Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng bài tập về tiếp tuyến 1 Lý thuyết Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)) Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) t[.]
Các dạng tập tiếp tuyến Lý thuyết - Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0(x0; f(x0)) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0(x0; f(x0)) là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 Các dạng tập Dạng Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) điểm M0(x0; f(x0)) là: y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) Trong đó: M0(x0; y0) gọi tiếp điểm k = f'(x0) hệ số góc Chú ý: - Nếu cho x0 vào y = f(x) tìm y0 - Nếu cho y0 vào y = f(x) tìm x0 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 Viết tiếp tuyến đồ thị hàm số cho a) Biết tiếp điểm M(1; 1) b) Biết hoành độ tiếp điểm c) Biết tung độ tiếp điểm Lời giải Đặt f(x) = x3 Khi đó: f'(x) = 3x2 a) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến M, ta có: k = f'(1) = Phương trình tiếp tuyến M là: y = 3(x – 1) + Hay y = 3x – b) Gọi M(xM; yM) tiếp điểm Hoành độ tiếp điểm xM = nên tung độ yM = (xM)3 = Vậy M(2; 8) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến M suy k = f'(2) = 12 Phương trình tiếp tuyến M là: y = 12(x – 2) + Hay y = 12x – 16 c) Gọi M(xM; yM) tiếp điểm Tung độ tiếp điểm yM x M x M M Gọi k hệ số góc tiếp tuyến M k f Phương trình tiếp tuyến M là: y 3 25 x 5 5 3 5;5 25 x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết: x 1 a) Tiếp điểm M có tung độ Ví dụ 2: Cho hàm số y b) Tiếp điểm M giao đồ thị hàm số với trục hoành c) Tiếp điểm M giao điểm đồ thị hàm số với trục tung Lời giải Đặt f x f x x2 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 2 a) Gọi M(xM; yM) tiếp điểm Tiếp điểm có tung độ: y M xM 2 2 x M M ;4 xM 1 3 2 Gọi klà hệ số góc tiếp tuyến M k f 3 2 Phương trình tiếp tuyến M là: y x y 9x 3 b) Gọi M(xM; yM) tiếp điểm Giao điểm đồ thị với trục hoành: y M xM x M M 2;0 xM 1 Gọi k hệ số góc tiếp tuyến M k f 2 Phương trình tiếp tuyến M là: y = x – c) Gọi M(xM; yM) tiếp điểm Giao điểm đồ thị với trục tung: x M y M x M 2 M 0;2 x M 1 Gọi k hệ số tiếp tuyến M Khi k = f'(0) = Phương trình tiếp tuyến M là: y = (x – 0) + Hay y = x + Dạng Tiếp tuyến biết hệ số góc: Phương pháp giải: Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (C) f'(x0) = k Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn x0 Bước 3: Phương trình tiếp tuyến (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0) Chú ý: * Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 d2 : y = a2x + b2, với a1, a2 hệ số góc d1 d2 Khi đó: a a d1 / /d b1 b d1 d a1.a 1 * Hệ số góc đường thẳng (d) y = ax + b là: k d a tan với góc nằm bên trục hoành tạo đường thẳng (d) chiều dương trục Ox Khi a > 0, ta có k tan a d Khi a < 0, ta có k d tan 1800 Ví dụ minh họa: 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y f (x) x x có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến (C) biết : a) Tiếp tuyến có hệ số góc b) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : y x c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020 Lời giải Ta có y' = f'(x) = x2 – x a) Gọi M x ; y0 C mà tiếp tuyến (C) M có hệ số góc k = x0 f '(x ) x 02 x x 1 1 5 * Với x0 = ta có y0 f (2)3 M1 2; 3 3 5 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M1 2; y 2(x 2) hay y 2x 3 3 * Với x0 = – ta có y0 f 1 1 M 1; 6 13 1 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M 1; y 2(x 1) hay y 2x 6 6 b) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) 1 Do tiếp tuyến vng góc với (d) y x nên k 1 k 6 Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến (C) M có hệ số góc k = x0 f '(x ) x 02 x x 2 * Với x0 = ta có y0 f (3) 11 11 M1 3; C 2 11 25 11 Phương trình tiếp tuyến C M1 3; y x 3 hay y 6x 2 2 * Với x0 = - ta có y0 f 2 11 11 M 2; C 3 11 25 11 Phương trình tiếp tuyến (C) M 2; là: y x hay y 6x 3 3 c) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc k 0 Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến (C) M có hệ số góc k = x0 f '(x ) x 02 x x0 * Với x0 = ta có y0 f M1 0;1 C Phương trình tiếp tuyến (C) M1(0; 1) y = * Với x0 = ta có y0 f 1 5 M 1; C 6 5 Phương trình tiếp tuyến (C) M 1; y 6 Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y f x 4x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x 1 (C) biết: a) tạo với Ox góc 450 b) song song với đường thẳng (d): 4x + y – = Lời giải TXĐ: D R \ 1 Ta có: y' f ' x x 1 4x 3 x 1 x 1 a) Gọi M x ; y0 C tiếp điểm tiếp tuyến Tiếp tuyến có hệ số góc k f x 0, x x Mà ;Ox 450 k tan 1800 450 tan 1350 1 2 1 x 1 x 1 x0 x0 (TM) x x * Với x0 = y0 f 4.2 M1 2;5 1 Phương trình tiếp tuyến điểm M1(2; 5) là: : y 1. x y x * Với x0 = y0 f 4.0 M 0;3 1 Phương trình tiếp tuyến điểm M2(0; 2) là: : y 1. x y x b) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến d : 4x y y 4x Do tiếp tuyến song song với đt d k 4 x0 x0 x x 2 x 1 x 1 * Với x0 = ta có y0 f 3 4.3 M1 3;3 1 Phương trình tiếp tuyến : y 4. x 3 y 4x 15 * Với x0 = – ta có y0 f 1 4. 