Bài 1 CHƯƠNG 1 các CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác Góc I II III IV sin x cos x + + – – + – – + tan x + – + – cot x + – + – Công thức lượng giác tan α cot α = sin α + cos α = 1 + tan α = Cung liên kết Cung đối cos ( −a ) = cos a Cung bù sin ( π − a ) = sin a sin ( −a ) = − sin a cos ( π − a ) = − cos a tan ( −a ) = − tan a tan ( π − a ) = − tan a cot ( −a ) = − cot a cot ( π − a ) = − cot a Góc π sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = − cos α tan ( π + α ) = tan α cot ( π + α ) = cot α Góc cos α + cot α = sin α Cung phụ π  sin  − a ÷ = cos a 2  π  cos  − a ÷ = sin a 2  π  tan  − a ÷ = cot a 2  π  cot  − a ÷ = tan a 2  Cách nhớ: π cos đối π  sin  + α ÷ = cos α 2  π  cos  + α ÷ = − sin α 2  π  tan  + α ÷ = − cot α 2  π  cot  + α ÷ = − tan α 2  sin bù phụ chéo tang côtang pi Công thức cộng cung sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± cos a.sin b cos ( a ± b ) = cos a.cos b msin a.sin b tan a ± tan b mtan a.tan b Công thức nhân đôi, nhân ba hạ bậc cot ( a ± b ) = tan ( a ± b ) = cot a.cot b m1 cot a ± cot b Trang Nhân đôi sin 2α = 2sin α cos α Hạ bậc − cos 2α sin α = + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α + cos 2α cot α = − cos 2α Hạ bậc 3sin α − sin 3α sin α = 3cos α + cos 3α cos3 α = 2 cos 2α = cos α2 − sin α  cos α − = − 2sin α tan α tan 2α = − tan α cot α − cot 2α = cot α Nhân ba sin 3α = 3sin α − 4sin α cos 3α = cos3 α − 3cos α tan α − tan α tan 3α = − tan α Góc chia đôi Đặt t = tan x sin x = 2t 1+ t2 cos x = 1− t2 1+ t2 tan x = 2t 1− t2 Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a −b cos 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 sin ( a + b ) tan a + tan b = cos a.cos b sin ( a + b ) cot a + cot b = sin a.sin b a+b a −b sin 2 a+b a −b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a − b ) tan a − tan b = cos a.cos b sin ( b − a ) cot a − cot b = sin a.sin b cos a + cos b = cos cos a − cos b = −2sin Cơng thức biến đổi tích thành tổng  cos ( a − b ) + cos ( a + b )  2 sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )  sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  cos a.cos b = MỘT SỐ CƠNG THỨC THƯỜNG DÙNG • + sin x = ( sin x + cos x ) ;1 − sin x = ( sin x − cos x ) 2 Trang 2 • x x x x   + sin x =  sin + cos ÷ ;1 − sin x =  sin − cos ÷ 2 2   • − cos x = 2sin x;1 + cos x = cos x • x x + cos x = cos ;1 − cos x = 2sin 2 • π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   • π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = cos x + ữ 4 ã π π   sin x + cos x = cos  x − ÷ = 2sin  x + ữ ã   sin x + cos x = 2sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 6 3   • + cos x sin x + cos x = − sin 2 x = • + 3cos x sin x + cos x = − sin 2 x = BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT α 0° sin α cosα tan α cot α || 30° π 3 3 45° π 2 2 60° π 3 2 90° π 120° 2π 3 − 135° 3π 2 − || − −1 3 − 3 −1 150° 5π 180° 360° π 2π 0 3 − −1 0 − || − || Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác có tọa độ M ( cos α ;sin α ) Trang BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục tiêu Nêu rõ tính chất hàm lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x Phân biệt tập xác định, tập giá trị, tính tuần hồn đồ thị hàm lượng giác  Kiến thức + Tìm tập xác định hàm lượng giác + Xác định chu kì hàm lượng giác + Vẽ đồ thị hàm lượng giác + Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm lượng giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM • Hàm số y = sinx Tập xác định D = ¡ • Tập giá trị [ −1,1] , tức Đồ thị hàm số y = sin x −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ • Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng • Hàm số y = sin x hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π • Hàm số y = cosx Tập xác định D = ¡ • Tập giá trị [ −1,1] , tức Đồ thị hàm số y = cos x −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ • Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng • Hàm số y = cos x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π • Hàm số y = tanx Tập xác định Đồ thị hàm số y = tan x π  D = ¡ \  + kπ , k ∈ ¢  2  • Tập giá trị R • Hàm số y = tan x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng • Hàm số y = tan x hàm số tuần hồn với chu kì T = π • Hàm số y = cotx Tập xác định Đồ thị hàm số y = cot x D = Ă \ { k , k Â} ã Tập giá trị ¡ • Hàm số y = cot x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Trang • Hàm số y = cot x hàm số tuần hồn với chu kì T = π Chu kì y = sin ( ax + b ) → T = 2π a y = cos ( ax + b ) → T = 2π a y = cot ( ax + b ) → T = π a Tập xác định HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tính chẵn lẻ y = cos x Hàm chẵn Đồ thị nhận Oy làm trục đối cứng Hàm số chẵn Hàm lẻ Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Hàm số lẻ y = sin x y = tan x y = cot x Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tập xác định hàm lượng giác Phương pháp giải Tập xác định hàm phân thức, thức Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số Hàm số phân thức y = − cos x y= P ( x ) DKXD → Q ( x ) ≠ Q ( x) Hướng dẫn giải Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ nên Hàm số chứa thức − ≤ cos x ≤ 3, ∀x ∈ ¡ DKXD y = n P ( x )  → P ( x) ≥ ⇒ − 3cos x > 0, ∀x ∈ ¡ Hàm số chứa thức mẫu số y= P ( x) 2n Q ( x) Vậy tập xác định hàm số D = ¡ DKXD  →Q ( x) > Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số Tập xác định số hàm lượng giác   y = sin  ÷  x −4 y = sin u ( x )  xác định ⇔ u ( x ) xác định Hướng dẫn giải y = cos u ( x )  xác định ⇔ u ( x ) xác định   Hàm số y = sin  ÷ xác định  x −4 y = tan u ( x )  xác định ⇔ u ( x ) ≠ π + kπ , k ∈ ¢ y = cot u ( x )  xác định ⇔ u ( x ) ≠ kπ , k ∈ ¢ ⇔ x2 − ≠ ⇔ x ≠ ±2 Vậy tập xác định hàm số D = ¡ \ { ±2} Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = cot ( 2018 x + 1) Hướng dẫn giải kπ − ,k ∈¢ Hàm số y = cot ( 2018 x + 1) xác định ⇔ 2018 x + ≠ kπ ⇔ x ≠ 2018  kπ −  , k ∈ ¢ Vậy tập xác định hàm số D = ¡ \   2018  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập xác định hàm số y = sin A D = ¡ \ { kπ } + x x B D = [ −1;1] \ { 0} C D = ¡ D D = ¡ \ { 0} Câu 2: Tập xác định hàm số y = cot x + sin 3x π  A D = ¡ \  + kπ  B D = ¡ \ { kπ } 2  C D = ¡ D D = ¡ \ { k 2π } Trang Câu 3: Tập xác định hàm số y = cos x A D = [ 0; 2π ] B D = [ 0; +∞ ) Câu 4: Tập xác định hàm số y = D D = ¡ \ { 0} C D = ¡ cos x 2sin x − π  A D = ¡ \  + k 2π  6   π B D = ¡ \  k   2 π  C D = ¡ \  + kπ  6  5π π  + k 2π  D D = ¡ \  + k 2π ; 6  Câu 5: Tập xác định hàm số y = cos x cos x −  π  A D = ¡ \  ± + k 2π     π B D = ¡ \  k   2  π  C D = ¡ \  ± + k 2π    5π π  + k 2π  D D = ¡ \  + k 2π ; 6  Câu 6: Tập xác định hàm số y = cot x sin x − π  A D = ¡ \  + k 2π  2   π B D = ¡ \  k   2 π  C D = ¡ \  + k 2π ; kπ  2  π π D D = ¡ \  + k  2 2 Câu 7: Tập xác định hàm số y = 2016 tan 2017 x π  A D = ¡ \  + kπ  2   π B D = ¡ \  k   2 C D = ¡ π π D D = ¡ \  + k  2 4 Câu 8: Tập xác định hàm số y = tan x + cot x + x π  A D = ¡ \  + kπ  2   π B D = ¡ \  k   2 Câu 9: Tập xác định hàm số y = π  A D = ¡ \  + kπ  4  π π D D = ¡ \  + k  2 4 s inx tan x − π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  Câu 10: Tập xác định hàm số y = π  A D = ¡ \  + kπ  2  C D = ¡  π B D = ¡ \  k   4 π  D D = ¡ \  + k 2π  4  2017 tan x sin − cos x  π B D = ¡ \  k   2 Trang π π D D = ¡ \  + k  2 4 C D = ¡ Câu 11: Tập xác định hàm số y = tan x sin x − π  A D = ¡ \  + k 2π  2   π B D = ¡ \  k   2 π  C D = ¡ \  + kπ  2  π π D D = ¡ \  + k  2 4 Câu 