Bài 3 các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác môn toán lớp 10 đầy đủ chi tiết nhất

Ngày soạn: 19/1/2019 Tiết dạy: 22, 23, 24, 25 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC I Mục tiêu Qua học học sinh phải đạt kiến thức tối thiểu sau Kiến thức Học sinh hiểu - Các hệ thức lượng tam giác vng, định lí hàm số cosin, định lí hàm số sin, cơng thức tính diện tích tam giác, từ biết áp dụng vào giải tam giác ứng dụng vào thực tế đo đạc Kỹ Học sinh biết - Áp dụng định lí cơsin, định lí sin, cơng thức độ dài đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích để giải số toán liên quan đến tam giác - Giải tam giác số trường hợp đơn giản Biết vận dụng giải tam giác vào tốn có nội dung thực tiễn Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi giải tốn Về thái độ Học sinh nắm cơng thức từ biết liên hệ toán học vào thực tế Định hướng phát triển lực (Năng lực tự học, lực hợp tác, lực giao tiếp, lực quan sát, lực phát giải vấn đề, lực tính tốn, lực vận dụng kiến thức vào sống ) II Chuẩn bị giáo viên học sinh Giáo viên - Giáo án, phấn màu, thước - Phiếu học tập Học sinh - Xem lại hệ thức lượng học Tiết 22 ĐỊNH LÝ COSIN VA ĐỊNH LÝ SIN III Chuỗi hoạt động học Giới thiệu (5 phút) Câu Người ta muốn đo chiều cao tháp Eiffel (ở hình 1) mà khơng thể trèo lên đỉnh mà kéo thước dây để đo trực tiếp Em giúp họ đo chiều cao tháp Eiffel ? Câu Làm để đo chiều cao ( hình 2) mà ta khơng thể trèo lên đến đỉnh để đo trực tiếp ? Câu Tính khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C hồ Gươm ( hình 3) mà ta trực tiếp đến để đo Câu Khi khai quật mộ cổ, người ta tìm mảnh đĩa phẳng hình trịn bị vỡ ( hình 4) Dựa vào tài liệu có, nhà khảo cổ biết hình vẽ phần cịn lại đĩa Họ muốn làm đĩa theo đĩa Em giúp họ tìm bán kính đĩa Hình Hình Hình Hình Nội dung học 2.1.1 Định lí cơsin.( 30 phút) Tiếp cận định lí Hoạt động Bài tốn Trong tam giác ABC cho biết hai b) Hình thành cạnh ABc), AC Củngvàcốgóc A Hãy tính cạnh BC A thức (thời gian) 2.2 Đơn vị kiến ……………………………… 2.k Đơn vị kiến thức k (thời gian) LUYỆN TẬP (thời gian) B C Giải uuur uuur uuu r BC  BC  AC  AB Ta có: uuur uuuur uuur uuu r  AC  AB  AC AB   uuur uuuur uuur uuu r BC  AC  AB  AC AB cos A BC  AC  AB  AB AC.cos A VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG Định lí cơsin a  b  c  2bc.cos A b  a  c  2ac.cos B 2 Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c ta có: c  a  b  2ab.cos C Củng cố định lí Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh b  , Gợi ý 2 µ cạnh c  góc A  120 Tính độ dài cạnh Ta có: a  b  c  2bc.cos A a a  82  62  2.8.6.cos1200  196 Vậy a  196  14 2.1.2 Hệ quả.( 15 phút) b2  c  a cos A  2bc a  c2  b2 cos B  2ac a  b2  c cos C  2ab Từ định lí cơsin suy Củng cố hệ Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a  52,1 Gợi ý 2 2 2 , cạnh b  85 cạnh c  54 Tính số đo cos A  b  c  a  85  54  52,1  0,88 µ 2bc 2.85.54 góc µA , Bµ C µ  A  28 21' µ B µ C học sinh tính tương tự Các góc 2.2.3 Áp dụng (25 phút) Tính độ dài đường trung tuyến tam giác Tiếp cận cơng thức tính độ dài đường trung tuyến Hoạt động Áp dụng định lí cơsin AMB ta có: Bài tốn Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , cạnh AC  b cạnh AB  c Tính độ AM  BA2  BM  BA.BM cos B a2  c  b2 dài đường trung tuyến AM tam giác cos B  2ac ABC theo a, b, c ( Với M trung điểm mà BC ) a a  c  b2 a 2 AM  c     2.c Gợi ý: 2ac 2 a a2  c2  b2  2 2 b c a AM  c  AM    2 Công thức độ dài đường trung tuyến m m ,m Gọi a , b c độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC  b2  c2   a ma2  2  a  c   b2 mb  2  a  b2   c2 mc  Khi : Củng cố Gợi ý: Áp dụng công thức đường trung tuyến Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a  7cm , cạnh b  8cm cạnh c  6cm  b  c   a 2  82    2 ma    37, 75cm ma 4 Tính độ dài đường trung tuyến giác ABC tam Luyện tập.