Toán 10 Bài 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng  Kĩ + Vận dụng công thức lượng giác học vào tốn tính giá trị lượng giác góc đặc biệt; tính giá trị biểu thức lượng giác + Xác định tính chất tam giác thỏa mãn điều kiện góc, cạnh, diện tích… cho trước cách đưa biểu thức lượng giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức cộng  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b  cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b Ví dụ:   � � cos �x  � cos x.cos  sin x.sin 4 � 4�  sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b  tan  a  b   tan a  tan b  tan a tan b  tan  a  b   tan a  tan b  tan a tan b  cos x  sin x  ;   sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b   � � sin �x  � sin x cos  cos x sin 4 � 4�  sin x  cos x  ;   � � tan �x  � � �  tan x tan  tan x  tan  tan x  tan x  Công thức nhân đôi  sin 2a  2sin a cos a  cos 2a  cos a  sin a  cos a    2sin a  tan a  tan a  tan a Ví dụ: Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos x.cos 3x   cos a cos b  � cos  a  b   cos  a  b  � � 2�  sin a sin b  � cos  a  b   cos  a  b  � � 2� sin x.sin x   sin a cos b  � sin  a  b   sin  a  b  � � 2�  Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos  cos a  cos b  cos 2  cos a  cos b  2sin ab a b sin 2  sin a  sin b  2sin ab a b cos 2  sin a  sin b  cos ab ab sin 2  � cos  2 x   cos x � � 2�  cos x  cos x  ; � cos  4 x   cos x � � 2�  cos x  cos x  Ví dụ: cos x  cos x  2cos x.cos x ; cos x  cos 3x  2sin x.sin x ; sin x  sin x  2sin x.cos x ; sin x  sin x  cos x.sin x Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Công thức cộng Phương pháp giải  Ví dụ: Biết sin x  ,  x  Hãy tính giá trị 2 Các tốn thường gặp: - Tính giá trị lượng giác - Tính giá trị biểu thức lượng giác - Rút gọn đơn giản đẳng thức - Chứng minh đẳng thức cách biến đổi vế � � lượng giác cos �x  � � 4� Hướng dẫn giải thành vế kia, biến đổi hai vế đại   x  nên điểm cung thuộc góc phần Vì lượng biến đổi tương đương dẫn đến đẳng thức - Chú ý giá trị lượng giác cung lượng giác tư thứ I � cos x  � cos x  , 45� , 60� ,90� đặc biệt biết: 30�   � � Ta có cos �x  � cos x.cos  sin x.sin 4 � 4�  2 cos x  sin x 2  6   2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Biết cos x   A  12 26 B 12 3 � � ,  x  Giá trị lượng giác sin �  x �là 13 �3 �  12 26 C 5  12 26 D 5  12 26 Hướng dẫn giải Vì   x  3 nên điểm cung thuộc góc phần tư thứ III � sin x  2 �12 � � sin x    cos x    � �   13 �13 �   12 5  12 � �   Ta có sin �  x � sin cos x  cos sin x  3 13 13 26 �3 � Chọn A Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A  sin  x  14�  sin  x  74�  sin  x  76� sin  x  16� ta kết Trang B A   A A  sin x C A  D A  cos x Hướng dẫn giải Ta có A  sin  14� x  cos  16� x   sin  76� x  sin  16� x   sin  14� x  cos  16� x   cos  14� x  sin  16 � x   sin  14� 16� x  x   sin 30� Chọn C Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A  