cac dang bai tap he hai phuong trinh bac nhat hai an

Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn §1 Phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 1.1 Tóm tắt lý thuyết Phương trình hệ hai phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng ax ® + by = c (1) với a, b không đồng thời ax + by = c Hệ phương trình bậc hai ẩn x, y có dạng (2) với a, b khơng đồng thời ax+by =c a , b không đồng thời Cặp số (x0 ; y0 ) gọi nghiệm (1) (x0 ; y0 ) thỏa (1) Cặp số (x0 ; y0 ) gọi nghiệm (2) (x0 ; y0 ) thỏa mãn hai phương trình (2) Ơ Ví dụ Kiểm tra cặp số sau có phải nghiệm phương trình 2x − y − = hay không? a) (1; 1); b) (0,5; 3) Lời giải Thay x = y = vào phương trình, ta có · − − = Vậy (1; 1) nghiệm phương trình Thay x = 0, y = vào phương trình, ta có · 0, − − = −3 = Vậy (0,5; 3) khơng nghiệm phương trình 1.2 Tập nghiệm phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ln có vơ số nghiệm biểu diễn đường thẳng ax + by = c (3)  x ∈ R Nếu a = b = (3) có nghiệm tổng quát a c y = − x + b b  x = c a Nếu a = b = (3) có nghiệm tổng quát y ∈ R 174 Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 175  x ∈ R Nếu a = b = (3) có nghiệm c y = b Ơ Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau a) 3x − y = 2; b) x + 5y − = 0; c) 4x + 0y = −2; d) 0x + 2y = Lời giải a) 3x − y = ⇔ y = 3x − Vậy ® phương trình có nghiệm tổng qt x∈R y = 3x − b) x + 5y − = ⇔ x = −5y + Vậy ® phương trình có nghiệm tổng qt x = −5y + y ∈ R c) 4x + 0y = −2 Phương trình có nghiệm tổng qt  x = −  y ∈ R d) 0x + 2y = Phương trình có nghiệm tổng qt  x ∈ R y = 2 Các tốn nâng cao Dạng 48 Xét xem cặp số có phải nghiệm phương trình khơng Áp dụng tảng kiến thức Thực hành tốt kĩ tính tốn biểu thức ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Trong cặp số (2; 1), (3; −1), (0; 5), cặp số nghiệm phương trình x + 2y − = Lời giải Với (2; 1), ta có + · − = ⇒ (2; 1) nghiệm Với (3; −1), ta có + · (−1) − = −3 = ⇒ (3; −1) không nghiệm Với (0; 5), ta có + · − = = ⇒ (0; 5) không nghiệm Tài liệu Toán của: Phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 176 Dạng 49 Tìm nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình y = 3x − Biến đổi biểu thức để đưa x theo y y theo x ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau a) 3x − y − = 0; b) 0x + 2y = Lời giải ® a) 3x−y−2 = ⇔ y = 3x−2 ⇔ x∈R y = 3x − y y = 3x − 2  x ∈ R b) 0x + 2y = ⇔ y = ⇔ y = 2 y y= 2 O −2 −1 1 x −1 −2 O −1 −1 Dạng 50 Xác định tham số biết nghiệm phương trình Thực hành tốt kỹ tính biểu thức ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm m trường hợp sau (1; 2) nghiệm phương trình mx + y − = 0; Điểm A(0; 3) thuộc đường thẩng 4x + my − = Lời giải Thay x = 1, y = vào phương trình ta có m · + − = ⇔ m = Thay x = 0, y = vào đường thẳng, ta có · + m · = ⇔ m = Giáo viên: x y= Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 177 Dạng 51 Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình bậc ® Xét hệ ax + by = c Nếu ax+by =c a b = hệ phương trình có nghiệm a b a b c = = hệ phương trình vơ nghiệm a b c a b c = = hệ phương trình có vơ số nghiệm a b c ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Khơng vẽ đồ thị, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau ® ® 2x + y = x−y =2 a) b) x − y = 1; −2x + 2y = Lời giải ® ® a) 2x + y = x − y = Ta có = nên hệ có nghiệm −1 b) x−y =2 −2x + 2y = −1 = = nên hệ vô nghiệm Ta có −2 Dạng 52 Hai hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có