1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

chuyen de he phuong trinh bac nhat hai an on thi vao lop 10

10 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 502 KB

Nội dung

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax  by  c  a ' x  b ' y  c ' + Cặp số  x0 ; y0  gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y  ax  b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A  1;3 , B  2;  2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3  a  b b   a a    Vậy a  1, b     2a  b   a   a b   a  THCS.TOANMATH.com 2) Tương tự phần (1) ta có hệ: 4  a.0  b b  4 a       2a  b 2a  b  b  4 Vậy a  2, b  4 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x  y   a)     1  x y b)  x  x 1     x   x  1  y 3  2x 1  x  y  y 1  c)  3y 2 x     1  y 1 x y Lời giải: 1 a) Đặt u  ; v  Theo đề ta có hệ phương trình: x y v   u u  v  5u  u      3u  2v  1 3u    u   1 v   u v  Từ suy ra: x  b) Đặt u   1; u y 1  v x y ;v  Theo ta có hệ phương trình: x 1 y 1 u  v  u   v u   v u      u  3v  1 3  v  3v  1 4v  4 v    x  x  2  x    x  2x     Từ suy ra:   y  1  y   y  y   y  THCS.TOANMATH.com a  x  1  c) Điều kiện x  , x  y  Đặt  ta có hệ phương b  x  y  trình  2x 1  a  b  a   x       2a  b  b  y   x  y 1  Vậy hệ có nghiệm x  1; y  x  y  Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y   1  2 a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x, y  x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  y Giải: a) Với m  ta có hệ phương trình:  x  y  x  y  x  x  y       2 x  y  3 y  6  y  2 2  y    y  b) Từ phương trình (1) ta có x  y  Thay x  y  vào phương trình (2) ta được: m  y    y    2m  1 y   5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m    m  THCS.TOANMATH.com Từ ta được: y   5m ; 2m  x   2y  Do x, y    5m   m  c)Ta có: x  y   5m  2m  2m  Từ (4) suy 2m    m    5m  Ta có: x y  2m   2m  1 (thỏa mãn điều kiện) (4) 1 Với điều kiện m  ta có: 2  m   l    5m       5m    Vậy m    5m  3 m    x  my  m  Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y  3m   1  2 a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm  x, y  mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm  x, y  điểm M  x, y  chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y  3m   mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x  m  3m   mx   m    m  1 x  3m  2m  (3) THCS.TOANMATH.com Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m    m  1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : m   m2   m  1 m b) Từ phương trình (2) ta có y  3m   mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x  m  3m   mx   m    m  1 x  3m  2m  (3) Trường hợp 1: m  1 Khi hệ có nghiệm  3m  2m   m  1  3m  1 3m  x     m2    m  1  m  1 m   3m  m    y  3m   m m   m  Trường hợp 2: m  Khi phương trình (3) thành: 0.x  Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng  x;  x  , x  ¡ Trường hợp 3: m  1 phương trình (3) thành: 0.x  (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m  1 3m    x  m    m  Ta có:  Vậy x, y nguyên m  y   1 m 1 m 1  nguyên Do m  2; 1;1; Vậy m 1 m  3; 2;0 (thỏa mãn) m  (loại) THCS.TOANMATH.com Vậy m nhận giá trị 3; 2; d) Khi hệ có nghiệm  x, y  ta có: x  y  3 2    1   m 1  m 1  Vậy điểm M  x; y  ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y  x  e) Khi hệ có nghiệm  x; y  theo (d) ta có: y  x  Do đó: xy  x  x    x  x     x  1   1 Dấu xảy khi: x 1 3 2 1   m 1   m  m 1 m 1 Vậy với m  x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x  y  theo cách khác:  x  my  m  Khi hệ phương trình  mx  y  3m   m  1  1  2 có nghiệm lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được:  m  1 x   m  1 y   m  1  x  y   x  my   4m Ví dụ Cho hệ phương trình:  Chứng minh  mx  y  3m  với m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi  x0 ; y0  cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0  y0   x0  y0   10  (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: THCS.TOANMATH.com Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y  3m   mx 2 thay vào phương trình  1 hệ ta có:  m  1 x  3m  3m  Do m   với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi  x0 ; y0  nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có:  x0   m  y0   Nhân hai vế phương trình thứ với   y0   m   x0    x0  , phương trình thứ hai với  y0   trừ hai phương trình cho ta được:   x0   x0     y0    y0  1   x0  y0   x0  y0   10  Ngoài ta giải theo cách khác sau:  d  : x  my  4m   0,  d ' : mx  y  3m   Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng  d  qua điểm cố định: A  2;  đường thẳng  d '  qua điểm cố định : B  3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d ) đường thẳng (d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M  x0 ; y0  giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vng M Gọi I trung điểm AB 5 5 I  ; , AB  10 suy 2 2 2  5  5  2 IM  AB  IM  AB   x0     y0     10 2      x0  y0   x0  y0   10  (1)  x  my  Ví dụ Cho hệ phương trình:  mx  y  2m  (2) THCS.TOANMATH.com Hệ có nghiệm  x, y  , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P  x  y (1) b) Q  x  y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y  2m   mx Thay vào phương trình (1) ta được: x  m  2m   mx     m  1 x  2m2  m  (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m    m  1  2m  m   m  1  2m  3 2m  x     2  m 1 m 1   m  1  m  1 m  Khi  2m    y  2m   m m   m  a) Ta có: P  x   x    x  12 x  12   x  3   P  x  2m  3    4m   3m   m  3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q  x  y  x   x   đặt t  x  THCS.TOANMATH.com Khi Q   t  1   t  1  t  4t  6t  4t   t  4t  6t  4t   2t  12t   4 Q   t   x 1 2m    2m   m   m  2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q  mx   m  1 y  Ví dụ 7): Cho hệ phương trình:  Chứng  m  1 x  my  8m  minh hệ ln có nghiệm   x; y  tìm GTLN  2 biểu thức P  x  y   y Lời giải: Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d2  :  m  1 x  my  8m   + Nếu m   d1  : y    d  : x   suy  d1  ln vng góc với  d  + Nếu m  1 ln vng góc với  d1  : x    d2   d  : y  11  suy  d1  + Nếu m   0;1 đường thẳng  d1  ,  d  có hệ số góc là: a1   m m 1 , a2  suy a1.a2  1  d1    d  m 1 m Tóm lại với m hai đường thẳng  d1  ln vng góc với  d  Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d  :  m  1 x  my  8m   vng THCS.TOANMATH.com góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I  x; y  , đường thẳng  d1  qua A  1;1 cố định, đường thẳng  d  qua B  3; 5  cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M  1; 2  trung điểm AB MI  AB 2   x  1   y    13 (*)   P   x  1   y    x  y    x  y  2   x    y      hay P  10    x    y    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  x    y         x  1   y     52  x    y        52  13 Vậy P  10   13 THCS.TOANMATH.com ... với m hai đường thẳng  d1  ln vng góc với  d  Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y   0;  d  :  m  1 x  my  8m   ln vng THCS.TOANMATH.com... phương trình ta có:  x0   m  y0   Nhân hai vế phương trình thứ với   y0   m   x0    x0  , phương trình thứ hai với  y0   trừ hai phương trình cho ta được:   x0   x0 ... đường thẳng (d '') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M  x0 ; y0  giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB 5 5 I  ; , AB  10 suy 2 2 2  5  5  2 IM

Ngày đăng: 04/12/2022, 15:16

w