Toán 10 Bài 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một CUNG

CHUN ĐỀ CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Mục tiêu  Kiến thức + Củng cố số đo cung góc đường trịn lượng giác + Biểu diễn cung đường tròn lượng giác + Nắm giá trị lượng giác cung  Kĩ + Xác định dấu giá trị lượng giác cung đặc biệt + Tính giá trị lượng giác cung đặc biệt + Tính giá trị biểu thức lượng giác với điều kiện cho trước Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Giá trị lượng giác cung α Ð Ð - Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = α Tung độ y = OK điểm M gọi sin α kí hiệu sinα sinα = OK Hoành độ x = OH điểm M gọi cơsin α kí hiệu cosα cosα = OH Nếu cosα ≠ 0, tỉ số sinα gọi tang α kí hiệu tanα cosα (hoặc tgα ) tanα = Nếu sinα ≠ 0, tỉ số sinα cosα cosα gọi côtang α kí hiệu cotα sinα (hoặc cotgα ) cotα = cosα sinα Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt - Với hai cung đối nhau: α −α cos( −α ) = cosα ; sin( −α ) = − sinα ; tan( −α ) = − tanα ; cot ( −α ) = − cotα - Với hai cung bù nhau: α π − α sin( π − α ) = sinα ; cos( π − α ) = − cosα ; tan( π − α ) = − tanα ; cot ( π − α ) = − cotα π  - Với hai cung phụ nhau: α  − α ÷ 2  π  sin − α ÷ = cosα ; 2  π  cos − α ÷ = sinα ; 2  π  tan − α ÷ = cotα ; 2  π  cot  − α ÷ = tanα 2  - Với hai cung π : α ( π + α ) sin( π + α ) = − sinα ; cos( π + α ) = − cosα ; Trang tan( π + α ) = tanα ; cot ( π + α ) = cotα II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định dấu giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Phương pháp giải Ví dụ: Để xác định dấu giá trị lượng giác góc (cung), ta thực bước sau: a) Xét dấu sin 3π - Xác định xem điểm cung thuộc góc phần tư mặt b) Xét dấu sin30°.cos100° Hướng dẫn giải phẳng tọa độ a) Ta có π 3π < < π nên điểm IV cung + _ _ _ 3π thuộc góc phần tư II nên sin - Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu giá trị lượng giác cần xét dấu Góc phần tư cosα sinα tanα cotα I II + + + + _ III _ _ + _ _ + + 3π > b) Vì 0° < 30° < 90° nên điểm cung 30° thuộc góc phần tư thứ I Do sin30° > Vì 90° < 100° < 180° nên điểm cung 100° thuộc góc phần tư thứ II Do cos100° < Vậy sin30°.cos100° < Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a) tan 4π 11π b) sin100°.cos Hướng dẫn giải a) Vì π < Vậy tan 4π 3π 4π nên điểm cung thuộc góc phần tư thứ III < 3 4π > b) Vì 90° < 100° < 180° nên điểm cung 100° thuộc góc phần tư thứ II ⇒ sin100° > Trang 11π 3π π 3π 11π thuộc góc phần tư thứ II = + 2π Mà < < π nên điểm cung 4 4 Ta có 11π ⇒ cos < 11π Vậy sin100°.cos < Ví dụ Khẳng định sau đúng?  500π A cot  −   ÷ <  B sin( −2450° ) <  500π  o C sin −2450 cot  − ÷ <   ( )  500π  D cot  − ÷ >   Hướng dẫn giải Ta có −2450° = 70° − 7.360° Vì 0° < 70° < 90° nên điểm cung −2450° thuộc góc phần tư thứ I ⇒ sin( −2450° ) > Ta có − Vì π < 500π 4π = − 84.2π 3 4π 3π 500π nên điểm cung − thuộc góc phần tư thứ III < 3  500π ⇒ cot −   ÷ >   500π Do