12: Tập xác định hàm số y = sin x sin x + cos x  π B D = ¡ \ k   4  π  A D = ¡ \ − + kπ    π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  π  D D = ¡ \  + k 2π  4  Câu 13: Tập xác định hàm số y = sin x + A D = ¡ \ { kπ } B D = ¡ π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  π  D D = ¡ \  + k 2π  2  Câu 14: Tập xác định hàm số y = − cos 2017 x A D = ¡ \ { kπ } B D = ¡ π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  π  D D = ¡ \  + k 2π  2  Câu 15: Tập xác định hàm số y= A D = ¡ \ { kπ } 1 − sin x B D = ¡ π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  Câu 16: Tập xác định hàm số y = π  D D = ¡ \  + kπ  4  − cos x A D = ¡ \ { kπ } B D = ¡ π π  C D = ¡ \  + kπ ; + kπ  4  π  D D = ¡ \  + kπ  4  Câu 17: Tập xác định hàm số y = A D = ¡ \ { kπ } B D = ¡ tan x 15 − 14 cos13 x π  C D = ¡ \  + kπ  2  π  D D = ¡ \  + kπ  4  Trang Câu 18: Tập xác định hàm số y = A D = ¡ \ { kπ } + sin x − cos x π  C D = ¡ \  + kπ  2  B D = ¡ \ { k 2π }  π D D = ¡ \ k   2 Câu 19: Để tìm tập xác định hàm số y = tan x + cos x , học sinh giải theo bước sau { sin x ≠ Bước Điều kiện để hàm số có nghĩa cos x ≠ π  x ≠ + kπ k ; m ∈ ¢ ( ) Bước ⇔   x ≠ mπ π  Bước Vậy tập xác định hàm số cho D = ¡ \  + kπ , mπ  ( k ; m ∈ ¢ ) 2  Bài giải bạn chưa? Nếu sai, sai bước nào? A Bài giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Câu 20: Hàm số sau có tập xác định ¡ ? B y = tan x A y = sin x C y = cot x D y = x + s inx Dạng 2: Tính chẵn – lẻ hàm số lượng giác Phương pháp giải Hàm số y = f ( x ) với tập xác định D gọi hàm số chẵn Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ hàm số { ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D f ( − x ) = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) với tập xác định D gọi hàm số lẻ { ∀f x( −∈xD) =⇒−−f x( ∈x ) D y = sin x Hướng dẫn giải Hàm số y = sin x có tập xác định D = ¡ Đặt f ( x ) = y = sin x { ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Ta có f ( − x ) = sin ( −2 x ) = − f ( x ) Chú ý: Suy hàm số y = sin x hàm số lẻ + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O ( 0;0 ) + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O ( 0;0 ) làm tâm đối làm tâm đối xứng xứng Ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn - lẻ hàm số y = f ( x ) = tan x + cot x Hướng dẫn giải π  x ≠ + kπ cos x ≠ Hàm số có nghĩa s inx ≠ ⇔  ( với k , l ∈ ¢ )  x ≠ lπ { Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác 1–D 11 – C 2–B 12 – A 3–B 13 – B 4–D 14 – B 5–C 15 – D 6–C 16 – B 7–D 17 – C 8–B 18 – B 9–C 19 – A 10 – D 20 – D Hướng dẫn giải chi tiết Câu Hàm số y = sin + x có nghĩa ⇔ x ≠ ⇔ D = ¡ \ { 0} x Câu Hàm số y = cot x + sin x có nghĩa ⇔ x ≠ kπ ⇔ D = ¡ \ { kπ } ( k ∈ ¢ ) Câu 3: Hàm số y = cos x có nghĩa ⇔ x ≥ ⇔ D = [ 0; +∞ ) Câu π   x ≠ + k 2π cos x ( k ∈¢) Hàm số y = có nghĩa ⇔ 2sin x − ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔  5π 2sin x − x ≠ + k 2π  5π π  ⇔ D = ¡ \  + k 2π ; + k 2π  ( k ∈ ¢ ) 6  Câu π  cos x  x ≠ + k 2π ⇔ ( k ∈¢) Hàm số y = có nghĩa ⇔ cos x − ≠ ⇔ cos x ≠ π 2 cos x −  x ≠ − + k 2π   π  ⇔ D = ¡ \ ± + k 2π  ( k ∈ ¢ )   Câu Hàm số y = { { cot x sin x − ≠ ⇔ sin x ≠ có nghĩa ⇔ x ≠ kπ x ≠ kπ sin x − π  π  ⇔  x ≠ + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \  + k 2π ; kπ  ( k ∈ ¢ ) 2   x ≠ kπ Câu 7: Hàm số y = 2016 tan 2017 x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π π + kπ ⇔ x ≠ + k ( k ∈ ¢ ) π π ⇔ D = ¡ \  + k ( k ∈ ¢) 2 4 Câu 8: Trang 22 π  cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ y = tan x + cot x + x ⇔ Hàm số có nghĩa  sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔x≠k π ( k ∈¢) ⇔ D = ¡  π \ k  ( k ∈ ¢ )  2  tan x ≠ sin x ⇔ tan x − ≠ ⇔ Câu 9: Hàm số y = có nghĩa  x ≠ π + kπ tan x −  π  π π  x ≠ + kπ ⇔ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \  + kπ ; + kπ  ( k ∈ ¢ ) π 4   x ≠ + kπ  Câu 10: sin x − cos x ≠ 2017 tan x − cosπ x ≠π0 π ⇔ ⇔ Hàm số y = có nghĩa  x ≠ + kπ x ≠ + k ( k ∈ ¢ ) sin x − cos x   2 ⇔x≠ π π +k ⇔ D = ¡ π π \  + k ( k ∈ ¢) 2 4 Câu 11: π  π sin x − ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ + k 2π tan x ⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) Hàm số y = có nghĩa ⇔  π sin x −  x ≠ + kπ  π  ⇔ D = ¡ \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 2  Câu 12: Hàm số y = ⇔x≠ π sin x  có nghĩa ⇔ sin x + cos x ≠ ⇔ sin  x + ÷ ≠ 4 sin x + cos x  −π  −π  + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \  + kπ  ( k ∈ ¢ )   Câu 13: Hàm số y = sin x + có nghĩa ⇔ sin x + ≥ ⇔ sin x ≥ −1 ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Câu 14: Hàm số y = − cos 2017 x có nghĩa ⇔ − cos 2017 x ≥ ⇔ cos 2017 x ≤ ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Câu 15: Hàm số y = ⇔ 2x ≠ có nghĩa ⇔ − sin x > ⇔ sin x < ⇔ sin x ≠ 1 − sin x π π + k 2π ⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 4  Câu 16: Trang 23 Hàm số y = có nghĩa ⇔ − cos x > ⇔ cos x < ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ − cos x Câu 17: 15  15 − 14 cos13 x > tan x cos13 x < 14 ⇔ Hàm số y = có nghĩa ⇔  x ≠ π + kπ π 15 − 14 cos13 x   x ≠ + kπ  ⇔x≠ π π  + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 2  Câu 18: Hàm số y = + sin x có nghĩa ⇔ − cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ D = ¡ \ { k 2π } ( k ∈ ¢ ) − cos x Câu 19: π  cos ≠ ⇔  x ≠ + kπ k ∈ ¢ ⇔ D = ¡ \  kπ  k ∈ ¢ y = tan x + cot x ⇔ ( ) ) Hàm số có nghĩa   ( sin x ≠    x ≠ kπ { Vậy bạn học sinh giải Câu 20: Hàm số y = sin x có nghĩa ⇔ x ≥ ⇔ D = [ 0; +∞ ) Hàm số y = tan x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π kπ + kπ ⇔ x ≠ + ⇔D=¡ Hàm số y = cot x có nghĩa ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ ⇔ x ≠  π kπ  \ +  4  kπ  kπ  ⇔ D = ¡ \     Hàm số y = x + sin x có D = ¡ Dạng 2: Tính chẵn – lẻ hàm số lượng giác 1–D 11 – D –A 12 – D 3–D 13 – C 4–D 14 – B 5–B 15 – A 6–B 16 – C 7-C 17 – D -A 18 – B 9–C 19 – B 10 – A 20 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Hàm số y = sin x.cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) cos ( − x ) = − sin x.cos x = − f ( x ) Vậy hàm số y = sin x.cos x hàm số lẻ Câu 2: Hàm số y = sin x + tan x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π kπ  π kπ  + kπ ⇔ x ≠ + ⇔ D=¡ \ +  4  Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) + tan ( −2 x ) = − sin x − tan x = − ( sin x + tan x ) = − f ( x ) Vậy hàm số y = sin x + tan x hàm số lẻ Trang 24 Câu 3: Hàm số y = sin x + cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡  f ( −x) ≠ f ( x) Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) + cos ( − x ) = − sin x + cos x ⇒  f − x ≠ − f x ( )  ( ) Vậy hàm số y = sin x + cos x hàm số không chẵn, không lẻ Câu 4: Hàm số y = x − sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = −2 x − sin ( −3 x ) = −2 x + sin x = − ( x − sin x ) = − f ( x ) Vậy hàm số y = x − sin x hàm số lẻ Câu 5: Hàm số y = + x − cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = + ( − x ) − cos ( −3 x ) = + x − cos ( 3x ) = f ( x ) Vậy hàm số y = + x − cos x hàm số chẵn Câu 6: π  cot x cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ x ≠ k π ⇔ D = ¡ \  kπ  ⇔ Hàm số y = có nghĩa    2 cos x   sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ Ta có f ( − x ) = cot ( − x ) − cot x = = − f ( x) cos ( − x ) cos x Vậy hàm số y = cot x hàm số lẻ cos x Câu 7: Hàm số y = x cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = − x cos ( −2 x ) = x cos x = f ( x ) Vậy hàm số y = x cos x hàm số chẵn Câu 8: Hàm số y = sin