cac dang bai tap he thuc luong trong tam giac vuong

Chương Hệ thức lượng tam giác vng §1 Hệ thức lượng đường cao Tóm tắt lý thuyết Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đặt AB = c, BC = a, CA = b, AH = h, BH = c , CH = b Khi ta có hệ thức sau A a2 = b + c a · c = c2 a·h=b·c b · c = h2 a · b = b2 1 = + 2 h a b b c h B c b H C a Các ví dụ Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = cm, AC = cm Tính BC, AH, BH, CH Lời giải Ta có BC = AB + AC = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = cm AB · AC 3·4 AH · BC = AB · AC ⇒ AH = = = 2,4 cm BC AB 32 BH · BC = AB ⇒ BH = = = 1,8 cm BC CH = BC − BH = 3,2 cm 349 B H A C Hệ thức lượng đường cao 350 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) biết AB = a, BC = 2a Tính theo a độ dài AC AH Lời giải Theo định lí Pitago, ta có BC = AB + AC , suy B √ AC = BC − AB = (2a)2 − a2 = 3a2 ⇒ AC = a √ AB · AC a Lại có AH · BC = AB · AC ⇒ AH = = BC H 2a a A C Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng có AB = cm, AC = cm, đường cao AH Gọi E, F hình chiếu H lên AB, AC Tính diện tích tứ giác AEHF Lời giải Tứ giác AEHF có ba góc A, E, F góc vng nên AEHF hình chữ nhật Do SAEHF = AE · AF Ta có BC = cm, AH = 2,4 cm, nên tam giác vng AHB AHC ta có AH = 2,76 cm AB AH AF · AC = AH ⇒ AF = = 1,44 cm AC Suy SAEHF = 2,76 · 1,44 = 3,9744 cm2 AE · AB = AH ⇒ AE = B H E A C F Ô Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = 25 cm, CH = 144 cm Tính AB, AC, BC, AH Lời giải Ta có B BC = BH + HC = 25 + 144 = 169 cm AB = BH · BC = 25 · 169 ⇒ AB = 65 cm AC = CH · CB = 144 · 169 ⇒ AC = 156 cm AH = BH · CH = 25 · 144 ⇒ AH = 60 cm 25 H 144 A C 25 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Biết BH = cm, AH = 13 60 cm Tính AB, AC, BC, CH 13 Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vng 351 Ta có B AH 144 BH · CH = AH ⇒ CH = = cm BH 13 BC = BH + CH = 13 cm 652 65 AB = BH + CH = ⇒ AB = cm 13 13 AC = CH · CB = 144 ⇒ AC = 12 cm 25 13 H 60 13 A Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông B, đường cao BH = C 12 cm 4AB = 3BC Tính AB, AC, BC, AH, CH Lời giải Từ giả thiết ta suy AB = BC 1 Mặt khác, ta có = + Suy BH BA2 BC A H 16 25 25 = + = ⇒ BC = 16 ⇒ BC = cm 2 144 9BC BC 9BC Suy BA = cm Từ đây, ta tìm AC = cm, AH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm 12 B C √ Ơ Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh cm Gọi M , N trung điểm AD, DC I giao điểm AN BM Chứng minh AN vng góc với M B Tính AI, M I Tính diện tích tứ giác BIN C Lời giải “ = 90◦ , AD = AB, Xét hai tam giác ADN BAM có A = D DN = AM Suy ADN = BAM (c-g-c), DAN = ABM Suy D M AI + AM I = DAN + AM B = ABM + AM B = 90◦ M N C I Từ đây, ta có AN ⊥ BM A Ta có BM = AM + AB = + 20 = 25 ⇒ BM = cm AM Suy M I = = cm, AI = AM − M I = − = ⇒ AI = cm MB Ta có SBCN I = SBCN + SBIN = (BI · IN + BC · CN ) = 11 cm2 Tài liệu Toán của: B Hệ thức lượng đường cao 352 12 Ô Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có BC = cm, đường cao AH = cm Tính BH, CH Lời giải Giả sử BH ≥ CH Ta có BH + HC = BC = (1) 144 Từ (1) ta có (BH + CH)2 = 25, Mặt khác