sin( −2450° ) cot −   ÷ >  Chọn D Ví dụ Khẳng định sau đúng? A sin400°.cos( −3700° ) cot ( −8800° ) > B sin400° < C cos( −3700° ) cot ( −8800° ) < D cot ( −8800° ) < Hướng dẫn giải Cách Ta có 400° = 40° + 360° Vì < 40° < 90° nên điểm cung 400° thuộc góc phần tư thứ I ⇒ sin400° > (B sai) Trang Ta có −3700° = 260° − 11.360° Vì 180° < 260° < 270° nên điểm cung −3700° thuộc góc phần tư thứ III ⇒ cos( −3700° ) < Ta có −8800° = 200° − 25.360° Vì 180° < 200° < 270° nên điểm cung −8800° thuộc góc phần tư thứ III ⇒ cot( −8800° ) > (D sai) Vậy sin400°.cos( −3700° ) cot ( −8800° ) < (A sai); cos( −3700° ) cot ( −8800° ) < (C đúng) Chọn C Cách Ngoài sử dụng phương pháp trên, ta nhờ hỗ trợ từ máy tính bỏ túi fx-570VN Thao tác bấm sau: - Reset máy tính: - Chuyển hệ độ: - Ở để ý máy tính bỏ túi khơng có hàm cot Do gặp hàm cot ta chuyển thành hàm tan( ) Ta kiểm tra đáp án Ví dụ đáp án A, ta bấm phím máy tính sau: - Kết −0,366703992 < Vậy sin400°.cos( −3700° ) cot ( −8800° ) < Do A sai Các đáp án khác kiểm tra tương tự Chọn C Ví dụ Cho 0° < α < 90° Xét dấu a) sin( α + 360° ) b) sin( α + 90° ) Hướng dẫn giải a) Ta có sin( α + 360° ) = sinα Trang Vì 0° < α < 90° nên điểm cung α thuộc góc phần tư thứ I Vậy sin( α + 360° ) > b) Ta có 0° < α < 90° ⇒ 0° + 90° < α + 90° < 90° + 90° ⇒ 90° < α + 90° < 180° nên điểm cung α + 90° thuộc góc phần tư thứ II Vậy sin( α + 90° ) > Ví dụ Cho tan x = − A − 2013π 2015π < x< Giá trị sinx 2 B C − D Hướng dẫn giải Ta có 2013π 2015π π π π 3π < x< ⇔ 1006π + < x < 1006π + π + ⇔ < x < 2 2 2 Do x thuộc góc phần tư thứ II thứ III ⇒ cos x < Mà 1+ tan2 x = =− nên cos x = − cos x 1+ tan2 x Suy sin x = cos x.tan x = Vậy sin x = −2 −1 = 5 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giá trị lượng giác sau mang dấu dương?  3π A sin   ÷   11π B cos   ÷  π  C cos ÷  2  33π D cot  −   ÷  Câu 2: Góc (cung) lượng giác mà hai giá trị sin, tan trái dấu? A 30° B π C 359° D 91° Câu 3: Góc (cung) lượng giác mà hai giá trị cos, cot dấu? A 361° B 181° C 4π D 6π D 15π Câu 4: Góc (cung) lượng giác mà hai giá trị sin, cot trái dấu? A 405° B 25π C 20π Câu 5: Góc (cung) lượng giác mà hai giá trị sin, cos trái dấu? Trang A −45° B −315° C 2π D 91° Bài tập nâng cao Câu 6: Cho sin x = A cos x = 15 Câu 7: Cho tanx = A sin x = π với < x < π Khẳng định khẳng định sau B cot x = 15 C tan x = 15 D tan x = − 15 −4 2017π 2019π < x< Khẳng định khẳng định sau? 2 −3 Câu 8: Cho sin x = B sin x = C sin x = −4 D sin x = π 6+ với < x < π Khi giá trị tanx A + Câu 9: Cho sin x = − B −2− D −2 + 3π 6+ với π < x < Khi giá trị cot x A + Câu 10: Cho sin x = − C − B −2− C − D −2 + 3π 6+ với < x < 2π Khi giá trị cot x A + B −2− C − D −2 + Dạng 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Phương pháp giải Ví dụ: Cho sin x = − ;180° < x < 270° Để tính giá trị lượng giác góc (cung), ta dùng hệ thức lượng giác biểu diễn Tính cos x, tan x, cot x giá trị lượng giác cần