Toán 10 Bài 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ

CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0�ĐẾN 180� Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày kiến thức việc xác định giá trị lượng giác góc dựa vào nửa đường tròn đơn vị + Phát biểu vận dụng tính chất giá trị lượng giác góc bù + Ghi nhớ bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt + Xác định góc hai vectơ  Kĩ + Tính giá trị lượng giác góc đặc biệt góc biết số giả thiết + Tính giá trị biểu thức lượng giác với giả thiết cho trước Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa �   ) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM Với góc  (0�� �180� giả sử điểm M có tọa độ M  xo ; yo  Khi • Tung độ y0 điểm M gọi sin góc  , kí hiệu sin  y0 ; • Hồnh độ x0 điểm M gọi cơsin góc  , kí hiệu cos  x0 ; • Tỉ số y0  x0 �0  gọi tang góc  x0 Kí hiệu tan  • Tỉ số x0  y0 �0  gọi cơtang góc  y0 Kí hiệu cot  Các số sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc  Tính chất giá trị lượng giác góc bù sin   sin  180�   cos    cos  180�   tan    tan  180�   cot    cot  180�   �  Cho MN / /Ox, xOM �  180�  Khi xON yM  y N  y0 , xM   x N  x0 Góc hai vectơ r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O bất uuu r r uuu r r kì ta vẽ OA  a OB  b Góc � AOB với số đo từ 0° đến 180° r r gọi góc hai vectơ a b r r Ta kí hiệu góc hai vectơ a , b   r r r r Nếu a , b = 90° ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu   r r r r a  b b  a r r r r Chú ý: a , b  b , a     Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính giá trị lượng giác số góc đặc biệt Phương pháp giải Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ y0 hồnh Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác góc  , biết  = 135° độ x0 điểm M nửa đường tròn đơn vị Hướng dẫn giải �   từ ta có giá trị với góc xOM Cách lượng giác sin  y0 ; cos  x0 ; tan   y0 x0 ; cot   x0 y0 Lấy điểm M nửa đường tròn đơn vị cho �  135° xOM Khi ta có � yOM  45� � 2�  ; Từ suy M � � � 2 � � �  Dựa vào tính chất hai góc bù nhau: sin   sin  180�   cos    cos  180�   tan    tan  180�   cot    cot  180�   Vậy sin135� 2 ;cos135�  2 tan135� 1;cot135� 1 Cách Ta có 135�và 180� 135�bù nên sin135� sin  180� 135�   sin 45� ; cos135�  cos  180� 135�    cos 45�  tan135� sin135�  1 ; cos135� cot135�  1 tan135� ; Trang Ví dụ mẫu Hãy tính sin , cos , tan cot Ví dụ Cho góc   150� Hướng dẫn giải Vi 150�và 180� 150�bù nên sin150� sin  180� 150�   sin 30� ; cos150�  cos  180� 150�   cos 30�  tan150� ; sin150�  ;cot150�  cos150� tan150� �  15� �  45� Giá trị sin A tan A Ví dụ Cho ABC có B ;C A sin A  ; tan A   C sin A  3 ; tan A   B sin A  ; tan A   3 D sin A  ; tan A   Hướng dẫn giải Ta có Aˆ  180� ( Bˆ  Cˆ )  180� 60� 120� Vì 120�và 180� 120�bù nên sin A  sin120� sin  180� 120�   sin 60� ; cos A  cos120�  cos  180� 120�    cos 60�  tan A   Chọn đáp án B uuu r uuur uuur uuur Ví dụ Cho ABC dều Giá trị