Đang tải... (xem toàn văn)
Rút gọn phân thức đại số I Lý thuyết Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức Bước 2 Sử dụng các[.]
Rút gọn phân thức đại số I Lý thuyết Để rút gọn phân thức cho trước ta làm sau Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi tử thức mẫu thức Bước 2: Sử dụng tính chất phân thức học để rút gọn phân thức cho Nhắc lại tính chất phân thức - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho A A A.M (với phân thức; B, M 0) = B B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu ta phân thức phân thức cho A A:N = (với N nhân tử chung A B) B B: N - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức cho ta phân thức phân thức ban đầu A −A = (với B 0) B −B - Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức đồng thời đổi dấu phân thức ta phân thức phân thức cho A −A A =− =− (với B 0) B B −B II Các dạng tập Dạng 1: Rút gọn phân thức Phương pháp giải: Ta thực theo hai bước sau Bước 1: Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung Bước 2: Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung Chú ý: Có cần đổi dấu tử mẫu để nhận nhân tử chung tử mẫu (lưu ý tới tính chất A = – (– A)) 2x − x − 2x + Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: với x −3;x 1 x + 3x − x − Lời giải: 2x − x − 2x + x + 3x − x − x ( 2x − 1) − ( 2x − 1) = x ( x + 3) − ( x + 3) ( 2x − 1) ( x − 1) = ( x + 3) ( x − 1) = 2x − với x −3;x 1 x+3 9x y + 3x Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau với x, y 12xy5 + 4xy3 Lời giải: 9x y + 3x 12xy5 + 4xy3 = 3x ( 3y + 1) 4xy3 ( 3y + 1) 3x = 4xy3 = 3x với x, y 4y Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Chọn ba cách biến đổi sau Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái Cách 3: Biến đổi đồng thời hai vế Chú ý: Sử dụng tính chất phân thức để biến đổi, rút gọn Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức: 2x + 3xy + y = với y −2x; y x 2x + x y − 2xy − y3 x − y Lời giải: 2x + 3xy + y Đặt VT = 2x + x y − 2xy − y3 VP = x−y Ta biến đổi vế trái 2x + 3xy + y VT = 2x + x y − 2xy − y3 2x + 2xy + xy + y VT = 2x + x y − 2xy − y3 VT = 2x ( x + y ) + y ( x + y ) x ( 2x + y ) − y ( 2x + y ) VT = ( 2x + y )( x + y ) ( x − y2 ) ( 2x + y ) VT = x+y ( x + y )( x − y ) VT = = VP (điều phải chứng minh) x−y 4xy − 4x y + x 2xy − x − 2y + x Ví dụ 2: Cho P = Q = 4x − 8x y 4x − 4x Với x 0;x 1;x 2y Chứng minh P = Q Lời giải: Ta có: 4xy − 4x y + x P= 4x − 8x y P= x ( 4y2 − 4xy + x ) 4x ( x − 2y ) x ( x − 2y ) P= 4x ( x − 2y ) P= x − 2y (1) 4x Ta lại có Q= Q= 2xy − x − 2y + x 4x − 4x ( 2xy − 2y ) + ( x − x ) 4x − 4x Q= 2y ( x − 1) − x ( x − 1) −4x ( x − 1) Q= ( x − 1)( 2y − x ) −4x ( x − 1) Q= 2y − x −4x Q= x − 2y (2) 4x Từ (1) (2) P = Q (điểu phải chứng minh) Dạng 3: Chứng minh phân thức phân thức tối giản Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức mẫu thức có ước chung lớn -1 Bước 1: Gọi ước chung lớn tử thức mẫu thức d Bước 2: Chứng minh d = Chú ý: Cần vận dụng kiến thức liên quan đến ước bội, tính chất chia hết… + Khi a chia hết cho b, ta nói a bội b b ước a + Tính chất chia hết tổng(hiệu): a m (a b) m b m + Tính chất chia hết tích: a m ka m Ví dụ 1: Chứng minh phân thức sau tối giản với số tự nhiên n: a) 3n + 5n + b) 2n − 4n − Lời giải: a) 3n + 5n + Gọi ước chung lớn 3n + 5n + d ( 3n + 1) d ( 5n + ) d 5.( 3n + 1) d 3.