x.cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) cos ( −3 x ) = − sin x.cos x = − f ( x ) Vậy hàm số y = sin x.cos x hàm số lẻ Câu 9: Hàm số y = π 2sin x − tan x π  có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ D = ¡ \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) + cos x 2  Ta có f ( − x ) = 2sin ( − x ) − tan ( − x ) −2sin x + tan x = = − f ( x) + cos ( − x ) + cos x Vậy hàm số y = 2sin x − tan x hàm số lẻ + cos x Trang 25 Câu 10: + Hàm số y = tan x + cos x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π  + kπ ⇔ D = ¡ \  + k π  ( k ∈ ¢ ) 2   f ( −x) ≠ f ( x) Ta có f ( − x ) = tan ( − x ) + cos ( − x ) = − tan x + cos x =  f − x ≠ − f x ( )  ( ) Vậy hàm số y = tan x + cos x hàm số không chẵn, không lẻ + Hàm số y = tan x + sin x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 2  Ta có f ( − x ) = tan ( − x ) + sin ( − x ) = − tan x − sin x = − f ( x ) Vậy hàm số y = tan x + sin x hàm số lẻ Câu 11: Hàm số y = sin x cos x + tan x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 2  2 Ta có f ( − x ) = sin ( − x ) cos ( − x ) + tan ( − x ) = − sin x cos x − tan x = − f ( x ) Vậy hàm số y = sin x cos x + tan x hàm số lẻ Câu 12: Hàm số y = x tan x − cot x có nghĩa π π kπ    π kπ  ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔  x ≠ + ⇔ D = ¡ \  + , kπ  ( k ∈ ¢ ) 4  sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ  x ≠ kπ Ta có f ( − x ) = ( − x ) tan ( −2 x ) − cot ( − x ) = − x tan x + cot x = − f ( x ) Vậy hàm số y = x tan x − cot x hàm số lẻ Câu 13:  5π  − x ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Hàm số y = − sin x cos    5π  5π    + x ÷ = − sin x cos  π − − 2x ÷ Ta có f ( − x ) = − sin ( − x ) cos       3π   3π   5π  = − sin x cos  − − x ÷ = − sin x cos  − − x + 4π ÷ = − sin x cos  − 2x ÷= f ( x )        5π  − x ÷ hàm số chẵn Vậy hàm số y = − sin x cos    Câu 14: + Hàm số f ( x ) = sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có f ( − x ) = sin ( −2 x ) = − sin x = − f ( x ) Vậy hàm số f ( x ) = sin x hàm số lẻ Trang 26 + Hàm số g ( x ) = tan x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  ( k ∈ ¢ ) 2  2 Ta có g ( − x ) = tan ( − x ) = tan x = g ( x ) Vậy hàm số g ( x ) = tan x hàm số chẵn Câu 15: Hàm số y = π π kπ x sin x  π kπ  ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + k π ⇔ x ≠ + ⇔ D = ¡ \ có nghĩa  + ( k ∈ ¢) 4  cos3 x Ta có f ( − x ) = − x sin ( −2 x ) − x sin x = = − f ( x) cos3 ( −2 x ) cos3 x Vậy hàm số y = x sin x hàm số lẻ cos3 x Câu 16: Hàm số y = x tan x − cot x có nghĩa π π kπ    π kπ  ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔  x ≠ + ⇔ D = ¡ \  + , kπ  ( k ∈ ¢ ) 4  sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ  x ≠ kπ Ta có f ( − x ) = ( − x ) tan ( −2 x ) − cot ( − x ) = − x tan x + cot x = − f ( x ) Vậy hàm số y = x tan x − cot x hàm số lẻ Câu 17: Hàm số y = tan x − cos 3x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ D = ¡ π  \  + kπ  2   f ( −x) ≠ f ( x) Ta có f ( − x ) = tan ( − x ) − cos ( −3 x ) = − tan x − cos x ⇒  f − x ≠ − f x ( )  ( ) Vậy hàm số y = tan x − cos 3x hàm số không chẵn, không lẻ Câu 18:  3π  − 3x ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Hàm số y = + cos x sin    3π  3π   3π    − ( − x ) ÷ = + cos x sin  + x ÷ = + cos x sin  π − − 3x ÷ Ta có f ( − x ) = + cos ( − x ) sin         π   3π  = + cos x sin  − − x + 2π ÷ = + cos x sin  − 3x ÷ = f ( x )      3π  − 3x ÷ hàm số chẵn Vậy hàm số y = + cos x sin    Câu 19: + Hàm số f ( x ) = cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ + sin 3x Trang 27 Ta có f ( − x ) = cos ( −2 x ) cos x = = f ( x) + sin ( −3 x ) + sin x Vậy hàm số f ( x ) = + Hàm số g ( x ) = Ta có g ( − x ) = cos x hàm số chẵn + sin 3x π sin x − cos x π  