Hệ thức Vi ét và ứng dụng A Lí thuyết Hệ thức Vi – ét Cho phương trình bậc hai một ẩn a 2x + bx + c = 0 (a ≠ 0) Nếu 1 2x ,x là nghiệm của phương trình thì ta có 1 2 1 2 b S x x a c P x x a [.]
Hệ thức Vi-ét ứng dụng A Lí thuyết - Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai ẩn a x + bx + c = (a ≠ 0) Nếu x1 , x nghiệm phương trình ta có: b S x x a P x x c a - Ứng dụng hệ thức Vi – ét: +) Nếu phương trình a x + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương trình có c nghiệm x1 = 1, nghiệm x a +) Nếu phương trình a x + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có c nghiệm x1 = -1, nghiệm x a +) Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình X SX P B Các dạng tập ví dụ minh họa Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Phương pháp giải: b S x x a - Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: P x x c a - Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình từ đề (dùng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức,…) để áp dụng công thức Vi-ét nhằm tính giá trị biểu thức theo ( x1 x ) ( x1.x ) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho phương trình x 5x có hai nghiệm phân biệt x1 ,x Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức x12 x 2 Lời giải: Xét phương trình x 5x có a = 1, b = 5, c = -6 Có a.c < nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có: b 5 x x 5 a x x c 6 6 a Mặt khác, ta có: x12 x 2 x12 2x1x x 2 2x1x x12 2x1x x 2 2x1x x1 x 2x1x 2 5 2.(6) = 37 Ví dụ 2: Cho phương trình x 7x có hai nghiệm phân biệt x1 ,x Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức 1 x1 x Lời giải: Xét phương trình x 7x có a = 1, b = 7, c = -4 Do a.c < nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x nên ta áp dụng hệ thức Vi-ét, có: b 7 x1 x a 7 x x c 4 4 a Mặt khác, ta có: 1 x1 x x2 x x1 x x1 x x x1 x1 x 7 4 Dạng 2: Tìm tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: - Tính biệt thức: b - 4ac ' b'2 - ac (với b = 2b’) để tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b S x x a - Áp dụng hệ thức Vi-ét cho hai nghiệm: P x x c a - Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình từ đề để áp dụng cơng thức Vi-ét nhằm tìm điều kiện m thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho phương trình x 5mx Tìm m để x1 , x nghiệm phương trình thỏa mãn: x12 x 2 6x1x Lời giải: Xét phương trình x 5mx (*) Để phương trình (*) có nghiệm khi: (5m)2 4.1.(4) 25m2 16 Mà m với m nên 25m2 16 với m Do đó, phương trình (*) có nghiệm với m Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x 5m x x 5m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x x 4 4 Mặt khác, ta có: x12 x 22 6x1x x12 2x1x x 2 4x1x x1 x 4x1x 5m 4.(4) 25m2 16 25m2 25 m2 m 1 Vậy m = m = -1 phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn: x12 x 22 6x1x Ví dụ 2: Cho phương trình x 2(m 1)x m (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x12 x 2 10 Lời giải: Xét phương trình x 2(m 1)x m (*) Ta có: 2(m 1) 4.1.(3 m) 4(m2 2m 1) 12 4m 4m2 8m 12 4m 4m2 4m 16 4m2 4m 15 (2m 1) 15 Ta có: (2m 1)2 với m (2m 1)2 15 với m Do đó, phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Gọi hai nghiệm phương trình x1 , x Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 2(m 1) x x 2m x x 3 m 3 m Mặt khác, ta có: x12 x 2 10 x12 2x1x x 22 2x1x 10 x1 x 2x1x 10 2m 2 2(3 m) 10 4m2 8m 2m 10 4m2 6m 2m(2m 3) m m m m 2m m m m 2m m m phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x12 x 2 10 Vậy m Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số Phương pháp giải: Để tìm hệ thức nghiệm x1 , x phương trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số ta làm sau: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1 , x b S x x a - Áp dụng hệ thức Vi-ét P x x c a - Biến đổi biểu thức kết cho khơng cịn chứa tham số Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho phương trình x 2(m 1)x m (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Lời giải: Xét phương trình x 2(m 1)x m (*) Ta có: ' (m 1) 1.