( 5n + ) d (15n + ) d (15n + ) d (15n + ) − (15n + ) d (áp dụng tính chất chia hết hiệu) (15n + − 15n − ) d 1 d d = 1hoặc d = -1 Vậy b) 3n + phân số tối giản với n 5n + 2n − 4n − Gọi ước chung 2n – 4n − d ( 2n − 1) d ( 4n − ) d 2n ( 2n − 1) d ( 4n − ) d (áp dụng tính chất chia hết tích) ( 4n − 2n ) d ( 4n − ) d ( 4n − 2n ) − ( 4n − ) d (áp dụng tính chất chia hết hiệu) ( 4n − 2n − 4n + ) d ( −2n + ) d ( −2n + ) + ( 2n − 1) d (áp dụng tính chất chia hết tổng) ( −2n + + 2n − 1) d d d = 1hoặc d = -1 Vậy phân thức cho tối giản với n Ví dụ 2: Trong phân thức sau, phân thức tối giản 2n + a) n +1 b) 2n + 2n + Lời giải: 2n + a) n +1 Gọi d ước chung lớn 2n + n + ( 2n + 1) d ( n + 1) d ( 2n + 1) d 2 ( n + 1) d ( 2n + 1) d ( 2n + ) d ( 2n + 1) − ( 2n + ) d ( 2n + − 2n − ) d −1 d d = d = -1 2n + Vậy phân thức tối giản n +1 b) 2n + 2n + Gọi ước chung lớn 2n + 2n + d ( 2n + 1) d ( 2n + 3) d ( 2n + 1) − ( 2n + 3) d ( 2n + − 2n − ) d −2 d Ngồi hai ước – tử thức mẫu thức cho cịn có thêm ước Vậy phân thức 2n + không phân thức tối giản 2n + Dạng 4: Tìm giá trị nguyên biến x để phân thức đạt giá trị nguyên Phương pháp giải: Phân thức A(x) B( x ) Bước 1: Chia A(x) cho B(x) Khi ta A(x) m = C( x ) + B( x ) B( x ) Với C(x) đa thức nhận giá trị nguyên x nguyên, m số nguyên Bước 2: Để A(x) m nguyên nguyên hay B(x) Ư(m) B( x ) B( x ) Bước 3: Tìm giá trị x thỏa mãn kết luận Ví dụ: Tìm x nguyên để phân thức sau nhận giá trị nguyên a) x +1 b) 6x + 2x − Lời giải: a) Để phân thức nguyên ( x + 1) Ư(3) với điều kiện x -1 x +1 Ư(3) = −3; −1;1;3 x+1 x -3 -4 (thỏa mãn) Vậy để phân thức b) Để -1 -2 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) nguyên x −4; −2;0;2 x +1 6x + 6x − + 3( 2x − 1) 7 = = + = 3+ với x 2x − 2x − 2x − 2x − 2x − 6x + 7 nguyên + nguyên hay 2x − 2x − 2x − ( 2x − 1) Ư(7) Ư(7) = −7; −1;1;7 2x - -7 2x -6 x -3 (thỏa mãn) Vậy để phân thức -1 0 (thỏa mãn) (thỏa mãn) 6x + nguyên x −3;0;1;4 2x − III Bài tập vận dụng Bài 1: Tối giản phân thức sau x + y3 a) x − y4 2x y + x b) 4x y + 2xy Bài 2: Rút gọn phân thức sau: (thỏa mãn) −x + x3 + x − B= x + x + 3x + 2x + Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau: x y − 2xy + y3 xy − y = a) với x y; y −2x 2x − xy − y 2x + y b) x − xy + y − y x+y = với y y3 − 3y + 3y − − y + 2y − Bài 4: Chứng minh phân thức sau tối giản với số tự nhiên n a) 8n + 15 12n + 22 b) 3n + 2n + Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên a) A = x−2 b) B = 2x − 2x + x + 3x − c) C = x−2 x − 3x d) D = x −5 Bài 6: Các phân thức sau phân thức tối giản? n + 2n a) n + 3n + b) 4n + n −3 c) 7n − 3n − Bài 7: Cho hai phân thức sau 4x − 4xy + y −1 A= B = với y 2x 2 y − 6y x + 12yx − 8x 2x − y Hai phân thức có khơng? x7 − x + x3 − Bài 8: Rút gọn phân thức A = x + x5 + x + x + x + Bài 9: Rút gọn phân thức B = − x4 với x 1 x10 − x + 4x − 4x + 4x − Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức Với y 2x;a c ab + cx + ax + bc x+b ay + 2cx + 2ax + cy 2x + y ... có khơng? x7 − x + x3 − Bài 8: Rút gọn phân thức A = x + x5 + x + x + x + Bài 9: Rút gọn phân thức B = − x4 với x 1 x10 − x + 4x − 4x + 4x − Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức Với y 2x;a c... Vậy để phân thức -1 0 (thỏa mãn) (thỏa mãn) 6x + nguyên x −3;0;1;4 2x − III Bài tập vận dụng Bài 1: Tối giản phân thức sau x + y3 a) x − y4 2x y + x b) 4x y + 2xy Bài 2: Rút gọn phân thức sau:... thức cho cịn có thêm ước Vậy phân thức 2n + không phân thức tối giản 2n + Dạng 4: Tìm giá trị nguyên biến x để phân thức đạt giá trị nguyên Phương pháp giải: Phân thức A(x) B( x ) Bước 1: Chia