Bài 2 bài 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cơ bản

BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Mục tiêu: Nắm vững phương trình lượng giác cách giải  Kiến thức + Biết cách áp dụng cơng thức nghiệm phương trình lượng giác + Vận dụng để giải trường hợp mở rộng phương trình lượng giác I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình sin x = a − Nếu a > : Phương trình vô nghiệm − Nếu a ≤ Đặt a =   sin α a =   sin β ° , phương trình tương đương với  x = α + k 2π sin x = sin α ⇔  ( k ∈¢)  x = π − α + k 2π  x = β ° + k 360° sin x = sin β ° ⇔  ( k ∈¢)  x = 180° − β ° + k 360°  x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔  ( k ∈¢)  x = π − arcsin a + k 2π Tổng quát:  f ( x ) = g ( x ) + k 2π sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔  ( k ∈¢)  f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π Các trường hợp đặc biệt π + k 2π • sin x = ⇔ x = • sin x = −1 ⇔ x = − • sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈¢) π + k 2π ( k ∈¢) ( k ∈¢) Phương trình cos x = a − Nếu a > : Phương trình vơ nghiệm − Nếu a ≤ Đặt a = cos α a = cos β ° , phương trình tương đương với cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈¢) cos x = cos β ° ⇔ x = ± β ° + k 360° ( k ∈ ¢ ) cos x = a ⇔ x = ± arccos a + k 2π ( k ∈¢) Tổng quát: cos f ( x ) = cos g ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈¢) Các trường hợp đặc biệt Trang ( k Â) ã cos x = ⇔ x = k 2π • cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π • cos x = ⇔ x = π + kπ ( k ∈¢) ( k ∈¢) Phương trình tan x = a Điều kiện cos x ≠ • tan x = tan α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) • tan x = tan β ° ⇔ x = β ° + k 180° ( k ∈ ¢ ) • tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ ) Tổng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) Phương trình cot x = a Điều kiện sin x ≠ • cot x = cot α ⇔ x = α + kπ ( k ∈ ¢ ) • cot x = cot β ° ⇔ x = β ° + k 180° ( k ∈ ¢ ) • cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ ) Tổng quát: cot f ( x ) = cot g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện: , Đặt đặc biệt không đặc biệt a x= tan Trường hợp 1: Trường hợp 1: Phương trình vơ nghiệm Phương trình vơ nghiệm Trường hợp 2: Trường hợp 2: Đặt đặc biệt sin x = a Phương trình lượng cos x = a Đặt đặc biệt giác không đặc biệt không đặc biệt cot x = Điều kiện , a Đặt đặc biệt không đặc biệt II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình sin x = a Ví dụ mẫu Trang π  Ví dụ Giải phương trình 2sin  3x + ÷ = ( 1) 4  Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ sin  3x +  π π π  ⇔ sin  x + ÷ = sin ÷= 4 4  π π π π π 2π    x + = + k π x = − + + k