(20 phút) Câu Tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  b  c   a  b  c   3ab µ Tính số đo góc C µ µ A C  60 µ B C  30 µ tam giác C  120 Câu Cho có AB  , C C 2.45 D.ABC uuur uuur BC  CA  Tính AB AC uuur uuur uuur uuur AB AC  10 AC  20 A uuur uuur B AB uuur uuur C AB.AC  10 D AB AC  20 Câu Khoảng cách từ A đến B đo trực tiếp phải qua đầm lầy Người ta xác định điểm C mà từ nhìn A B góc 52016 ' , biết CA  200m , BC  180m  ma  37, 75  6,14 Gợi ý  a  b  c   a  b  c   3ab Ta có:  a  b2  c  ab a  b2  c ab cos C    2ab 2ab Mặt khác : µ Vậy: C  60 Gợi ý uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 BC  AC  AB  AC  AC AB  AB Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur AC  AB  BC 82  52   AC AB    20 2 uuur uuur Vậy: AB AC  20   Gợi ý: Áp dụng định lí cơsin ABC ta có: AB  CA2  CB  2CA.CB.cos C AB  2002  1802  2.200.180.cos  52016 '  AB  200  180  2.200.180.cos  52 016 '   28336,92  AB  28336,92  168,335 Vậy: Khoảng cách Khoảng cách từ A đến B xấp xỉ 168m Tiết 23: DIỆN TÍCH TAM GIÁC a) Tiếp cận: (7 phút) Hoạt động GV - Nêu toán: + Bài toán 1: Làm đo khoảng cách từ vị trí A bờ đến vị trí B hồ nước mà đến vị trí B được? Dự kiến Hoạt động HS + Tiếp cận toán Nội dung A B + Để giải toán 1, phải giải toán sau: (Bài toán 2): Trong tam giác, biết hai góc cạnh tam giác tính cạnh + Khơng thể giải cịn lại? Nếu dựa vào toán cách nhanh định lí cos cơng thức chóng dựa vào định học em giải lí cos tốn khơng? Chúng ta cần có cơng thức phục vụ để giải tốn cơng thức định lí sin b) Hình thành định lí: (10’) Hoạt động GV Dự kiến Hoạt động HS Nội dung - Cho tam giác ABC Định lí sin tam giác vuông A, AB = c, AC Với tam giác ABC, ta có: = b, BC = a Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R bán kính đường trịn ABC A ngoại tiếp tam giác ABC c b B C a + Thảo luận theo nhóm hồn thành câu hỏi GV đưa + Hãy nêu lại hệ thức lượng liên quan đến sin góc tam giác ABC? + Từ chứng tỏ a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC + Vì a = 2R nên từ cơng thức ta có đẳng thức a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC + Ghi nhận định lí  Tổng quát thành định lí (Có thể hướng dẫn thêm để HS tự chứng minh định lí) c) Củng cố: (13’) Hoạt động GV Dự kiến Hoạt động Nội dung HS Treo bảng phụ có Giải tập TNKQ  Câu hỏi TNKQ: câu hỏi TNKQ (từng câu vào bảng giải thích Câu Tam giác ABC có BC = 10, 1) góc A = 300 Bán kính đường tròn Yêu cầu HS ghi đáp ngoại tiếp tam giác ABC bao án vào bảng đưa nhiêu? đáp án A Nhận xét giải B 10 thích đáp án (có thể gọi HS C nêu cách tìm đáp án đúng) D Câu Tam giác ABC có góc B = 600, góc C = 450, Ab = Hỏi cạnh AC bao nhiêu? A B C D 10 Yêu cầu HS thảo luận theo nhóm để giải tốn nêu đầu tiết học Thảo luận nhóm hồn thành tốn 1: A C B + Lấy điểm C bờ mà từ thấy B A Tính khoảng cách AC, dùng giác kế đo góc Từ vận dụng định lí sin để tính AB 2.3 Diện tích tam giác (30 phút) a)Tiếp cận: (5’) Hoạt động GV Dự kiến hoạt động HS PV: Nhắc lại cơng thức tính diện tích tam giác học lớp dưới? b) Hình thành kiến thức: (15’) Hoạt động GV +YC1: Từ công thức (1), vận dụng kiến thức học rút công thức (2) (3)? A B H C Nội dung Diện tích tam giác Dự kiến hoạt động Nội dung HS + Thảo luận nhóm rút Diện tích tam giác cơng thức (2) (3) + Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, p chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp (5) gọi cơng