BH · CH = AH = 25 suy BH + 2BH · CH + CH = 25 ⇒ BH + CH = 25 − B H 288 337 = 25 25 12 A C Do (BH − CH)2 = BH − 2BH · CH + CH = 337 288 49 − = 25 25 25 Suy BH − CH = Từ (1) (2) ta có BH = (2) 16 (BH + CH) + (BH − CH) = cm, CH = BC − BH = cm 5 Ơ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, kẻ HM vng góc với AB AB M Chứng minh BM = BC Lời giải Trong tam giác vuông AHB ta có BM · BA = BH , suy BH BM = AB Mặt khác, tam giác vng ABC, ta có BH · BC = AB , AB hay BH = Do BC BM = AB AB = AB · BC BC B M H A Vậy tốn chứng minh Ơ Ví dụ 10 Cho hình vng ABCD, I điểm thay đổi cạnh AB (I khác A B) 1 Đường thẳng DI cắt BC K Chứng minh + không đổi DI DK Lời giải Giáo viên: C Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 353 Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI, cắt BC H Xét hai tam giác ADI CDH có A = C = 90◦ , AD = DC, ADI = CDH (cùng phụ với góc CDI) Suy ADI = CDH (g-c-g), DI = DH Suy H 1 1 + = + = DI DK DH DK DC D C Từ đó, ta có đpcm A B I K Ơ Ví dụ 11 Cho tam giác ABC cân A, có góc A nhọn Vẽ BM vng góc với AC Chứng minh Å ã AM AB =2 − MC BC Lời giải Gọi D điểm đối xứng với C qua A, AB = AD = AC nên tam giác BCD vuông B có đường cao BM Suy · CD = BC ⇒ CM · 2AC = BC , suy Å ãCM AC AC AM = = 1+ Mà AB = AC, nên ta có BC CM CM Å ã AB AM −1= BC CM Vậy toán chứng minh D A M B C Luyện tập Bài Cho tam giác vng ABC, đường cao AH, cạnh góc vng AC = 60 cm, cạnh huyền BC = 100 cm Tính chu vi tam giác ABC, ABH, ACH Lời giải Xét tam giác vng ABC có AB = √ BC − AC = 80 cm AH = AB · AC 60 · 80 = = 48 cm BC 100 BH = AB = 64 cm, CH = BC − BH = 36 cm BC A B H Chu vi tam giác ABC AB + BC + CA = 240 cm Tài liệu Toán của: C Hệ thức lượng đường cao 354 Chu vi tam giác ABH AB + AH + HB = 192 cm Chu vi tam giác ACH AC + AH + HC = 144 cm Bài Cho tam giác vng có cạnh góc vng cm 12 cm Tìm cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Lời giải Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC ta có √ BC = AB + AC = 13 cm A Các hình chiếu cạnh lên cạnh huyền BH = 52 25 AB = = cm BC 13 13 CH = BC − CH = 13 − 25 144 = cm 13 13 B H C Bài Tìm cạnh tam giác vng, biết đường cao đường trung tuyến ứng với cạnh huyền theo thứ tự cm cm Lời giải Vì AM trung tuyến ABC vng A nên AM = M C = M B = cm √ ⇒ BC = 2M A = 10 cm Xét AHM có HM = AM − AH = cm Suy A BH = M B − HM = cm, HC = HM + M C = cm cm cm Xét tam giác vng ABC có √ AB = BH · BC = 20 ⇒ AB = cm √ AC = CH · CB = 80 ⇒ AC = cm B H M C Bài Tìm cạnh tam giác vng, biết đường cao ứng với cạnh huyền cm, diện tích tam giác vuông 20 cm2 Lời giải Giả sử tam giác ABC có đường cao AH 2SABC · 20 Ta có BC = = = 10 cm AH Đặt BH = x (x > 0) Ta có AH = BH · CH ⇔ 16 = x · (10 − x) ⇔ x ñ − 10x + 16 = x=2 ⇔ x = A x B H C √ √ √ Khi BH = cm: AB = BH · BC = · 10 ⇒ AB = 2√5 cm; AC = √BC − AB = 4√5 cm Khi BH = cm: AB = BH · BC√= · 10 √ ⇒ AB = cm; AC = BC − AB = cm Khi ba cạnh tam giác cm, cm 10 cm Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 355 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = cm HC − HB = cm Tính HB, HC Lời giải Đặt BH = x ⇒ CH = + x với x > Ta có A