sin  a  b  sin  b  c  sin  c  a  ta kết   cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a A A  tan a B A  tan b C A  tan c D A  Hướng dẫn giải Ta có A  sin a.cos b  sin b.cos a sin b.cos c  sin c.cos b sin c.cos a  sin a.cos c   cos a.cos b cos b.cos c cos c.cos a sin a cos b sin b cos a sin b cos c sin c cos b sin c cos a sin a cos c      cos a cos b cos a cos b cos b cos c cos b cos c cos c cos a cos c cos a  tan a  tan b  tan b  tan c  tan c  tan a  Chọn D Ví dụ 4*: Cho góc nhọn thỏa mãn sin x  sin y  Chứng minh sin x  sin y  sin  x  y  Phân tích tốn Sử dụng kiện tốn để Hướng dẫn giải � � Ta có sin x  cos x  � sin x  sin �  x � mà sin x  sin y  , suy �2 � 2 2   � � sin �  x � sin y � y   x (vì x, y góc nhọn) nên  x  y  2 �2 � Mà sin  x  y   sin x cos y  sin y cos x  2sin x.sin y.cos x.cos y 2 2 2 Do sin x  sin y  sin  x  y  0 x y   Từ ta thấy giá trị lượng giác góc x  y dương Sử dụng đẳng � sin x  sin y  sin x.cos y  sin y.cos x  2sin x.sin y.cos x.cos y thức để biến đổi vế � sin x  sin y  sin x   sin y   sin y   sin x   2sin x.sin y.cos x.cos y phải bất đẳng � 2sin x.sin y  2sin x.sin y.cos x.cos y đổi tương đương, � sin x.sin y  cos x.cos y dùng công thức � sin x.sin y  cos x.cos y  lượng giác để dẫn 2 thức dùng biến Trang � cos  x  y   (hiển nhiên  x  y   ) tới điều Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập cos 5� cos 65� cos85�thu kết Câu 1: Rút gọn biểu thức A  cos 25� A A  cos 60� B A  cot 60� C A  tan 60� D A  sin 60�  cos  x  13�  sin  x  13� cos  x  17� thu kết Câu 2: Rút gọn biểu thức A  sin  x  17� A A  B A   Câu 3: Cho sin x  A 12  119 52 C A  cos x D A  sin x   với  x  ; sin y  với  y  Giá trị cos  x  y  13 B 12  119 52 C 12  119 52 12  119 52 D Câu 4: Cho cot x  3; cot y  , biết x, y góc nhọn dương Giá trị x  y A 5 12 B 17  12 C 7 12 D 11 12 �, C � góc tam giác Khẳng định sau sai? Câu 5: Cho � A, B A cos B C B C A cos  sin sin  sin 2 2 C cot A  cot B  cot C  cot A.cot B.cot C B tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C D tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 2 Câu 6: Cho biểu thức A  sin  x  y   sin x  sin y Khẳng định sau đúng? A A  2sin x.cos y.cos  x  y  B A  cos x.sin y.sin  x  y  C A  cos x.cos y.cos  x  y  D A  2sin x.sin y.cos  x  y  Câu 7: Cho A, B, C ba góc tam giác Khẳng định sau đúng? A cos A  cos B  cos C   cos A.cos B.cos C B cos A  cos2 B  cos C   cos A.cos B.cos C C cos A  cos B  cos C   2cos A.cos B.cos C D cos A  cos B  cos C   2cos A.cos B.cos C � � Câu 8: Cho tan �x  � t , t ��1 Khẳng định sau đúng? � 4� A tan x  1 t 1 t B tan x  t 1 1 t C tan x  1 t 1  t D tan x  2t t 1 Câu 9: Cho cos x  cos2 y  m Khi giá trị biể thức A  cos  x  y  cos  x  y  A A  m  B A  m  C A   m  D A  m  Bài tập nâng cao Trang Câu 10: Giá trị lớn nhỏ biểu thức A  sin x  cos x M m Giá trị biểu thức P  M m A B C Câu 11: Giá trị lớn biểu thức A  31 A D  3sin x   