thức Hê – rơng A H B C +YC2: Tính diện tích tam giác ABC thơng qua việc tính diện tích tam giác IAB, IAC, IBC + Tính c) Củng cố: (10’) Hoạt động GV Dự kiến hoạt động HS Nội dung Treo bảng phụ có Giải tập TNKQ Câu Tam giác có ba cạnh 5, câu hỏi TNKQ (từng câu vào bảng giải thích 12, 13 Diện tích tam giác 1) bao nhiêu? Yêu cầu HS ghi đáp A 30 án vào bảng đưa B đáp án Nhận xét giải thích đáp án (có thể gọi HS nêu cách tìm đáp án đúng) C D 20 Câu Tam giác ABC có ba cạnh 6, 10, Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bao nhiêu? A B C D Câu Hình bình hành ABCD có AB = ; BC = , góc BAD 450 Diện tích hình bình hành ABCD bào nhiêu? A B C D Câu Tam giác ABC có BC = a, AC = b Diện tích tam giác đạt giác trị lớn góc C bằng: A 600 B 900 C 1200 D 1500 Tiết 24 ỨNG DỤNG THỰC TẾ 2.4 Giải tam giác ứng dụng thực tế (30 phút) a) Tiếp cận: (3’) Hoạt động GV Dự kiến hoạt động HS Trong phần tiếp theo, Nghe giáo viên giới thiệu vận dụng hệ thức lượng tam giác để tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố xác định gọi giải tam giác vận dụng vào giải số tốn đo đạt thực tiễn b) Hình thành kiến thức: (20’) Nội dung Hoạt động GV + Chia học sinh thành nhóm giao nhiệm vụ cho nhóm: - 1, 2, 3: giải VD1 - 4, 5, 6: giải VD2 + Gọi đại diện nhóm trình bày sản phẩm giải thích + u cầu nhóm thảo luận hồn thành ví dụ Dự kiến hoạt động Nội dung HS + Thảo luận nhóm hồn Giải tam giác vận dụng thực thành VD tế * VD1: Cho tam giác ABC Biết a = 17,4 ; Tính góc A cạnh b, c tam giác ĐS: ; *VD2: Cho tam giác ABC Biết Tính hai góc A, B cạnh c ĐS: *VD3: Đường dây cao nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo hai đường dây 750 Tính khoảng + Thảo luận nhóm hồn cách từ vị trí B đến vị trí C thành VD ĐS: xấp xỉ 11km + Gọi đại diện nhóm trình bày sản phẩm giải thích c) Củng cố: (7’) Qua chuỗi hoạt động học ví dụ trên, em thầy hệ thức lượng tam giác mảng kiến thức quan có nhiếu ứng dụng vào thực tế Hi vọng em vận dụng kiến thức lĩnh hội học để giải toán đo đạt thực tiễn Tiết 25 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC III Chuỗi hoạt động học Tiếp cận học: * Hoạt động 1: (ghi bảng phụ) Định lí côsin tam giác: A c B b a a = b2 = c2 = Hệ quả: cos A  cos B  cos C  Định lí sin tam giác Cơng thức tính diện tích: C Định lí côsin tam giác: A Cho học sinh nhóm (mỗi em cơng thức) lên bảng hồn thành thời gian phút c B 2 b a C a = b + c - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC Hệ quả: b2  c2  a cos A  2bc a  c  b2 cos B  2ac a  b2  c2 cos C  2ab Định lí sin tam giác Cơng thức tính diện tích: * Hoạt động 2: Muốn đo chiều cao tháp Chàm Por Klong Garai Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A B mặt đất có khoảng cách AB = 12m thẳng hàng với chân C tháp để đặt hai giác kế (h.2.24) Chân giác kế có chiều cao h = 1,3m Gọi D đỉnh tháp hai điểm A1, B1 thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD tháp Người ta đo góc DA1C1 = 49o góc DB1C1 = 35o Tính chiều cao CD tháp Nội dung học 2.1 Sử dụng cơng thức tính diện tích để xác định yếu tố tam giác ˆ C  30 + Cho học sinh nhận xét cách tính độ dài đường cao tam giác? + Tính diện tích cơng thức nào? + Tính bán kính R cơng thức nào? + Tính độ dài cạnh c? o + Xác định cơng thức tính độ dài đường cao + Xác định cơng thức tính diện tích + Xác định cơng thức tính R + Xác định cơng thức tính độ dài cạnh c Nội dung giải + Diện tích tam giác ABC: + Độ dài đường cao xuất phát từ A tam giác ABC: + Độ dài cạnh c: + Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: Nhận xét: - Khi có độ dài cạnh c, ta dùng định lý Sin để tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R - Nếu giả thiết không cho số đo góc C mà cho độ dài cạnh c việc tính diện tích tam giác có thay đổi cách tính độ dài đường cao bán kính đường trịn ngoại tiếp R khơng thay đổi Củng cố - Như để tính độ dài đường cao tam giác thường phải tính diện tích tam giác - Để tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác thường có cách tính: dùng định lý Sin thơng qua cơng thức tính diện tích 2.2 Dùng định lí cơsin để tính yếu tố tam giác Tiếp cận tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = Điểm M thuộc cạnh AB cho AM = Tính CM + Dựa vào hình vẽ, nhận xét CM cạnh tam giác nào? + Nếu dựa vào tam giác ACM cần tính thêm góc nào? + Dựa vào tam giác ACM tam giác BCM + Thảo luận tìm câu trả lời + Thảo luận rút lời giải, đại diện nhóm lên bảng trình bày Nội dung giải + Áp dụng hệ định lí cơsin cho tam giác ABC ta có + Áp dụng định lí cơsin cho tam giác AMC ta có CM  AM  AC  AM AC.cos A   64  2.3.8  CM   49 Củng cố tập 1/ Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = Gọi N điểm cạnh AC cho AN = Tính độ dài đoạn BN? 2/ Cho tam giác ABC có AB = 5, góc Tính CM Aˆ  45o , Cˆ  60o Điểm M thuộc cạnh AB cho AM = Luyện tập A TRẮC NGHIỆM 1/ Cho tam giác ABC có AC = b, BC = a, AB = c Mệnh đề sau ? 2 2 2 A Nếu a  c  b  B góc nhọn B Nếu a  c  b  B góc tù 2 2 2 C Nếu a  c  b  B góc vng D Nếu a  c  b  B góc tù 2/ Cho tam giác ABC có a  3, b  c  15 Khẳng định sau ? 2 2 2 A sin A  sin B  3sin C B sin B  sin C  3sin A 2 C sin A  sin C  3sin B D Các câu 3/ Cho tam giác ABC có diện tích S Nếu tăng độ dài cạnh AC , BC lên hai lần giữ ngun độ lớn góc C diện tích tam giác : A 2S B 3S C 4S D 5S B TỰ LUẬN µ µ Bài Cho ABC có A  60 , B  45 , b  Tính độ dài cạnh a, c bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC diện tích tam giác cos A  Tính BC, S, , R Bài Cho ABC AC = 7, AB = Bài Cho ABC có AB = 3, AC = diện tích S  3 Tính cạnh BC VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG 4.1 Vận dụng vào thực tế Bài vị trí A B cách 500m bên bờ sơng từ vị trí C bên bờ sông Biết · · CAB  87 , CBA  620 Hãy tính khoảng cách AC BC Bài Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến vị trí B phái tránh núi , người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời đoạn dây AC CB 75 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê m dây ? Bài Muốn đo chiều cao tháp Chàm Por Klong Garai Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A B mặt đất có khoảng cách AB = 12m thẳng hàng với chân C tháp để đặt hai giác kế (h.2.24) Chân giác kế có chiều cao h = 1,3m Gọi D đỉnh tháp hai điểm A1, B1 thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD tháp Người ta đo góc DA1C1 = 49o góc DB1C1 = 35o Tính chiều cao CD tháp 4.2 Mở rộng, tìm tịi Bài Chứng minh tam giác ABC ta ln có: a = b.cosC + c.cosB 1   Bài Cho ABC có b + c =2a CMR: a/ sin B  sin C  2sin A b/ hb hc µ Bài Cho tam giác ABC có BC = a, A   hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với Tính SABC ... HS + Tiếp cận toán Nội dung A B + Để giải toán 1, phải giải toán sau: (Bài toán 2): Trong tam giác, biết hai góc cạnh tam giác tính cạnh + Khơng thể giải cịn lại? Nếu dựa vào tốn cách nhanh định... 2 833 6,92  AB  2 833 6,92  168 ,33 5 Vậy: Khoảng cách Khoảng cách từ A đến B xấp xỉ 168m Tiết 23: DIỆN TÍCH TAM GIÁC a) Tiếp cận: (7 phút) Hoạt động GV - Nêu tốn: + Bài tốn 1: Làm đo khoảng cách... kiến hoạt động HS Trong phần tiếp theo, Nghe giáo viên giới thiệu vận dụng hệ thức lượng tam giác để tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố xác định gọi giải tam giác vận dụng vào giải số tốn đo