Bài 3 bài 3 một số PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG gặp

4 dạng phương trình lượng giác thường gặp

4 dạng phương trình lượng giác thường gặp

Đưa về phương trình tích hoặc đánh giá bất đẳng thức, hàm số

Đưa về phương trình tích hoặc đánh giá bất đẳng thức, hàm số

4 phương trình lượng giác cơ bản

ĐỀ BÀI

ĐỀ BÀI

4 phương trình lượng giác cơ bản Sử dụng các công thức

biến đổi lượng giác

Bước 1 Kiểm tra

- Nếu a2b2 c2 phương trình vô nghiệm.- Nếu a2b2 c2 khi đó phương trình có

nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.

Bước 2 Chia hai vế phương trình cho

sin cosx cos sinxcab

   

  

 là phươngtrình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giảiđược.



A

   

  

   

  

x k

B 6 

C 5 6 

D 5 3 

Câu 3: Nghiệm của phương trình sinxcosx1 là

x k

   

 

 

Câu 7: Phương trình 3 sin 3xcos3x tương đương với phương trình nào sau đây?1

C 2sinx3cosx1 D cot2 x cotx 5 0.

Câu 9: Cho phương trình 3 cosxsinx 2 trên đoạn 0;  Chọn câu trả lời đúng.

A Phương trình có nghiệm ; 3

x x  B Phương trình có nghiệm 5 12

x 

C Phương trình có nghiệm 3 ; 4

x  x  D Phương trình có nghiệm 2 5

  

  

  

  

  

  

  

  

Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2x cos 2x2 B 3sinx 4cosx5.

C sin cos 4

  

B 5 6

B .

Câu 16: Nghiệm của phương trình sinxcosx1 với k   là

A x k 2  B

  

   

   

Câu 17: Để phương trình 2sin2 x sin cosxx cos2 x m có nghiệm thì giá trị của m là

A 1 10.2

m 

C 1 10.2

  

  

+) tsin ,u tcosu thì điều kiện 0 t 1.

Khi tìm được t t thỏa mãn thì phải giải tiếp1; 2

   

 

Kết hợp với điều kiện t  ta được 1 t 1.

Với t 1 thì sin 1 2 ,.2

x  x  k  k Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x B 2

x C 3 2

x  D 5 6

x 

Câu 4: Xét phương trình 3cos2x 2cosx 4 0 trên đoạn 0;3  Chọn câu trả lời đúng.

A Phương trình có 3 nghiệm.B Phương trình có 4 nghiệm.C Phương trình có 2 nghiệm D Phương trình vô nghiệm.Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin2x 3sinx  thỏa mãn điều kiện 01 0

x D 5 6

Câu 9: Nghiệm của phương trình cot 32 x cot 3x 2 0 là

 

 

Câu 11: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

4 x 2

cot x cotx 5 0.

Câu 12: Xét phương trình 13sin2x 78sinx15 0 trên đoạn 0; 2  Lựa chọn phương án đúng.

A Phương trình có 2 nghiệm.B Phương trình có 4 nghiệm C Phương trình vô nghiệm D Cả A, B, C đều sai.

Câu 13: Phương trình 3cosx2 sinx 2 có nghiệm là

x x  trên đoạn 0;3  Chọn câu trả lời đúng?

A Phương trình có 5 nghiệm.B Phương trình có 4 nghiệm.C Phương trình có 6 nghiệm.D Phương trình có 3 nghiệm.Câu 15: Xét phương trình 2

sin x 5sinx  trên đoạn 6 0 0; 2  Chọn câu trả lời đúng?

A Phương trình có 2 nghiệm.B Phương trình có 4 nghiệm.C Cả A, B, D đều sai.D Phương trình có 3 nghiệm.

Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau tanxcotx2 tanxcotx 2Giá trị của biểu thức tan 1

Câu 18: Cho arctan 13

 Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x=tthì

phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?

A 2t2 t 1 0. B t22 1 0.t 

C 2 1 0.2

Câu 20: Cho phương trình 2sinx 2cosx 1 3 Nếu giải phương trình bằng cách bình phương hai vếthì ta được phương trình nào sau đây?

A sin 2 sin 4

x 

C sin 2 sin 3

Bước 2 Nếu cosx 0 thì chia cả hai vế củaphương trình cho cos x đưa về phương trình bậc2

hai theo tan x.

Thay vào phương trình (1) ta có 0 3  3

 phương trình vô nghiệm.

