Các dạng toán về hình vuông I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau Tứ giác ABCD là hình vuông oA B C D 90 AB BC CD DA Nhận[.]
Các dạng tốn hình vng I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh A B C D 90o Tứ giác ABCD hình vng AB BC CD DA Nhận xét: a) Hình vng hình chữ nhật có cạnh b) Hình vng hình thoi có góc Như hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng c) Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng d) Hình thoi có góc vng hình vng e) Hình thoi có hai đường chéo hình vng II Các dạng tốn phương pháp giải Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vuông Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình vng Ví dụ: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Chứng minh tứ giác EFGH hình vng Lời giải: Vì ABCD hình vng nên AB = BC = CD = DA A B C D 90 Ta có: AB AE EB BC BF CF mà AB = BC = CD = DA AE = BF = CG = DH CD CG DG AD DH AH Nên EB = CF = DG = AH Xét tam giác AHE tam giác BEF có A B 90 AH = BE (chứng minh trên) AE = BF (giả thuyết) Do đó: AHE BEF (c – g – c) HE EF (hai cạnh tương ứng) (1); AEH EFB (hai góc tương ứng) Xét tam giác CFG tam giác DGH có C D 90 CF = DG (chứng minh trên) CG = DH (giả thiết) Do đó: CFG DGH (c – g – c) FG GH (hai cạnh tương ứng) (2) Xét tam giác CFG tam giác AHE có C A 90 CF = AH(chứng minh trên) CG = AE (giả thiết) Do đó: CFG AHE (c – g – c) FG HE (hai cạnh tương ứng) (3) Xét tứ giác EFGH ta có: FG = HE = GH = EF (theo (1), (2), (3)) Nên tứ giác EFGH hình thoi Lại có: FEB EFB 90 (do tam giác vuông) Mà AEH EFB (chứng minh trên) Nên AEH FEB 90 Mặt khác: AEH HEF FEB 180 HEF 90 Mà hình thoi EFGH có góc vng nên hình thoi EFGH hình vng Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình vng Ví dụ: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E, F cho AE = DF Chứng minh: a) Hai tam giác ADF BAE nhau; b) BE vuông góc với AF Lời giải: a) Vì ABCD hình vuông nên AB = AD D EAB 90 Xét hai tam giác ADF BAE ta có: AD = AB D EAB 90 AE = DF ( giả thiết) Do đó: ADF BAE (c – g – c) b) Gọi giao điểm BE AF G Ta có: DFA DAF 90 Mà DFA AEB ( hai góc tương ứng hai tam giác ADF BAE ) Nên AEB DAF 90 hay AEG EAG 90 Mà theo định lý tổng ba góc tam giác AEG ta có: AGE AEG EAG 180 AGE 90 180 AGE 90 BE AF G Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AC, AB chúng cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F a) Tứ giác AFME hình gì? b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng Lời giải a) Ta có tam giác ABC vng A nên AB AC Vì MF // AB nên MF AC AFM 90 Vì ME // AC nên ME AB AEM 90 Xét tứ giác AFME có: AFM 90 AEM 90 A 90 Do tứ giác AFME hình chữ nhật b) Để tứ giác AFME hình vng MF = ME (hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau) Ta có: B C (do tam giác ABC cân A) Mà B EMB 90 (tam giác MEB vuông E); C FMC 90 (tam giác FMC vuông F) Suy EMB FMC Xét tam giác MFC tam giác MEB có MFC MEB 90 MF = ME (giả thuyết hình vng) EMB FMC (cmt) Do đó: MFC MEB (cạnh góc vng góc nhọn kề nó) MB MC (hai cạnh tương ứng) hay M trung điểm BC Vậy để AFME hình vng M trung điểm BC III Bài tập tự luyên Bài 1: Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân b) Gọi I trung điểm EF Chứng minh BI = DI c) Chứng minh A, C, I thẳng hàng Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứu tự trung điểm AB, BC, CD, AD Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH a) Hình chữ nhật; b) Hình thoi; c) Hình vng Bài 3: Cho hình vng ABCD, lấy M cạnh DC Tia phân giác MAD cắt CD I Kẻ IH vng góc với AM H, tia IH cắt BC K Chứng minh: a) ABK AHK ; b) IAK 45 Bài 4: Cho đoạn thẳng AB điểm M thuộc đoạn thẳng Vẽ phía AB, hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh AE vng góc với BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng cố định AB Bài 5: Cho tam giác ABC, vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE BCKH BM đường trung tuyến tam giác ABC a) Chứng minh: DBH ABC 180 ; b) Vẽ hình bình hành DBHN Chứng minh ABC NHB ; c) Chứng minh: DH = 2BM; d) Chứng minh BM vuông góc với DH Bài 6: Cho hình vng ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Kẻ OF vng góc với AD, OG vng góc với CD Chứng minh: a) OB = FG OB vng góc với FG; b) Các đường thẳng BO, AG, CF đồng quy Bài 7: Cho hình vng ABCD Gọi I, K trung điểm AD DC a) Chứng minh BI vng góc với AK; b) Gọi E giao điểm BI AK Chứng minh CE = AB Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh BC CD lấy hai điểm M N cho MAN 45 Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BM Hãy tính: a) Số đo KAN ; b) Chu vi tam giác MCN theo a Bài 9: Trên cạnh BC, CD hình vng ABCD với AB = 1, ta lấy điểm M, N tương ứng cho chu vi tam giác MCN a) Chứng minh: MAN 45 b) Gọi P Q giao điểm BD với đoạn thẳng AM, AN Chứng minh đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh tam giác vuông Bài 10: Cho tứ giác ABCD có ADC BCD 90 Gọi I, N, J, M trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh tức giác INJM hình vng ... Vậy để AFME hình vng M trung điểm BC III Bài tập tự luyên Bài 1: Cho hình vuông ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân b)... thẳng hàng Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứu tự trung điểm AB, BC, CD, AD Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH a) Hình chữ nhật; b) Hình thoi; c) Hình vng Bài 3: Cho hình vng... 180 AGE 90 180 AGE 90 BE AF G Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông