Đang tải... (xem toàn văn)
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương I Lý thuyết 1 Bình phương của một tổng 2 2 2(A B) A 2AB B 2 Bình phương của một hiệu 2 2 2(A[.]
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Bình phương tổng, bình phương hiệu hiệu hai bình phương I Lý thuyết: Bình phương tổng: (A B)2 A2 2AB B2 Bình phương hiệu (A B)2 A2 2AB B2 Hiệu hai bình phương A2 B2 = (A – B)(A + B) II Các dạng bài: Dạng 1: Thực phép tính a Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp đẳng thức học để khai triển biểu thức b, Ví dụ minh họa: VD1: Thực phép tính: a, (x 2)2 = x2 2.x.2 = x2 4x 1)2 b, (2x = (2x)2 = 4x 22 2.2x.1 12 4x c, (3x – 1)(3x + 1) = (3x)2 12 = 9x - VD2: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng bình phương hiệu: a, 4x b, x 4x 8x 16 Giải: a, 4x = 2x 4x 2.2x.1 12 = (2x + 1) b, x 8x = x2 2.x.4 = x 16 42 2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức a Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt đẳng thức, lựa chọn vế dễ dàng áp dụng đẳng thức b Ví dụ minh họa: Chứng minh đẳng thức sau: a, x y2 y)2 (x y)2 Xét VP = (x 2xy 2xy = x2 2xy = x2 y2 = VT (đpcm) b, a - b y2 2xy = a + b – 4ab Xét VP = a + b – 4ab = a2 2ab b2 = a2 2ab b2 = (a b)2 = VT (đpcm) c, 4x 4ab (2x 1)2 Xét VP = (2x 1)2 = (2x)2 4x 4x 2.2x.1 12 = 4x 4x = 4x = VT (đpcm) 4x 4x Dạng 3: Tính nhanh a Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt đẳng thức cho số tự nhiên b Ví dụ minh họa: Tính nhanh: a, 222 = 20 = 202 2.20.2 22 = 400 +80 + = 484 b, 992 (100 1)2 = 1002 2.100.1 12 = 10000 – 200 + = 9801 c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1) = 202 12 = 400 – = 399 Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức a Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức cần ý: A2 A2 b Ví dụ minh họa: a, Chứng minh 9x 6x dương với x Giải: Xét: 9x 6x = (3x)2 2.3x.1 12 = (3x 1)2 = 9x 1)2 2 Ta có: (3x 1)2 (3x 6x với x > với x Vậy 9x dương với x 6x b, Chứng minh: x2 4x âm với x x2 7= x2 4x Xét: = (x = (x 4x 4x 4) 2)2 2)2 Ta có: (x với x (x 2)2 với x (x 2)2 x2 Vậy 3 < với x ln âm với x 4x c, Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x Ta có: M = x2 3x 2 3 3 x .x 2 2 2 3 = x .x = x .x 2 = x x M x 2 11 11 Ta có: x 3 2 với x 11 11 với x 11 x =0 3x x Vậy giá trị nhỏ biểu thức M = 11 đạt x B Lập phương tổng hiệu: I Lý thuyết: Lập phương tổng: A B A3 3A2B 3AB2 B3 Lập phương hiệu: A B A3 3A2B 3AB2 B3 II Các dạng bài: Dạng 1: Sử dụng đẳng thức để khai triển rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức: a Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức học để khai triển rút gọn biểu thức b Ví dụ minh họa: VD1: Thực phép tính: a, 2x = 2x 3 3.(2x)2 3.2x.13 13 = 8x3 12x 6x b, x = x3 3.x = x3 12x 3.x.42 48x 43 64 VD2: Rút gọn biểu thức: A 3x = 3x 3 4x(x 2) 2x 2 3x 3.3x.12 13 - 4x + 8x + 4x = 27x 27x + 9x – + 4x + = 27x 27x + 13x B= x 2x (x 2) x3 4x = x3 3x + 3x + - 2x + 4x + x = 7x 3x VD3: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng lập phương hiệu: a, x3 b, 12x x 27 48x x y 64 8xy 8y3 Giải: a, x3 12x = x3 3.x 48x 64 3.x.42 43 = (x + 4) b, x 27 x = x x y 3 8xy 2 x 2y 8y3 x.