π x = + k    4 36 ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) 3 x + π = π − π + k 2π 3x = π − π − π + k 2π  x = 5π + k 2π    3 36 π 2π   x = 36 + k ( k ∈¢) Vậy phương trình cho có nghiệm  π π x = +k  36 2π  Ví dụ Giải phương trình sin  3x +  7π   ÷+ sin  x −    ÷= ( 2)  Hướng dẫn giải ( ) ⇔ sin  3x +  2π 2π   ÷− sin  x −   2π   ÷ = ⇔ sin  x +   2π 2π  8π  x + = x − + k 2π x=− + kπ   15  ⇔ ⇔ 3 x + 2π = π −  x − 2π  + k 2π  x = 11π + kπ  ÷    60  2π    ÷ = sin  x − ÷    ( k ∈¢) 8π   x = − 15 + kπ ( k ∈¢) Vậy phương trình cho có nghiệm   x = 11π + kπ  60 ) ( π  Ví dụ Tìm số nghiệm ngun dương phương trình sin  x − x − 16 x − 80  = 4  Hướng dẫn giải ( ) ( ) π π  x − x − 16 x − 80 = kπ Ta có sin  x − x − 16 x − 80  = ⇔ 4  ⇔ x − x − 16 x − 80 = 4k ⇔ x − 16 x − 80 = x − 4k 3x ≥ 4k 3 x ≥ 4k  ⇔ ⇔ 2k + 10 2 x − 16 x − 80 = x − 24 kx + 16 k x =   3k −  2 ( 9k − ) + 98 k + 10 18 k + 90 98 Xét x = ⇒ 9x = = = ( 3k + ) + 3k − 3k − 3k − 3k − Trang Vì x ∈ ¥ * nên x ∈ ¥ * ⇒ 3k − ∈ Ư ( 98 ) = { ±1; ±2; ±7; ±14; ±49; ±98}  x ∈ ¥ * ⇒ 3k − > ⇒ 3k − ∈ { 1; 2;7;14; 49;98} ⇔ k ∈ { 1;3;17} Lại có   2k + 10 > ( k ∈ ¢ ) − Với k = x = 12 (thỏa mãn x ≥ 4k ) − Với k = x = (thỏa mãn x ≥ 4k ) − Với k = 17 x = 12 (khơng thỏa mãn x ≥ 4k ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương x ∈ { 4;12} Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho phương trình sin ( x + π ) = m+2 , m tham số Với giá trị m phương trình có m −1 nghiệm? A m ≤ − B m ≤ − C ∀m ∈ ¡ D Không tồn giá trị m Câu 2: Phương trình sin x = −π π ≤ x ≤ có nghiệm thỏa mãn 2 A x = 5π + k 2π , k ∈ ¢ B x = π C x = π + k 2π , k ∈ ¢ D x = π Câu 3: Số nghiệm phương trình A B Câu 4: Cho phương trình sin sin x = đoạn [ 0;3π ] − cos x C D x = m + , m tham số Với giá trị m phương trình vơ nghiệm? A −3 < m < B m < C ∀m ∈ ¡ D Không tồn giá trị m ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-D 4-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình sin ( x + π ) = m+2 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ , m ≠ m −1 Trang m + ( 1)   −1 ≤ m − Ta có −1 ≤ sin ( x + π ) ≤ ⇔  m +  ≤ ( 2)  m − m > m+2 2m + ⇔ ≥0⇔  Giải ( 1) Ta có −1 ≤  m ≤ −1 m −1 m −1  Giải ( ) Ta có m+2 ≤1⇔ ≤ ⇔ m −1 < ⇔ m < m −1 m −1 Kết hợp nghiệm ta có m ≤ − Câu Phương trình sin x = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ π π   x = + k 2π x = + k 2π   π π 6 ⇔ ( k ∈¢) Do sin = nên sin x = ⇔ sin x = sin ⇔  6  x = π − π + k 2π  x = 5π + k 2π  6  Vì − π π π ≤ x ≤ nên x = 2 Câu Phương trình Ta có sin x = có nghĩa ⇔ − cos x ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π ⇔ D = ¡ \ { k 2π } − cos x sin x kπ = ⇔ sin x = ⇔ x = ( k ∈¢) − cos x  x = ( 2k + 1) π ( k ∈¢) Kết hợp với điều kiện ta có  π x = + kπ  Do x ∈ [ 0;3π ] ⇒ x = π 3π 5π , x =π , x = , x= , x = 3π 2 Vậy phương trình có nghiệm Câu Phương trình sin Ta có −1 ≤ sin x = m + có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ x ≤ ⇔ −1 ≤ m + ≤ ⇔ −10 ≤ m ≤ −8 (vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm với ∀m ∈ ¡ Dạng 2: Phương trình cos x = b Trang Ví dụ mẫu π  Ví dụ Giải phương trình cos  x + ÷ = 6  ( 1) Hướng dẫn giải ( 1) ⇔ cos  x +  π ÷= 6 π π π π  ⇔ cos  x + ÷ = cos ⇔ x + = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 6  π π π     x + = + k 2π  x = 12 + k 2π x = ⇔ ⇔ ⇔  x + π = − π + k 2π  x = −5π + k 2π x =  12    x = Vậy phương trình cho có nghiệm  x =  π + kπ 24 ( k ∈¢) −5π + kπ 24 π + kπ 24 ( k ∈¢) −5π + kπ 24 π  Ví dụ Giải phương trình cos  x + ÷− sin x = 3  ( 2) Hướng dẫn giải ( ) ⇔ cos  x +  π π  π  ÷ = sin x ⇔ cos  x + ÷ = cos  − x ÷ 3 3  2  π π π k 2π    x + = − x + k 2π  x = 42 + ⇔ ⇔  x + π = − π + x + k 2π  x = 5π − 2kπ  18  ( k ∈¢) π k 2π   x = 42 + ( k ∈¢) Vậy nghiệm phương trình   x = 5π − 2kπ  18 Ví dụ Cho phương trình cos ( x + π ) = m+2 , m tham số Tìm m để phương trình cho có nghiệm m −1 Hướng dẫn giải Phương trình cos ( x + π ) = m+2 có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ , m ≠ m −1 m + ( 1)   −1 ≤ m − Ta có −1 ≤ cos ( x + π ) ≤ ⇔  m + ≤1 ( )  m − Trang m > m+2 2m + ⇔ ≥0⇔ Giải ( 1) Ta có −1 ≤  m ≤ −1 m −1 m −1  Giải ( ) Ta có m+2 ≤1⇔ ≤ ⇔ m −1 < ⇔ m < m −1 m −1 Kết hợp nghiệm ta có m ≤ − Vậy với m ≤ − phương trình cho có nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình cos x + = có nghiệm π   x = + k 2π A  , k ∈¢  x = 3π + k 2π  3π   x = + k 2π B  , k ∈¢  x = −3π + k 2π  5π   x = + k 2π C  ,k ∈¢  x = −5π + k 2π  π   x = + k 2π D  ,k ∈¢  x = −π + k 2π  x Câu 2: Phương trình cos + = có nghiệm A x = ± 5π + k 2π , k ∈ ¢ B x = ± 5π + k 2π , k ∈ ¢ C x = ± 5π + k 4π , k ∈ ¢ D x = ± 5π + k 4π , k ∈ ¢ π k 2π + ,k ∈¢ 45 Câu 3: Phương trình cos 3x = cos π có nghiệm 15 A x = ± π + k 2π , k ∈ ¢ 15 B x = ± C x = − π k 2π + ,k ∈¢ 45 D x = Câu 4: Phương trình cos x = π k 2π + ,k ∈¢ 45 có nghiệm A x = π π + k ,k ∈¢ B x = − π + kπ , k ∈ ¢ C x = π + k 2π , k ∈ ¢ D x = ± π + k 2π , k ∈ ¢ Câu 5: Phương trình cos x = cos x có tập nghiệm với phương trình Trang A sin 3x =0 B sin x = D sin x = π  cos  x + ÷ = với ≤ x ≤ 2π 3  Câu 6: Số nghiệm phương trình A C sin x = B C D  5π  cos π x ÷ = có họ nghiệm? Câu 7: Phương trình sin    A họ nghiệm B họ nghiệm C họ nghiệm D họ nghiệm ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình cos x + = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có cos x + = ⇔ cos x = − 3π  x= + k 2π  − π 3π − ⇔ cos