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình(1) cho cos x ta được2

xxx 

Đưa phương trình đã cho về phương trình

Cách 1: Nếu cosx 0 thì chia cả hai vế chocosnx

 

tan 1

  

   

  

   

  

   



x k

 

 

   

x k

   

Câu 3: Phương trình 3cos 42 x5sin 42 x 2 2 3 sin 4 cos 4xx có nghiệm là

A , 6

Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình 2 1 3 2

x  k k 

sin x 3 cos xsin cosxx 3 sin cos xx Giá trị nguyên của

tan x là

 

Câu 8: Phương trình 2sin2x 5sin cosxx cos2x2 có thể được đưa về phương trình nào trong cácphương trình sau

A 4sin2 x5sin 2x cos2x0 B 5sin 2x3cos 2x5.

Câu 10: Khi m 2 thì phương trình

4 6 msin3x3 2 m1 sin x2m 2 sin cos 2 xx 4m 3 cos x0 có bao nhiêu họ nghiệm?

 

   

C Phương trình vô số nghiệm.D Đáp án khác.

Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x2 tanx3 Giá trị của biểu thức

tanx1 2 tan 2 x tanx3 là

  Giá trị của biểu thức

2 tan2 x tanx3 tan x là

Câu 19: Cho phương trình 1 tan 1 sin 2 ,1 tan

Để giải phương trình lượng giác đối xứng, talàm như sau.

Khi đó phương trình đã cho trở thành

bt  at b  c

Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải.

Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình

sin cos  sin cos 0.

ax x bxx c Đặt

Kết hợp với điều kiện  2 t 2 ta được

  

  

  

 

t  thì sin cos 67

                 

  

Câu 1: Cho phương trình 2 sin xcosx2sin cosxx 1 0 Đặt t sinxcos ,x ta được phươngtrình nào dưới đây?

x  D 5 6

Câu 7: Cho phương trình sin 2x4 sin x cosx 5 0. Số nghiệm của phương trình thỏa mãn

0 x   là

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2x cos 2x2 B sin 2x sinxcosx1.

C sin cos 4

A 0 B 2.

Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2x sinxcosx1 0 là

Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 4 sin x cosxsin 2x 5 0. B 2cos2x cosx1 0.

C 2 sin x cosx sin 2x 2 0 D 3sinx  2 0.

Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin cos 1 1sin 22

x x  x là

x  B 2

x  C 3 2

x  D x 5 6

Câu 13: Số nghiệm của phương trình 2 2 sin xcosx sin 2x 3 0 thỏa mãn điều kiện  x 5 là

Câu 14: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?

4 x 2

C 2 2 sin xcosxsin 2x 3 0 D cot2x cotx 5 0.

Câu 15: Điều kiện để phương trình 2 sin xcosxm 2 0 có nghiệm là

  

  

x x  x ta tìm được cos4

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosxx sinx cosx m 0 cónghiệm?

Câu 20: Giá trị của m để phương trình msinxcosxsin 2x0 có nghiệm là

A Không có giá trị nào của m. B m.

Phương trình 3 sinx cosx có nghĩa 1  x  D.

Câu 2.

Phương trình sinx 3 cosx có nghĩa 0  x  D.

Phương trình sinxcosx1 có nghĩa  x  D.

Phương trình sinxcosx1 có nghĩa  x  D.

x x  x x  x

2 24 4

x 

Câu 5.

Phương trình 3sinx m cosx5 có nghĩa  x  D.

Điều kiện để phương trình có nghiệm 32 2 52 2 16 4.4

Vậy phương trình vô nghiệm khi 4m4.

Câu 6.

Phương trình m.sinx 3cosx5 có nghĩa  x  D.

Điều kiện để phương trình có nghiệm 2  32 52 2 16 4.4

Câu 7.

Phương trình 3 sin 3xcos3x có nghĩa 1  x  D.

Phương trình 3 cosxsinx 2 có nghĩa  x  D.

x 

Câu 10.

Phương trình sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x có nghĩa x  D.

Ta có sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x sin 8x 3 cos8xcos 6x 3 sin 6x

Câu 11.

Phương trình 3 sinx cosx có nghĩa3  x  D.

Để phương trình có nghiệm thì  3 2  12   32  4 9 (vô lí).Vậy phương trình 3 sinx cosx vô nghiệm.3

Câu 12.

Phương trình sin 2x 2cosx0 có nghĩa x  D.

Ta có sin 2x 2 cosx 0 2sin cosxx 2cosx0

Câu 13.