tan x B C 33 D 17 Câu 12: Cho A, B, C góc ABC Biết  cos B  cos C    sin B  2sin C   15 Khi ABC tam giác gì? A Tam giác cân B Tam giác vuông C Tam giác D Tam giác vuông cân Dạng 2: Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng công thức nhân đơi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị A  cos  A B     sin 12 12 C D Hướng dẫn giải Ta có � �    �  �  A� cos  sin � cos  sin � cos  sin  cos  � 12 � 12 � 12 12 � 12 � 12 Chọn C Ví dụ 2: Giá trị biểu thức A  sin x  cos6 x a  b.cos x Giá trị Công thức hạ bậc: a  2b A B 11 C 13 D 15 Hướng dẫn giải cos x   cos x sin x   cos x 6 2 2 Ta có A  sin x  cos x   sin x  cos x   sin x  sin x.cos x  cos x  3  cos x   sin x  cos x   3sin x.cos x   sin 2 x   4  1 Vậy a  2b    cos x    cos x 8 11   8 Trang Chọn B Ví dụ 3: Khẳng định sau đúng? x� �  1� tan x A tan � �cos x � x� �  1� tan x B tan � �cos x � x� x �  1� tan C tan � �cos x � x� �  1� tan x D tan � �cos x � Hưỡng dẫn giải Ta có x x x x sin  cos  sin cos x� x  cos x � 2 2 tan �  1� tan   x x �cos x � cos x cos x cos x cos cos 2 x cos x  sin x  tan x  sin cos x cos x Chọn A Ví dụ 4: Cho  x, y   ; 3sin x  2sin y  3sin x  2sin y  Tính cos  x  y  A 6sin x.cos x B 6sin y.cos y C D Hướng dẫn giải Ta có 3sin x  2sin y  � 3sin x   2sin y  cos y 3sin x  2sin y  � 2sin y  3sin x � sin y  3sin x.cos x Do đó: cos  x  y   cos x.cos y  sin x.sin y  cos x.3sin x  sin x.3sin x.cos x  � cos  x  y   Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho cos x  A cos 2x có giá trị B C D 2 C 15 113 D 17 113 Câu 2: Cho cot x  15 sin 2x có giá trị A 13 113 B 11 113 Trang 1 Câu 3: Cho x, y góc nhọn dương sin x  , sin y  giá trị sin  x  y  A 34 18 Câu 4: Cho tan x  B C 7  18 D 7  18 2sin x giá trị biểu thức A  2  3cos x A A  B A   C A  D A  giá trị biểu thức P  3sin x  cos x Câu 5: Nếu sin x  cos x  A 34 18 B   C  D A C Câu 6: Cho biểu thức sau A  cot x  tan x  tan x  tan x Khẳng định sau đúng? A A  cot x B A  cot x Câu 7: Cho biểu thức sau A  A A  tan x Câu 8: Cho biểu thức A  A A  C A  cot x D A  8cot x sin x  sin x Khẳng định sau đúng?  cos x  cos x B A  sin x C A  cot x D A  tan x 2sin 2 x  sin x  Khẳng định sau đúng? cos 2 x  sin x  sin  x  30� sin  x  30�   B A  sin  x  30� sin  x  30�   C A  cos  x  30�  cos  x  30�  D A  cos  x  30�  cos  x  30�  Bài tập nâng cao Câu 9: Giá trị lớn biểu thức A  cos x  4sin x  A B C D Câu 10: Giá trị nhỏ biểu thức A  sin x  cos x A B C D Câu 11: Cho P   cos x  3sin x   3cos x  2sin x   Gọi A B giá trị lớn nhỏ biểu thức P Giá trị A 12 11 A B B 13 11 C 14 11 D 15 11 Dạng 3: Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích Phương pháp giải Áp dụng cơng thức biến tổng thành tích tích Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác, rút gọn chứng minh A  2sin x  cos x  cos x  cos x  Hướng dẫn giải Ta có Trang A  2sin x.cos x  2sin x.cos x  2sin x.cos x  sin x   sin x  sin x    sin x  sin x   sin 6x Ví