AH = BH · HC ⇔ x(9 + x) = 36 ⇔ x ñ + 9x − 36 = x = −9 ⇔ x = x B H C Vậy HB = cm, HC = HB + = 12 cm Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = , đường cao AH = 18 cm Tính chu vi tam AC giác ABC Lời giải √ Đặt AB = 3x ⇒ AC = 4x với x > Suy BC = AB + AC = 5x 1 AB · AC 15 12x = + ⇒ AH = √ ⇒x= cm Ta có = 2 AH AB AC AB + AC Chu vi tam giác ABC AB + BC + CA = 12x = 90 cm Bài Cho tam giác ABC vuông A với AB < AC đường cao AH Tính AB, AC biết AH = cm diện tích tam giác ABC 37,5 cm2 Lời giải Giả sử tam giác ABC có đường cao AH 2SABC · 37,5 Ta có BC = = = 12,5 cm AH Đặt BH = x (x > 0) Ta có AH = BH · CH ⇔ 36 = x · (12, − x) ⇔ x2 − 12, 5x + 36 =  x = ⇔  x = A x B H C √ 9 15 cm: AB = BH · BC = · 12,5 ⇒ AB = cm; AC = BC − AB = 10 cm 2 √ Khi BH = cm: AB = BH · BC = · 12,5 ⇒ AB = 10 cm; AC = BC − AB = 7,5 cm Khi ba cạnh tam giác AB = 7,5 cm, AC = 10 cm BC = 12,5 cm Khi BH = Bài Cho √ hình thang ABCD vuông A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB = 13, OA = Tính diện tích hình thang Lời giải Tài liệu Toán của: Hệ thức lượng đường cao 356 Xét OAB vng O, ta có: OB = Xét √ AB − OA2 = A Ä √ ä2 13 − 62 = ABD vuông A, đường cao AO ta có: Ä √ ä2 2 13 AB = = 13 AB = BD · OB⇒ BD = OB Ä √ ä2 √ √ AD = BD2 − AB = 132 − 13 = 13 √ 13 B O D C Ta có OD = BD − OB = 13 − = Ä √ ä2 2 13 AD AD Xét ADC vuông D ta có: AD2 = OA · AC ⇒ AC = = = = 19,5 OA OA √ OD · AC · 19,5 13 Mà AD · DC = OD · AC ⇒ DC = = √ = AD 13 Vậy SABCD = AD · (AB + DC) = 126,75 (đvdt) Bài Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, cạnh bên AC = 30, HB = 32 Tính độ dài AH, HC, AB Lời giải Đặt HC = x (x > 0) Xét ta có ABC vng A, đường cao AH C AH = HC · HB ⇔ 302 = x · (x + 32) ⇔ (x − 18)(x + 50) = ñ x = 18 (nhận) ⇔ x = −50 (loại) H 30 32 A Xét Xét B √ AHC vng H ta có AH = AC − HC = 24 ABC vng A ta có AB = HB · BC = 32 · (32 + 18) = 40 Bài 10 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 60 cm, AD = 32 cm Từ D kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC Đường cắt AC E AB F Tính độ dài đoạn EA, EC, ED, F B, F D Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 357 Xét tam giác vng ADC ta có AD2 AD2 322 256 =√ cm =√ = AC 17 AD2 + CD2 322 + 602 CD2 602 900 EC = =√ = cm A 2 AC 17 32 + 60 EA = F B E Xét tam giác vng ADE có   √ 322 · 602 480 cm ED = EA · EC = = 2 32 + 60 17 D AD2 322 544 FD = = = cm 32 · 60 ED 15 68   √ 322 · 682 256 AF = F D2 − AD2 = cm − 322 = 60 15 256 −644 F B = AB − AF = 60 − =− cm 15 15 C Bài 11 Tính diện tích hình thang ABCD, có đường cao 12 cm, hai đường chéo AC BD vng góc với nhau, DB = 15 cm Lời giải Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Gọi BH đường cao hình thang Ta có BE ∥ AC, AC ⊥ BD nên BE ⊥ BD Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BDH, ta có BH + HD2 = BD2 ⇒ 122 + HD2 = 152 ⇒ HD2 = 225 − 144 = 81 ⇒ HD = cm A B D H C E Xét tam giác BDE vng B, ta có BD2 = DE · DH ⇒ 152 = DE · ⇒ DE = 225 = 25 cm Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 cm 25 · 12 Do SABCD = = 150 cm2 Bài 12 Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tìm đường cao hình thang