Đang tải... (xem toàn văn)
Các dạng bài tập về hình thoi I Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ABCD là hình thoi AB = BC = CD = DA Nhận xét Hình thoi cũng là một hình bình hành 2 Tính chất[.]
Các dạng tập hình thoi I Kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh A B D C ABCD hình thoi AB = BC = CD = DA Nhận xét: Hình thoi hình bình hành Tính chất: - Hình thoi có tất tính chất hình bình hành - Trong hình thoi: a) Hai đường chéo vng góc với nhau; b) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết: a) Tứ giác có bốn cạnh hình thoi; b) Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi; c) Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi; d) Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi II Các dạng tập phương pháp giải Dạng Chứng minh tứ giác hình thoi Phương pháp giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AC = BD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi Lời giải Vì E trung điểm AB, F trung điểm BC nên EF đường trung bình tam giác ABC EF//AC (1) EF AC Vì G trung điểm DC, H trung điểm DA nên HG đường trung bình tam giác ADC HG//AC (2) HG AC HG//EF Từ (1) (2) HG EF Tứ giác EFGH hình bình hành Lại có G trung điểm DC, F trung điểm BC nên GF đường trung bình tam giác BCD 1 GF BD Mà BD = AC Nên GF = EF Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi nên tứ giác EFGH hình thoi Dạng Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình thoi o Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có B 60 Kẻ AE DC,AF BC a) Chứng minh AE = AF; b) Chứng minh tam giác AEF Lời giải: a) Vì ABCD hình thoi nên ta có: ADE ABF (tính chất) AD AB Lại có: AE CD AED 90 AF BC AFB 90 Xét tam giác ADE tam giác ABF có: ADE ABF AD AB AED BFA 90 ADE ABF (cạnh huyền – góc nhọn) AE AF (hai cạnh tương ứng) b) Xét ABF vng F ta có: BFA ABF FAB 180 90 60 FAB 180 FAB 30 Xét ADE vuông E ta có: DEA ADE EAD 180 90 60 EAD 180 EAD 30 Ta có: ABCD hình thoi nên AD // BC DAB B 180 (hai góc phía) Nên DAB 180 B 180 60 120 Lại có: DAB DAE EAF FAB 120 30 EAF 30 120 EAF 60 Xét AEF có: AE = AF EAF 60 Do đó: AEF tam giác Dạng Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, CD, BD, AC a) Chứng minh tứ giác MPNQ hình bình hành; b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện để tứ giác MPNQ hình thoi? Lời giải: a) Vì M trung điểm AB, P trung điểm BD nên MP đường trung bình tam giác ABD MP / /AD (1) MP AD Vì Q trung điểm AC, N trung điểm DC nên QN đường trung bình tam giác ACD NQ / /AD (2) NQ AD NQ / /MP Từ (1) (2) NQ MP Xét tứ giác MPNQ có: NQ // MP NQ MP Do đó: tứ giác MPNQ hình bình hành b) Để hình bình hành MPNQ hình thoi MP = MQ Vì M trung điểm AB, Q trung điểm AC nên MQ đường trung bình tam giác ABC MQ BC 1 Để MQ = MP BC AD hay BC AD 2 Vậy để MPNQ hình thoi hình thang ABCD phải có hai cạnh bên AD BC III Bài tập tự luyện Bài a) Cho hình thoi ABCD có hai đường cao AH, AK Chứng minh AH = AK b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK Chứng minh ABCD hình thoi Bài Hình thoi ABCD có A 60o Kẻ hai đường cao BE, BF Tam giác BEF tam giác gì? Vì sao? Bài Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh EF phân giác góc AED Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA a) EFGH hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy Bài Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P đường thẳng song song với AB cắt AC Q a) Tứ giác APMQ hình gì? Vì sao? b) Chứng minh PQ // BC Bài Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lấy điểm M N cho AM = DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC E F a) Chứng minh E F đối xứng qua AB; b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Bài Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F, G, H chân đường vng góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? Bài Hình thoi ABCD có A 60o Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh DC lấy điểm N cho AM = DN Tam giác BMN tam giác gì? Vì sao? Bài Dựng hình thoi ABCD biết cạnh 2cm, đường chéo 3cm Bài 10 Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E theo thứ tự cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi M, N, I, K theo thứ tự trung điểm BE, CD, DE, BC Chứng minh IK MN Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE Tia phân giác góc ABD ACE cắt O cắt AC, BD N, M Tia BN cắt CE K, tia CM cắt BD H Chứng minh: a) BN CM ; b) Tứ giác MNHK hình thoi Bài 12 Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi I, J trung điểm cạnh AB CD; K, H theo thứ tự trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh rằng: IJ HK Bài 13 Cho hình bình hành ABCD có AB = 2BC Gọi M, N trung điểm AB CD a) Chứng minh tứ giác AMND hình thoi b) Gọi E giao điểm AN DM; F giao điểm BN MC Tứ giác MENF hình gì? Vì sao? Bài 14 Cho hình thoi ABCD có AB = AC Kẻ AE BC E BC ; AF CD (F CD) a) Chứng minh AEF b) Biết AB = 4cm Tính độ dài đường chéo hình thoi Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE Tia phân giác góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự I K Tia phân giác góc EBC cắt AB, AC M N Chứng minh tứ giác MINK hình thoi Bài 16 Cho hình bình hành ABCD, đường chéo cắt O Gọi E, F, G, H theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác AOB, BOC, COD, DOA Chứng minh EFGH hình thoi Bài 17 Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi? ... AD 2 Vậy để MPNQ hình thoi hình thang ABCD phải có hai cạnh bên AD BC III Bài tập tự luyện Bài a) Cho hình thoi ABCD có hai đường cao AH, AK Chứng minh AH = AK b) Cho hình bình hành ABCD có... thoi Dạng Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình thoi o Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có B 60 Kẻ AE... E F đối xứng qua AB; b) Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi; c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện để tứ giác BCNE hình thang cân Bài Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo Gọi E, F,