sin( AB, AC ) cos( AB, BC ) uuu r uuur uuu r uuur A sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 uuu r uuur uuu r uuur 3 B sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 uuu r uuur uuu r uuur C sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 uuu r uuur uuu r uuur D sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 Hướmg dẫn giải uuu r uuur uuu r uuur �  60�� sin( AB, AC )  sin 60� Ta có ( AB, AC )  BAC uuu r uuur uuu r uuur Ta có ( AB, BC )  120�� cos( AB, BC )  cos120� Mà 120�và 60�là hai góc bù nên Trang uuu r uuur cos( AB, BC )  cos60�  uuu r uuur uuu r uuur Vậy sin( AB, AC )  ;cos( AB, BC )   2 Chọn đáp án D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Giá trị lượng giác tan  , cot  Câu Cho góc   135� A tan   1;cot   B tan   3;cot   3 3 uuur uuur Câu Cho tam giác ABC vuông B có AC  BC Giá trị tan ( AC , BC ) C tan   1;cot   1 D tan    3;cot    uuur uuur A tan( AC , BC )   uuur uuur B tan( AC , BC )  uuur uuur C tan( AC , BC )  uuur uuur D tan( AC , BC )   �  150� Tọa Câu Trong mặt phẳng tọa độ xOy, lấy điểm M nừa đường tròn đơn vị cho xOM độ điểm M �1 3� ;  A M � � �2 � � � �3 1� B M � �2 ; � � � � � 1� C M � � ;  � � � � � 1� D M � � ; � � � � Câu Cho hình thoi ABCD có Aˆ  60� Tìm mệnh đề mệnh đề sau uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur 3 A cos( BD, BC )  B cos( BD, BC )  C cos( AC , AD)  D cos( AB, AD)  2 2 Câu Cho ABC có đường cao AH Tìm mệnh đề �  A sin BAH �  B cos BAH C sin � ABC  AHC  D sin � Câu Cho hình vng ABCD Mệnh đề sai? uuur uuu r A cos( AC , BA)   uuur uuur C cos( AB, CD)  1 uuur uuur B sin( AC , BD)  uuu r uuur D sin( AB, CD)  �  135� Gọi N Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M nửa đường trịn đơn vị cho xOM � Tính cot  điểm đối xứng M qua trục tung đặt   xON Trang A cot   B cot   1 C cot   D cot  không tồn Câu Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định đây, khẳng định sai? uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur A tan( AB, DC )  B sin( AB, AD)  sin( DA, DC ) uuu r uuur uuur uuur uuur uuur C cos( AB, AD )  cos( DA, DC )  D cos( AB, CD)  uuur uuu r Câu Cho hình thang ABCD vng A D biết AB  AD  a, CD  2a Tính cos( BD, CB) uuur uuu r 1 uuur uuu r A cos( BD, CB)  B cos( BD, CB)  2 uuur uuu r C cos( BD, CB)  uuuuuuuuur A cos( BM , MC )  uuuu r uuuu r B cos( BM , MC )   uuuu r uuuu r D cos( BM , MC )   uuur uuu r  D cos( BD, CB)  uuuu r uuuu r Câu 10 Cho ABC cân A, Aˆ  20� Gọi BM đường phân giác � ABC Tính cos( BM , MC ) uuuuuuuuur C cos( BM , MC )  uuu r uu r Câu 11 Cho ABC có I, J trung điểm AB AC Khi giá trị cos( AB, IJ ) A B  C D  Bài tập nâng cao uuu r uuu r Câu 12 Cho ABC có trọng tâm G Giá trị tan( AB, GA) uuu r uuu r uuu r uuu r A tan( AB, GA)  B tan( AB, GA)  3 uuu r uuu r C tan( AB, GA)   uuu r uuu r D tan( AB, GA)   Câu 13 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a 2, AD  a Gọi M trung điểm cạnh CD,  góc uuuu r uuur hai vectơ AM BD Tính tan  A tan   2 B tan   C tan   D tan  khơng tồn Dạng Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Bài tốn Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác Ví dụ mẫu ) ta có sin 2  cos 2  Ví dụ Chứng minh với góc  (0�� �180� Hướng dẫn giải �  Vẽ nửa đường tròn đơn vị  O;1 Lấy điểm M  xo ; yo  nửa đường trịn cho xOM Trang Khi sin   y0 ; cos  x0 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có x0  y0  OM  � sin   cos2  (điều phải chứng minh) Chứng minh Ví dụ Cho góc  thỏa mãn 0�� �180� a)  tan   (với  �90�) cos  b)  cot   ; �180� (với  �0� ) sin  Lưu ý: Huớng dẫn giải Chúng ta áp dụng kết sin  cos   sin  a) Ta có  tan      2 cos  cos  cos  ví dụ “ sin   cos2  ” để chứng minh hệ thức giá trị lượng giác cách nhanh (điều phải chứng minh) chóng mà khơng cần sử dụng hình học cos  sin   cos  b) Ta có  cot      2 sin  sin  sin  (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho góc  Chứng minh sin   cos   3sin  cos   Huớng dẫn giải Ta có VT  sin 6  cos 6  3sin 2 cos 2   sin 2  cos 2   sin 4  sin 2 cos 2  cos 4   3sin 2 cos 2  sin 4  sin 2 cos 2  cos 4  3sin 2 cos 2  sin 4  2sin 2 cos 2  cos 4   sin 2  cos 2   (điều phải chứng minh) Bài tốn Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Phương pháp giải • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác góc  hệ thức liên hệ giá trị sin  cos  ;cot   cos  sin  1  tan   ;1  cot   cos  sin  sin   cos   1; tan   Ví dụ: Cho sin   0�   90� Tính giá trị lượng giác cos  , tan  , cot  Hướng dẫn giải Trang 2 Ta có sin   cos   � � cos    cos   2 � cos   � Vì 0�   90�nên cos   Vậy 2 sin   ;cos   ; tan   ;cot   2 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho sin   A cos    Giá trị cos  tan  90�   180� 3 ; tan    3 B cos    ; tan    C cos    ; tan    D cos    ; tan    Hướng dẫn giải � cos   � 2 2 Ta có sin   cos   � cos    sin     � � 4 � cos    � � Vì 90�   180�nên cos   Vậy cos    sin  ; tan    cos  Chọn đáp án A Ví dụ Cho góc  , biết 0�   90�và tan   A cos   24 ;sin   5 24 C cos   ;sin   5 Giá trị sin  cos  4 B cos   ;sin   5 D cos   ;sin   5 Trang Hướng dẫn giải � cos   � 1 25 16 �  1  � cos2   �� Ta có  tan   2 cos  cos  16 16 25 � cos    � � Vì 0�   90�nên cos   4 3 Vậy cos   ;sin   cos  tan   �  5 Chọn đáp án D Ví dụ Cho biết sin15� 6 Giá trị cos15� tan15� A cos15�  6 ; tan15�  B cos15�  6 ; tan15� 2  C cos15� 6 ; tan15�  D cos15� 6 ; tan15� 2  Huớng dẫn giải �cos �=15 �1cos 15 Ta có sin 15= 2 2 sin 15 �  � 2 � � � � � � � 6 cos15� � �� � 6 cos15�  � � Vi 0� 15� 90�nên cos15� Vậy cos15� 6 sin15� ; tan15�  2 cos15� Chọn đáp án C Ví dụ Tính giá trị lượng giác  , biết sin   cos   Huớng dẫn giải Theo ra, ta có � � � cos    sin  sin   cos   cos    sin  � � � � � � � � 2 2 sin   cos   � sin   cos   � sin   (  sin  )  � � � 2sin   2 sin    � sin   2 Trang 2 ; ;cos    sin     2 Vậy sin   tan   sin   1;cot    cos  tan  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho góc nhọn  có sin   Giá trị tan  A tan   7 B tan    C tan   D tan    Giá trị sin  Câu Cho cot   3 90�   180� 10 10 A sin   10 10 B sin    C sin   D sin    Giá trị cos x Câu Cho cos x  2sin x  0, với 90� x  180� A cos x  5 B cos x   5 C cos x  D cos x   D cos    5 Giá trị cos  Câu Cho tan  180�     , với 0�   90� A cos   5 B cos    5 C cos   5 Câu Trên nửa đường tròn đơn vị, cho điểm M hình vẽ �   , diện tích AOM Biết cos xOM A S AOM  C S AOM  B S AOM  D S AOM  8 Câu Cho biết sin   cos   m Giá trị sin  cos  B sin  cos   2m A sin  cos   m C C.sin  cos    m2 D sin  cos   m2  Bài tập nâng cao Câu Cho 0�� �180�thỏa mãn sin   cos  Xét ABC cân C có AB  sin  , AC  cos  Chu vi ABC A 1 B 1 2 C D 2 Trang 10  Vậy P   Sử dụng tính chất giá trị lượng giác góc bù 2 3 2 �  �    2 2 4 32 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức P  cos 60� cos80�  cos100� cos120� sin   sin  180�   cos    cos  180�   tan    tan  180�   cot    cot  180�   Hướng dẫn giải    cos120�; Ta có cos 60�  cos  180� 60� cos80�  cos  180� 80�    cos100� � P  cos 60� cos80� cos100� cos120�   cos 60� cos120�    cos80� cos100�  00  Ví dụ mẫu cos 45� sin 60� cos 30� sin 45� cos 60�là Ví dụ Giá trị biểu thức sin 30� B 1 A C D Hướng dẫn giải cos 45� sin 60� cos 30� sin 45� cos 60� Ta có sin 30�  3 � �  � �0 2 2 2 Chọn đáp án C Ví dụ Giá trị biểu thức: P  cos 0� cos1� cos 2� �  cos178� cos179� cos180�thuộc khoảng sau đây? B (1;1) A (0;1) C  1;  D (1;0) Hướng dẫn giải    cos180�; Ta có cos 0�  cos  180� 0� cos1�  cos  180� 1�    cos179� cos 2�  cos  180� 2�    cos178� …………………………………… Suy P  cos 0� cos1� cos 2� �  cos178� cos179� cos180�   cos 0� cos180�    cos1� cos179�  �   cos89� cos 91�  cos 90�     �  Trang 13 Chọn đáp án B Bài tập tự luyện dạng Bài tập cos 60� sin 60� cos 30�là Câu Giá trị biểu thức P  sin 30� B P  A P  Câu Cho cos x  A P  13 C P  Giá trị biểu thức P  3sin x  cos x B P  C P  Câu Biết tan   2 Giá trị biểu thức B  11 D P  15  cos   sin  cos   3sin  2 D B   9 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r Câu Cho ABC Tính giá trị biểu thức M  cos AB, AC  cos BA, BC  cos CB, CA A B   D P   B B   C B   A M  3 B M  Câu Cho tan   Tính giá trị biểu thức P  A P  45 B P   C M       D M   sin   cos  sin   cos  C P  4  D P  D B   cot x  tan x Câu Cho sin x  Giá trị biểu thức B  cot x  tan x A B  B B   4 Câu Cho 3sin x  cos x  A A  Câu Biết sin   A P  91 72 C B  Tính giá trị biểu thức A  sin x  3cos x B A  C A  D A  1 Tính P  cos   3tan  B P  C P  D P  67 72 Câu Tính giá trị biểu thức A  cos3 1� cos3 2� cos 3� �  cos 180� A A  B A  C A  1 D A  2 Câu 10 Tính giá trị biểu thức Q  sin 0� sin 1� sin 2� �  sin 90� A Q  45 B Q  91 C Q  89 D Q  90 Trang 14 Bài tập nâng cao Câu 11: Biết tan   cot   Giá trị biểu thức P  tan   cot  A P  1154 B P  34 C P  36 D P  1156 Câu 12 Cho sin   cos   Giá trị biểu thức sin   cos6  16 25 A B 71 121 C 83 108 D 23 48 Câu 13 Cho sin x  cos x  m Tính P  sin x  cos x theo m 3 B P  m  m  2 A P  m3 3 C P   m  m 2 3 D P   m  m 2   6 4 Câu 14 Tìm tất giá trị m để biểu thức P  sin x  cos x  m sin x  cos x có giá trị khơng phụ thuộc vào x A m  C m  B m  Câu 15 Cho cos   cos    Biết A  m  D Không tồn m 2sin  cos   sin   a  b tan  với a, b �� Giá trị cos   a  b A a  b   B a  b  C a  b  D a  b   PHẦN ĐÁP ÁN BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0�ĐẾN 180� Dạng Tính giá trị lượng giác góc đặc biệt Đáp án trắc nghiệm 1-C 11 - B 2-C 12 - C 3-D 13 - D 4-B 5-C 6-D -A 8-D 9-C 10 – D Hướng dẫn giải Câu 12 Xét tam giác ABC có G trọng tâm tam giác, suy AG vừa trung tuyến, vừa đường cao, � �  BAC  60� 30� đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC � BAG 2 uuu r uuu r uuur uuu r � Mà AB, GA BAG hai góc bù nên tan AB, GA   tan 30�      Chọn đáp án C Câu 13 Gọi N giao điểm cùa AM BD Trang 15 Xét ADM vuông D , ta có: tan � AMD  Xét ADB vng A , ta có tan � ADB  AD a   DM a 2 AB a   AD a Từ suy � AMD  � ADB � AM  DB � ( AM , BD)  90� Suy tan  khơng tồn tai Chọn đáp án D Dạng Tính giá trị lượng giác góc biết giá trị lượng giác Đáp án trắc nghiệm -C 2-A 3-B 4-C 5-D 6-D 7-A 8-C 9-C Hướng dẫn giải Câu � � � sin   � � � sin   cos  cos   sin  � � �� � 4sin   � � Ta có: � sin   cos   � � sin    sin   cos   � � � � � Vì 0�� �180� nên sin   Suy AB  sin   ; AC  cos   2 Vậy CABC  2CA  AB  cos   sin   1 Chọn đáp án A Câu � � �  sin135� sin xOM � �yM  � 2 �  135�� � �� Ta có xOM � � �x   �  cos135�  cos xOM M � � 2 � � 1 2 Suy S MNA  S MNO  xM yM  �� �  2 2 Chọn đáp án C Câu �  15�� BAC �  30� Ta có: BAH Suy �  2.cos 30� AK  AB.cos BAK �  2.sin 30� BK  AB.sin BAK Trang 16 Vậy AK BK  3.1  Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Đáp án trắc nghiệm -A -A -A 4-B 5-C -A 11 -A 12-C 13-C 14-A 15-D 7-B 8-A 9-C 10-B Hướng dẫn giải Câu 11  Ta có: P  tan   cot   tan   cot    tan  cot  2 � (tan   cot  )  tan  cot  � � � tan  cot     62    1154 Chọn đáp án A Câu 12 Ta có sin   cos   4 � (sin   cos  )  �  2sin  cos   � sin  cos    9 18 6 2 2 Suy sin   cos    sin   cos    sin   sin  cos   cos     sin   cos   �  sin   cos    3sin  cos  � � � � � 83   3sin  cos    �  � � � 18 � 108 Chọn đáp án C Câu 13 Ta có sin x  cos x  m � (sin x  cos x)  m �  2sin x cos x  m � sin x.cos x  m2  � m  � m3  3m 3 2 P  sin x  cos x  sin x  cos x sin x  sin x , cos x  cos x  m   Suy  �1  � � � Chọn đáp án C Câu 14 6 4 Ta có: P  sin x  cos x  m  sin x  cos x    sin x  cos x   sin x  sin x.cos x  cos x   m �  sin x  cos x   2sin x.cos x � � � �   sin   cos   �  sin   cos2    3sin  cos2  �  sin x  cos2 x   2sin x.cos2 x � � � m � � Trang 17   3sin x.cos x  m   2sin x.cos x    m   (2m  3) sin x.cos x P khơng có giá trị phụ thuộc vào x 2m   � m  Chọn đáp án A Câu 15 Điều kiện: cos  �۹ cos  � cos   � 2 Ta có cos   cos    � � � cos    � � Do cos  � nên cos    Mặt khác A  2sin  cos   sin   sin   cos  tan    tan  cos   2 Từ suy a  0, b   � a  b   3 Chọn đáp án D BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Dạng Tính tích vơ hướng hai vectơ Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-A 3-C 4-B 5-A 11 -D 12-D 13-B 14-A 15-D 6-A 7-B 8-D 9-B 10-D Hướng dẫn giải Câu 14 u r r r r r r Ta có vecto x  a  2b vng góc vói vectơ y  5a  4b nên ru r r r r2 rr rr rr r r r2 x y  � a  2b 5a  4b  � a  b  6a.b  � 5.12  8.12  6a.b  � a.b     rr r r a b Từ suy cos a, b  r r   � ar, br  60� | a | | b | 1.1     Chọn đáp án A Câu 15 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Trang 18 Khi A(0;0), B(4a;0), N (0; 2a ), D(0;3a), C (2a;3a) uuur uuur uuur Suy NB  (4a; 2a ), NC  (2a; a), DC  (2a;0) uuur Suy NB  NC  (6a; a ) uuur uuur uuur Vậy T  ( NB  NC ).DC  6a.2a  ( a).0  12a Chọn đáp án D Dạng Chứng minh đẳng thức có liên quan đến tích vơ hướng Đáp án trắc nghiệm -A 2-B 11 -A 12 -C 3-B 4-A 5-B 6-B 7-D 8-C 9-B 10-D Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu Gọi I trung điểm AB uuur uuur uuuu r uuur uuu r uuur Ta có ( MA  MB).( MC  MB)  � MI BC  � MI  BC Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua trung điềm AB vng góc với BC Chọn đáp án C Câu Ta có uuu r uu r uuu r uur uuu r uu r uur 1 MA2  MB  ( MI  IA)2  ( MI  IB)2  2MI  2MI ( IA  IB)  IA2  IB  2MI  AB  2MI  a 2 Mà MA2  MB  a a2 a Suy MI  a  a � MI  � MI  Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính a Chọn đáp án B Câu 10 uuur2 uuur uuu r uuu r uuur Ta có BC  ( AC  AB ) � BC  AC  AB AC  AB uuu r uuur AB  AC  BC c  b  a � AB AC   2 uuu r uuur 2 Vậy AB AC  b  c  a   Chọn đáp án D Trang 19 Câu 11 uuuu r uuu r uuur Ta có AM  x AB  y AC � AM  x AB  y AC �  x  y uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Mặt khác AM  BC � AM BC  � x AB.BC  y AC BC  uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r � x AB AC  AB  y AC AC  AB  �  x  y      � � �2 144 144 2 � � �x  20 x  x  y  � � � �� 20 � � Từ ta có hệ phương trình �  x  y  � �x  y �y  � � � 20 � 2 Vậy T  x  y  153 20 Chọn đáp án A Câu 12 �uuuur uuur uuur MH  ( BH  CH ) � � Vì M trung điểm cạnh BC nên �uuur uuu r uuu r �MA  ( BA  CA) � uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur Suy MH MA  BA.BH  CA.BH  BA.CH  CA.CH r uuur uuu r uuur uuu  BA.BH  CA.CH r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu  � BA BC  CH  CA CB  BH � � 4�        r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu BA.BC  BA.CH  CA.CB  CA.BH r uuur uuur uuu uuur2  � BC BA  AC � BC  BC � 4�       Chọn đáp án C Dạng Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vuông góc Đáp án trắc nghiệm 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-C 7-B 8-B 9-D Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu Trang 20 uuur uuur uuu r uuur x uuur AB ; Ta có PN  AN  AP  AC  3a uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur AM  AB  BM  AB  BC  AB  ( AC  AB)  AB  AC 3 3 Do AM  PN uuuu r uuur r uuur ��1 uuur x uuu r� �2 