Lời giải Tài liệu Toán của: Hệ thức lượng đường cao 358 Gọi AH, BK đường cao hình thang Đặt AB = AH = BK = x 10 − x DC − AB = Dễ dàng chứng minh DH = CK = 2 10 + x Do HC = Xét ADC vng A, ta có AH = HD · HC Do D A B H K C 10 − x 10 + x 100 − x2 x = · = 2 √ Từ suy x = cm √ Đường cao hình thang cm Bài 13 Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72 cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền cm Lời giải Đặt AM = x (x > 0), ta có BC = 2x, AH = x − Theo hệ thức tam giác vuông AB + AC = BC = 4x2 AB · AC = BC · AH = 2x(x − 7) A (1) (2) x Từ (1) (2) suy B AB + AC + 2AB · AC = 4x2 + 4x(x − 7) ⇔ (AB + AC)2 = 8x2 − 28x ⇔ (72 − 2x)2 = 8x2 − 28x ⇔ x2 + 65x − 1296 = ⇔ (x − 16)(x + 81) = ñ x = 16 (nhận) ⇔ x = −81 (loại) H M C Từ BC = 32 cm, AH = cm Diện tích tam giác ABC SABC = · 32 · = 144 cm2 Bài 14 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB, BC, CA ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Chứng minh HM = Lời giải A A B H M (1) C H B M (2) Đặt BC = a AB = a − 1, AC = a + Đặt HM = x Ta thấy HB = M B − M H (nếu B ≥ 90◦ , xem hình (1)) Giáo viên: C Đề kiểm tra 45 phút 412 N 36 cm H M 48 cm P Xét tam giác M N P vuông M , đường cao M H có Tính N P = M N + M P (Định lí Py-ta-go) = 362 + 482 = 3600 ⇒ N P = 60 (cm) NP Tính HM M H · N P = M N · M P (Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) ⇔ M H · 60 = 36 · 48 36 · 48 ⇔ MH = = 28,8 (cm) 60 Tính HN M N = N H · N P (Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) ⇔ 362 = N H · 60 362 = 21,6 (cm) ⇔ NH = 60 Tính HM HP = N P − N H = 60 − 21,6 = 38,4 (cm) Vậy HM = 28,8 cm, HN = 21,6 cm, HP = 38,4 cm Bài Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm a) Chứng minh tam giác ABC vuông A “ C đường cao AH b) Tính B, c) Lấy điểm M cạnh BC (M khác B, C) Gọi hình chiếu M AB, AC P Q Chứng minh P Q = AM d) Xác định vị trí điểm M để P Q có độ dài nhỏ Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 413 B P M H A Q C ® BC = 7,52 = 56,25 a) Ta có ⇒ BC = AB + AC 2 2 AB + AC = + 4,5 = 56,25 Theo định lý đảo định lý Py-ta-go, suy tam giác ABC vuông A b) Xét tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có 4,5 AC = = 0,75 (Tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng) AB “ ≈ 36◦ 52 ⇒B “ ≈ 90◦ − 36◦ 52 = 53◦ C = 90◦ − B tan B = AH · BC = AB · AC (Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) AB · AC · 4,5 ⇒ AH = = = 3,6 (cm) AH 7,5 Vậy “ ≈ 36◦ 52 , C ≈ 53◦ , AH = 3,6 cm B c) Xét tứ giác AP M Q có P = A = Q = 90◦ Suy tứ giác AP M Q hình chữ nhật Vậy AM = P Q (Tính chất hai đường chéo hình chữ nhật) d) P Q có độ dài nhỏ ⇔ AM có độ dài nhỏ ⇔ AM ⊥ BC ⇔ M ≡ H Vậy P Q có độ dài nhỏ M trùng H Bài Tính giá trị biểu thức A = (3 sin α + cos α)2 + (4 sin α − cos α)2 Lời giải A = (3 sin α + cos α)2 + (4 sin α − cos α)2 = (9 sin2 α + 24 sin α cos α + 16 cos2 α) + (16 sin2 α − 24 sin α cos α + cos2 α) = 25(sin2 α + cos2 α) = 25 · = 25 Vậy A = 25 Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 414 3.1 Đề số 2A (Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà) Trắc nghiệm √ Bài Cho tam giác