chung tập nghiệm Hai hệ phương trình vơ nghiệm coi tương đương ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Xét tương đương cặp hệ phương trình sau ® ® 2x − y = 2x − y = 1 (1) (2) x − 2y = −1 x − y = 0; ® ® x−y =1 x−y =1 (3) (4) 2x + y = 2x − y = Lời giải ® ® 2x − y = 2x − y = x − 2y = −1 x − y = ® ® ® ® 2x − y = 2x − y = 2x − y = 2x − y = ⇔ ⇔ ⇔ x − 2y = −1 x − 2y = −(2x − y) 3x − 3y = x − y = ® ® 2x − y = 2x − y = Vậy (1) (2) hai hệ tương đương x − 2y = −1 x−y =0 Tài liệu Toán của: Phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 178 ® x−y =1 x−y =1 (4) (3) 2x − y = 2x + y = Ta thấy ®cặp số (2; 1) thỏa (3) ® khơng thỏa (4) x−y =1 x−y =1 không tương đương (4) Vậy (3) 2x − y = 2x + y = ® Luyện tập Bài Cho phương trình mx + (m + 1)y = Với m = 1, xét xem cặp số sau, cặp số nghiệm phương trình i) (3; −2); ii) (0; 1); iii) (−1; 0) Tìm nghiệm tổng quát phương trình ứng với i) m = −1; ii) m = Tìm giá trị m tương ứng phương trình nhận cặp số sau làm nghiệm i) (3; 1); ii) (2; 3) Lời giải Với m = 1, ta có phương trình 2x + 3y = i) Thay x = 3, y = −2 vào phương trình, ta có · + · (−2) = = nên (3; −2) khơng nghiệm phương trình ii) Thay x = 0, y = vào phương trình, ta có · + · = nên (0; 1) nghiệm phương trình iii) Thay x = −1, y = vào phương trình, ta có · (−1) + · = −2 = nên (−1; 0) không nghiệm phương trình Tìm nghiệm tổng quát i) Với m = −1 ta có phương trình −1 · x +®(−1 + 1)y = ⇔ x = −3 x = −3 Vậy phương trình có nghiệm tổng qt y ∈ R ii) Với m = ta có phương trình 2x + 3y = ⇔ y = − x +  x ∈ R Vậy phương trình có nghiệm tổng quát  y = − x + 3 Hoặc: 2x + 3y = ⇔ x = − y + 2  x = − y + 2 Vậy phương trình có nghiệm tổng qt  y ∈ R Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 179 Tìm giá trị m tương ứng phương trình nhận cặp số sau làm nghiệm i) Thay x = 3, y = vào phương trình, ta có 3m + (m + 1) · = ⇔ m = ii) Thay x = 2, y = vào phương trình, ta có 2m + (m + 1) · = ⇔ m = Bài Khơng vẽ đồ thị, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình sau ® ® 4x + 3y = x − 2y = a) b) x + y = 1; −2x + 4y = 3;  ® 2x + 3y = 3x − y = 2 d) c)  −6x + 2y = −4; 2y = Lời giải ® ® 4x + 3y = x − 2y = b) x + y = −2x + 4y = −2 Do = nên hệ có nghiệm Do = = nên hệ vơ nghiệm 1 −2  ® 2x + 3y = 3x − y = 2 c) d)  −6x + 2y = −4 2y = −1 2 Do = = nên hệ có vơ số nghiệm Do = nên hệ có nghiệm −6 −4 3 a) Các tốn nâng cao ® Bài Cho hệ phương trình a) Có nghiệm nhất; 3x + ay = Tìm a, b để hệ 2x + y = b b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm Lời giải a = ⇔a= 2   a   a =  = a ⇔ 2 Hệ vô nghiệm ⇔ = = ⇔   b  b = 10  = b   a    = a = a Hệ có vơ số nghiệm ⇔ = = ⇔ ⇔   b 3 = b = b Hệ có nghiệm ⇔ 10 Tài liệu Toán của: Phương pháp giải hệ phương trình 180 §2 Phương pháp giải hệ phương trình 1.1 Tóm tắt lý thuyết Phương pháp Để giải hệ phương trình phương pháp ta thực theo bước sau: Bước Biểu thị ẩn (giả sử ẩn x) theo ẩn cịn lại (ẩn y) từ phương trình hệ Bước Thay biểu thức x vào phương trình cịn lại tìm giá trị y Bước Thay giá trị y vừa tìm vào biểu thức x để tìm giá trị x Bước Kết luận nghiệm hệ phương trình Ơ Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp ® ® 4x + 5y = 7x − 2y = a) b) x − 3y = 3x + y = √ ® ® x+y 5=0 5x + 3y = √ √ d) c) 2x + y = −1 x + 3y = − Lời giải ® ® ® 4x + 5y = x = + 3y x = + 3y ⇔ ⇔ x − 3y = 4x + 5y = 4(5 + 3y) + 5y = ® ® ® x = + 3y x = + 3y x = + · (−1) = ⇔ ⇔ ⇔ 17y = −17 y = −1 y = −1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; −1) ® ® ® ® ® 