tính giá trị lượng giác Hướng dẫn giải Ta có biết sin2 x + cos2 x = 1⇒ cos x = ± 1− sin2 x = ± Vì 180° < x < 270° nên cos x < sin x ⇒ cos x = − ⇒ tan x = = cos x ⇒ cot x = = tan x 4 Vậy cos x = − ; tan x = ; cot x = Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Tính giá trị lượng giác sau a) sin 3π b) cot60° Hướng dẫn giải a) sin 3π Để tính giá trị sin 3π , ta thực máy tính bỏ túi dạng Ví dụ - Reset máy tính: - Chuyển hệ rađian: Do ta bấm phím máy tính sau: - Kết Vậy sin 2 3π = b) cot60° - Reset máy tính: - Chuyển hệ độ: - Ở để ý máy tính bỏ túi khơng có hàm cot Do gặp hàm cot ta chuyển thành hàm tan( ) Do ta bấm phím máy tính sau: - Kết Vậy cot60° = 3 Trang Ví dụ Cho cos x = − A sin x = , biết 180° < x < 270° Khẳng định sau đúng? 13 12 13 C cot x = − 12 B tan x = 12 D sin x = 17 12 Hướng dẫn giải Ta có sin2 x + cos2 x = 1⇒ sin x = ± 1− cos2 x = ± 12 13 Vì 180° < x < 270° nên điểm góc x thuộc góc phần tư thứ III ⇒ sin x < ⇒ sin x = − 12 sin x 12 ⇒ tan x = = ⇒ cot x = = 13 cos x tan x 12 Vậy sin x = − 12 12 ; tan x = ; cot x = − 13 12 Chọn B Ví dụ Cho tan x = − , biết 90° < x < 180° Khẳng định sau đúng? 2 A cot x = C sin x = 13 13 B cos x = 13 13 D cos x = 13 13 Hướng dẫn giải Ta có cot x = =− tan x Ta có 1+ tan2 x = 1 13 ⇒ cos x = ± = ± 13 cos2 x 1+ tan2 x Vì 90° < x < 180° nên cung x thuộc góc phần tư thứ II ⇒ cos x < ⇒ cos x = Ta có tan x = Vậy sin x = −2 13 13 sin x −2 13 −3 13 ⇒ sin x = cos x.tan x = = cos x 13 13 13 −2 13 −2 ; cos x = ; cot x = 13 13 Chọn C Ví dụ Cho giá trị lượng giác cot75° = − Khẳng định sau đúng? A tan75° = − B tan75° = −2 − Trang C cos75° = 6− D cos75° = − 6+ Hướng dẫn giải Cách Ta có tan75° = 1 = = + cot75° − Lại có 1+ tan2 75° = 1 2− 6− ⇒ cos75 ° = ± = ± = ± 4 cos2 75° 1+ tan2 75° Vì 0° < 75° < 90° nên điểm cung 75° thuộc góc phần tư thứ I ⇒ cos75° > ⇒ cos75° = Ta có tan75° = 6− sin75° 6+ ⇒ sin75° = tan75°.cos75° = cos75° Chọn C Cách Sử dụng máy tính bỏ túi - Reset máy tính: - Chuyển hệ độ: - Bấm giá trị lượng giác đáp án + Bấm phím Ta kết + Do loại đáp án A B + Bấm phím Ta kết 6− Do loại đáp án D Chọn C Ví dụ Cho 4sin x − 2cos x = < x < π Khẳng định sau đúng? A sin x = −2 − 19 10 B cos x = C tan x = 8+ 19 15 D cot x = −2 − 304 20 −15 8+ 19 Trang 10 Hướng dẫn giải π nên sin x > ⇒ sin x = 1− cos2 x (do sin2 x + cos2 x = 1) Vì < x < Mà 4sin x − 2cos x = nên 1− cos2 x = 2cos x + 1.( 1) Vì < x < ) ( 2 π nên cos x > ⇒ ( 1) ⇔ 1− cos2 x = ( 2cos x + 1) ( ) ⇒ 16 1− cos2 x = 4cos2 x + 4cos x +  −2 + 304  cos x = −2 + 304 20 ⇒ 20cos2 x + 4cos x − 15 = ⇒  ⇒ cos x =  20 −2 − 304  cos x = 20  (do cos x > 0) Vì sin x > nên sin x = 1− cos2 x = ⇒ tan x = + 19 10 sin x 8+ 19 15 = ⇒ cot x = = cos x 15 tan x 8+ 19 Vậy sin x = + 19 −2 + 304 8+ 19 15 ; cos x = ; tan x = ; cot x = 10 20 15 8+ 19 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập 13π Câu 1: Giá trị cos A B − Câu 2: Giá trị cot A C D − C D − −17π B − Câu 