M N P vng M có M H đường cao, cạnh M N = , P = 60◦ Kết luận sau √ đúng? √ 3 A MP = B MP = C M N P = 60◦ D M N H = 30◦ Lời giải Vì tam giác M N P vng M P = 60◦ nên M N H = 30◦ M N H P Chọn đáp án D Bài Cho tam giác M N P vuông M có M H đường cao Biết N H = cm, HP = cm Độ √ dài đoạn thẳng M H A B C 4,5 D Lời giải Áp dụng hệ √ thức lượng √ tam giác vng ta có M H = HN · HP = cm M N H P Chọn đáp án A với α góc nhọn, sin α √ 5 A B C 3 Lời giải √ Å ã2 5 2 Ta có sin α = − cos α = − = Suy sin α = Chọn đáp án B Bài Cho cos α = Bài Giá trị P = cos2 20◦ + cos2 40◦ + cos2 50◦ + cos2 70◦ A B C Lời giải Ta có cos 50◦ = sin 40◦ cos 70◦ = sin 20◦ nên P = cos2 20◦ + cos2 40◦ + cos2 50◦ + cos2 70◦ = (cos2 20◦ + sin2 20◦ ) + (cos2 40◦ + sin2 40◦ ) = Giáo viên: D D Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 415 Chọn đáp án B Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Hệ thức sau AB AB HC AC A cos C = B tan B = C cot C = D cot B = AC AC HA AB Lời giải Xét tam giác AHC vng H có cot C = HC HA A B H C Chọn đáp án C Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A có AC = 3; AB = Khi cos B 3 4 A B C D 5 Lời giải √ Ta có BC = AB + AC = Do AB = cos B = BC A B C Chọn đáp án C Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2AC So sánh sin B cos B, khẳng định sau đúng? A sin B < cos B B sin B > cos B C sin B ≥ cos B D sin B = cos B Lời giải √ √ Ta có AB = BC − AC = AC ·√ Suy AC AB sin B = = cos B = = BC BC Do sin B < cos B A B C Chọn đáp án A Bài 12 Một người muốn chèo thuyền từ bờ sông bên (tại điểm A) sang bờ sông bên (tại điểm B) theo đường thẳng AB dài 50 m (xem hình vẽ bên), dịng nước chảy mạnh nên người bơi lệch 45◦ so với phương ban đầu Hỏi người bơi sang bờ chứa điểm B, cách vị trí dự định B bao xa? A 45◦ B A 20 m B 30 m C 40 m Lời giải D 50 m Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 416 Gọi B điểm đến (bờ bên kia) người chèo thuyền BA BA Vì tan B AB = nên BB = = 50 m BB tan B AB Vậy người bơi sang bờ B cách vị trí dự định B 50 m A 45◦ B B Chọn đáp án D 3.2 Tự luận Bài 13 a) Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn cot 24◦ , tan 16◦ , cot 57◦ , cot 30◦ , tan 80◦ b) Tính cos α, tan α cot α biết sin α = Lời giải a) Ta có cot 24◦ = tan 66◦ , cot 57◦ = tan 33◦ cot 30◦ = tan 60◦ Mà tan 16◦ < tan 33◦ < tan 60◦ < tan 66◦ < tan 80◦ nên tan 16◦ < cot 57◦ < cot 30◦ < cot 24◦ < tan 80◦ Å ã2 24 = b) Ta có cos α = − sin α = − √ √ 25 √ sin α cos α Suy cos α = , tan α = = cot α = = cos α 12 sin α 2 “ = 90◦ AB < DC Hai đường chéo AC BD Bài 14 Cho hình thang ABCD biết A = D vng góc với O a) Cho AB = cm, AD = 12 cm Hãy i) Giải tam giác ABD; ii) Tính độ dài đoạn thẳng AO, DO AC; iii) Kẻ BH vng góc với DC H Tính diện tích tam giác DOH b) Chứng minh BH = AB · CD Chú ý : Số đo góc làm trịn đến độ, độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữ số thập phân thứ Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vng a) Ta có AB = cm, AD = 12 cm 417 A B i) Áp dụng √ định lí Pi-ta-go√ta có DB = AB + AD2 = 92 + 122 = 15 cm 12 DA = nên ADB ≈ 37◦ Do cos ADB = DB 15 Từ suy ADB ≈ 53◦ O D