5 y a CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU Học sinh nắm được Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và cách giải / x + b/ y = c / Một số dạng toán về hệ[.]
CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn ax + by = c cách giải / / / a x + b y = c - Một số dạng toán hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp cộng đại số 3x − y = 3x − 2(5 − 2x) = 2x + y = y = − 2x 3x − y = 3x − y = 7x = 14 2x + y = 4x + y = 10 2x + y = 3x −10 + 4x = 7x = 14 y = − 2x y = − 2x x = x = + y = y = 2 x = x = y = − 2.2 y = Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4x − y = 6x − 3y = 1) 2x + 3y = 4x + y = 10 2) x − (1+ 3) y = 5) (1 − 3)x + y = 3x − y + = 5x + y = 14 3) 0,2x + 0,1y = 0,3 6) 3x + y = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2x + y = 3x − y = 14 4) x=2 7) y x + y − 10 = (3x + 2)(2 y − 3) = 6xy 2(x + y) + 3(x − y) = 1) (4x + 5)( y − 5) = 4xy 3) 2) (x + y) + 2(x − y) = y − 5x + = y + 27 − 2x 4) x + 1+ y = y − 5x (2x − 3)(2 y + 4) = 4x( y − 3) + 54 (x + 1)(3y − 3) = 3y(x + 1) −12 1 (x + 2)( y + 3) − xy = 50 2 5) xy − (x − 2)( y − 2) = 32 2 (x + 20)( y −1) = xy 6) (x −10)( y + 1) = xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1x + 1y = 12 1) 15 + =1 x y x + y + y + 2x = 2) − =1 x + y y + 2x x + y = 13 3 x + y = 16 4) 5) 3x − y = −6 2 x − y = −11 2(x − 2x) + y + = 7) 3(x − 2x) − y + = −7 x3x +1 − y + = 3) 2x − =9 x + y + x + y = 18 6) 3 x + y = 10 5 x −1 − y + = 8) 2 2 4x − 8x + + y + y + = 13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x • Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) • Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vơ số nghiệm - Nếu b hệ vơ nghiệm ii) Nếu a (1) x = b a phương trình có nghiệm , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ mx − y = 2m(1) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: 4x − my = m + 6(2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – hay m x = (2m + 3)(m − 2) = 2m + Khi y = - m m2 − 2m + Hệ có nghiệm nhất: ( m+2 m+2 ;- m ) m+2 m+2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m + ;- m+2 m ) m+2 - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R - Nếu m = -2 hệ vơ nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + y = 3m −1 1) x + my = m + mx + y = 10 − m (m −1)x − my = 3m −1 2) 3) x + my = 2x − y = m + x − my = + m x + my = 3m 5) 4) 2 mx + y = 1+ m mx − y = m − 2x − y = + 2m 6) mx + y = (m + 1) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: • Giải hệ phương trình theo tham số • Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m) • Tìm m ngun để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx + y = m + 2x + my = 2m −1 HD Giải: 2mx + y = 2m + mx + y = m + 2 2x + my = 2m −1 2mx + m y = 2m − m (m2 − 4) y = 2m2 − 3m − = (m − 2)(2m + 1) 2x + my = 2m −1 để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với m hệ phương trình có nghiệm y = (m − 2)(2m + 1) = 2m + = − m+2 m+2 m2 − x = m −1 = 1− m+2 m+2 Để x, y số nguyên m + Ư(3) = 1;−1;3;−3 Vậy: m + = 1, => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m + 1)x + y = m −1 2 mx − y = m + 2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx − (m + 1) y = m − n (m + 2)x + 3ny = 2m − HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b cho ax + b f(- ) = a f ( 1) a + b − = = Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 8 f (−3) = 18a − 3b − = d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f (2) = 4a + 2b = a = −1 f (−1) = a − b = −4 b = Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2a + b = a = −1 a + b = b = Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = nghiệm hệ phương trình: 3x + y = x = 0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25) x + 2y = y = 1,25 Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; mx – (m – 1)y = 2m – x - y = 2m ; b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx + y = Cho hệ phương trình: x + my = Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 2x + y + 38 m −4 =3 HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m - Giải hệ phương trình theo m mx + y = x + my = - Thay x = 8m − (m2 − 4) y = 8m − mx + y = y=m2−4 x = 9m − 32 mx + m y = 8m x + my = m −4 9m − 32 8m − ; y = vào hệ thức cho ta được: m −4 m2 − 8m − 9m2 − 32 + + m −4 m −4 38 = m2−4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = m1 = ; m2 = 23 Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx + y = 10 − m Cho hệ phương trình x + my = (m tham số) a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m −1)x − my = 3m −1 Cho hệ phương trình : 2x − y = m + a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3x + y = Cho hệ phương trình 2x − y = m a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx + y = Cho hệ phương trình: x + my = a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm Bài 5: x + my = Cho hệ phương trình: mx − 3y = a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 m2 + -3 Bài 6: Cho hệ phương trình: mx − y = 3x + my = a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài 7: 3x − my = −9 Cho hệ phương trình mx + y = 16 a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình ln ln có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = ... 2m −1 HD Giải: 2mx + y = 2m + mx + y = m + 2 2x + my = 2m −1 2mx + m y = 2m − m (m2 − 4) y = 2m2 − 3m − = (m − 2) (2m + 1) 2x + my = 2m −1 để hệ có nghiệm m2 – hay m Vậy với... y=m2−4 x = 9m − 32 mx + m y = 8m x + my = m −4 9m − 32 8m − ; y = vào hệ thức cho ta được: m −4 m2 − 8m − 9m2 − 32 + + m −4 m −4 38 = m2−4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26 m... hay m x = (2m + 3)(m − 2) = 2m + Khi y = - m m2 − 2m + Hệ có nghiệm nhất: ( m +2 m +2 ;- m ) m +2 m +2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vơ số nghiệm (x, 2x-4) với x R