dụ mẫu sin15� Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A  cos 75� A 2 B 2 C 2  D 2  Hướng dẫn giải sin15� Ta có A  cos 75�  � sin  75� 15�   sin  75� 15� � � 2� 2  sin 90� sin 60�  Chọn A Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A  sin a.sin  b  c   sin b.sin  c  a   sin c.sin  a  b  kết A B C sin a.sin b.sin c D cos a.cos b.cos c Hướng dẫn giải Ta có A  sin a  sin b.cos x  sin c.cos b   sin b  sin c.cos a  sin a.cos c   sin c  sin a.cos b  sin b.cos a   sin a.sin b.cos c  sin a.sin c.cos b  sin b.sin c.cos a  sin b.sin a.cos c  sin c.sin a.cos b  sin c.sin b.cos a  Chọn B � � � � cos �  x �được kết Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức A  cos x.cos �  x � �3 � �3 � A cos x B cos 2x C cos 3x D cos 4x Hướng dẫn giải � � � � � 2 � A  cos x.cos �  x � cos �  x � cos x � cos  cos x � �3 � �3 � � �   cos x  cos x.cos x   cos x  cos x  cos x  cos 3x Chọn C Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức: sin x  2sin x.sin x cos x  cos x  cos x Hướng dẫn giải Trang VT  sin x sin x  cos x  cos 3x  cos x  cos  cos x    cos x  cos x   4sin 2 x.cos 2 x 2sin 2 x.cos x  cos x.cos x  2cos x.cos x cos x  cos x  2sin 2 x.cos x 4sin x.cos x  cos x.cos x cos x  4sin x.cos x  2sin x.sin x  VP Suy điều phải chứng minh Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho x  y  A tan x cos  x  y   cos y  Rút gọn biểu thức A  ta kết cos  x  y   cos y B cot � � C  cot �y  � � 4� x � � D cot �y  � � 4�  cos  x  45� Câu 2: Giá trị biểu thức A  cos  x  45� A sin x B  sin x C cos x D  cos x  cos  x  30� Câu 3: Giá trị biểu thức A  sin  x  30� A sin x  B sin x  C  sin x  D  sin x   x � � x � 2� Câu 4: Rút gọn biểu thức A  sin �  � sin �  �ta �8 � �8 � A A  sin x B A  cos x C A  sin x D A  sin x Câu 5: Đẳng thức sau sai? A  cos x.cos y  sin x.sin y  cos  x  y  13  B 4sin x.cos x.cos x  sin x C cos 2 x  sin x  cos x.cos x D 2sin  x  y  sin  x  y   cos x  cos y Bài tập nâng cao Câu 6: Cho A, B, C góc tam giác ABC; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Khẳng định số khẳng định sau đúng? A r  R.sin A B C sin sin 2 B r  3R.sin C r  R.sin A B C sin sin 2 D r  R.sin A B C sin sin 2 A B C sin sin 2 Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Công thức cộng 1-D 2-B 3-B 4-A 11 - C 12 - A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5-C 6-D 7-C 8-B 9-A 10 - B Câu 10 Chọn B Ta có A  sin x  cos x  2cos x    cos x   3cos x  2cos x  2 2 � �1 � �1 � � � 1� 2  3� cos x  cos x  � � � � � � cos x  � � �3 � �3 � � � 3� 3 � Do giá trị nhỏ biểu thức A 4 2 Ta lại có A  3cos x  cos x    3cos x  cos x  1    cos x  1  3cos x  1  2 2 Vì �cos x �1 nên  cos x  1  3cos x  1 �0 � A   cos x  1  3cos x  1  �2 Do giá trị lớn biểu thức A Vậy M  2; m  2 �P 3 3 Câu 11 Chọn C Ta có A  3sin x    tan x  3sin x   2cos x  3sin x  1 cos2 x    sin x   3sin x   2sin x  3sin x  3 3� �  2 � sin x  sin x  � 2� � 2 � �3 � �3 � � � 33 