K H C ABD vuông A, AO vng góc với BD O nên AB · AD = AO · BD, suy √ AB · AD · 12 AO = = = 7,2 cm Do DO = AD2 − AO2 = 9,6 cm Mặt khác, BD 15 AD2 AD2 = AO · AC nên AC = = 20 cm AO √ iii) Kẻ OK vng góc với DC K Ta có DH = AB = cm; DC = AC − AD2 = 16 cm; √ DO2 = 5,76 cm OK = DO2 − DK = 7,68 cm DK = DC OK · DH 7,68 · Từ suy SDOH = = = 34,56 cm2 2 ii) Vì b) Xét BAD ADC có BAD = ADC = 90◦ , ABD = DAC (cùng phụ với OAB) nên BAD ADC (g.g) Do AD2 = AB · CD Hơn nữa, BH = AD (do tứ giác ABHD hình chữ nhật) nên BH = AB · CD 4.1 Đề số 2B (Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đ Trắc nghiệm Chọn câu trả lời câu sau Bài 15 Tam giác M N P vuông M sin N MP MP MN A B C NP MN NP Lời giải D Tam giác M N P vuông M , cạnh huyền N P , M P cạnh đối diện với “ nên ta có sin N = M P góc N NP NP MN M N P Chọn đáp án A Bài 16 Một cột đèn có bóng dài mặt đất 7,5 m Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 42◦ Chiều cao cột đèn (làm tròn đến hàng phần mười) A m B m C 6,7 m D 6,8 m Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 418 Lời giải Coi cột đèn cạnh AB, bóng mặt đất cạnh AC tam giác ABC vng A góc C = 42◦ (như hình vẽ) Chiều cao cột đèn AB = AC · tan C = 7,5 · tan 42◦ ≈ 6,8 (m) B ◦ 42 C A Chọn đáp án D Bài 17 Với α góc nhọn, khẳng định sau sai? A < cos α < B cos2 α = + sin2 α C cot α = D cos α = sin (90◦ − α) tan α Lời giải Khơng làm tính tổng qt coi α góc nhọn C tam giác vng ABC (như hình vẽ) ta ln có < cos α = cot α = B AB < < AB < BC; BC 1 AC = AB = ; AB tan α AC AC cos α = cos C = = sin B = sin (90◦ − α); BC cos2 α + sin2 α = α C A AC AB AC + AB BC + = = = BC BC BC BC Chọn đáp án B Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A AH đường cao Cho biết AB = 9, BC = 15 Khi độ dài AH A 6,5 B 7,2 C 7,5 D 7,7 Lời giải Ta có AC = BC − AC = 152 − 92 = 144 ⇒ AC = 12 AB · AC 12 · AH · BC = AB · AC ⇒ AH = = = 7,2 BC 15 A B H Chọn đáp án B Bài 19 Cho cos α = với 0◦ < α < 90◦ Khi sin α √ A B C 3 Giáo viên: √ D C Chương Hệ thức lượng tam giác vng 419 Lời giải Vì 0◦ < α < 90◦ ⇒ sin α > √ Å ã2 5 = ⇒ sin α = Lại có cos α + sin α = ⇒ sin α = − cos α = − 2 2 Chọn đáp án A Bài 20 Cho sin α = A với 0◦ < α < 90◦ Khi tan α B C Lời giải D Vì 0◦ < α < 90◦ ⇒ tan α > 0, cos α > Ta có cos2 α ⇒ tan2 α = −1 cos2 α = −1= − sin2 α + tan2 α = ⇒ tan α = Å ã2 − = 16 1− Chọn đáp án D Bài 21 Biểu thức cos4 α + cos2 α · sin2 α + sin2 α A cos2 α B sin2 α C Lời giải D Ta có cos4 α + cos2 α · sin2 α + sin4 α = cos2 α cos2 α + sin2 α + sin2 α = cos2 α + sin2 α = Chọn đáp án C Bài 22 Một thang dài 3,5 m đặt dựa vào tường, góc “an tồn” chân thang mặt đất để thang khơng đổ người leo lên 60◦ Khoảng cách “an toàn” từ chân tường đến chân thang A m B 0,5 m C m D 1,75 m Lời giải Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 420 Coi chân tường, chân thang thang điểm A, B C (như hình vẽ) Khi tam giác ABC tam giác vng A có BC = 3,5 m, góc “an tồn” góc ABC = 60◦ Vậy khoảng cách “an toàn” AB = BC · cos B = 3,5 · cos 60◦ = 1,75 m C 3, ◦ 60 A B Chọn đáp án D 4.2 Tự luận Bài 23 Dựng góc nhọn α, biết cos α = Lời giải Dựng tam giác vng