7x − 2y = y = − 3x y = − 3x y = − 3x y=3 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3x + y = 7x − 2y = 7x − 2(6 − 3x) = 13x = 13 x = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (1; 3) ® ® ® 5x + 3y = y = −1 − 2x y = −1 − 2x ⇔ ⇔ 2x + y = −1 5x + 3y = 5x + 3(−1 − 2x) = ® ® y = −1 − 2x y = −1 − · (−4) = ⇔ ⇔ x = −4 x = −4 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = (−4; 7) Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 181 √ √ √ ® ® x = −y x = −y x+y 5=0 √ √ ⇔ √ √ ⇔ √ √ √ x + 3y = −  x + 3y = − − y 5 + 3y = − √ √  5   x = −y x = − √ ⇔ 2 √ ⇔ y = −1 +   y = −1 + 2 Ç√ √ å 5 −1 + − ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 2 ® 1.2 Phương pháp cộng đại số Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số ta thực bước sau: Bước Nhân hai vế phương trình hệ với số thích hợp (nếu cần) để đưa hệ cho hệ mới, hệ số ẩn (hoặc đối nhau) Bước Trừ ( cộng ) vế phương trình hệ để khử bớt ẩn Bước Giải phương trình ẩn vừa thu Bước Thay giá trị tìm ẩn vào phương trình hệ để tìm ẩn cịn lại Bước Kết luận nghiệm hệ phương trình Ơ Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số ® ® x − 3y = 2x − y = a) b) 2x + 3y = 11 x − y = √ ® ®√ 3x − 2y = 3x + 4y = 18 √ √ c) d) √ 4x − 3y = −1 2x + 3y = Lời giải ® ® ® ® x − 3y = 3x = 12 x=4 x=4 ⇔ ⇔ ⇔ 2x + 3y = 11 x − 3y = − 3y = y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (4; 1) ® ® ® ® 2x − y = x=2 x=2 x=2 ⇔ ⇔ ⇔ x−y =1 x−y =1 2−y =1 y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) ® ® ® ® ® 3x + 4y = 18 12x + 16y = 72 25y = 75 y=3 x=2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4x − 3y = −1 12x − 9y = −3 12x − 9y = −9 12x − · = −9 y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 3) Tài liệu Toán của: Phương pháp giải hệ phương trình 182 √ √ √ √ ®√ ® ® ®√ 3x − 2y = 6x − 2y = 11y = 11 y= √ √ ⇔ √ √ ⇔ √ √ ⇔ √ √ √ √ 2x + 3y = 6x + 9y = 12 6x − 2y = 6x − 2 = √ ® x= √ ⇔ y = Ä√ √ ä Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 3; 1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Để giải hệ phương trình ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ thơng qua ẩn cho Với dạng ta cần nhận biết tương đồng ẩn từ chọn ẩn phụ đặt cho hợp lý để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn áp dụng phương pháp phương pháp cộng đại số để giải Sau tìm nghiệm theo ẩn mới, sau ta thay lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm hệ cho Ơ Ví dụ     − x a)    + x Giải hệ phương trình  1   =1 − =2  y x−2 y−1 b)   = + =  y x−2 y−1  Å ã 1   + =1  x y c)    + = 6x 5y 15 Lời giải Điều kiện xác định x = 0, y = 1 Đặt a = , b = , hệ phương trình cho trở thành x y® ® ® ® a−b=1 a=1+b a=1+b a=1+b ⇔ ⇔ ⇔ 3a + 4b = 3a + 4b = 3(1 + b) + 4b = 7b =   1  9     x = a =  = a = + 7 ⇔ Khi ta có x (nhận) ⇔ ⇔ 2     y = b =  = b = y 7Å 7 ã 7 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; 2 Điều kiện xác định x = 2, y = 1 Đặt a = ,b = , hệ phương trình cho trở thành x−2 y−1   ® ® ®  a = + b  a = a−b=2 a=2+b a=2+b ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  2a + 3b = 2(2 + b) + 3b = 5b = −3 b=− b = − 5  19  x = + = a (nhận) Từ thay vào ta tìm  y = + = b Å ã 19 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ; Điều kiện xác định x = 0, y = 1 Đặt a = , b = , hệ phương trình trở thành x y Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 183  ® ® ® 4a + 4b = 4a + 4b = 20a + 20b = 15 4b = ⇔ ⇔ ⇔ 1  a+ b= 5a + 6b = 20a + 24b = 16 