(2y) 3 2y VD4: Tính giá trị biểu thức sau: a, A = x3 6x 12x b, B = x 3x 3x x = 1001 6x 12x x = 48 Giải: a, A = x3 Ta có: A = x3 = x3 3x 2 6x 12x 3.x.22 23 = (x + 2) Thay x = 48 vào biểu thức A ta được: A = (48 + 2) = 50 = 125000 b, B = x 3x Ta có B = x = x3 3x x = 101 3x 3.x 3.x.12 3x 13 (2y)3 = (x – 1) Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được: B = (101 – 1) = 100 = 1000000 Dạng 2: Sử dụng đẳng thức để tính nhanh: a Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt đẳng thức để tính nhanh b Ví dụ minh họa: Tính nhanh: a, 1993 = 200 = 2003 3.2002.1 3.200.13 13 = 8000000 – 120000 + 600 – = 7880599 b, 1013 = 100 = 1003 3.1002.1 3.100.12 13 = 1000000 + 30000 + 300 + = 1030301 C Tổng hiệu hai lập phương: I Lý thuyết: Tổng hai lập phương: A3 B3 (A B)(A2 AB B2 ) AB B2 ) Hiệu hai lập phương: A3 B3 (A B)(A2 II Các dạng bài: Dạng 1: Sử dụng đẳng thức để rút gọn khai triển biểu thức: a Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức học để khai triển rút gọn biểu thức b Ví dụ minh họa: VD1: Thực phép tính: a, x 64 = x3 43 = (x 4)(x 4x 42 ) = (x 4)(x 4x 16) b, 8x 27 = (2x)3 33 = (2x – 3) [(2x)2 = (2x – 3) 4x 32 ] 2x.3 6x VD2: Rút gọn biểu thức: a, x = x x x 2)2 (x = (2x – 1) x 4x = (2x – 1)( x x 7) = 2x3 2x 14x x2 = 2x3 3x 15x b, (3x + 4)( 9x = (3x + 4) (3x)2 = 3x 12x (x x2 x x 2)(x 1) (x 1) 2 x2 2x 16) 3.4x 42 43 = 27x + 64 Dạng 2: Sử dụng đẳng thức để tính nhanh a, Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức học để phân tích tính Chú ý thêm: A3 B3 (A B)3 3AB(A B) A3 B3 (A B)3 3AB(A B) b, Ví dụ minh họa: Tính nhanh: a, 203 = (20 + 1)( 202 20 1) = 21.(400 - 20 + 1) =8400 - 420 + 21 = 7980 + 21 = 8001 b, 52 - = 523 23 = (52 – 2) + 3.52.2.(52 – 2) = 50 + 6.52.50 = 125000 + 300.52 = 125000 + 15600 = 140600 c, 19 = (20– 1) = 20 - - 3.20.1(20 – 1) = 8000 – – 60.19 = 8000 – – 1140 = 6859 III Bài tập tự luyện: Bài 1: Thực phép tính: a, x 2 b, 3x c, 2x d, (x 4)(x 4) ĐS: a, x = x2 4x 16 b, 9x 12x c, 4x 12x d, x 16 Bài 2: Thực phép tính: a, (x 3)3 b, (1 2x)3 c, x x d, (x – 3y)( x x 3xy 9y2 ) ĐS: a, x3 9x 27x 12x b, 6x c, x d, x 27y3 27 8x Bài 3: Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu: a, 9x - 12 + x2 b, x c, 4x y4 d, (x 12xy2 y)2 4(x y) ĐS: 2)2 a, (3x x b, 2 c, 2xy2 d, [(x y) 2]2 Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau: a, a b b) (a ab b, 2(x y2 ) y)2 (x y)2 (x ĐS: a, a b = ab a Xét VT = = b) (a a2 b b) (a b2 2ab (a b2 ) 2ab 4ab = ab = VP (đpcm) b, 2(x y2 ) (x y)2 (x Xét VP = (x y)2 (x y)2 = x2 y2 2xy x2 y)2 y2 2xy = 2x 2y2 = x2 y2 = VT (đpcm) Bài 5: Rút gọn biểu thức: a, A = (2x - 1)2 - 2(2x - 3)2 + b, B = (3x 2)2 c, C = (x 2xy)2 d, D = x 2.