Bài 3 bài tập có đáp án chi tiêt về chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt HƯỚNG DẪN GIẢI Vấn đề Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số Bài 1: * lim y   lim y   nên đường thẳng x = tiệm cận x2 x2 đứng đồ thị hàm ( x  2 x  2 ) y  lim y  nên đường thẳng y = tiệm cận ngang * xlim  x đồ thị hàm số (khi x   x   ) 3 y * lim y  lim 3x   lim x  lim  nên đồ thị hàm x x x x x x(x  2) x x  khơng có tiệm cận xiên lim y   lim y   * nên đường thẳng x   tiệm cận 1 1 x x 3   đứng đồ thị hàm ( x   x   ) 3 2 * lim y   lim y   nên đường thẳng y   tiệm cận x x 3 ngang đồ thị hàm (khi x   x   ) y y * lim  , lim  nên đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên x x x x Bài 2: * lim y   lim y   nên đường thẳng x = tiệm cận x5 x5 đứng đồ thị hàm (khi x  5 x  5 ) y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận * xlim  x ngang 1 )  lim [y  (x  1)]  lim ( ) x x x  x nên đường thẳng y = x+1 tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x   x   ) lim y   lim y   * nên đường thẳng x   tiệm cận 1 1 x x 3 * lim [y  (x  1)]  lim ( x x   đứng đồ thị hàm (khi x   x   ) 3 49 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận * xlim  x ngang  2 20   29  * lim  y   x    lim x    x 9(3x  1) 3  2 20   29 20 lim  y   x    lim  nên đường thẳng y = x  x  x  9(3x  1)   tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x   x   ) Bài 3: * lim y   lim y   nên đường thẳng x = tiệm cận x2 x2 đứng đồ thị hàm (khi x  2 x  2 ) * lim y   lim y   nên đường thẳng x = - tiệm cận x2 x2 đứng đồ thị hàm (khi x  2 x  2 ) y  lim y  nên đường thẳng y = tiệm cận ngang * xlim  x đồ thị hàm (khi x   x   ) y y 2x  2x   lim  lim  nên đồ thị * lim  lim x x x x(x  4) x x x x(x2  4) khơng có tiệm cận xiên y  lim y  nên đường thẳng y = tiệm cận ngang * xlim  x đồ thị hàm (khi x   x   ) y y 4x 4  lim  lim  lim  nên * lim  lim 2 x x x x(x  8) x x  x x x (x  8) đồ thị khơng có tiệm cận xiên Bài 4: * lim y   x1 lim y   nên đường thẳng x = -1 tiệm cận x1 đứng đồ thị hàm (khi x  1 x  1 ) y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận * xlim  x ngang * lim [y  (2x  3)]  lim 2x  50 x  lim [y  (2x  3)]  lim 2x  0 x 1 x3  nên đường thẳng y = x  tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x   x   ) x x x Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * lim y   lim y   nên đường thẳng x = tiệm cận x0 x0 đứng đồ thị hàm (khi x  0 x  0 ) * lim y   x2 lim y   nên đường thẳng x = tiệm cận đứng x2 đồ thị hàm (khi x  2 x  2 ) y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận * xlim  x ngang * lim [y  (x  2)]  lim 4x  x x2  lim [y  (x  2)]  lim 4x  0 x  2x x2  2x nên đường thẳng y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x   x   ) Bài 5: * lim y   lim y   nên đường thẳng x = - tiệm cận x x x x2 đứng đồ thị hàm (khi x  2 x  2 ) * lim y   x2 lim y   nên đường thẳng x =2 tiệm cận đứng x2 đồ thị hàm (khi x  2 x  2 ) y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận * xlim  x