20a + 20b = 15 6 15  1 1 ®    b =  = b = x=2 x 4 Khi ta có ⇔ (nhận) ⇔ ⇔ 1 1    y = a =  = 20a + 20 · = 15 y 4 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 4) Các dạng toán Dạng 53 Giải biện luận hệ phương trình Dùng phương pháp thế, biểu diễn ẩn theo ẩn cịn lại sau đưa phương trình bậc ẩn Giải biện luận phương trình bậc ẩn Kết luận tập nghiệm hệ phương trình ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Cho hệ phương trình (m tham số) ® x + my = (1) (5m + 2)x + 3y = m − (2) Giải biện luận hệ phương trình theo m Lời giải Từ phương trình (1) suy x = − my, thay vào phương trình (2) ta (5m + 2)(1 − my) + 3y = m − ⇔ (5m2 + 2m − 3)y = 4m + ⇔ (m + 1)(5m − 3)y = 4(m + 1) (3) Nếu m = −1 (3) ⇔ · y = ln với y ∈ R Vậy phương trình có vơ số nghiệm Nếu m = −32 phương trình (3) ⇔ · y = (vơ lý) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm 5 m−3 (3) ⇔ y = , x = Vậy hệ phương trình có Å 5m −ã3 5m − m−3 nghiệm (x; y) = ; 5m − 5m − Nếu m = −1 m = Tài liệu Toán của: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn √  x−2=1 y = −1  y+3 ® 225  x = x−2=1 ⇔ y = − y = −y − ã Å Vậy hệ có nghiệm (x; y) = 3; − ⇔ Điều kiện xác định x = y = −1 1 Đặt u = v = , hệ phương trình cho trở thành x−2 y+1 ® ® ® ® 2u + v = 4u + 2v = 7u = 14 u=2 ⇔ ⇔ ⇔ 3u − 2v = 3u − 2v = v = − 2u v = −1 Như ta     =2  x = x−2 (thỏa mãn điều kiện xác định) ⇔    y = −2 = −1  y+1 Å Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ã ; −2 Điều kiện y ≥ 0; y = (a ≥ 0) y−2  ® a = 10  a − 2b = Ta có hệ ⇔  a+b=3 b = − √ √ Ta có y − = −3 ⇔ y = −1(vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Đặt a = |x + 5|; b = √ Điều kiện x > , y = −1 1 Đặt √ = a = b, hệ phương trình cho trở thành y+1 2x − ® 9a − 3b = 4a − b =   a = ⇒  b =  1  = √ 2x − ⇒ 1   = y+1 ® ⇒ x=5 y = Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = (5; 2) Dạng 66 Giải biện luận hệ phương trình Biến đổi từ hệ phương trình phương trình theo ẩn x y Từ giải biện luận phương trình ẩn ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Tài liệu Toán của: Ơn tập chương 226 ® Bài Giải biện luận hệ phương trình x − my = mx − 4y = m − Lời giải ® x − my = (1) mx − 4y = m − (2) Từ (1) ta có x = my + thay vào (2) ta (I) m(my + 2) − 4y = m − ⇔ (m − 2)(m + 2)y = −(m + 2) (3) • Nếu m = phương trình (3) trở thành 0y = −4 Phương trình (3) vơ nghiệm, hệ phương trình (I) vơ nghiệm • Nếu m = −2 phương trình (3) trở thành ® 0y = Phương trình (3) có vơ số nghiệm y ∈ R, x = −2y + hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm y ∈ R −1 • Nếu m = ±2 phương trình (3) có nghiệm y = m−2  4−m  x = 2−m Do hệ phương trình (I) có nghiệm  y = −1 m−2 Kết luận  4−m  x = 2−m • Với m = ±2 hệ phương trình (I) có nghiệm  y = −1 m−2 ® x = −2y + • Với m = −2 hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm y ∈ R • Với m = hệ phương trình (I) vơ nghiệm ® mx + y = Bài Giải biện luận hệ phương trình x − my = Lời giải Từ phương trình thứ có y = − mx, thay vào phương trình thứ hai ta x − m(4 − mx) = ⇔ (1 + m2 )x = + 4m (∗) m(1 + 4m) 4−m + 4m ⇒ y = − = Với m, phương trình (∗) có nghiệm x = + m2 + m2 + m2  + 4m  x = + m2 Kết luận: Với m, hệ có nghiệm  y = − m + m2 ® mx + y = 2m (1) Bài Giải biện luận hệ phương trình x + my = m + (2) Lời giải Từ (1) ta có y = 2m − mx thay vào (2) ta x + m(2m − mx) = m + ⇔ (1 − m2 )x = −2m2 + m + Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 227 ⇔ (m − 1)(m + 1)x = (m − 1)(2m + 1) (3) • Nếu m = phương ® trình (3) trở thành 0x = Phương trình (3) có vơ số nghiệm x ∈ R, x∈R hệ có vơ số nghiệm y = − x • Nếu m = −1 phương trình (3) trở thành 0x = Phương trình (3) có vơ nghiệm , hệ vơ nghiệm 2m + • Nếu m = ±1 phương trình (3) có nghiệm x = m+1  2m +  x = m+1 Do hệ có nghiệm  y = m m+1 Kết luận  2m +  x = m+1 • Với m = ±1 hệ có nghiệm  y = m m+1 đ xR ã Vi m = h có vơ số nghiệm y = − x • Với m = −1 hệ vô nghiệm Dạng 67 Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đề ®ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ ax + y = Bài Cho hệ phương trình (a, b tham số) ax + by = −5 Tìm a, b để hệ có nghiệm (2; −3) Lời giải ® ® 2a − = a=2 Hệ phương trình có nghiệm x = y = −3 ⇔ 2a − 3b = −5 b = Vậy a = 2, b = hệ có nghiệm (2; −3) ® x=2 Bài Cho hệ phương trình (m tham số) mx + y = m2 + Tìm m cho hệ có nghiệm thỏa mãn x + y nhỏ Lời giải ® ® ® x=2 x=2 x=2 Ta có ⇔ ⇔ 2 mx + y = m + m·2+y =m +3 y = m2 − 2m + Vậy với m hệ ln có nghiệm x = 2, y = m2 − 2m + Có x + y = m2 − 2m + = (m − 1)2 + ≥ 4, ∀m ∈ R Suy x + y nhỏ m = Kết luận: m = hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn tổng x + y nhỏ ® x + my = Bài Cho hệ phương trình mx + y = −3 Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0? Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 228 Lời giải Từ phương trình thứ hai ta y = −3 − mx, thay vào phương trình thứ ta x + m(−3 − mx) = ⇔ (1 − m2 )x = 3m + ⇔ (1 − m2 )x = 3(m + 1) (∗) Hệ có nghiệm phương trình (∗) có nghiệm ⇔ − m2 = ⇔ m = ±1 3(1 + m) Khi (∗) có nghiệm x = = 1−m 1−m Do điều kiện x > ⇔ > ⇔ − m > ⇔ m < 1−m Kết luận Với m < m = −1 hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > ® 2x + 3y = m Bài Cho hệ phương trình 5x − y = Tìm m đê hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0; y < 0? Lời giải  m+3 ® ®  x = 2x + 3y = m 2x + 3(5x − 1) = m 17 Ta có ⇔ ⇔ 5m −2  5x − y = y = 5x − y = 17   m+3 ®   m > −3 >0 x>0 17 Hệ có nghiệm thỏa mãn ⇔ −3 < m < ⇔ ⇔  m < y 0) Ta có hệ phương trình sau ® ® x − y = 10 x = 160 ⇔ 3x + 3y = 930 y = 150 So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy suất người anh làm ngày 160 m2 , suất người em làm ngày 150 m2 Dạng 70 Tốn chuyển động Cơng thức vận tốc, qng đường, thời gian s s v = s = v · t t = t v Trong v vận tốc, s quãng đường, t thời gian Các đại lượng phải đổi đơn vị cho phù hợp ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Một khách du lịch ô tô giờ, sau tiếp tàu hỏa quãng đường dài 720 km Hỏi vận tốc tàu hỏa ô tô, biết tàu hỏa nhanh ô tô 12 km Lời giải Gọi vận tốc ô tô x (km/h), vận tốc tàu hỏa y (km/h) (x > 0, y > 0) Quãng đường khách du lịch ô tô 5x (km) Quãng đường khách du lịch tàu hỏa 7x (km) Theo giả thiết ta có 5x + 7y = 720 Do vận tốc tàu hỏa tơ 12 km nên ta có y − x = 12 Ta có hệ phương trình sau ® ® y − x = 12 x = 53 ⇔ 5x + 7y = 720 y = 65 Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 231 So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy vận tốc tàu hỏa 65 km/h; vận tốc ô tô 53 km/h Bài Một ca nơ chạy xi dịng sơng 108 km chạy ngược dòng 63 km hết tất Một lần khác, ca nô chạy xuôi dòng 81 km ngược dòng 84 km hết Hãy tính vận tốc thật ca nơ vận tốc dòng nước (vận tốc thật ca nơ vận tốc dịng nước hai lần nhau) Lời giải Gọi vận tốc thật ca nơ x km/h, vận tốc dịng nước y km/h (x > y > 0) Ta có hệ phương trình sau  108 63  ®  + =7  x = 24 x+y x−y ⇔ 84  81 y =  + =7  x+y x−y So với điều kiện ta thấy thỏa mãn Vậy vận tốc thật ca nô 24 km/h, vận tốc dịng nước km/h