(2 3x)(1 2y) 2(x 2xy)y2 3x(x 1)2 ĐS: a, A = 4x 20x 13 b, B = (3x 2) = (3x 3)2 2y c, C = x 2xy (1 2y) y2 2 (2y 1) y4 3x (x 1) x3 x 2xy y2 = x 2 y x y x]3 d, D = [ x = (2x – 1) Bài 6: Rút gọn biểu thức: a, N = (2x + 3y)(4x - 6xy + 9y2 ) b, P = (x - y)(x + xy + y ) - (x + y)(x - xy + y 2) c, Q = ( x 2y )( x 2x y 4y2 ) - x (x – y)( x xy y2 )+8y ĐS: a, N = (2x)3 = (8x 27y3 ) b, P = (x = (3y)3 y3 ) (x y3 ) 2y3 c, Q = x = x6 8y3 (2y)3 x6 x (x x y3 y3 ) 8y3 8y3 = x y3 Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: a, A = 25x 10xy2 y4 x = 5, y = b, B = (x + 3)2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4); với x = c, C = 27x x d, D = 54x y 36xy2 y e, E = 27x 3z6 y 54x yz4 x 2 8y3 x = 4, y = 12 y 36xy2z2 x x = 206, y = 8y3 x = 25, y = 150, z = f, F = (6x + 2)( 9x 3x 1) – (x + 1)( x ĐS: a, A = 81 b, B = 11 c, C = d, D = 997552 e, E = f, F = 61 Bài 8: Tính nhanh: a, 29 b, 62.58 c, 102 d, 101 e, 91 + 3.91 + 3.91.9 + f, 18 - 3.18 + 3.18.8 - g, 183 23 h, 233 27 ĐS: a, 29 = (30 – 1) = 841 b, 62.58 = (60 + 2)(60 – 2) = 60 - 2 = 3596 c, 102 = (100 + 2) = 10404 x 1) x = d, 101 = (100 + 1) = 1030301 e, 91 + 3.91 + 3.91.9 + = (91 + 9) = 100 = 1000000 f, 18 - 3.18 + 3.18.8 - = (18 – 8) = 10 = 1000 g, 183 23 = (18 + 2) – 3.18.2(18 + 2) = 20 - 6.18.20 = 5840 h, 233 27 = 23 - 3 = (23 – 3) + 3.23.3.(23 – 3) = 20 + 9.23.20 = 12140 Bài 9: Tính giá trị biểu thức: a, A = 2(x y3 ) 3(x y2 ) biết x + y = b, B = x y3 c, C = 8x 27y3 biết xy = 2x – 3y = ĐS: a, A = -1 b, B = C = 485 3xy biết x + y = Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x: a, A =3(x – 1) - (x + 1) + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3) - (5 – 20x) b, B = -x(x + 2) + (2x + 1) + (x + 3)(x - 3x + 9) – ĐS: a, A = - 30 b, B = 27 Bài 11: Tính giá trị nhỏ biểu thức: a, A = x x b, B = x x c, C = x y2 d, D = x 10y2 3x 2y 6xy 10y 26 ĐS: a, A = x x Ta có: A = x 2 x = A b, B = x x Ta có: B = x 2 với x 13 x = Bmin c, C = x 13 với x 13 y2 3x 2y Ta có: C = x 3x (y = x Cmin d, D = x 2 (y 1)2 2y 1) với x x = y = -1 10y2 6xy 10y 26 Ta có: D = x = x 3y 9y2 6xy (y 5)2 (y2 10y 25) 1 với x x =15, y = Dmin Bài 12: Tìm giá trị lớn biểu thức: a, A = 12x – 4x + b, B = 6x - x + c, C = 12x – 8y – 4x - y + d, D = 2x – 6y - x - y - ĐS: a, A = 12x – 4x + Ta có: A = 2x 3 12 x = Amax 12 12 với x b, Bmax 12 x = c, Cmax 26 x = d, Dmax x = y = -3 y = - Bài 13: Chứng minh với a, b, c ta ln có: (a c)3 b a3 b3 c3 3(a b)(b c)(c a) ĐS: Hướng dẫn: Đặt a + b = A, B = c Ta có: VT = (a = A B b A3 c)3 B3 3A2B 3AB2 Thay vào ta được: A B A3 B3 3A2B c3 3(a b)2 c 3(a b)c2 3(a b)2 c = (a b)3 = a3 b3 c3 3a 2b 3ab2 = a3 b3 c3 3ab(a b) 3AB2 3(a b)2 c 3(a 3(a b)c2 b)c2 = a3 b3 c3 3(a b)[ab (a b).c = a3 b3 c3 3(a b)(ab ac bc = a3 b3 c3 3(a b)[a(b = a3 b3 c3 3(a b)(b c) c)(a c(b c2 ] c2 ) c)] c) = VP (đpcm) ... 1000000 f, 18 - 3. 18 + 3. 18. 8 - = ( 18 – 8) = 10 = 1000 g, 183 23 = ( 18 + 2) – 3. 18. 2( 18 + 2) = 20 - 6. 18. 20 = 584 0 h, 233 27 = 23 - 3 = (23 – 3) + 3.23.3.(23 – 3) = 20 + 9.23.20 = 12140 Bài 9: Tính... =84 00 - 420 + 21 = 7 980 + 21 = 80 01 b, 52 - = 523 23 = (52 – 2) + 3.52.2.(52 – 2) = 50 + 6.52 .50 = 1 2500 0 + 300.52 = 1 2500 0 + 15600 = 140600 c, 19 = (2 0– 1) = 20 - - 3.20.1(20 – 1) = 80 00 – –. .. 8: Tính nhanh: a, 29 b, 62. 58 c, 102 d, 101 e, 91 + 3.91 + 3.91.9 + f, 18 - 3. 18 + 3. 18. 8 - g, 183 23 h, 233 27 ĐS: a, 29 = (30 – 1) = 84 1 b, 62. 58 = (60 + 2)(60 – 2) = 60 - 2 = 3596 c, 102 =