x = cos ⇔ ( k ∈¢) Do cos nên cos x = = 4  x = −3π + k 2π  Câu x Phương trình cos + = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ x x − Ta có cos + = ⇔ cos = 2 Do cos 5π − x − x 5π 5π nên cos = = ⇔ cos = cos ⇔ x=± + k 4π ( k ∈ ¢ ) 2 2 Câu Phương trình cos 3x = cos12° có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Do cos12° = cos π π nên cos 3x = cos12° ⇔ cos x = cos 15 15 π   3 x = 15 + k 2π x = ⇔ ⇔ 3 x = −π + k 2π x =   15 π k 2π + 45 ( k ∈¢) −π k 2π + 45 Câu Phương trình cos x = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Trang  cos x = Ta có cos x = ⇔   cos x =  π π ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 Xét cos x = Xét cos x = 2 − 2 − 3π 3π ⇔ cos x = cos ⇔ x=± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 Kết hợp nghiệm ta x = π kπ + ( k ∈¢) Câu Phương trình cos x = cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡  x = x + k 2π ⇔ x = k 2π k 2π ⇔x= ( k ∈¢) Ta có cos x = cos x ⇔  k π  x = − x + k 2π ⇔ x = 3  sin 3x 3x 2kπ =0⇔ = kπ ⇔ x = ( k ∈¢) ; 2 sin x = ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ; sin x = ⇔ x = π π kπ + k 2π ⇔ x = + ( k ∈¢) ; sin x = ⇔ x = π π + k 2π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình sin 3x = có tập nghiệm với phương trình cos x = cos x Câu Phương trình Ta có π  cos  x + ÷ = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 3  π  x = − + k 2π  π π π π   12 cos  x + ÷ = ⇔ cos  x + ÷ = ⇔ x + = ± + k 2π ⇔  3      x = − 7π + k 2π  12 Do ≤ x ≤ 2π nên x = 23π 17π ; x= 12 12 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn ≤ x ≤ 2π Câu  5π  cos π x ÷ = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Phương trình sin    Trang 10 π  5π cos π x = + k 2π  π π  5π   5π  cos π x ÷ = ⇔ sin  cos π x ÷ = sin ⇔  Vì sin = nên sin  π 3 6      cos π x = π + k 2π  6  cos π x = 10 + k ⇔ cos π x = + k  Ta có cos π x =  cos π x = 10  ⇔ cos π x = (vì −1 ≤ cos π x ≤ )   cos π x = −7  10 1 ⇔ π x = ± arc cos + k 2π 10 10 cos π x = π π = cos ⇔ π x = ± + k 2π 3 cos π x = −7 −7 ⇔ π x = ± arc cos + k 2π 10 10 ( k ∈¢) ; ( k ∈¢) ⇒ x = ± + 2k ( k ∈ ¢ ) ; ( k ∈¢) ⇔x=± −7 arc cos + 2k ( k ∈ ¢ ) π 10 Vậy phương trình có họ nghiệm Dạng 3: Phương trình tan x = m Ví dụ mẫu π  Ví dụ Giải phương trình tan  x + ÷ = 4  ( 1) Hướng dẫn giải π π π π kπ  + Điều kiện cos  x + ÷ ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ , ( k ∈¢) 4 20  ( 1) ⇔ tan  x +  ⇔ 5x + π π π  ⇔ tan  x + ÷ = tan ÷= 4 4  π π π π π = + kπ ⇔ x = − + kπ ⇔ x = − + k , ( k ∈ ¢ ) 12 60 Vậy phương trình cho có nghiệm x = − π π + k ,( k ∈¢) 60 π  Ví dụ Giải phương trình tan  x − ÷ = cot x 4  ( 2) Hướng dẫn giải   π 3π kπ π π   + cos  x − ÷ ≠  x − ≠ + kπ x ≠ ⇔ ⇔ 4 Điều kiện   sin x ≠  x ≠ lπ  x ≠ lπ  ( ) ⇔ tan  x −  ( k; l ∈ ¢ ) π π π π kπ π  , ( k Â) ữ = tan x ÷ ⇔ x − = − x + kπ ⇔ x = + 4 4 2  Trang 11 Vậy phương trình cho có nghiệm x = π kπ + , (k ∈ ¢ ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Nghiệm phương trình tan ( x + 15° ) = với 90° < x < 270° A x = 210° B x = 135° C x = 60° D x = 120° tan x + = có nghiệm Câu 2: Phương trình A x = π + kπ , k ∈ ¢ B x = − π + k 2π , k ∈ ¢ C x = π + kπ , k ∈ ¢ D x = − π + kπ , k ∈ ¢ B x = ± π + kπ , k ∈ ¢ Câu 3: Phương trình tan x = có nghiệm A x = − π + kπ , k ∈ ¢ D x = C Vơ nghiệm Câu 4: Nghiệm phương trình tan x = − tan A 4π B π + kπ , k ∈ ¢ π π  khoảng  ; π ÷ 2  2π C 3π D 2π π  Câu 5: Phương trình tan  sin x ÷ = có họ nghiệm? 4  A họ nghiệm B họ nghiệm Câu 6: Phương trình lượng giác A x = k C Vô nghiệm D họ nghiệm π  tan  − x ÷− = có nghiệm 4  π , k ∈¢ B x = π π + k , k ∈¢ 2 D x = − C x = kπ , k ∈ ¢ π + kπ , k ∈ ¢ ĐÁP ÁN 1-A 2-D 3-B 4-A 5-C 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có tan 45° = ⇔ tan ( x + 15° ) = tan 45° ⇔ x + 15° = 45° + k.180° ⇔ x = 30° + k.180° ( k ∈ ¢ ) Với 90° < x < 270° ⇔ 90° < 30° + k 180° < 270° ⇒ k = ⇒ x = 210° Câu Phương trình 3.tan x + = có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  2  Trang 12 tan x + = ⇔ tan x = − ⇔ tan x = tan Ta có −π π ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Câu Phương trình tan x = có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π  + kπ ⇔ D = ¡ \  + k π  2   tan x = Ta có tan x = ⇔   tan x = − Xét tan x = ⇔ tan x = tan π π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Xét tan x = − ⇔ tan x = tan Vậy x = ± −π −π ⇔x= + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 π + kπ ( k ∈ ¢ ) Câu Phương trình tan x = − tan Ta có tan x = − tan π π có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  2  π −π −π ⇔ tan x = tan ⇔ x= + kπ ( k ∈ ¢ ) 5 4π π  Do x ∈  ; π ÷ nên x = 2  Câu Ta có −π π π π  ≤ sin x ≤ ⇒ cos  sin x ÷ ≠ , ∀x ∈ ¡ 4 4  Phương trình xác định với ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ π π  tan  sin x ÷ = ⇔ sin x = arc tan + kπ ⇔ sin x = arc tan + 4k π 4  Với k ≥ arc tan + 4k > ⇒ sin x > (vơ lí) π Với k ≤ −1 arc tan + 4k < −1 ⇒ sin x < −1 (vơ lí) π Vậy cho phương trình vơ nghiệm Câu Phương trình π  tan  − x ÷− = có nghĩa 4  π π −π kπ π  ⇔ cos  − x ÷ ≠ ⇔ − x ≠ + kπ ⇔ x ≠ + ⇔D=¡ 4  Ta có  −π kπ  \ +  ( k ∈¢)   π π π π  π  tan  − x ÷− = ⇔ tan  − x ÷ = ⇔ − x = − kπ ⇔ x = k ( k ∈ ¢ ) 4 4  4  Trang 13 Dạng 4: Phương trình cot x = n Ví dụ mẫu π  Ví dụ Giải phương trình cot  x − ÷ = ( 1) 6  Hướng dẫn giải π π π kπ  Điều kiện sin  x − ÷ ≠ ⇔ x − ≠ kπ ⇔ x ≠ + , ( k ∈¢) 6 12  ( 1) ⇔ cot  