uuu AM PN  � � AB  AC � � AC  AB � 3a �3 ��3 � r uuur uuur uuur x uuur2 uuur x uuu � AB AC  AB  AC  AB AC  9a 9a � 2x x AB AC.cos 60� (3a )  (3a )  AB AC.cos 60� 9a 9a 4a � 2a  ax  � x  Vậy x  4a AM  PN Chọn đáp án B Câu uuur uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Ta có NE  NM  ME  k MP  MN ; MF  ( MP  MN ) uuur uuur Do NE  MF � NE.MF  uuur uuuu r uuur uuuu r � (k MP  MN ) � ( MP  MN )  uuur uuuu r uuur uuuu r � (k MP  MN ).( MP  MN )  uuur uuuu r uuuu r uuur � k MP  k MP.MN  MN MP  MN  � k 82  (k  1).8.4.cos 60�  � 80k  32  �k Vậy k  Chọn đáp án B Câu 10 uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Ta có CM  CB  BM   AD  AB; BN  BA  AN  AB  k AD Theo giả thiết, ta có uuuu r uuur r � uuu r uuur 1 � uuur uuu CM  BN � CM.BN  � �  AD  AB �  AB  k AD  � 16k   � k  2 � �   Trang 21 �1 � Vậy k �� ; � �9 � Chọn đáp án D Dạng Ứng dụng tích vơ hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vectơ Đáp án trắc nghiệm 1-D 2-A 3-B 4-D 5-A 11 - C 12 - B 13 - C 14 - C 15 - A 6-C 7-C 8-B 9-B 10 - D Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu 13 Vì I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA  IB  IC Từ đó, ta có hệ phương trình � � 14a  2b  46 a3 (a  6)  (b  6)  ( a  1)  (b  5) � � � � � � 8a  16b  8 � b  2 (a  1)  (b  5)  ( a  3)  (b  3) � � Vậy a  b  Chọn đáp án C Câu 14 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur 8a Ta có AM BC  ( AB  BM ).BC  AB.BC  BM BC  AB.BC  BM BC.cos 0� AB.BC  uuu r uuur 8a uuur uuur uuuur uuur 5a Mà AM BC  a nên AB.BC   a � AB.BC   3 uuur uuu r uuur uuu r uuur Ta lại có AC  AC  ( AB  BC )2  AB  BC  AB.BC � 5a � 2a 2  AB  4a  �  � AB  � � Mặt khác AB  AC  BC  4a (2) Từ (1) (2) suy AB  Vậy AC  5a 7a , AC  3 a 21 Chọn đáp án C Câu 15 Trang 22 Gọi tọa độ đỉnh C (x; y) uuur uuur uuur uuur Ta có AC  ( x  3; y  2), BC  ( x  5; y  2), AH  (8; 2), BH  (0; 2) Vì H trực tâm tam giác ABC nên uuur uuur � � � AH  BC 8( x  5)  2( y  2)  �x  � �AH BC  � �uuur uuur �� �� � BH  AC �y  2 �BH AC  �2( y  2)  � Vậy C (6; 2) Chọn đáp án A BÀI HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Dạng Giải tam giác Đáp án trắc nghiệm 1-B -A 3-C -A 5-B 11 - C 12 - A 13 - C 14 - B 15 - D 6-C 7-C 8-B 9-B 10 - D Hướng dẫn giải Câu 11 2 2 Ta có BC  AB  AC    73; cos B  Do BM  2MC nên BM  AB  BC 73 2 73 BC  3 Áp dụng định lý cơsin tam giác ABM ta có AM  BA2  BM  BA.BM cos B �2 73 � 73 3 � � � � 2.3 73 � �  265 Vậy AM  265 Chọn đáp án C Câu 12 Đặt AB  x, AC  y  x, y   Trang 23 Goi  G  CN �BM ;  l   AG �BC Khi G trọng tâm tam giác ABC I trung điềm BC Tam giác BGC vuông G nên IG  IB  IC  Suy AI  3IG  BC  2 Theo công thức trung tuyến, ta có AI  AB  AC BC 81 x  y  �   � x2  y  45  1 4  2 Theo định lý cơsin, ta có BC  AB  AC  AB AC.cos A �  x  y  xy cos30� Từ  1   suy xy  12 Diện tích tam giác ABC S ABC  1 AB AC.sin A  xy.sin 30� 3 2 Vậy SABC  3 Chọn đáp án A Câu 13 Ta có S  1 (a  b  c )(a  b  c )  � a  (b  c) �  a  b  c  2bc � � 4   2 bc � 1� b c a  � � bc �  � bc  (1  cos A) � 2� 2bc � � 1 2 Mặt khác S  bc sin A � bc.