ABC có cạnh huyền BC 3, vẽ cạnh góc vng AC có độ dài Khi góc kề với AC góc C = α cần dựng (hình bên) AC = Thật vậy, từ cách dựng ta có cos α = cos C = BC B α C A Bài 24 Cho tam giác KQP có KQ = cm, KP = 12 cm QP = 13 cm Đường cao KH (H thuộc P Q) Chứng minh tam giác KQP vuông Tính góc Q, góc P độ dài KH, P H Lấy điểm O cạnh QP (O khác P , Q) Gọi hình chiếu O KP , KQ A B Chứng minh AB = KO Điểm O vị trí AB ngắn Lời giải Ta có P K + QK = 169 = P Q2 , suy tam giác KQP vuông K Ta có Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông sin P QK = 421 P PK 12 = ⇒ P QK ≈ 67◦ 22 PQ 13 ⇒ KP Q = 90◦ − 67◦ 22 = 22◦ 38 B Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác KP Q, đường cao KH, ta có 60 cm KH · P Q = KP · KQ ⇒ KH = 13 P K2 144 P K2 = P H · P Q ⇒ P H = = cm PQ 13 O H K Q A Tứ giác AKBO có AKB = KAO = KBO = 90◦ ⇒ AKBO hình chữ nhật ⇒ AB = KO Ta thấy AB = OK ≥ KH (vì KH ⊥ P Q) ⇒ ABmin = OK = KH ⇔ O ≡ H Vậy AB ngắn điểm O trùng với điểm H Bài 25 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Chứng minh SADE = SABC · cos2 A Lời giải AE AD = AB AC Kẻ đường cao DH tam giác ADE Ta có ⇒ ABD ∼ ADH ∼ ACE (g.g) ⇒ ABD (chung góc A) nên ta có DH AD = BD AB A ⇒ SADE SABC Mà DH · AE DH AE = · = BD AC BD · AC ã Å AE AE AE = · = AC AC AC ACE có H E D B C AE SADE = cos A ⇒ = cos2 A ⇒ SADE = SABC · cos2 A AC SABC Đề số 3A (Tự luận dành cho học sinh giỏi) Bài Tính diện tích tam giác vng có chu vi 144 cm, biết hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 14 cm Lời giải Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 422 A B H M C “ > C Vẽ đường cao AH trung tuyến AM với H, M Vẽ tam giác ABC vng A, có góc B thuộc BC Từ suy H nằm B M Đặt AM = x, ta có BC = 2x, AH = x − 14 (x > 14) Theo hệ thức lượng tam giác vuông AB + AC = BC = 4x2 ; AB · AC = BC · AH = 2x(x − 14) Suy AB + AC + 2AB · AC = 4x2 + 4x(x − 14) ⇔(AB + AC)2 = 8x2 − 56x ⇔(144 − 2x)2 = 8x2 − 56x ñ x = 32 ⇔ x = −162 (loại) Khi đó, BC = 64 cm, AH = 18 cm SABC = 567 cm2 Bài Cho tam giác ABC vng A có BC = 20 cm, đường cao AH Gọi D, E hình chiếu vng góc H cạnh AB, AC Tính chu vi tam giác ABC cho diện tích tứ giác ADHE lớn Lời giải A E D B Ta có H C HD HB HE HC = = suy AC BC AB BC HD HE HB · HC AH · = = AC AB BC BC (AB · AC) (AB + AC )3 ⇒SADHE = BC 8BC ⇒SADHE 25 Vậy diện √ tích tứ giác ADHE lớn 25 cm tam giác ABC vng cân có chu vi 20 + 20 cm Bài Cho tam giác ABC có A = 60◦ , AB = 56 cm, AC = 70 cm Tính độ dài cạnh BC Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông 423 A H B C √ · AB = 28, BH = AB sin 60◦ = 28 √ Suy HC = AC − AH = 70 − 28 = 42, BC = BH + HC = 4116 Vậy BC = 14 21 cm Kẻ BH ⊥ AC Ta có AH = Bài Tam giác ABC có BC = 40 cm, đường phân giác AD dài 45 cm, đường cao AH dài 36 cm Tính độ dài BD DC Lời giải A E H B D C √ Đặt BD = x, DC = y Giả sử x < y Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có HD = AD2 − AH = 27 Dựng phân giác ngồi góc ngồi A, cắt BC E Ta có AE ⊥ AD nên AD2 = DE · DH AD2 452 Suy DE = = = 75 (cm) Theo tính chất đường phân giác ngồi DH 27 DB EB x 75 − x = ⇒ = DC EC y 75 + y (1) x + y = 40 (2) Mặt khác