Phương trình cos 7x 3 sin 7x 2 có nghĩa x  D.

Ta có cos 7 3 sin 7 2 1cos 7 3sin 7 2

Câu 14.

Phương trình sinx 3 cosx có nghĩa 0  x  D.

Ta có tan sin 2 cos 2 2 2cos 1 0 sin sin 2 cos 2 4cos 2 0

Ta có sin cos 1 1 sin 1 cos 1 sin 14

Phương trình 2sin2x sin cosxx cos2x m có nghĩa  x  D.

Ta có 2sin2 sin cos cos2 1 cos 2  1sin 2 11 cos 2 

Phương trình cos 2xsinx1 0 có nghĩa  x  D.

Ta có cos 2xsinx1 0  1 2sin2xsinx1 0

  

Giải (2) ta có sinx 0 x k k ,  .

Ta có tan sin 2 cos 2 2 2cos 1 0 sin sin 2 cos 2 4cos 2 0

sin 3 cos  sin 3 cos  4sin cos sin 3 cos  sin 3 cos 0

sin 3 cos 4sin cos

 

 

(do t  ).1

Với t  ta có 1, sin 1 2 .2

x  x  k  k 

Câu 2.

Phương trình cos2 x2cosx 3 0 có nghĩa  x  D.

Đặt tcos ,x t 1 Ta có cos2 2cos 3 0 2 2 3 0 1 13

 (do t  ).1Với t  ta có 1, cosx 1 x k 2k .

(do t  ).1

Với 1,2



Ta có 2 2

1 13

1 133

31 13

(do t  ).1

Với 1 13,3

Với 1,2

x  x  k  k Vì 0;

x 

 nên 6

 

(dot  ).1

Với 1,2

Đặt tsin ,x t 1 Ta có sin2 2sin 0 2 2 0 0 02

 (dot  ).1Với t  ta có 0, sinx 0 x k k .

Câu 9.

Phương trình cot 32 x cot 3x 2 0 có nghĩa 3

kx 

x  x   kx arc k k 

Câu 10.

Phương trình 2cos 2x2cosx 2 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 2cos 2x2cosx 2 0 4cos2x 2 2cos x 2 0  4cos2 x2cosx 2 2 0.Đặt tcos ,x t 1.

22 36 16 2

    

(dot  ).1

Với 2,2

x   x  k  k Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là

x 

Câu 11.

Ta có 3 sin 2 sin 2 13

x  x  (vô nghiệm).Ta có 1cos 4 1 cos 4 2 1

4 x 2 x  (vô nghiệm).Ta có 222

2 2 5 nên phương trình 2sinx3cosx5 (vô nghiệm)

 (do t  ).1Với t 0,199, ta có sin 0,199 arcsin 0.199 2 .

Câu 13.

Phương trình 3cosx2 sinx 2 có nghĩa  x  D.

Ta có 3cosx2 sinx  2 3cosx2 1 cos 2x 2.

Đặt tcos ,x t 1 Ta có 3cosx2 sinx  2 3t2 1 t2   2 t 0.Với t  ta có 0, cos 0 .

 Với 3,

x x  x  x x  x Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn đề bài.

 (do t  ).1Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 16.

Phương trình tanxcotx2 tanxcotx 2 có nghĩa cos 0 2 2sin 0

x kxx k

Với t  ta có2, tan cot 2 tan 1.

 

Vậy tan 1 2.tan

Phương trình 3sin2x sin 2x cos2 x có nghĩa 0  x  D.

Ta có 3sin2x sin 2x cos2 x 0 3sin2x 2sin cosxx cos2x0 1 

Vì cosx 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos x 2

Ta có 3sin2x 2sin cosxx cos2x 0 3tan2 x 2 tanx1 0.

 Với t  ta có 1, tan 1 tan tan .

x  x  x   kk Với 1,

cos 2sin cos sin cos

    

Phương trình 3 sin cos 1cos

Vậy giá trị nguyên của tan x là 1.

Câu 8.

2sin x 5sin cosxx cos x2 có nghĩa  x  D.

Ta có 2sin2x 5sin cosxx cos2x2 4sin2x 5.2sin cosxx 2cos2x4

3 2sin



Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

     

Kết hợp nghiệm ta được 4 2 .3

 

   

Câu 12.

Phương trình 2

2sin xsin 2x  có nghĩa 1 0  x  D.

Ta có 2sin2xsin 2x  1 0 2sin2 x2sin cosxx 1 0

Phương trình sin 22 x 3 sin 4x3cos 22 x có nghĩa 0  x  D.