x −  ⇔ 2x = π π π π ÷ = cot ⇔ x − = + kπ 6 π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = π π + k ,( k ∈¢)  4π  π  + x ÷+ cot  − x ÷ = ( ) Ví dụ Giải phương trình tan     18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4π  π π  4π  + x ≠ + kπ x ≠ + kπ cos  + x ÷ ≠   π      18 ⇔ ⇔ ⇔ x ≠ + kπ , ( k ; m ∈ ¢ )  18 sin  π − x  ≠  π − x ≠ kπ  x ≠ π − kπ  ÷   18 18 18    4π  π  π  4π  π  + x ÷+  − x ÷ = ⇒ tan  + x ÷ = cot  − x ÷ Ta có     18     18  π  π  π  − x ÷+ cot  − x ÷ = ⇔ 3cot  − x ÷ =  18   18   18  ( ) ⇔ cot  π π 5π π  ⇔ cot  − x ÷ = ⇔ − x = + kπ ⇔ x = − − kπ , ( k ∈ ¢ ) 18 18  18  Vậy phương trình cho có nghiệm x = − 5π + kπ , ( k ∈ ¢ ) 18 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình 3cot x − = có nghiệm A x = π + kπ , k ∈ ¢ B x = C x = π + k 2π , k ∈ ¢ D Vô nghiệm 3π  Câu 2: Cho phương trình cot  x +  vô nghiệm? A m ≠ ±2 π + kπ , k  ữ = m − , m tham số Với giá trị m phương trình  B −2 < m < Trang 14 D Không tồn giá trị m C ∀m ∈ ¡ Câu 3: Phương trình cot x.cot x − = có nghiệm A x = π + kπ , k ∈ ¢ π   x = + kπ B  , k ∈¢  x = 5π + kπ  C x = π + kπ , k ∈ ¢ D x = π π + k ,k ∈¢ ĐÁP ÁN 1-B 2-D 3-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Phương trình 3cot x − = có nghĩa sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔ D = ¡ \ { kπ } ( k ∈ ¢ ) Ta có 3cot x − = ⇔ cot x = π π ⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Câu 3π   Tập giá trị y = cot  x + ÷ = ¡ nên với ∀m ∈ ¡ phương trình ln có nghiệm   Vậy không tồn giá trị m để phương trình vơ nghiệm Câu sin x ≠  x ≠ kπ kπ ⇔ ⇔x≠ Phương trình cot x.cot x − = có nghĩa ⇔  sin x ≠  x ≠ kπ kπ   Tập xác định D = ¡ \  x ≠    Ta có cot x.cot x − = cos x cos x cos x − 2sin x − 2sin x −1 = −1 = −1 = −2 sin x sin x sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x π   sin x = sin sin x =   1 ⇔ cot x.cot x − = ⇔ − = ⇔ sin x = ⇔   2sin x sin x = sin −π sin x = −1   π  x = + k 2π  π Nếu sin x = sin ⇔   x = 5π + k 2π  −π  x = + k 2π  −π ⇔ Nếu sin x = sin  x = 7π + k 2π  Trang 15 π   x = + kπ ( k ∈¢) Kết hợp nghiệm ta có   x = 5π + kπ  Trang 16 ... + = + k 2? ?  x = 12 + k 2? ? x = ⇔ ⇔ ⇔  x + π = − π + k 2? ?  x = −5π + k 2? ? x =  12    x = Vậy phương trình cho có nghiệm  x =  π + kπ 24 ( k ∈¢) −5π + kπ 24 π + kπ 24 ( k ∈¢)... = − x + k 2? ?  x = 42 + ⇔ ⇔  x + π = − π + x + k 2? ?  x = 5π − 2kπ  18  ( k ∈¢) π k 2? ?   x = 42 + ( k ∈¢) Vậy nghiệm phương trình   x = 5π − 2kπ  18 Ví dụ Cho phương trình cos... π π π   12 cos  x + ÷ = ⇔ cos  x + ÷ = ⇔ x + = ± + k 2? ? ⇔  3      x = − 7π + k 2? ?  12 Do ≤ x ≤ 2? ? nên x = 23 π 17π ; x= 12 12 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn ≤ x ≤ 2? ? Câu  5π