ngang * lim [y  2x]  lim 7x  x  lim [y  2x]  lim 7x   nên đường x x x2  x 4 thẳng y = 2x tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x   x   ) y  lim y  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang * xlim  x x đồ thị hàm (khi x   x   ) 1 1 x3(   )   y x2  x  x x2 x3 x x2 x3  lim  lim 0 * lim  lim 3 x x x x(x2  2x  3) x x x3(1  ) 1  x x2 x x2 nên đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên Bài 6: D  ( ;1]U [2; ) Từ tập xác định hàm số suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận đứng Ta xem tiệm cận ngang trường hợp đặc biệt tiệm cận xiên a = ,do ta cần tiệm cận xiên đồ thị hàm ,nếu đường tiệm cận có dạng y = b tiệm cận ngang 51 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả   4 2  4 y  x   x2  3x   x 1  x2  1    x 1  x 1  2 x x x  x x x     4 x  1   x 1   y x x x2 2 lim  lim   lim  1  1   2   x x x x x x x x           3 lim (y  2x)  lim  x 1 1   2 4  lim x  1    4   x    x x   x x2 x x2               2   1    1     x x2      x  lim x   lim         x x 3   1    1    1 1    2 x x x x       Vậy đường thẳng y = 2x   ) tiệm cận xiên đồ thị hàm (khi x  4 x 1  x 1   y x x x2  lim  lim   lim  1  1   x x x x  x x x x2       2 lim y  lim x  1 1   4 x x   x x               1          x x   11     x  lim x   lim         x x   1      1   1    2 x x x x       11 Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = đường tiệm cận ngang (khi x   ) Cách khác.Trong toán ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm b b  ax2  bx  c  a x  Với a > ,ta có ax  bx  c  a x  2a 2a Đặt (x)  ax  bx  c  a x  lim (x)  x Áp dụng vào tốn 52 b 2a ta chứng minh Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta có x2  3x   x  3  x2  3x   x  2 Đặt (x)  x  3x   x  ,ta có:  9 x2  3x    x2  3x    4  lim (x)  lim  lim x x x 3 x  3x   x  x2  3x   x  2  lim   3  x  1   1   x x 2x    Suy y  x   x   (x) x Khi x   y = x   x    (x)  2x   (x) 2 5 lim [y  (2x  )]  lim (x)  nên đường thẳng y = 2x  tiệm x x 2   ) cận xiên đồ thị hàm (khi x 11 Khi x   y = x   x   (x)   (x) 2 11 11 Vì lim (y  )  lim (x)  nên đường thẳng y = tiệm cận x x ngang đồ thị hàm ( x   ) Vì Ta có x2   x  x2   x Đặt (x)  x2   x ,ta có   x   x2  lim (x)  lim  x2   x   lim   lim x x   x  x2   x   x  4   x  1  x  x2   lim x   x  1  1   x   0 Suy y  3x  x2   3x  x  (x) Khi x   y = 3x  x  (x)  4x  (x) 53 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vì lim (y  4x)  lim (x)  nên đường thẳng y = 4x tiệm cận xiên x x đồ thị hàm (khi x  ) Khi x   y = 3x  x  (x)  2x  (x) (y  2x)  lim (x)  nên đường thẳng y = 2x tiệm cận xiên Vì xlim  x đồ thị hàm ( x   ) Đồ thị hàm khơng có tiệm cận ngang 2x lim y  lim x  x  * x 1 x2 2x lim y  lim  lim 2 x x x  , suy đường thẳng y = 3 x 1 1 2 x x tiệm cận ngang đồ thị hàm 2x lim y  lim  lim   2 x x x  , suy đường thẳng y = - 3  x 1 1 2 x x tiệm cận ngang đồ thị hàm y  , suy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận * lim  lim x x x x2  xiên Vấn đề Một số dạng toán khác