3: Giá trị sin45° A Câu 4: Cho sin x = A −2 B − C − D π với < x < π Khi giá trị lượng giác cot x B 2 C −8 D Trang 11 Câu 5: Cho tan x = − A sin x = 3π với < x < 2π Khi giá trị lượng giác cịn lại 2 − B cos x = −2 Câu 6: Cho cot x = a, a > với π < x < A a2 a2 + B − a2 a2 + D sin x = C cot x = 3π Khi giá trị lượng giác cosx C a2 + a2 a2 + a2 D − µ ,C µ góc tam giác ABC Chọn khẳng định khẳng định sau Câu 7: Biết µA, B ( ) ( µ µ µ A sinC = − sin A + B ( ) ) µ µ µ B tanC = tan A + B µ µ µ C cosC = cos A + B ( ) µ µ µ D cotC = − cot A + B Câu 8: Cho tam giác ABC Tìm khẳng định sai khẳng định sau µ µ µ A sin A + C = cos B 2 µ µ µ B cos A + C = sin B 2 µ µ µ C sin A + B = sinC µ µ µ D cos A + B = cosC ( ) ) ( Bài tập nâng cao x x a− Câu 9: Nếu x góc nhọn sin = tan 2 2a A a− a+ B a+ a− C a+ D D a− x x a− Câu 10: Nếu x góc nhọn sin = cot 2 2a A a− a+ B a+ a− C a+ 1 a− Câu 11: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c thỏa mãn hệ thức sau 1+ cosB 2a + c = 1− cosB 2a − c Tam giác ABC tam giác gì? A ∆ABC cân A B ∆ABC cân B C ∆ABC cân C D ∆ABC Trang 12 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác Ví dụ: Cho tan x = 3, tính giá trị biểu thức sau Phương pháp giải Để tính giá trị biểu thức lượng giác, ta A= dùng hệ thức lượng giác biểu diễn giá trị 2sin2 x − 3sin x.cos x 3cos2 x − 2sin2 x lượng giác biểu thức cần tính giá trị lượng Hướng dẫn giải giác biết Nhận thấy bậc tử số mẫu số nên ta chia tử mẫu A cho cos2 x, ta 2tan2 x − 3tan x 2.32 − 3.3 A= = =− 2 3− 2tan x 3− 2.3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho sin x + cos x = Tính giá trị biểu thức sau a) A = sin x.cos x; b) B = sin3 x + cos3 x Hướng dẫn giải a) Ta có sin x + cos x = 1 ⇒ ( sin x + cos x) = ⇒ sin2 x + cos2 x + 2sin x.cos x = 4 ⇒ 1+ 2sin x.cos x = ⇒ sin x.cos x = − Vậy A = sin x.cos x = − b) Ta có   3  11 sin3 x + cos3 x = ( sin x + cos x) sin2 x + cos2 x − sin x.cos x = 1−  − ÷ =   8  16 ( Vậy B = ) 11 16 Ví dụ Cho tan x = Giá trị biểu thức A = A −7 B −9 C 2sin x + 3cos x cos x − 3sin x D Hướng dẫn giải Cách Nhận thấy bậc tử số mẫu số 1, ta chia tử mẫu A cho cos x, ta Trang 13 sin x sin x +3 2sin x + 3cos x cos x = 2tan x + = 2.3+ = − A= = cos x cos x sin x cos x − 3sin x 1− 3tan x 1− 3.3 −3 cos x cos x Vậy A = − Chọn B Cách Sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500ES PLUS) Bước 1: Reset máy tính: Bước 2: + Bấm phím để có biểu thức A: 2sin x + 3cos x cos x − 3sin x + Bấm phím: + Kết − Chọn B Ví dụ Cho tan x + cot x = m; m> Khi giá trị biểu thức tan x − cot x bao nhiêu? A − m2 − B − m2 C m2 − D − 4− m2 Hướng dẫn giải Ta có tan x + cot x = m⇒ ( tan x + cot x) = m2 ⇒ tan2 x + 2tan x.cot x + cot2 x = m2 ⇒ tan2 x + cot2 x + = m2 ⇒ tan2 x − + cot2 x + + = m2 ⇒ ( tan x − cot x) = m2 − ⇒ ( tan x − cot x) = m2 − ⇒ tan x − cot x = m2 − Vậy tan x − cot x = m2 − Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho sin x + cos x = − Khi giá