(m 3) m2 2m m m2 3m 2 9 3 m .m m 4 2 2 3 3 Mà m với m nên ' m > với m 2 2 Do đó, phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 2(m 1) 2(m 1) x x 2m x x 2m 2 1 m x x 2x x m 2m m3 1 Từ hệ trên, ta dễ thấy: x1 x - 2x1.x = 2m – – (2m - 6) = không phụ thuộc vào m Vậy biểu thức liên hệ cần tìm x1 x - 2x1.x = Ví dụ Cho phương trình x 2(m 1)x 2m (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà không phụ thuộc vào m Lời giải: Xét phương trình x 2(m 1)x 2m ta có: ' (m 1)2 2m m2 2m 2m m2 Mà m với m nên ' m2 > với m Do đó, phương trình ln có hai nghiệm x1 , x với m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 2(m 1) x x 2m 2 x x 2m 2m Từ hệ trên, dễ thấy: x1 x + x1.x = - 2m - + 2m = -2 không phụ thuộc vào m Vậy biểu thức liên hệ cần tìm là: x1 x + x1.x = -2 Dạng 4: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm Phương pháp giải: +) Nếu phương trình a x + bx + c = (a ≠ 0) có a + b + c = phương trình có c nghiệm x1 = 1, nghiệm x a +) Nếu phương trình a x + bx + c = (a ≠ 0) có a - b + c = phương trình có c nghiệm x1 = -1, nghiệm x a Ví dụ minh họa: Ví dụ Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình: a) x 9x 10 b) x 8x Lời giải: a) Xét phương trình x 9x 10 có: a = 1, b = 9, c = -10 Ta có: a + b + c = + – 10 = Do đó, phương trình x 9x 10 có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 c 10 10 a Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {1; -10} b) Xét phương trình x 8x có: a = 1, b = 8, c = Ta có: a – b + c = – + = Do đó, phương trình x 8x có nghiệm x1 = -1, nghiệm c x 7 a Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {-1; -7} Ví dụ Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình: x 2(m 4)x 2m Lời giải: Xét phương trình x 2(m 4)x 2m có: a = 1, b = -2(m+4), c = 2m + Ta có: a + b + c = – 2(m + 4) + 2m + = – 2m – + 2m + = Do đó, phương trình x 2(m 4)x 2m có nghiệm x1 = 1, nghiệm x 2m 2m Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {1; 2m + 7} với m tham số Dạng 5: Tìm hai số biết tổng tích Phương pháp giải: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình X SX P Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai số có tổng tích Tìm hai số Lời giải: Nếu hai số có tổng tích hai số hai nghiệm phương trình x 6x Xét phương trình x 6x có a = 1, b = -6, c = Dễ thấy: a + b + c = – + = Do đó, phương trình có hai nghiệm x1 x Vậy hai số cần tìm 5 5 Ví dụ Cho hai số có tổng 17 tích 180 Tìm hai số Lời giải: Nếu hai số có tổng 17 tích 180 hai số hai nghiệm phương trình x 17x 180 Xét phương trình x 6x có (17)2 4.1.180 431 Do đó, phương trình vơ nghiệm Vậy khơng có số thỏa mãn u cầu đề C Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm giá trị tham số m để phương trình x 2x m (m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x12 x 22 3x1x 2m2 m Bài 2: Tìm giá trị tham số m để phương trình x 4x 3m (m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn x1 2x Bài 3: Tìm giá trị tham số m để phương trình x 2(m 1)x m2 (m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn | x1 | | x | 10 Bài 4: Cho phương trình 2x (2m 1)x m (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 5: Cho phương trình x 2(2m 1)x 4m (m tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 6: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: 3x 12x Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: 2021x 2022x Bài 8: Tìm hai số thực biết tổng chúng 14 tích chúng 13 ... tham số) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà khơng phụ thuộc vào m Bài 6: Áp dụng hệ thức Vi- ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: 3x 12x Bài 7: Áp dụng hệ thức Vi- ét để nhẩm...- Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình từ đề (dùng đẳng thức, nhân đa thức với đa thức, công trừ phân thức, …) để áp dụng cơng thức Vi- ét nhằm tính giá trị biểu thức theo ( x1 x ) (... a Ví dụ minh họa: Ví dụ Áp dụng hệ thức Vi- ét để nhẩm nghiệm phương trình: a) x 9x 10 b) x 8x Lời giải: a) Xét phương trình x 9x 10 có: a = 1, b = 9, c = -10 Ta có: a + b + c