có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ D = ¡ \  + kπ  2 2  + tan x sin ( −2 x ) − cos ( −3 x ) Vậy hàm số g ( x ) = + tan ( − x ) = sin x − cos x = g ( x) + tan x sin x − cos x hàm số chẵn + tan x Câu 20: π  2017 Hàm số y = x + cos  x − ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 2  Ta có f ( − x ) = ( − x ) 2017 π π   + cos  − x − ÷ = − x 2017 + cos  x + ÷ 2 2   π π    = − x 2017 + cos  x − + π ÷ = − x 2017 − cos  x − ÷ = − f ( x ) 2    π  2017 Vậy hàm số y = x + cos  x − ÷ hàm số lẻ 2  Dạng 3: Tính giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số lượng giác 1–C 11 – D 2–D 12 – D 3–B 13 – D –A 14 – A –A 15 – B 6–D 16 – A 7-C 17 – B -A 18 – D 9–B 19 – D 10 – D 20 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: π  Hàm số y = − cos  x + ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 4  π π π    Ta có −1 ≤ cos  x + ÷ ≤ ⇔ −2 ≤ cos  x + ÷ ≤ ⇔ ≤ − cos  x + ÷ ≤ 4 4 4    π π −π  + k 2π , k ∈ ¢ ; Vậy y = ⇔ cos  x + ÷ = ⇔ x + = k 2π ⇔ x = 4 4  π π −5π  max y = ⇔ cos  x + ÷ = −1 ⇔ x + = −π + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢ 4 4  Câu 2: Hàm số y = sin x + − có nghĩa ⇔ sin x + ≥ ⇔ sin x ≥ −3 ⇔ ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ sin x + ≤ ⇔ ≤ sin x + ≤ Trang 28 ⇔ ≤ sin x + ≤ ⇔ − ≤ sin x + − ≤ Vậy y = − ⇔ sin x = −1 ⇔ x = max y = ⇔ sin x = ⇔ x = −π + k 2π , k ∈ ¢ ; π + k 2π , k ∈ ¢ Câu 3: Hàm số y = sin x − 4sin x − có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có y = sin x − 4sin x − = ( sin x − ) − −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −3 ≤ sin x − ≤ −1 ⇔ ≤ ( sin x − ) ≤ ⇔ −8 ≤ ( sin x − ) − ≤ Vậy y = −8 ⇔ sin x − = −1 ⇔ sin x = ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ Câu 4: Hàm số y = 2sin x + có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −2 ≤ 2sin x ≤ ⇔ ≤ 2sin x + ≤ ⇔ ≤ 2sin x + ≤ Vậy y = ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −π + k 2π , k ∈ ¢ ; max y = ⇔ sin x = ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ Câu 5: Hàm số y = có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ + 2sin x Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ 2sin x ≤ ⇔ ≤ + 2sin x ≤ ⇔ 1 4 ≤ ≤1⇔ ≤ ≤ + 2sin x + 2sin x −π  π sin x = −1 ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢ ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢; Vậy y = ⇔  π sin x = ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢  max y = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ ¢ Câu 6: Hàm số y = 2sin x + cos 2 x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 1  Ta có y = 2sin x + cos x = − cos x + cos x =  cos x − ÷ + 2  2 2 −3 1 1  1  −1 ≤ cos x ≤ ⇔ ≤ cos x − ≤ ⇔ ≤  cos x − ÷ ≤ ⇔ ≤  cos x − ÷ + ≤ 2 2 4  2  Vậy y = π ⇔ cos x = ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ¢ ; Trang 29 max y = ⇔ cos x = ⇔ x = π kπ + ,k ∈¢ Câu 7: Hàm số y = 3sin x + cos x + có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 3  3 Ta có y = 3sin x + cos x + =  sin x + cos x ÷+ = 5sin ( x + α ) + với α = arccos  ÷+ k 2π 5  5 −5 ≤ 5sin ( x + α ) ≤ ⇔ −4 ≤ 5sin ( x + α ) + ≤ Vậy y = −4 ⇔ sin ( x + α ) = −1 ⇔ x + α = max y = ⇔ sin ( x + α ) = ⇔ x + α = −π π + k 2π ⇔ x = −α − + k 2π , k ∈ ¢ ; 2 π π + k 2π ⇔ x = −α + + k 2π , k ∈ ¢ 2 Câu 8: Hàm số y = 4sin x + 3cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 4  4 Ta có y = 4sin x + 3cos x =  sin x + cos x ÷ = 5sin ( x + α ) với α = arccos  ÷+ k 2π 5  5 −1 ≤ sin ( x + α ) ≤ ⇔ −5 ≤ 5sin ( x + α ) ≤ Vậy y = −5 ⇔ sin ( x + α ) = −1 ⇔ x + α = max y = ⇔ sin ( x + α ) = ⇔ x + α = −π −2α − π kπ + k 2π ⇔ x = + ,k ∈¢ ; 12 π −α π kπ + k 2π ⇔ x = + + ,k ∈¢ 12 Câu 9: Hàm số y = sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡  π π 3 Khi x ∈  − ;  − ≤ sin x ≤  3 2 Vậy y = − π π ⇔ x = − ; max y = ⇔x= Câu 10: Hàm số y = tan x có nghĩa ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ π π  + kπ ⇔ D = ¡ \  + kπ  2   π π Khi x ∈  − ;  hàm số y = tan x ln đồng biến  4 Suy − ≤ tan x ≤ ⇔ −1 ≤ tan x ≤ Vậy y = −1 ⇔ x = − π π ; max y = ⇔x= Câu 11: Hàm số y = f ( x ) = − 3cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Trang 30 −3 11  2π  ≤ 3cos x ≤ ⇔ −3 ≤ −3cos x ≤ ⇔ ≤ − 3cos x ≤ Khi x ∈  0;  − ≤ cos x ≤ ⇔ 2 2   Vậy y = ⇔ x = 0; max y = 11 2π ⇔x= Câu 12: π  Hàm số y = f ( x ) = sin  x + ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 4   π π π  ≤ sin  x + ÷ ≤ Khi x ∈  − ;  − 4  4  Vậy y = − −π π ⇔x= ; max y = ⇔x= 4 Câu 13: Hàm số y = sin x + − sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ sin x ≤ ⇔ −1 ≤ − sin x ≤ ⇔ ≤ − sin x ≤ ⇔ ≤ − sin x ≤ Lại có −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ sin x + − sin x ≤ + ⇔ ≤ y ≤ + y = ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − Vậy y = ⇔ x = − { π + k 2π π + k 2π y = + ⇔ sin x = (vô nghiệm) sin x = Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 2sin x − sin x ≤ sin x + − sin x ⇔ 2sin x − sin x ≤ ⇔ + 2sin x − sin x ≤ ⇔ y ≤ ⇔ y ≤ Dấu “=” sin x = − sin x ⇔ sin x = ⇔ x = Vậy y = ⇔ x = − π + k 2π , k ∈ ¢ π π + k 2π , k ∈ ¢; max y = ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢ 2 Câu 14: Hàm số y = Ta có y = cos x − 2sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ − sin x cos x − 2sin x ⇒ y − y sin x = cos x − 2sin x − sin x ⇔ y = y sin x − 2sin x + cos x ⇔ y = ( y − ) sin x + cos x ⇒ y = ( y − ) sin x + cos x  Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Trang 31 ( y − 2) + 12 ≥ y ⇔ y + y − ≤ ⇔ Vậy y = −2 − 19 −2 + 19 ≤ y≤ 3 −2 − 19 −2 + 19 ; max y = 3 Câu 15: Hàm số ( 3sin x − cos x ) − 6sin x + 8cos x ≥ 2m − có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có ( 3sin x − cos x ) − ( 3sin x − cos x ) + ≥ 2m ⇔ ( 3sin x − cos x − 1) ≥ 2m 2 Để phương trình có nghiệm với x ∈ ¡ 2m ≤ ⇔ m ≤ Câu 16: π  2 cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ x ≠ k π y = tan x + cot x + tan x + cot x − ⇔ ( ) Hàm số có nghĩa  2 sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ 2 Ta có y = tan x + cot x + ( tan x + cot x ) − = tan x + tan x cot x + cot x + ( tan x + cot x ) − = ( tan x + cot x ) + ( tan x + cot x ) − Đặt tan x + cot x = t = ⇒ t ≥2 sin x  −3 − 21 t1 =  Ta có y = t + 3t − Cho y = ⇔  − + 21 t =  Vậy y = −5 ⇔ t = −π π = −2 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = + k 2π ⇔ x = − + kπ ; max y = ∅ sin x Câu 17: Hàm số y = cos x + sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Ta có y = cos x + sin x = ( − sin x ) + sin x = − 2sin x + sin x + sin x = 2sin x − 2sin x + 2 2 1 1   y = ( sin x ) − 2sin x + =  ( sin x ) − sin x + ÷ =  sin x − ÷ + 2 2   −1 ≤ sin x ≤ ⇔ ≤ sin x ≤ ⇔ −1 1 1 1   ≤ sin x − ≤ ⇔ ≤  sin x − ÷ ≤ ⇔ ≤  sin x − ÷ ≤ 2 2 2   ⇔ 1 1  ≤  sin x − ÷ + ≤ ⇔ ≤ y ≤ 2 2   sin x = 1 y = ⇔ sin x = ⇔ Vậy  2 sin x =  π ⇔ x = + k 2π ( k ∈¢) ; − −π ⇔x= + k 2π Trang 32 max y = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) Câu 18: Ta có sin x + cos x + = sin x + + cos x + = sin x + cos x + > ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 3sin x + cos x ≤ m + ⇔ ( − y ) sin x + ( − y ) cos x = y sin x + cos x + ⇔ y = ( − y ) sin x + ( − y ) cos x  Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( − y) + ( 1− y ) ≥ y2 ⇔ y2 + y − ≤ ⇔ 2 Vậy max y = −5 − −5 + ≤ y≤ 4 −5 + −5 + 5 −9 ⇒ ≤ m +1 ⇔ m ≥ 4 Câu 19: Hàm số y = cos x + sin x.cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ + sin x cos x + sin x.cos x y= = + sin x Có y = + cos x sin x + 2 = + cos x + sin x = + cos x + sin x + sin x + 2sin x − cos x + cos x + sin x ⇔ y − y cos x = + cos x + sin x ⇔ ( + y ) cos x + sin x = y − − cos x ⇔ ( y − 1) = ( ( + y ) cos x + sin x ) 2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( 1+ y) + ≥ ( y − 1) ⇔ + y + y + ≥ y − y + ⇔ y − y − ≤ ⇔ Vậy y = 2− 2+ ≤ y≤ 4 2− 2+ ; max y = 4 Câu 20: Theo cos x + cos y + cos z = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có + cos x + + cos y + + cos z ≤ 12 + 12 + 12 + cos x + + cos y + + cos z ⇔ + cos x + + cos y + + cos z ≤ 3 + ( cos x + cos y + cos z ) ⇔ + cos x + + cos y + + cos z ≤ ⇔ y ≤ Vậy max y = Trang 33 Dạng 4: Tính tuần hồn chu kì hàm lượng giác 1–D 11 – C 2–D 12 – C 3–B 13 – C 4–C 14 – A –A 15 – B 6–D 16 – B 7–D 17 – B 8–B 18 – C 9–A 19 – B 10 – D 20 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: x π Hàm số y = sin  + ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 3 6 Chu kì hàm số T= 2π = 6π Câu 2: Tại x = ⇒ y = −3 ⇒ Loại đáp án A, B Tại x = π ⇒ y = ⇒ Loại đáp án C Vậy đồ thị cho hàm số y = −3cos x Câu 3: x π Hàm số y = 2sin  − ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 2 3 Chu kì hàm số T= 2π = 4π Câu 5: Hàm số y = 2sin πx có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ a Chu kì hàm số T= 2π = ⇔ a = ±2 π a Câu 6: Hàm số khơng có chu kì sở Câu 7: Chu kì hàm số T= 2π = 4π Loại đáp án A, B Biên độ hàm số A = = Câu 8: Tại x = ⇒ y = ⇒ Loại đáp án C, D Chu kì hàm số T = 2π Vậy đồ thị cho hàm số y = sin x Trang 34 Câu 9: Hàm số f ( x) = a sin ux + b cos vx + c (với u , v ∈ ¢ ) hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π ( u, v ) Hàm số y = sin x + cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Chu kì hàm số T = 2π = 2π Câu 10: Ta có với ≤ x ≤ π x hàm số f ( x ) = sin ln đồng biến Khi giá trị lớn hàm số ymax = π x = 2 Câu 11: π  Hàm số y = 3cos  − mx ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 4  Chu kì hàm số T = 2π = 3π ⇔ m = ± −m Câu 12: Hàm số y = sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡  3π  Hàm số nghịch biến π ,  Hàm số đồng biến   ⇒ Đồ thị hàm số có cực tiểu x =  3π   , 2π  3π Câu 13: Tại x = ⇒ y = ⇒ Loại đáp án A Chu kì hàm số T = 2.2π = 4π x Vậy đồ thị cho hàm số y = cos Câu 14 Hàm số f ( x ) = a sin ux + b sin vx + c ( với u , v ∈ ¢ ) hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π ( u, v ) Hàm số y = sin x + sin x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Chu kì hàm số T = 2π = 2π Câu 15 π  Ta có hàm số y = sin x nghịch biến khoảng  ; π ÷ 2  Câu 16 Trang 35 Hàm số f ( x ) = a.tan ux + b.tan vx + c ( với u , v ∈ ¢ ) hàm số tuần hồn với chu kì T = π ( u, v ) Hàm số y = tan x + tan x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Chu kì hàm số T = π =π Câu 17 x  Hàm số y = 2sin  − 2017π ÷ có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ 2  Chu kì hàm số T= 2π = 4π Biên độ hàm số A = = Câu 18 Hàm số y = sin x + 2017 cos x có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Chu kì hàm số T = 2π = 2π Câu 19 Hàm số y = sin ( ax + π b ) có nghĩa ∀x ∈ ¡ ⇔ D = ¡ Với a ≥ chu kì hàm số T = 2π = 4π ⇔ a = a Tại x = ⇒ y = ⇒ sin ( π b ) = ⇒ b = Vậy a + b = Câu 20 Hàm số khơng có chu kì sở Trang 36 ... ) + cot ( 11 x − 2 018 π ) Hướng dẫn giải 3 Ta có y = f ( x ) = sin ( x + 9π ) + cot ( 11 x − 2 018 π ) = − sin x + cot11x Trang 11 Hàm số có nghĩa sin11x ≠ ⇔ 11 x ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈¢ 11  kπ  Tập... D T0 = π π Trang 21 ĐÁP ÁN Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác 1? ??D 11 – C 2–B 12 – A 3–B 13 – B 4–D 14 – B 5–C 15 – D 6–C 16 – B 7–D 17 – C 8–B 18 – B 9–C 19 – A 10 – D 20 – D Hướng... Tính chẵn – lẻ hàm số lượng giác 1? ??D 11 – D –A 12 – D 3–D 13 – C 4–D 14 – B 5–B 15 – A 6–B 16 – C 7-C 17 – D -A 18 – B 9–C 19 – B 10 – A 20 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Hàm số y = sin x.cos