Dạng 71 Tốn có yếu tố hình học Cơng thức tính chu vi, diện tích tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Một hình thang có diện tích 96 cm2 , chiều cao cm Tính độ dài đáy hình thang, biết chúng 10 cm Lời giải Gọi độ dài đáy lớn x cm, độ dài đáy bé y cm (x > y > 0) Ta có hệ phương trình  ®  (x + y) · = 96 x = 17 ⇔  y = x − y = 10 So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy độ dài đáy lớn 17 cm, độ dài đáy bé cm Bài Một khu vườn có chu vi 40 m Nếu tăng chiều dài thêm m tăng chiều rộng thêm m diện tích tăng thêm 53 m2 Tìm kính thước khu vườn Lời giải Gọi chiều dài khu vườn x m, chiều rộng khu vườn y m (x > y > 0) Ta có hệ phương trình sau ® (x + y) · = 40 ⇔ (x + 3)(y + 2) = xy + 53 ® x = 13 y = So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy khu vườn có chiều dài 13 m, chiều rộng m Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 232 Dạng 72 Tốn làm chung làm riêng Dạng có đại lượng cần quan tâm tồn cơng việc, thời gian làm hết cơng việc đó, phần việc làm đơn vị thời gian Xem tồn cơng việc Nếu đội làm xong công việc x ngày ngày đội làm công x việc ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 12 phút bể đầy Nếu mở vòi 11 bể Hỏi vòi chảy thứ 12 phút vòi thứ hai 15 phút 60 sau đầy bể? Lời giải Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (giờ), thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể y (giờ) (x > 0, y > 0) Trong giờ, vòi thứ chảy bể x Trong giờ, vòi thứ hai chảy bể y Å ã 1 + = Trong 12 phút, tức giờ, hai vòi chảy đầy bể nên ta có 5 x y 1 Trong 12 phút, tức giờ, vòi thứ chảy bể 5x 1 Trong 15 phút, tức giờ, vòi thứ hai chảy bể 4y Ta có hệ phương trình sau  Å ã 1  ®  + =1  x=2 x y ⇔ 1 11  y =   + = 5x 4y 60 So với điều kiện ta thấy thỏa mãn Vậy vòi thứ chảy đầy bể giờ, vịi thứ hai chảy đầy bể Bài Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hoàn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc đó? Lời giải Gọi thời gian tổ làm riêng xong công việc x (giờ), thời gian tổ hai làm riêng xong công việc y (giờ) (x > 0, y > 0) Trong giờ, tổ làm công việc x Trong giờ, tổ hai làm công việc y Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 233 Ta có hệ phương trình sau  6  ®   + =1 x = 15 x y ⇔ 2 10  y = 10  =1  + + x y x So với điều kiện ta thấy thỏa mãn Vậy làm riêng, tổ xong công việc giờ, tổ hai xong công việc Dạng 73 Các dạng khác Dạng ứng dụng thêm kiến thức thực tế, hiểu biết đời sống ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Bạn Trâm có tờ 200000 đồng, tờ 50000 đồng tờ 10000 đồng Trâm muốn đổi lấy 25 tờ gồm hai loại 50000 đồng 20000 đồng Hỏi bạn Trâm đạt ý muốn hay không? Lời giải Giả sử Trâm đổi mong muốn Gọi số tờ tiền loại 50000 x, số tờ tiền loại 20000 y (x, y ∈ N∗ ) Do tổng số tờ tiền 25 nên x + y = 25 Do tổng số tiền không thay đổi nên 50000x + 20000y = 890000 Ta có hệ phương trình sau ® ® ® x + y = 25 x + y = 25 x = 13 ⇔ ⇔ 50000x + 20000y = 890000 5x + 2y = 89 y = 12 So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy Trâm đổi mong muốn Bài Có 54 vừa gà vừa mèo Tất có 154 chân Hỏi có gà, mèo? Lời giải Gọi số gà x con, số mèo y (x, y ∈ N∗ ) Ta có hệ phương trình sau ® ® x + y = 54 x = 31 ⇔ 2x + 4y = 154 y = 23 So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy có 31 gà, 23 mèo 2.2 Một số toán nâng cao Dạng 74 Giải hệ n phương trình bậc n ẩn với n = 3, n = Dùng phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Giải hệ phương trình sau: Tài liệu Tốn của: Ôn tập chương 234   x + y + z = 11 a) 2x − y + z =   3x + 2y + z = 14  x+y+z+t=4    x + y − z − t = b)  x − y + z − t = 12    x − y − z + t = 16 Lời giải         z = 11 − x − y z = 11 − x − y z = 11 − x − y x + y + z = 11 2x − y + z = ⇔ x − 2y = −6 ⇔ − 2x + 4y = 12 ⇔ 5y = 15         2x + y = 2x + y = 2x + y = 3x + 2y + z = 14   z = ⇔ y=3   x =     y + z + t = −6 y + z + t = −6 x+y+z+t=4 x+y+z+t=4             2y = −8 y − z − t = −2 x + y − z − t = x + y − z − t = ⇔ ⇔ ⇔     −y+z−t=2 −y+z−t=2 x − y + z − t = 12 x − y + z − t = 12             x = 10 x = 10 4x = 40 x − y − z + t = 16   z + t = −2 z = −2       y = −4 y = −4 ⇔ ⇔   z − t = −2 t=0       x = 10 x = 10 Dạng 75 Giải toán cách lập hệ phương trình Phân tích kĩ ý áp dụng bước làm tổng quát ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Bài Lúc giờ, An khởi hành từ A để đến gặp Bích B lúc 30 phút Nhưng đến giờ, An biết Bích bắt đầu từ B để đến C (không nằm quãng đường AB) với vận tốc 3,25 lần vận tốc An Ngay lúc An tăng thêm vận tốc km/h tới B, An theo đường tắt đến C dài quãng đường mà Bích từ B đến C, An Bích đến C lúc Nếu Bích theo đường tắt An Bích đến B trước An Tính vận tốc lúc đầu An Lời giải Gọi vận tốc lúc đầu An x (km/h) (x > 0) Vận tốc Bích 3,25x (km/h) Gọi chiều dài quãng đường tắt BC y (km) (y > 0) Quãng đường Bích từ B đến C 3y (km) Gọi N vị trí mà An bắt đầu tăng vận tốc Quãng đường NB mà An dự định 0,5x (km) 0,5x + y An từ N đến C (theo đường tắt) 0,5x + y (km) với vận tốc x + (km/h) hết x+1 (giờ) Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 235 Trong thời gian đó, Bích 3y (km) với vận tốc 3,25x (km/h) Ta có phương trình thứ 0,5x + y 3y = x+1 3,25x y Nếu Bích đường tắt từ B đến C hết (giờ), so với theo đường vịng 3,25x Ta có phương trình thứ hai 3y y − = ⇔ y = 3,25x 3,25x 3,25x Thay y = 3,25x vào phương trình thứ ta x = So với điều kiện ta thấy thỏa Vậy vận tốc lúc đầu An km/h Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra tiết 236 §5 Đề kiểm tra tiết Đề số (Dành cho học sinh đại trà) Bài Giải hệ phương trình sau ® 2x − y = −5 a) ; 5x + y = −9 √ ® √ 5x − 4y = 15 − √ √ b) − 5x + 7y = 18 Lời giải Ta có ® 2x − y = −5 ⇔ 5x + y = −9 ® 2x − y = −5 ⇔ 7x = −14 ® x = −2 y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (−2; 1) Ta có √ √ ® √ ® √ 5x − 8y = 30 − 5x − 4y = 15 − √ √ √ √ ⇔ − 5x + 7y = 18 − 5x + 24 7y = 54 √ √ √ √ 5x − 8y = 30 − 5x − 8y = 30 − ä ä Ä Ä √ √ ⇔ Ä √ √ ä ⇔ 24 − y = 84 − 7 − 8y = 21 − √  √ √  5x − 8y = 30 −  x =   Ä ä √ äÄ √ √ √ √ ⇔ 21 − 7 + 21 − 7 ⇔  y = √ y= = = 248 7−2 Ç √ å √ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = 5; Bài Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm ® mx + 2y = −2 3x − y = Lời giải  m ®   = mx + 2y = −2 Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔  3x − y = m = Vậy m = −6 giá trị cần tìm −1 ⇔ m = −6 −2 Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 237 Bài Một trường chuyên tuyển 70 học sinh vào hai lớp 10 Toán lớp 10 Tin Biết chuyển học sinh lớp 10 Tốn sang lớp 10 Tin số học sinh hai lớp Tính số học sinh ban đầu lớp Lời giải Gọi x (học sinh) số học sinh ban đầu lớp 10 Toán (x ∈ N∗ , x < 70) Gọi y (học sinh) số học sinh ban đầu lớp 10 Tin (y ∈ N∗ , y < 70) Tổng số học sinh lớp 70 nên ta có x + y = 70 (1) Số học sinh lớp 10 Toán lúc sau x − (học sinh) Số học sinh lớp 10 Tin lúc sau y + (học sinh) Theo đề ta có x − = y + hay x − y = 10 (2) Từ (1) (2) ta có hệ ® ® ® x = 40 (thỏa điều