu hai xe ngược chiều gặp lần đầu: Thời gian hai xe điđược nhau, Tổng quãng đường xe quãng đường cần xe + Nếu hai phương tiện chuyển động chiều từ hai địa điểm khác A B (chiều từ A đến B), xe từ A chuyển động nhanh xe từ B xe từ A đuổi kịp xe từ B ta ln có hiệu qng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Lời giải: Đổi 30 phút = 0,5 Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B x (km/h, x > 0) Thời gian xe từ A 24 đến B (giờ) x Đi từ B A, người với vận tốc x + (km/h) Thời gian xe từ B A 24 (giờ) x4 Do thời gian thời gian 30 phút nên ta có phương trình: 24 24 0,5 x x4 24(x 4) 24x 0,5x(x 4) x(x 4) x(x 4) x(x 4) 24x 96 24x 0,5x 2x 0,5x 2x 96 x 4x 192 (1) Giải phương trình (1) ta có: 42 4.1.(192) 784 > Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1 4 784 12 (thỏa mãn điều kiện) x2 4 784 16 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc xe đạp từ A đến B 12 km/h Ví dụ 2: Cho hai địa điểm A B cách 100km Xe thứ từ A tới B, xe thứ hai khởi hành sau xe thứ theo hướng từ A tới B Hai xe gặp B Tính vận tốc xe, biết xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A 5km/h Lời giải: Gọi vận tốc xe từ A x (x > 0, km/h) Do xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A 5km/h nên vận tốc xe từ B x + (km/h) Thời gian xe thứ từ A tới B là: 100 (h) x Thời gian xe thứ hai từ A tới B là: 100 (h) x5 Do xe thứ hai khởi hành sau xe thứ theo hướng từ A tới B Hai xe gặp B Nên thời gian xe thứ từ A tới B tổng thời gian xe thứ hai từ A tới B thời gian khởi hành sau Ta có phương trình: 100 100 1 x5 x 100 100 1 x5 x 100 100 1 x5 x 100x x(x 5) 100(x 5) x(x 5) x(x 5) x(x 5) 100x x 5x 100x 500 x 5x 500 (*) Giải phương trình (*) ta có: 52 4.1.(500) 2025 > Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 5 2025 20 (thỏa mãn điều kiện xác định) 2.1 x2 5 2025 25 (không thỏa mãn điều kiện xác định) 2.1 Vậy vận tốc xe thứ 20 km/h vận tốc xe thứ hai 20 + = 25 km/h Dạng Toán quan hệ số Phương pháp giải: Biểu diễn số có hai chữ số: ab 10a b với a , b a, b số tự nhiên Tương tự với việc biểu diễn số có nhiều chữ số Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 Lời giải: Gọi chữ số hàng chục số tự nhiên có hai chữ số x (0 < x ≤ 5, x ) Do đó, chữ số hàng đơn vị – x Vì tổng bình phương hai chữ số 13 nên ta có phương trình x (5 x)2 13 x 25 10x x 13 2x 10x 12 (1) Giải phương trình (1) có: ' (5)2 2.12 25 24 > Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1 (5) (thỏa mãn điều kiện) x2 (5) (thỏa mãn điều kiện) Với x = chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Do số phải tìm 23 Với x = chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Do số phải tìm 32 Vậy có số tự nhiên thỏa mãn đề 23 32 Ví dụ 2: Tìm hai số chẵn nguyên dương liên tiếp biết tổng bình phương hai số 244 Lời giải: Gọi số thứ x ( x , x chia hết cho 2) Do hai số hai số chẵn nguyên dương liên tiếp nên ta có số thứ hai x + Theo đề bài, tổng bình phương hai số 244 nên có phương trình: x (x 2)2 244 x x 4x 244 2x 4x 244 2x 4x 240 x 2x 120 (*) Giải phương trình (*) ta có: 22 4.1.(120) 480 484 > Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: x1 2 484 2 22 20 10 (thỏa mãn điều kiện) 2.1 2 x2 2 484 2 22 24 12 (không thỏa mãn điều kiện) 2.1 2 Vậy hai số chẵn cần tìm 10 10 + = 12 Dạng 4: Tốn hình học Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức hình học diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thoi, diện tích tam giác vng, diện tích hình vng… Để lập phương trình giải tốn Ví dụ minh họa: Ví dụ Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé chiều dài m diện tích 320 mét vng Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất Lời giải: Gọi chiều dài mảnh đất x (m) ( x > 4) Chiều rộng mảnh đất x – (m) Theo đề bài, diện tích mảnh đất hình chữ nhật 320 mét vng nên ta có phương trình: x(x – 4) = 320 x 4x 320 (1) Giải phương trình (1) ta có: ' (2)2 1.(320) 324 > Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1 (2) 324 20 (thỏa mãn điều kiện) x2 (2) 324 16 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy chiều dài mảnh đất 20 m chiều rộng mảnh đất 16 m Ví dụ 2: Một ruộng tam giác có diện tích 180 m Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy lên 4m chiều cao tương ứng giảm 1m diện tích khơng đổi Lời giải: Gọi cạnh đáy ruộng x (m), (x > 0) Từ công thức tính diện tích tam giác ta có chiều cao ruộng 360 (m) x Cạnh đáy tăng lên 4m có chiều cao giảm 1m nên độ dài chiều cao là: 360 (m) x Vì sau cạnh đáy tăng lên 4m chiều cao tương ứng giảm 1m diện tích khơng đổi nên ta có phương trình 360 (x 4) 1 180 x 360 (x 4) 1 360 x 360 (x 4) 1 360 x 360 x (x 4) 360 x x (x 4) 360 x 360 x (x 4) 360 x 360x 360x x 1440 4x 360x x 356x 1440 360x x 4x 1440 (*) Giải