Từ (1) (2) ta có đ x = 15 x2 − 115x + 1500 = ⇔ x = 100 Do x < 40 nên x = 15, y = 25 Vậy DB = 15 cm DC = 25 cm Đề số 3B (Tự luận dành cho học sinh giỏi) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC Chứng minh Å ã EB AB = FC AC BC · BE · CF = AH Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 424 Lời giải A F E B C H Xét tam giác vuông AHB, đường cao HE có BH = BA · BE (1.1) Xét tam giác vng AHC, đường cao HF có CH = CA · CF (1.2) Từ (1.1) (1.2) suy Å BH CH ã2 = AB BE · AC CF (1.3) Lại xét tam giác vuông ABC, đường cao AH có ® Å ã AB = BH · BC BH AB = ⇒ CH AC AC = CH · BC (1.4) Do đó, từ (1.3) (1.4) suy AB BE · = AC CF Å AB AC ã4 BE = ⇔ CF Å AB AC ã3 BE BH BH · BA = ⇔ BE = BA BC BC AB AB AC Mà BH · BC = AB ⇒ BH = ⇒ BE = Tương tự ta có CF = BC BC BC AB · AC Mà AB · AC = AH · BC ⇒ AH = Suy BC Å ã AB AC AB · AC BC · BE · CF = · · BC = = AH 2 BC BC BC Ta có ABC EBH ⇒ Bài Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10, AH đường cao, AH = AB, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính độ dài đường cao hình thang cân Lời giải Giáo viên: Chương Hệ thức lượng tam giác vuông A D 425 B H C Gọi độ dài đường cao AH = x Suy 10 − x ⇒ AD2 = HD2 + AH = HD = Å 10 − x ã2 + x2 (1.5) Mặt khác, tam giác DAC vuông A nên 10 − x AD = DH · DC = 10 Å ã = (10 − x) (1.6) Từ (1.5) (1.6) suy Å 10 − x ã2 √ + x2 = (10 − x) ⇔ 5x2 = 100 ⇔ x = √ Vậy đường cao AH có độ dài Bài Một bể nước có thành cao 80 cm, mực nước đo bể cao 60 cm Ánh sáng mặt trời chiếu lệch góc 30◦ so với mặt nước Biết chiếu tia sáng với góc tới i qua sin i = (tia sáng hình vẽ) Tính độ dài mặt nước có góc khúc xạ r tính theo cơng thức sin r bóng thành hồ in đáy bể i r Lời giải 60◦ E O D r A B C Tài liệu Toán của: Đề kiểm tra 45 phút 426 Ta có độ dài bóng cần tính AB + BC Mà AB = DO = √ DE 20 = = 20 ◦ ◦ tan 30 tan 30 Mặt khác … √ 37 sin i sin 60◦ 3 64 37 = ⇔ = ⇔ sin r = ⇒ tan r = −1= ⇒ tan r = −1 = sin r sin r 27 27 27 sin r Do … BC = BF tan r = AD tan r = 60 √ 37 20 111 = 27 Suy chiều dài bóng cần tính √ √ √ √ 60 + 20 111 20 111 AB + BC = 20 + = 3 Bài Cho tam giác tan B · tan C = ABC, trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh Lời giải Xét tam giác vuông ABD, ta có tan B = A AD 2DH = BD BD (1.7) E H Kẻ đường cao BE Xét tam giác vng ABE, có tan C = BE CE Xét BHD BCE có ® B chung ⇒ BHD E = D = 90◦ (1.8) BCE ⇒ B BD BE = DH CE (1.9) Do đó, từ (1.7), (1.8) (1.9) suy tan B · tan C = 2DH BD · = BD DH Giáo viên: D C ... Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Kẻ HE ⊥ AB (H ∈ AB).Cho AB = 4; AC = 2, tính độ dài đoạn HE Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 382 A HE = B HE = C HE = Lời giải D HE = √ 1 Ta... thức cạnh góc tam giác vng 370 Ơ Ví dụ Cho tam giác OP Q vng O có P = 36◦ , P Q = Hãy giải tam giác vuông OP Q Lời giải Ta có Q = 90◦ − P = 90◦ − 36◦ = 54◦ Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng,... cao 362 a) Kẻ HE vng góc với AC, suy ta HE ∥ BK, nên HE đường trung bình tam giác BCK Trong tam giác AHC vng H, 1 1 1 = + ⇔Å +Å ã2 = ã 2 2 HE HA HC AH BK BC 2 1 Vậy = + BK BC 4AH ã Å BC 2 =