kiện) x + y = 70 x + y = 70 ⇔ ⇔ x − y = 10 2x = 80 y = 30 (thỏa điều kiện) Vậy số học sinh ban đầu lớp 10 Toán 40 học sinh, số học sinh ban đầu lớp 10 Tin 30 học sinh Bài Tìm a, b ∈ R để đường thẳng y = ax + b (d) qua hai điểm A(2; 2), B(−1; 5) Lời giải Ta có ® A ∈ (d) ⇔ B ∈ (d) ® 2a + b = ⇔ −a + b = ® 3a = −3 ⇔ −a + b = ® a = −1 b = Vậy a = −1, b = giá trị cần tìm Đề số (Dành cho học sinh giỏi) Bài Giải hệ phương trình sau    − = −1  2x − y x + y a) ; 1   − =0  2x − y x + y     xy = 4x + 3y 11 b) xy   =  2x + y Lời giải Đặt a = 1 ,b = với (2x = y, x = −y), hệ phương trình cho trở thành 2x − y x+y  ® ®  a = 3a − 6b = −1 3b − 6b = −1 ⇔ ⇔  a−b=0 a=b b = Khi ta có  1  ® ® ®  =  x = (thỏa điều kiện) 2x − y = 3x = 2x − y ⇔ ⇔ ⇔ 1  x+y =3 x+y =3 y = (thỏa điều kiện)  =  x+y Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra tiết 238 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Nhận thấy nghiệm  hệ phương trình  (x; y) = (0; 0) khơng  11 11 xy 4x + 3y       = =    + = 4x + 3y 11 xy y x Do ⇔ ⇔ xy 2x + y 5       = =    + = 2x + y xy y x 1 Đặt a = , b = , với (x = 0, y = 0) hệ phương trình cho trở thành x y     11 11 11     3a + 4b = 3a + 4b = 3a + 4b = a = ⇔ ⇔ ⇔ 10 1      a + 2b = 2a + 4b =  b = a= 4 Khi ta có 1 ®   = x = (thỏa mãn điều kiện) x ⇔  y = (thỏa mãn điều kiện) 1 = y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = (4; 2) Bài Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m ® −2mx + y = mx + 3y = Lời giải ® ® ®  mx = −2 −7mx = 14 (∗) ⇔  y = − mx mx + 3y = −2mx + y = −6mx + 3y = 15 ⇔ ⇔ mx + 3y = mx + 3y =  0x = −2 + Với m = 0, (∗) ⇔ (vô nghiệm)  y=1  x = −2 m + Với m = 0, (∗) ⇔  y = Vậy với m = 0, hệ phương trình cho vơ nghiệm Ta có Å Với m = 0, hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) = ã −2 ;1 m Bài Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 12 đầy bể Nếu cho vòi thứ chảy khóa vịi thứ lại, cho vòi thứ hai chảy bể Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể? Lời giải Gọi x (giờ) thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x ∈ R, x > 12) Khi số phần bể vịi thứ chảy vào (bể) x Giáo viên: Chương Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Gọi y (giờ) thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể (y ∈ R, y > 12) Khi số phần bể vòi thứ hai chảy vào (bể) y 1 1 Số phần bể vịi chảy vào (bể) nên ta có + = 12 x y 12 Theo đề ta có + = x y Từ (1), (2) ta có hệ    1 4 4        + =  + =  + = x y 12 x y x y ⇔ ⇔ 6 2        + =  + =  = x y x y y 15 1 ®   = x = 20 (thỏa điều kiện) x 20 ⇔ ⇔  y = 30 (thỏa điều kiện) 1 = y 30 239 (1) (2) Vậy vòi thứ chảy riêng sau 20 đầy bể Vịi thử hai chảy riêng sau 30 đầy bể Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 3y = 21 Lời giải Ta có 3y 3, 21 nên 2x ⇒ x Đặt x = 3a (a ∈ Z), ta có 6a + 3y = 21 ⇔ 2a + y = ⇔ y = −2a + Nghiệm nguyên phương trình (x = a, y = −2a + 7) với a ∈ Z Tài liệu Toán của: ... thứ hai 150 Ơ Ví dụ Hai anh An Bình góp vốn kinh doanh Anh An góp 13 triệu đồng, anh Bình góp 15 triệu đồng Sau thời gian kinh doanh lãi triệu đồng Lãi chia theo tỉ lệ góp vốn Tính số lãi anh... dụ Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tính số sách giá Lời giải Gọi số sách giá thứ x số sách giá thứ hai y, x, y nguyên dương Hai. .. khối lượng loại thứ 12 tấn, loại thứ hai 30 Bài Tháng đầu hai tổ sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng thứ hai tổ làm vượt mức 12%, tổ hai vượt mức 15% nên hai tổ làm 819 dụng cụ Hỏi tháng đầu