trị sin x.cos x Trang 14 A B −1 C D −1 Câu 2: Đơn giản biểu thức A = ( tan x + cot x) − ( tan x − cot x) ta A A = −4 B A = C A = tan x Câu 3: Cho tan x = Khi giá trị biểu thức P = A B Câu 4: Cho sin x + cos x = A sin x cos x = D A = − tan x sin x + cos x sin x − 2cos x C D Kết sau sai? −1 B sin x − cos x = C sin4 x + cos4 x = ± D tan2 x + cot2 x = 12 sin x − 2cos x Câu 5: Cho cot x = Giá trị biểu thức P = 3sin x + 4cos x A 13 B −1 Câu 6: Cho tan x = m Khi A a.m− b − d.m+ c B C D a.m+ b cm+ d D Đáp số khác a.sin x − b.cos x c.cos x − d.sin x a.m− b c.m− d Câu 7: Cho tan x = m Khi giá trị biểu thức a.m2 + 2bm +c A d.m − 3em+ 8f C −1 13 C a.sin2 x + 2b.sin x.cos x + c.cos2 x d.cos2 x − 3esin x.cos x + 8f sin2 x a.m2 + 2bm +c B d − 3em+ 8f m2 a.m2 + 2bm +c − d − 3em+ 8f m2 D a.m2 − 2bm +c d − 3em+ 8f m2 Câu 8: Giá trị biểu thức P = sin6 x + cos6 x + 3sin2 x.cos2 x A −1 B Câu 9: Nếu sin x + cos x = A 6+ giá trị biểu thức P = 4sin x − 3cos x B 6− Câu 10: Nếu 3sin4 x + 2cos4 x = A 607 407 D −4 C B C −7 − D 6+ 98 giá trị biểu thức P = 2sin4 x + 3cos4 x 81 108 81 C − 108 81 D 607 405 Trang 15 Bài tập nâng cao Câu 11: Biết tan x = A a − c 2b Giá trị biểu thức A = a.cos2 x + 2b.sin x.cos x + c.sin2 x a− c B 2b C 2c D a sin8 x cos8 x sin4 x cos4 x A = + Câu 12: Nếu giá trị biểu thức + = a b a+ b a3 b3 A ( a + b) B −1 ( a + b) Câu 13: Nếu 3sin4 x + 2cos4 x = A 113 400 C ( a + b) D − ( a + b) 3 98 giá trị biểu thức P = 2tan4 x − cot4 x 81 2  16   29  B 2. ÷ −  ÷  29   16  2  29   16  C 2. ÷ −  ÷  16   29  D 400 113 Câu 14: Khẳng định khẳng định sau sai? tan x + tan y = tan x.tan y A cot x + cot y  1+ sin x 1− sin x  B  − ÷ = 4tan2 x  1− sin x ÷ + sin x   sin x sin x 1− cot2 x − = C cos x + sin x cos x − sin x 1+ cot2 x  sin x + tan x  D  ÷ + 1= cos2 x  cos x +  Dạng 4: Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt Phương pháp giải Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau Để tính giá trị lượng giác góc a) A = tan225° + cot150° (cung) có liên quan đặc biệt, ta thực b) B = sin240° + tan300°.cos( −780° ) theo bước sau: Hướng dẫn giải - Dùng cung liên kết đưa cung góc a) tan225° + cot150° = tan( 45° + 180° ) + cot ( −30° + 180° ) phần tư thứ - Dùng công thức lượng giác để thu gọn biểu thức ( ) = tan45° + cot ( −30° ) = 1+ − = 1− Vậy A = 1− b) sin240° + tan300°.cos( −780° ) = sin( 60° + 180° ) + tan( −60° + 360° ) cos( −60° − 720° ) = − sin60° + tan( −60° ) cos( −60° ) = ( ) − + − 2 = − Vậy B = − Ví dụ mẫu Trang 16 Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau a) A = tan240° + cot225° b) B = sin210° + tan330°.cot495° Hướng dẫn giải a) Ta có tan240° = tan( 60° + 180° ) = tan60° = 3; cot225° = cot( 45° + 180° ) = cot45° = Vậy A = tan240° + cot225° = 1+ b) Ta có sin210° = sin( 30° + 180° ) = − sin30° = −1 tan330° = tan( −30° + 360° ) = tan( −30° ) = − tan30° = − cot495° = cot( −45° + 3.180° ) = cot ( −45° ) = − cot45° = −1 