Bài 1:  4x0  1 M  (C)  M  x0 ;   x0    TCĐ (C) : x – =  d(M ,TCD)  x0  TCN (C): y + =  d(M ,TCN)   d(M ,TCD).d(M ,TCN)  x0  54  x0 4  13  x0 13  13 (đpcm) x0  T  d(M ,TCD)  d(M ,TCN)  x0   T  13  x0   4x0  13 Cauchy 13  x0   13 x0  x0  13  (x0  3)2  13  x0    13  x0   13 x0  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vậy T đạt giá trị nhỏ 13 M(  13;  13  4) M(  13; 13  4) Bài 2: m2  , suy (C) có tiệm cận xiên (d)  m  Khi x1 phương trình (d) : y = mx+3 A(1;4)  (d)   m   m  (thõa mãn điều kiện m  0) Ta có y = mx   ;0) m 1  Diện tích tam giác vng OMN: S = OM.ON  2 m 2m Giao điểm (d) với hai trục tọa độ M(0;3) M(  Theo giả thiết : S   1   m   m   (thỏa mãn điều kiện 2 2m m  0) d(O;(d))     m2   m 1  m  1  m   (thỏa mãn điều kiện m  0) (m  1)x2  (2m  1)x  (m  1)x  m  = ,suy (C) có x x hai đường tiệm cận x = - (d1), y = (m+1)x+m (d 2) ) M  (C)  M(x0;(m  1)x0  m  x0  Bài 3: y =  d(M ,(d1)).d(M ,(d2))  x0  (m  1)x0  m  (m  1)x0  m   (m  1)2  x0  (m  1)2  d(M ,(d1)).d(M ,(d2))   2   (m  1)2    m  1 (m  1)  Giao điểm hai đường tiệm cận I(-1; -1) Vì tọa độ I thỏa mãn phương trình (P) nên I  (P) (C) có tiệm cận xiên  m    m  1 Đường trịn ( ) có tâm gốc tọa độ O , bán kính R = ,suy Tiệm cận xiên tiếp xúc đường tròn m 1 ( )  d(O;TCX)    2 (m  1)  55 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  4m2  (m  1)2   3m2  2m    m  m  1) Bài 4: Gọi M(x0;y0)  (C) M cách hai trục tọa độ  x0  y0   3x0   3x0  x0  x0  1 (thỏa mãn điều kiện 3x0  x0   x0  x02  5x0    x0   21  x0  x02  x0    x0  1   21  21   1 1m  ; ; ,M 3,4   Vậy có bốn điểm cần tìm: M 1,2   2      Gọi M(x0;y0)  (C) Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d  x0  y0  x0  Với x0  x0  1 1  d  nên với x0   d  3 3 Ta xét x0  Mà 3x0  3x  x02  x0  1  d  x0   x0  x0  x02  x0  1 3x02  2x0  (3x0  1)(x0  1)     với x0  3(x0  2) 3(x0  2) 1 x0 : x0  Suy d  3 1  Vậy M  ;0 giá trị cần tìm 3  x0 : x0   5  5 Ta có A   a;3  , B 2  b;3   (với a,b  ) hai điểm nằm a b     hai nhánh (C)  5 25 AB2  (a  b)2      (a  b)2(1 )  4ab.2  40 2 a b ab   ab a  b  Đẳng thức xảy  25  a  b  1  2  ab 56 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  3   Vậy A  5;3  , B  5;       3m  1 Ta có M  m;  (C) m   3m  d(M , )  3m  1 m 3m2  17m   5 m 12  3m2  17m   12 m   26  3m2  29m  26   m  1;m     3m  5m  22   m  2;m  11  Vậy có bốn điểm thỏa yêu cầu toán  16 15   7  11  M 1(1; 2),M  ; ,M 2; ,M  ;6  4  4    Suy d(M , )  57 ... 8) đồ thị khơng có tiệm cận xiên Bài 4: * lim y   x1 lim y   nên đường thẳng x = -1 tiệm cận x1 đứng đồ thị hàm (khi x  1 x  1 ) y   lim y   ,suy đồ thị hàm khơng có tiệm... 3) x x x3(1  ) 1  x x2 x x2 nên đồ thị hàm khơng có tiệm cận xiên Bài 6: D  ( ;1]U [2; ) Từ tập xác định hàm số suy đồ thị hàm khơng có tiệm cận đứng Ta xem tiệm cận ngang trường... Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = đường tiệm cận ngang (khi x   ) Cách khác.Trong toán ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm b b  ax2  bx  c  a x  Với a > ,ta có