33 �  2 � sin x  2sin x  � � � � � 2 � sin x  � � �4 � �4 � � 4� 8 � � Vậy giá trị lớn A 33 Câu 12 Chọn A Ta có  cos B  cos C    sin B  2sin C    3cos B  4sin B    cos C  8sin C  � 3cos B  4sin B �  32    cos B  sin B   � Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có: � � cos C  8sin C �   82   cos C  sin C   10 � �  cos B  cos C    sin B  2sin C  �15 Trang 11 3cos B  4sin B  � Mà theo giả thiết  cos B  2sin C    sin B  cos C   15 nên � 6cos C  8sin C  10 � �cos B sin B �  tan B  � � �3 � �, C �  180�) �� � tan B  tan C � B  C (do B Do dấu “=” xảy � sin C cos C � �tan C    � 6 �8 Vậy tam giác ABC tam giác cân A Dạng Công thức nhân đôi 1-C 2-C 3-A 4-D 11 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5-D 6-D 7-A -A 9-D 10 - B Câu Chọn D Ta có A  cos x  4sin x    2sin x  4sin x   2sin x  4sin x   2  sin x  2sin x    2  sin x  2sin x     2  sin x  1  �6 Vậy giá trị lớn A sin x  Câu 10 Chọn B 3 2 Sử dụng đẳng thức: a  b   a  b   a  ab  b  A  sin x  cos6 x   sin x  cos x   sin x  sin x.cos x  cos x    sin x  cos x   3sin x.cos x    sin x.cos x    sin 2 x 3 2 sin  2 x Vì sin x 1��� 3 A 3 3 sin x 4 1 Vậy A � � Amin  4 Câu 11 Chọn D Ta có P  cos x  4sin x.cos x  9sin x.cos x  6sin x    cos x  sin x   5sin x.cos x   6cos x  sin x  Tới ta rút P �5 � 13 đặt sin   12 ; cos   ;     62  � �  13 13 �2 � 13 � 12 13 13 �    sin .cos x  cos .sin x    sin    x   � cos x  sin x � 2� 13 13 2 � Vì 1 �sin    x  �1 nên P   13 11 13 15 1   max P    2 2 Trang 12 Do A  15 11 A 15 ;B  �  2 B 11 Dạng Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 1-C 2-C 3-A 4-A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5-D -A Câu Chọn A Gọi p nửa chu vi tam giác Ta có �p a b c    2R sin A sin B sin C a  b  c R sin A  R sin B  R sin C   R  sin A  sin B  sin C  2  R� sin A  sin B  sin  A  B  � � � R  sin A  sin B  sin A.cos B  sin B.cos A  A A B B B A� �  R� sin A   cos B   sin B   cos A  � 2sin cos 2cos  2sin cos cos � � � R � 2 2 2� �  R cos A B� A B B A� A B �A  B � cos � sin cos  sin cos � R cos cos sin � � 2� 2 2� 2 � �  R cos A B C cos cos 2 Ta lại có �r  S  p.r  R.2sin abc abc sin A.2 R.sin B.2 R.sin C.2 R R sin A.sin B.sin C �r   A B C A B C 4R p.4 R R.cos cos cos R 16 R cos cos cos 2 2 2 A B B C C 2sin cos 2.sin cos 2 2  R.sin A sin B sin C A B C 2 2 cos cos cos 2 Vậy r  R.sin A B C sin sin 2 Trang 13 ...  3sin x   2sin x  3sin x  3 3� �  2 � sin x  sin x  � 2� � 2 � ? ?3 � ? ?3 � � � 33 33 �  2 � sin x  2sin x  � � � � � 2 � sin x  � � �4 � �4 � � 4� 8 � � Vậy giá trị lớn A 33 ... sin  x  30 � sin  x  30 �   B A  sin  x  30 � sin  x  30 �   C A  cos  x  30 �  cos  x  30 �  D A  cos  x  30 �  cos  x  30 �  Bài tập nâng cao Câu 9: Giá trị lớn biểu thức A... giác vuông C Tam giác D Tam giác vuông cân Dạng 2: Công thức nhân đôi Phương pháp giải Áp dụng công thức nhân đơi để tính rút gọn giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá