HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax by c a ' x b ' y c ' + Cặp số x0 ; y0 gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y ax b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A 1;3 , B 2; 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 a b b a a Vậy a 1, b 2a b a a b a THCS.TOANMATH.com 2) Tương tự phần (1) ta có hệ: 4 a.0 b b 4 a 2a b 2a b b 4 Vậy a 2, b 4 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x y a) 1 x y b) x x 1 x x 1 y 3 2x 1 x y y 1 c) 3y 2 x 1 y 1 x y Lời giải: 1 a) Đặt u ; v Theo đề ta có hệ phương trình: x y v u u v 5u u 3u 2v 1 3u u 1 v u v Từ suy ra: x b) Đặt u 1; u y 1 v x y ;v Theo ta có hệ phương trình: x 1 y 1 u v u v u v u u 3v 1 3 v 3v 1 4v 4 v x x 2 x x 2x Từ suy ra: y 1 y y y y THCS.TOANMATH.com a x 1 c) Điều kiện x , x y Đặt ta có hệ phương b x y trình 2x 1 a b a x 2a b b y x y 1 Vậy hệ có nghiệm x 1; y x y Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 1 2 a) Giải hệ phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x y Giải: a) Với m ta có hệ phương trình: x y x y x x y 2 x y 3 y 6 y 2 2 y y b) Từ phương trình (1) ta có x y Thay x y vào phương trình (2) ta được: m y y 2m 1 y 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m m THCS.TOANMATH.com Từ ta được: y 5m ; 2m x 2y Do x, y 5m m c)Ta có: x y 5m 2m 2m Từ (4) suy 2m m 5m Ta có: x y 2m 2m 1 (thỏa mãn điều kiện) (4) 1 Với điều kiện m ta có: 2 m l 5m 5m Vậy m 5m 3 m x my m Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 3m 1 2 a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm x, y mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm x, y điểm M x, y chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x m 3m mx m m 1 x 3m 2m (3) THCS.TOANMATH.com Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m m 1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm : m m2 m 1 m b) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương 2 trình (1) ta được: x m 3m mx m m 1 x 3m 2m (3) Trường hợp 1: m 1 Khi hệ có nghiệm 3m 2m m 1 3m 1 3m x m2 m 1 m 1 m 3m m y 3m m m m Trường hợp 2: m Khi phương trình (3) thành: 0.x Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng x; x , x ¡ Trường hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m 1 3m x m m Ta có: Vậy x, y nguyên m y 1 m 1 m 1 nguyên Do m 2; 1;1; Vậy m 1 m 3; 2;0 (thỏa mãn) m (loại) THCS.TOANMATH.com Vậy m nhận giá trị 3; 2; d) Khi hệ có nghiệm x, y ta có: x y 3 2 1 m 1 m 1 Vậy điểm M x; y ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y x e) Khi hệ có nghiệm x; y theo (d) ta có: y x Do đó: xy x x x x x 1 1 Dấu xảy khi: x 1 3 2 1 m 1 m m 1 m 1 Vậy với m x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x y theo cách khác: x my m Khi hệ phương trình mx y 3m m 1 1 2 có nghiệm lấy phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được: m 1 x m 1 y m 1 x y x my 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh mx y 3m với m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi x0 ; y0 cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0 y0 x0 y0 10 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: THCS.TOANMATH.com Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y 3m mx 2 thay vào phương trình 1 hệ ta có: m 1 x 3m 3m Do m với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi x0 ; y0 nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 m y0 Nhân hai vế phương trình thứ với y0 m x0 x0 , phương trình thứ hai với y0 trừ hai phương trình cho ta được: x0 x0 y0 y0 1 x0 y0 x0 y0 10 Ngoài ta giải theo cách khác sau: d : x my 4m 0, d ' : mx y 3m Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định: A 2; đường thẳng d ' qua điểm cố định : B 3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng (d ) đường thẳng (d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M x0 ; y0 giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vng M Gọi I trung điểm AB 5 5 I ; , AB 10 suy 2 2 2 5 5 2 IM AB IM AB x0 y0 10 2 x0 y0 x0 y0 10 (1) x my Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 2m (2) THCS.TOANMATH.com Hệ có nghiệm x, y , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P x y (1) b) Q x y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y 2m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 2m mx m 1 x 2m2 m (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m m 1 2m m m 1 2m 3 2m x 2 m 1 m 1 m 1 m 1 m Khi 2m y 2m m m m a) Ta có: P x x x 12 x 12 x 3 P x 2m 3 4m 3m m 3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q x y x x đặt t x THCS.TOANMATH.com Khi Q t 1 t 1 t 4t 6t 4t t 4t 6t 4t 2t 12t 4 Q t x 1 2m 2m m m 2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q mx m 1 y Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: Chứng m 1 x my 8m minh hệ ln có nghiệm x; y tìm GTLN 2 biểu thức P x y y Lời giải: Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d2 : m 1 x my 8m + Nếu m d1 : y d : x suy d1 ln vng góc với d + Nếu m 1 ln vng góc với d1 : x d2 d : y 11 suy d1 + Nếu m 0;1 đường thẳng d1 , d có hệ số góc là: a1 m m 1 , a2 suy a1.a2 1 d1 d m 1 m Tóm lại với m hai đường thẳng d1 ln vng góc với d Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m vng THCS.TOANMATH.com góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I x; y , đường thẳng d1 qua A 1;1 cố định, đường thẳng d qua B 3; 5 cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M 1; 2 trung điểm AB MI AB 2 x 1 y 13 (*) P x 1 y x y x y 2 x y hay P 10 x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x y x 1 y 52 x y 52 13 Vậy P 10 13 THCS.TOANMATH.com ... với m hai đường thẳng d1 ln vng góc với d Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m ln vng THCS.TOANMATH.com... phương trình ta có: x0 m y0 Nhân hai vế phương trình thứ với y0 m x0 x0 , phương trình thứ hai với y0 trừ hai phương trình cho ta được: x0 x0 ... đường thẳng (d '') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M x0 ; y0 giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB 5 5 I ; , AB 10 suy 2 2 2 5 5 2 IM