(1  cos A)  bc sin A � sin A   cos A � sin A  (1  cos A) 2 Do sin  cos A  nên  cos A   cos A  cos A � cos2 A  cos A  cos A  � � cos A(cos A  1)  � � cos A  � Do 0� � A  180�nên cos A  � Aˆ  90� Chọn đáp án C Câu 14 Trang 24 180� 100� ABC  � ACB   40� Ta có � Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có � BC AB AB.sin BAC 5.sin100�  � BC   � � � sin 40� sin BAC sin ACB sin ACB �  180� PBC �  PCB �  180� 20� 30� 130� Ta có BPC Áp dụng định lý sin tam giác BPC ta có BC BP  � � sin BPC sin PCB 5.sin100� sin 30� � BC.sin PCB � BP   sin 40� 5 � sin130� sin BPC Chọn đáp án B Câu 15 Theo định lý cơsin ta có AC  AB  BC  BA.BC.cos B �6 2� 6 � 3.cos 45� � � �  2 � � 2 Suy AC  Theo định lý sin ta có BC AC BC.sin B 3.sin 45�  � sin A    sin A sin B AC 2 � � Do BC  AB nên BAC ACB �  120�� CAM �  60� Suy BAC Theo tính chất đường phân giác ta có � 1 � BM AB 1   � BM  � � � �MC MC AC � � � 1 � Mà BM  MC  BC nên � � � �MC  MC  BC � MC   � � Trang 25 Áp dụng định lý sin vào tam giác AMC , ta có MC MC 3  2R � R    1 � � sin CAM 2sin CAM 2sin 60� Chọn đáp án D Dạng Ứng dụng vào việc đo đạc Đáp án trắc nghiệm 1-C -A 3-B -A 5-B 6-C Hướng dẫn giải Câu Quãng đường ô tô từ A đến C qua B S1  AB  BC  15  20  35 (km) Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có �  152  202  2.15.20.cos120� 925 � AC  37  km  AC  AB  BC  AB.BC cos ABC Nếu theo đường hầm qng đường tơ phải S  S1  AC  35  37 �4, 6(km) Ơ tơ tiết kiệm số tiền 4, : 5.20 000  18 400 (đồng) Chọn đáp án C Dạng 3: Chứng minh hệ thức mối quan hệ Đáp án trắc nghiệm -B 2-B 3-C -D 5-A 6-A 7-A Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu Đặt AB  c Do tam giác ABC vuông cân A nên AC  c, BC  c Nửa chu vi tam giác ABC p  AB  AC  BC c  c  c c  c 2 Diện tích tam giác ABC SABC  c2 AB AC  2 Trang 26 Ta có S ABC  R Vậy  r AB AC.BC c c3 c c2 � c � c �  �R ; SVABC  pr �  � c r �r  � � � 4R 4R 2 � � 2 c 2  1 c 2 Chọn đáp án A Câu Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có AE  AB  AD BD CB  CD DB  ; CE   4 EF  AE  CE AC  � EF   AE  CE   AC 2  AB  AD  BD BD  BC  CD   AC 2 � AB  BC  CD  DA2  AC  BD  4EF Chọn đáp án A Trang 27 ... giải Vi 15 0? ??và 18 0? ?? 15 0? ??bù nên sin1 50? ?? sin  18 0? ?? 15 0? ??   sin 30? ?? ; cos1 50? ??  cos  18 0? ?? 15 0? ??   cos 30? ??  tan1 50? ?? ; sin1 50? ??  ;cot1 50? ??  cos1 50? ?? tan1 50? ?? �  15 � �  45� Giá trị sin... giải Ta có Aˆ  18 0? ?? ( Bˆ  Cˆ )  18 0? ?? 60? ?? 12 0? ?? Vì 12 0? ??và 18 0? ?? 12 0? ??bù nên sin A  sin1 20? ?? sin  18 0? ?? 12 0? ??   sin 60? ?? ; cos A  cos1 20? ??  cos  18 0? ?? 12 0? ??    cos 60? ??  tan A  ...  18 0? ??   cot    cot  18 0? ??   Hướng dẫn giải    cos1 20? ??; Ta có cos 60? ??  cos  18 0? ?? 60? ?? cos 80? ??  cos  18 0? ?? 80? ??    cos 100 � � P  cos 60? ?? cos 80? ?? cos 100 � cos1 20? ??   cos 60? ??