Toán 10 Bài 3 các hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI TAM GIÁC

CHUYÊN ĐỀ BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm hệ thức lượng tam giác + Nắm cơng thức tính diện tích tam giác + Nhận biết vấn đề toán học nghiên cứu từ toán thực tế  Kĩ + Tính cạnh, góc, diện tích tam giác dựa vào hệ thức lượng tam giác + Giải tam giác tính tốn số toán đo đạc + Chứng minh hệ thức mối quan hệ thành phần tam giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí cơsin Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = , AB = Trong ∆ABC với BC = a , CA = b , AB = c , � = 60o BAC ta có a = b + c - 2bc cos A ; b = a + c - 2ac.cos B ; c = a + b2 - 2ab.cos C Khi đó, ta có � BC = AB + AC - AB AC.cos BAC = 52 + 62 - 2.5.6.cos 60�= 31 � BC = 31 Hệ cos A = b2 + c - a ; 2bc 31 + 52 - 62 cos C �޻== 31.5 31 31 � C 69 ; cos B = a + c2 - b2 ; 2ac 31 + - 52 cos B �޻== 31.6 31 62 � B 51 a + b2 - c 2ab Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác cos C = Cho tam giác ABC có cạnh BC = a , CA = b , AB = c Gọi ma , mb , mc độ dài đường Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A 52 + 62 31 91 91 m = = � ma = 4 2 a trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tam giác Khi đó, ta có b2 + c a ; m = a a + c2 b2 ; m = b a + b2 c2 m = Định lí sin Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = , BC = Trong ∆ABC với BC = a , CA = b , AB = c bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC R = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C Trang Cơng thức tính diện tích tam giác Khi đó, ta có: Cho ∆ABC có cạnh BC = a , CA = b , AB = c = = R = 2.5 = 10 sin A sin C Gọi S diện tích ∆ABC, R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác; ; hb ; hc đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác p = a +b +c nửa chu vi tam giác Khi � � sin A = � � � � �A �37� �� �� � � � �44� C � � � sin C = � � 10 � �Bˆ�180 � � 37  44 99 ; đó, diện tích S ∆ABC tính theo cơng thức sau AC = R.sin B = 2.5.sin 99��9,9 ; 1 S = ab sin C = bc sin A = ac sin B ; 2 Diện tích tam giác ABC S= SD ABC = BA.BC.sin B abc ; 4R = 7.6.sin 99� S = pr ; S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c) (công thức Hê-rơng) �20, (đvdt) Sơ đồ Diện tích tam giác ABC ; ; ; Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ; ; Tam giác ABC có nửa chu vi p, ;; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Định lí Cơsin ; ; Định lí sin Hệ ; ; Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Giải tam giác Phương pháp giải Giải tam giác tìm số yếu tố tam giác Ví dụ: cho biết yếu tố khác � = 60� Cho ∆ABC biết AB = , AC = BAC Ta thường gặp tốn sau đây: Tính cạnh góc cịn lại ∆ABC  Biết cạnh hai góc: Ta sử dụng định lý Hướng dẫn giải sin để tính cạnh cịn lại  Biết hai cạnh góc xen giữa: Ta sử dụng định lý cơsin để tính cạnh thứ ba định lý sin để tính góc cịn lại  Biết ba cạnh: Ta sử dụng định lý cơsin để tính góc Tam giác cho có độ dài hai cạnh số đo góc xen giữa, ta sử dụng định lý cơsin để tính Chú ý cơng thức tính diện tích tam giác, cạnh thứ ba định lý sin để tính góc cịn lại định lý “tổng ba góc tam giác Ta có BC = AB + AC - AB AC cos A “180” đặc biệt sử dụng hệ thức lượng = 62 + 82 - 2.6.8.cos 60�= 52 tam giác vuông Suy BC = 13 BC AC AB 13 = = � = = sin A sin B sin C sin 60� sin B sin C � 39 � sin B = � �B � �74� � 13 �� �� � � � � � �46� 39 C � � � � sin C = � 26 � � �74�và C � �46� Vậy BC = 13 , B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = , AC = � A = 120� a) Tính BC diện tích tam giác ABC b) Tính độ dài đường cao AH trung tuyến BK tam giác ABC Hướng dẫn giải Trang a) Theo định lý cơsin ta có BC = AB + AC - AB AC.cos A = 12 + 22 - 2.1.2.cos120�= Suy BC = Diện tích tam giác ABC SD ABC = Vậy BC = SD ABC = b) Ta có SD ABC = 1 (đvdt) AB AC.sin A = 1.2.sin120�= 2 (đvdt) 1 21 AH BC � AH BC = � AH = � AH = 2 Theo công thức trung tuyến, ta có BK = ( BA2 + BC ) - AC Vậy AH = = 2.