Vậy B = −1 − 3 + −1) = − + ( 3 Ví dụ Giá trị biểu thức sau Ghi nhớ:  9π   13π   17π   21π  A = tan − x÷+ cot  − x÷+ tan + x÷+ cot + x÷         A −1 B C D Hướng dẫn giải Ta có:  9π  π  π  tan − x÷ = tan + 4π − x÷ = tan − x÷ = cot x   2  2   13π  π  π  cot  − x÷ = cot  + 6π − x÷ = cot  − x÷ = tan x   2  2  π  sin + x÷ = cos x 2  π  cos + x÷ = − sin x 2  π  tan + x÷ = − cot x 2  π  cot  + x÷ = − tan x 2   17π  π  π  tan + x÷ = tan + 8π + x÷ = tan + x÷ = − cot x   2  2   21π  π  π  cot  + x÷ = cot  + 10π + x÷ = cot  + x÷ = − tan x   2  x  Vậy A = cot x + tan x − cot x − tan x = Chọn B Ví dụ Thu gọn biểu thức A = cos( 270° + x) − 3sin( x − 450° ) + cos( x − 900° ) + 4sin( 720° + x) ta kết sau đây? A 5sin x + 2cos x B 5sin x − 4cos x Trang 17 C 3sin x + 2cos x D 3sin x − 4cos x Hướng dẫn giải Ta có cos( 270° + x) = cos( 90° + 180° + x) = − cos( 90° + x) = sin x sin( x − 450° ) = sin( x + 90° − 3.180° ) = − sin( x + 90° ) = − cos x cos( x − 900° ) = cos( x − 5.180° ) = − cos x sin( 720° + x) = sin( 4.180° + x) = sin x Vậy A = sin x − 3( − cos x) + ( − cos x) + 4sin x = 5sin x + 2cos x Chọn A Ví dụ Giá trị biểu thức A = sin2 2π 3π 4π 5π 6π 7π + sin2 + sin2 + sin2 + sin2 + sin2 18 18 18 18 18 18 A A = B A = C A = D A = Hướng dẫn giải Ta có sin  π 2π  2π 7π 2π 2π 2π + sin2 = sin2 = sin2  − + cos2 = ÷ = sin 18 18 18 18 18  18  Tương tự: sin2 3π 6π 4π 5π + sin2 = 1; sin2 + sin2 = 18 18 18 18 Do  2π 7π   3π 6π   4π 5π  A =  sin2 + sin2 + sin2 + sin2 ÷+  sin ÷+  sin ÷ = 1+ 1+ 1= 18 18   18 18   18 18   Vậy A = Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập  3π  − x÷− cos( x + 9π ) Câu 1: Giá trị sin   A B −2cos x C 2cos x D  13π   7π   9π   5π  − x÷+ cot  − x÷− tan − x÷− cot x − Câu 2: Giá trị biểu thức tan ÷ 2        A 2tan x B −2tan x C 2cot x  11π Câu 3: Giá trị biểu thức sin( x + π ) − cos( 7π − x) + sin x −  Khi giá trị P = a + 2b D   15π  + x÷ a.sin x + b.cos x ÷+ cos    Trang 18 A B C D Câu 4: Giá trị biểu thức π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π cos + cos + cos + cos − cos − cos − cos − cos − cos 5 5 5 5 A −1 B C D π 2π 3π 8π Câu 5: Giá trị biểu thức P = tan + tan + tan + + tan 9 9 A −1 B C D Bài tập nâng cao Câu 6: Cho biểu thức sau sin( x − π ) + cos( 3π − x) + tan( x + 4π ) − cot ( x − 5π ) có giá trị a.sin x + b.cos x + c.tan x + d.cot x Khi giá trị P = a + b − c + 2d A P = B P = −1 C P = −3 D P = −5   9π    π 17π  5π  − x÷+ tan x − Câu 7: Cho biểu thức sau sin x − ÷+ cos ÷− cot x − ÷ có giá trị 2  2      a.sin x + b.cos x + c.tan x + d.cot x Khi giá trị P = a + b + c + 2d A P = B P = −1 C P = −3 ( D P = −5 ) ( ) Câu 8: Biểu thức A = sin4 x + cos4 x + sin2 x.cos2 x − sin8 x + cos8 x có giá trị B −2 A D −1 C ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Xác định dấu giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác 1-A 2-D 3-A 4-C 5-B 6-D 7-D 8-B 9-C 10-D Câu Chọn D  1 15 Cách sin x + cos x = 1⇒ cos x ± 1− sin x = ± 1−  ÷ = ±  4 2 sin x = −1 ⇒ cot x = = − 15 π − 15 Vì < x < π ⇒ cos x = Từ suy tan x = cos x = tan x − 15 15 4 Vậy cos x = − 15 −1 ; tan x = ; cot x = − 15 15 Cách Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx-570VN-PLUS Bước 1: Reset máy tính: Bước 2: Tìm x gán x cho A: Trang 19 Bước 3: - Tìm giá trị cịn lại bình thường, ví dụ tìm giá trị lượng giác sau: - Nếu kết số lẻ, ta việc bình phương lên xuống lại số đẹp: Kết π 15 Tuy nhiên cần lưu ý < x < π nên cung x thuộc cung phần tư thứ II ⇒ cos x < ⇒ cos x = − 15 - Thực tương tự với giá trị lượng giác lại Câu Chọn D Ta có 2017π 2019π π 3π π 3π nên suy cos x < < x< ⇔ 1008π + < x < 1008π + ⇔ < x< 2 2 2 Do cos x = − 1+ tan2 x = −3 −3 −4 ⇒ sin x = cos x.tan x = = 5 Vậy sin x = Câu Chọn B  6+ 2 π 2− Vì < x < π nên cos x < ⇒ cos x = − 1− sin2 x = − 1−  ÷ =  ÷ 4   6+ = −2− Vậy tan x = −2 − 2− sin x ⇒ tan x = = cos x Câu Chọn C 3π Vì π < x < nên cot x > ⇒ cot x = 1 −1= − = − 2 sin x   6+ − ÷  ÷   Câu 10 Chọn D Vì 3π < x < 2π nên cot x < ⇒ cot x = − 1 −1= − − = − 2 sin x   6+ − ÷  ÷   Trang 20 Dạng Tính giá trị lượng giác góc (cung) 1-C 11-C 2-A 3-D 4-A 5-A 6-B 7-D 8-D 9-A 10-B Câu Chọn A Vì x góc nhọn nên 0° < x < 90° ⇒ 0° < Ta có sin2  x  x x < 45° ⇒ sin ÷ > 0; cos ÷ >  2  2 x x x x a−1 a+ a+1 + cos2 = 1⇒ cos2 = 1− sin2 = 1− = ⇒ cos x = 2 2 2a 2a 2a x x 2= Từ ta tính tan = x cos sin a−1 2a = a − a+ a+ 2a x a− Vậy tan = a+ Câu 10 Chọn B x a+ x a− cot = = Theo câu a, ta có: tan = Suy x a− tan a+ Câu 11 Chọn C Sử dụng định lý cosin tam giác ABC ta có b2 = a2 + c2 − 2ac.cosB ⇒ cosB = Ta có a2 + c2 − b2 2ac 1+ cosB 2a + c = ⇒ ( 1+ cosB) ( 2a − c) = ( 1− cosB) ( 2a + c) 1− cosB 2a − c ⇒ 2a − c + 2a.cosB − c.cosB = 2a + c − 2a.cosB − c.cosB ⇒ 2a.cosB = c Từ suy 2a a2 + c2 − b2 2ac = c ⇒ a2 + c2 − b2 = c2 ⇒ a = b ⇒ CB = CA Vậy tam giác ABC cân C Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác 1-B 2-B 11-D 12-A Câu 11 Chọn D Ta có tan x = 3-A 13-B 4-D 14-C 5-A 6-A 7-B 8-B 9-A 10-D 2b a− c Nhận thấy bậc số hạng biểu thức A nên ta tiến hành chia hai vế cho cos2 x Ta có Trang 21  2b  A cos2 x sin x.cos x sin2 x 2b = a + b + c = a + b tan x + c tan x = a + b + c  ÷ a− c  a− c  cos2 x cos2 x cos2 x cos x.cos x ( ) ⇒ A 1+ tan x = a( a − c) + 4b2 ( a − c) + c.4b2 ( a − c) (   2b 2  a3 − 2a2c + ac2 + 4ab2 ⇒ A 1+  ÷=   a − c   ( a − c) ) (  ( a − c) + 4b2  a a2 − 2ac + c2 + 4b2  2 2 a2 − 2ac + c2 + 4b2 a − ac + c + b =  = a ⇒ A  ⇒ A  2  ( a − c)    a − c a − c a − c ( ) ( ) ( )     ) ⇒ A = a Câu 12 Chọn A Đặt sin2 x = u ⇒ cos2 x = 1− u 4 1− u) ab Ta có sin x + cos x = ⇒ u + ( = ⇒ u2b + ( 1− u) a = a b a+ b a b a+ b a+ b ⇒ u2b + a − 2ua + u2a = ab ab ⇒ u2 ( a + b) − 2ua + a = ⇒ u2 ( a + b) − 2ua( a + b) + a( a + b) − ab = a+ b a+ b ⇒ u2 ( a + b) − 2ua( a + b) + a2 = ⇒ u( a + b) − a = ⇒ u = 2 Do sin2 x = u = a a+ b a b ;cos2 x = 1− u = a+ b a+ b 4  a   b   ÷  ÷ 8 sin x cos x  a + b   a + b  a b Từ vào A ta được: A= + = + = + = 3 4 a b a b ( a + b) ( a + b) ( a + b) Vậy A = ( a + b) Câu 13 Chọn B Ta có 3sin4 x + 2cos4 x = ( ) 98 98 98 ⇒ 1− cos2 x + 2cos4 x = ⇒ 5cos4 x − 6cos2 x + = 81 81 81  29 cos x =  145 45 ⇒ 5cos4 x − 6cos2 x + = 0⇒  81  cos2 x =  Trường hợp 1: cos2 x = 29 1 16 29 ⇒ tan2 x = − 1= − 1= ⇒ cot2 x = 29 45 29 16 cos x 45 2  16   29  Do P = 2tan x − cot x = 2. ÷ −  ÷  29   16  4 Trang 22 Trường hợp 2: cos2 x = 1 ⇒ tan2 x = − = − = ⇒ cot x = cos2 x 2  4  5 −113 Do P = 2tan x − cot x = 2. ÷ −  ÷ = 400  5   4 2   16   29   P = 2. ÷ −  ÷  29   16  Vậy    P = −113 400  Câu 14 Chọn C sin x sin y sin x.cos y + sin y.cos x + tan x + tan y cos x cosy sin x.sin y cos x.cosy = = = = tan x.tan y cot x + cot y cos x cosy cos x.sin y + sin x.cos y cos x.cosy + sin x sin y sin x.sin y ( ) ÷ =    1+ sin x 1− sin x   + sin x − − sin x − =  ÷   1− sin x 1+ sin x ÷    1− sin x 1+ sin x ÷ ÷  2sin x  4sin2 x = = 4tan2 x ÷  ÷ cos x  1− sin x  sin x( cos x − sin x) − sin x( cos x + sin x) sin x sin x −2sin2 x − = = cos x + sin x cos x − sin x cos2 x − sin2 x ( cosx + sin x) ( cosx − sin x) = −2 = cot x − 1− cot2 x (  sin x cos x +   sin x  sin x +  ÷  sin x + tan x  cos x ÷ + 1=  cos x  ÷ + 1=   cos x + cos x + cos x+    ÷  ÷     ) ÷ 2  sin x  ÷ ÷ + 1=  cos x ÷ + 1= tan x + 1= cos2 x   ÷ ÷  Dạng Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt 1-A 2-A 3-C 4-B 5-C 6-D 7-B 8-C Câu Chọn D Ta có sin( x − π ) + cos( 3π − x) + tan( x + 4π ) − cot ( x − 5π ) = − sin x + ( − cos x) + tan x − cot x = − sin x − cos x + tan x − cot x Do a = b = d = −1, c = 1⇒ P = a + b − c + 2d = −5 Câu Chọn B   9π   π 17π − x÷+ tan x − Ta có sin x − ÷+ cos 2       5π  ÷− cot x − ÷ 2   Trang 23 = ( − cos x) + sin x + ( − cot x) − ( − tan x) = sin x − cos x + tan x − cot x Do a = 1, b = −1,c = 1,d = −1⇒ P = a + b + c + 2d = −1 Câu Chọn C ( ) ( ) Ta có A = sin4 x + cos4 x + sin2 x.cos2 x − sin8 x + cos8 x ( ) ( ) 2 = 2 sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x − sin4 x + cos4 x + 2sin4 x cos4 x   ( ) ( ) ( ( ) = 1− sin2 xcos2 x −  sin2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x + 2sin4 xcos4 x   ) = 1− sin2 xcos2 x − 1− 2sin2 xcos2 x + 2sin4 xcos4 x = − 4sin2 x cos2 x + 2sin4 xcos4 x − 1+ 4sin2 xcos2 x − 4sin4 xcos4 x + 2sin4 xcos4 x = Trang 24 ... Để tính giá trị biểu thức lượng giác, ta A= dùng hệ thức lượng giác biểu diễn giá trị 2sin2 x − 3sin x.cos x 3cos2 x − 2sin2 x lượng giác biểu thức cần tính giá trị lượng Hướng dẫn giải giác biết... x < 2? ? Khi giá trị lượng giác lại 2 − B cos x = ? ?2 Câu 6: Cho cot x = a, a > với π < x < A a2 a2 + B − a2 a2 + D sin x = C cot x = 3π Khi giá trị lượng giác cosx C a2 + a2 a2 + a2 D... x < 27 0° Để tính giá trị lượng giác góc (cung) , ta dùng hệ thức lượng giác biểu diễn Tính cos x, tan x, cot x giá trị lượng giác cần tính giá trị lượng giác Hướng dẫn giải Ta có biết sin2 x +