Ta có sin 22 x 3 sin 4x3cos 22 x 0 sin 22 x2 3 sin 2 cos 2xx3cos 22 x0.

Ta có sin 2x2 tanx 3 2sin cosxx2 tanx3.

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có2 2  2 

2sin cosxx2 tanx 3 2 tanx2 tanx tan x1 3 tan x1

x  với k 1.

Phương trình có 1 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Câu 17.

Phương trình 2 3 cos2 x sin 2x có nghĩa 0  x  D.

Ta có 2 3 cos2x sin 2x 0 3 1 cos 2  x sin 2x 0 sin 2x 3 cos 2x 3 0

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có3

 1  tan3x 3tan2x3tanx1 4 tan 1 tan x  2x

Phương trình 1 tan 1 sin 21 tan

  

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có2

 1  tan2x2m 2 tan x m1 m1 tan 2x 0 1 mtan2 x2m1 tan x 2m10.Để phương trình có nghiệm thì m12 1 m 2m1  0 m2 m   2 0 2m1.

Dạng 4 Phương trình lượng giác đối xứng

Phương trình 1 sin x 1 cos x 2 có nghĩa  x  D.

Ta có 1 sin x 1 cos x  2 cosxsinxsin cosxx1.Đặt tsinxcos ,x t  2 



Phương trình sinx cosx2sin 2x 1 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sinx cosx2sin 2x  1 0 sinx cosx4sin cosxx 1 0  1Đặt tsinx cos ,x t  2 

 Do t  2 nên t 1.

Với t  ta có 1, sin cos 2 sin 1 sin 1 sin

         

Câu 4.

Phương trình sin 2x 2 sin x cosx 2 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sin 2x 2 sin x cosx 2 0  2 sin x cosx 2sin cosxx 2 0 1 

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

         

Phương trình sin 2x2 cos x sinx1 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sin 2x2 cos x sinx1 0  2sin cosxx 2 sin x cosx1 0 1  

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

Do t  2 nên t 0.

x kxx k

Phương trình sin 2x4 sin x cosx 5 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sin 2x4 sin x cosx 5 0  4 sin x cosx2sin cosxx 5 0.  1Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

Phương trình sin 2xsinx cosx1 có nghĩa  x  D.

Ta có sin 2xsinx cosx 1 sinx cosx2sin cosxx1 0 1  

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

Ta có sin 2x sinxcosx1 0  sinx cosx 2sin cosxx 1 0  1Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

         

Phương trình 4 sin x cosxsin 2x 5 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 4 sin x cosxsin 2x 5 0  4 sin x cosx2sin cosxx 5 0. (1)Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

1sin cos

txx 

            (loại).Vậy phương trình vô nghiệm.

sin cos

txx 

           Do t  2 nên t 1.

Với t  ta có 1, sin cos 2 sin 1 sin 2 sin

Câu 13.

Phương trình 2 2 sin xcosx sin 2x 3 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 2 2 sin xcosx sin 2x 3 0  2 2 sin xcosx 2sin cosxx 3 0 1  

Câu 14.

Ta có 3 sin 2 sin 2 13

x  x   Phương trình vô nghiệm.Ta có 1cos 4 1 cos 4 2 1

4 x 2 x   Phương trình vô nghiệm.

Ta có    12 4.1.519 0  Phương trình cot2 x cotx  vô nghiệm.5 0

Câu 15.

Phương trình 2 sin xcosxm 2 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 2 sin xcosxm 2 0  m 2 sin xcosx2.Có  2 sin xcosx 2 2 2 sin xcosx 2

Do t  2 nên t 1.

Với t  ta có 1, sin cos 2 sin 1 sin 2 sin

  

         

Câu 17.

Phương trình 2 sin xcosxsin 2x 1 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 2 sin xcosxsin 2x  1 0 2 sin xcosx2sin cosxx 1 0 1 

Do t  2 nên t 0.

Với t  ta có 0, sin cos 2 sin 0 sin 0

Để phương trình có nghiệm thì 0 2 2 3 2 2 1 2 2 1.2

Vì m   nên m   1;0;1 

Câu 20.

Phương trình msinxcosxsin 2x0 có nghĩa  x  D.

Ta có msinxcosxsin 2x 0 msinxcosx2sin cosxx0 (1)Đặt tsinxcosx 2 t 2 

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn  2 t 2.Vậy phương trình luôn có nghiệm.