phương trình (*) ta có: ' (2)2 (1).1440 1444 > Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: x1 (2) 1444 40 (không thỏa mãn điều kiện xác định) 1 x2 (2) 1444 36 (thỏa mãn điều kiện xác định) 1 Vậy cạnh đáy ruộng 36m Dạng Toán thực tế Phương pháp giải: Bước Lập phương trình: + Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số + Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số + Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết Bước Giải phương trình Bước Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) với đề để đưa kết luận Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một công ty vận tải điều số xe tải để chở 90 hàng Khi đến kho hàng có xe bị hỏng nên để chở hết lượng hàng xe lại phải chở thêm 0,5 so với dư định ban đầu Hỏi số xe điều đến chở hàng ? Biết khối lượng hàng chở xe Lời giải: Gọi x (xe) số xe tải dự định điều đến để chở hàng ( x , x > 2) 90 (tấn) Khi đến kho hàng có xe bị hỏng nên để x 90 chở hết lượng hàng xe phải chở (tấn) x2 Theo dự định xe chở: Vì thực tế xe phải chở thêm 0,5 nên ta có pt: 90 90 0,5 x2 x 90x 90(x 2) 0,5x(x 2) x(x 2) x(x 2) 0,5x(x 2) 90x 90(x 2) 0,5x(x 2) 90x 90x 180 0,5x x 0,5x x 180 (*) Giải phương trình (*) ta có: (1)2 4.0,5.(180) 361 > Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: x1 (1) 361 20 (thỏa mãn điều kiện) 2.0,5 x2 (1) 361 18 ( không thỏa mãn điều kiện) 2.0,5 Vậy số xe tải dự định điều đến để chở hàng 20 Ví dụ 2: Hai bác nơng dân đem tổng cộng 100 trứng chợ bán, số trứng hai người khơng Một người nói với người kia: Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng Người nói số trứng tơi 20 số trứng anh tơi bán đồng thơi Hỏi người có trứng ? Biết số tiền thu hai người Lời giải: Gọi số trứng người thứ x (0 < x < 100, x số tự nhiên) Số trứng người thứ hai 100 – x (quả) Do số trứng người thứ số trứng người thứ hai bác bán 15 15 đồng nên giá trứng người thứ (đồng) 100 x Do số trứng người thứ hai số trứng người thứ bác 20 20 bán đồng nên giá trứng người thứ hai (đồng) 3x Số tiền thu người thứ là: x 15 (đồng) 100 x Số tiền thu người thứ hai là: (100 x) 20 (đồng) 3x Do số tiền thu hai người nên ta có phương tình x 15 20 (100 x) 100 x 3x 15x 20(100 x) 100 x 3x 15x.3x 20(100 x)2 (100 x).3x (100 x).3x 45x 20(10000 200x x ) 45x 200000 4000x 20x 45x 20x 4000x 200000 25x 4000x 200000 (*) Giải phương trình (*) ta có: ' 20002 25.(200000) 9000000 > Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt: x1 2000 9000000 40 (thỏa mãn điều kiện) 25 x2 2000 9000000 200 (không thỏa mãn điều kiện) 25 Vậy số trứng người thứ 40 quả, số trứng người thứ hai 100 – 40 = 60 (quả) C Bài tập tự luyện Bài 1: Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất quy định Sau làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng suất lao động, ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định Vì mà cơng việc hồn thành sớm quy định ngày Tính xem, theo quy định, ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm 12 xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc ? Bài 2: Hai người làm chung công việc Bài 3: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nừa quãng đường lại Tính thời gian xe lăn bánh đường Bài 4: Một tam giác vng có chu vi 30cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác Bài 5: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 Bài 6: Tìm số học sinh hai lớp 8A 8B, biết chuyển học sinh từ lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp nhau, chuyển học sinh từ lớp 11 8B sang lớp 8A số học sinh 8B số học sinh lớp 8A 19 Bài 7: Năm ngối, hai đơn vị sản xuất nơng nghiệp thu hoạch 600 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngối Do đó, hai đơn vị thu hoạch 685 thóc Hỏi năm ngoái, đơn vị thu hoạch thóc ? Bài 8: Hai sân bay Hà Nội Đà Nẵng cách 600km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nẵng Hà Nội Sau 10 phút, máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nẵng với vận tốc lớn máy bay cánh quạt 300km/h Máy bay phản lực đến Đà Nẵng trước máy bay cánh quạt đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc máy bay ... Vậy cạnh đáy ruộng 36m Dạng Toán thực tế Phương pháp giải: Bước Lập phương trình: + Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số + Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số + Lập phương trình biểu thị tương quan... + = 12 Dạng 4: Tốn hình học Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức hình học diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thoi, diện tích tam giác vng, diện tích hình vng… Để lập phương trình giải tốn... có phương trình: 100 100 1 x5 x 100 100 1 x5 x 100 100 1 x5 x 100x x(x 5) 100(x 5) x(x 5) x(x 5) x(x 5) 100x x 5x 100x 500 x 5x 500 (*) Giải phương