1 7 M 1; 2 1 Phương trình tiếp tuyến y 4 x 1 y 4x 2 Dạng Tiếp tuyến qua điểm: Phương pháp giải: Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d M(x0; f(x0) Tính y' = f'(x) Hệ số góc tiếp tuyến d k = f'(x0) Phương trình đường thẳng d: y = f'(x0)(x – x0) + f(x0) Bước 2: Do đường thẳng d qua điểm A(xA; yA) Nên yA = f'(x0)(xA – x0) + f(x0) Phương trình đưa ẩn x0 Giải phương trình tìm x0 Bước 3: Với x0 tìm được, quay lại dạng Từ viết phương trình d Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9) Lời giải Gọi A x ;4x 30 6x 02 1 tiếp điểm của tiếp tuyến đồ thị hàm số f'(x) = 12x2 – 12x Ta có phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A d : y 12x 02 12x x x 4x 30 6x 02 Vì M d nên: 9 12x 02 12x 1 x 4x 30 6x 02 9 x A ; 8x 6x 12x 10 16 A 1; x 1 15 21 9 Với A ; , ta có phương trình tiếp tuyến là: y x 16 16 Với A 1; 9 , ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15 x2 có đồ thị (C) Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m 2x tiếp tuyến (C), biết (d) cắt trục hoành, trục tung hai điểm A, B tam giác OAB cân O Viết phương trình đường thẳng (d) Ví dụ 2: Cho hàm số y f x Lời giải 3 TXĐ :D R \ 2 Ta có y' f ' x 2x 3 x 2x 3 2x 3 2 Gọi M(x0; y0) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc k 2x 3 Tiếp tiếp (d): y = kx + m cắt Ox, Oy hai điểm A, B nên (d) không qua gốc tọa độ m 0,k m Do A Ox A ;0 ;B Oy B 0;m k Do tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên OA OB Do m k 1 k k2 Mà (d) có hệ số góc k m m m 1 k k k 1 2x 3 2 1 2x 3 2x 3 2x 2x 1 M1 1;1 x 1 y0 x 2 y0 M 2;0 * Phương trình tiếp tuyến (C) M1(–1; 1) d : y x 1 y x (không thỏa mãn) * Phương trình tiếp tuyến (C) M2(– 2; 0) d : y x y x Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số y 2x có đồ thị (H) Phương trình tiếp tuyến giao điểm x 3 (H) với trục hoành là: A y = 2x – B y = 3x + C y = – 2x + D y = 2x Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) = x3 – 2x2 + 3x điểm có hồnh độ x0 = – là: A y = 10x + B y = 10x – C y = 2x – D y = 2x – Câu Trong tiếp tuyến điểm đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ A – B C D Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = tan x điểm có hồnh độ x B C D 2 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – điểm có tung độ tiếp điểm là: A A y = 8x – 6, y = – 8x – B y = 8x – 6, y = – 8x + C y = 8x – 8, y = – 8x + D y = 40x – 57 có điểm M cho tiếp tuyến với x 1 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Tọa độ M là: Câu Trên đồ thị hàm số y A (2;1) 1 B 4; 3 4 C ; 7 3 D ; 4 4 Câu Tiếp tuyến paraboly = – x2 điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ tam giác vng Diện tích tam giác vng là: 25 5 25 B C D 4 Câu Cho hàm số y = x2 – 6x + có tiếp tuyến song song với trục hồnh Phương trình tiếp tuyến là: A A x = – B y = – C y = D x = x3 Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y 3x có hệ số góc k = – 9, có phương trình là: A y – 16 = – 9(x + 3) B y = – 9(x + 3) C y – 16 = – 9(x – 3) D y + 16 = – 9(x + 3) 4 có đồ thị (H) Đường thẳng vng góc với đường thẳng x d: y = – x + tiếp xúc với (H) phương trình Câu 10 Cho hàm số y A y = x + y x B y x y x C y x D Không tồn Câu 11 Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = – 9x – là: A B C D Câu 12 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 2x có đồ thị (C) Gọi x1, x2 hoành độ điểm M, N (C), mà tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y = – x + 2017 Khi x1 + x2 bằng: A B 4 Câu 13 Cho hàm số y C D -1 x2 x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) qua x 1 điểm A(– 1; 0) là: 3 A y x B y x 1 C y = 3(x + 1) D y = 3x + 4 Câu 14 Qua điểm A(0;2) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x – 2x2 + A B C D x2 Câu 15 Cho hàm số f x x 1, có đồ thị (C) Từ điểm M(2; -1) kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình: A y = – x + y = x – B y = 2x – y = – 2x + C y = – x – y = – x + D y = x + y = – x – Bảng đáp án C A A D A D D B A 10 C 11 D 12 A 13 B 14 B 15 A ... hệ số tiếp tuyến M Khi k = f''(0) = Phương trình tiếp tuyến M là: y = (x – 0) + Hay y = x + Dạng Tiếp tuyến biết hệ số góc: Phương pháp giải: Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến. .. 11 11 M 2; C 3 11 25 11 Phương trình tiếp tuyến (C) M 2; là: y x hay y 6x 3 3 c) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C) Do tiếp tuyến. .. x x có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến (C) biết : a) Tiếp tuyến có hệ số góc b) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : y x c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d''): y