( + 7) - = � BK = 21 BK = Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = , AC = BC = � � ,C a) Tính góc � A, B b) Tính độ dài đường trung tuyến diện tích ∆ABC c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp ∆ABC Hướng dẫn giải a) Theo định lý cơsin ta có AB + AC - BC cos A �޻=== AB AC + 52 - 2.4.5 BC + AB - AC cos B �޻=== AB.BC + - 52 2.6.4 16 CA2 + CB - AB cos C �޻=== 2CA.CB 52 + - 42 2.5.6 � A � B � C 83 ; 56 ; 41 � �56�, C � �41� Vậy Aˆ �83�, B b) Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Theo công thức trung tuyến, ta có ma = mb = mc = ( AB + AC ) - BC ( BA2 + BC ) - AC ( CA2 + CB ) - AB = = = ( 42 + 52 ) - ( + ) - 52 ( 52 + ) - 4 = 23 46 ; � ma = 2 = 79 79 ; � mb = = 53 106 � mc = 2 Trang Vậy ma = 46 79 106 , mb = , mc = 2 Nửa chu vi tam giác ABC p = AB + BC + CA + + 15 = = 2 Theo cơng thức Hê-rơng, ta có diện tích tam giác ABC SD ABC = p ( p - AB ) ( p - AC ) ( p - BC ) = 15 (đvdt) c) Gọi r, R bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác ABC Ta có SD ABC = AB AC.BC 15 4.5.6 � = �R= 4R 4R SD ABC = pr � 15 15 = r � r = 2 Ví dụ Cho tam giác ABC có BC = 12 , CA = 13 , trung tuyến AM = Khi diện tích tam giác ABC A SD ABC = 30 B SD ABC = 55 C SD ABC = 30 D SD ABC = 55 Hướng dẫn giải Theo cơng thức trung tuyến ta có MA2 = AB + AC BC � 4MA2 = AB + AC - BC 2 � 4.82 = AB + 2.132 - 12 � AB = 31 Mà AB > nên AB = 31 Nửa chu vi tam giác ABC p = AB + BC + CA 31 +13 +12 31 + 25 = = 2 Theo cơng thức Hê-rơng, ta có diện tích tam giác ABC SD ABC = p ( p - AB ) ( p - AC ) ( p - BC ) = 55 (đvdt) Chọn đáp án D Ví dụ Cho tam giác ABC có AC = , � A = 60�và diện tích SD ABC = 20 (đvdt) Khi độ dài đường cao AH tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) A AH = 5, B AH = 5, C AH = 5,9 D AH = Hướng dẫn giải Trang Ta có SD ABC = 20 � � AB = 40 � AC.sin A � = 20 � AB AC.sin A � = 40 AB AC.sin A = 10 Theo định lý cơsin ta có � � � 10 � 10 � � � � � BC = AB + AC - AB AC.cos A = � + .8.cos 60� � � � �3 � �3 � � � � � � - = 292 80 3 BC 7, 1 40 �5, Ta có SDABC = AH BC � 20 = AH BC � AH = 2 BC Chọn đáp áp B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Diện tích tam giác ABC có độ dài ba cạnh 5cm, 7cm 8cm A S = 140 cm2 B S = 10 cm2 C S = 20 cm2 D S = 60 13 cm2 � = 45�và AC = 10 Độ dài cạnh BC Câu Cho tam giác ABC có � A = 30�, B A 10 B C D � = 45�, C � = 75�và BC = Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam Câu Cho tam giác ABC có B giác ABC A B C D Câu Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm BC = cm Độ dài trung tuyến kẻ từ C tam giác ABC 57 cm uuu r uuur Câu Cho tam giác DEF có DE = 5a , EF = 7a DF = 9a Tích vơ hướng DE.DF A 74 cm 105a A B 65 cm 57a B C 61 cm 7a C D 155a D Câu Cho tam giác ABC với G trọng tâm AB = cm, BC = cm AC = cm Giá trị GA2 + GB + GC A 145 cm B 155 cm C 465 cm D 175 cm Câu Cho tam giác ABC có BC = , AC = AB độ dài đường cao AH = Độ dài cạnh AB Trang A AB = C AB = AB = B AB = 21 Câu Cho tam giác HIK có A KI = a D AB = AB = sin K = HI + IK = 45a Tính độ dài cạnh KI theo a sin H B KI = 6a C KI = a D KI = 3a Câu Cho tam giác ABC có chu vi 24, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Tính tổng S = sin A + sin B + sin C A S = 4,8 B S = 2, D S = 1, C S = Câu 10 Cho tam giác ABC vng A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC A 50cm C 15 105cm B 50 2cm D 75cm Bài tập nâng cao Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = , AC = Gọi M điểm cạnh BC thỏa BM = 2MC Độ dài đoạn thẳng AM A 17 B 29 - 12 C 265 D 35 Câu 12 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vng góc với có BC = , � = 30� Diện tích tam giác ABC BAC A 3 B C Câu 13 Cho tam giác ABC có BC = a , AB = c , D AC = b 3 diện tích S Biết S = ( a + b - c) ( a - b + c ) Tìm số đo góc A A � A = 30� B � A = 60� C � A = 90� D � A = 120� Câu 14 Cho tam giác ABC cân A có � A = 100� Gọi P điểm nằm tam giác ABC cho � = 20�và PCB � = 30� Biết AB = , độ dài cạnh BP PBC A 10 B C Câu 15 Cho tam giác ABC có BC = , AB = D 6- � ABC = 45� Gọi AM đường phân giác � ( M �BC ) Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác AMC BAC A R = - B R = ( ) 3- C R = D R = - Trang Dạng Ứng dụng vào việc đo đạc Bài toán Đo chiều cao vật cao Ví dụ mẫu Ví dụ Để đo chiều cao tòa nhà, người ta lấy hai điểm A D mặt đất có khoảng cách AD = 10 m thẳng hàng với chân B tòa nhà Người ta � = 35�, CAB � = 40� đo góc CDB Chiều cao BC tòa nhà A CB �40,3 m B CB �41,3 m C CB �42,3 m D CB �44,3 m Hướng dẫn giải � = CDA � + DCA � Ta có CAB � = CAB � - CDA � = 40� � DCA - 35�= 5� Áp dụng định lý sin vào tam giác CDA, ta có AD AC AD.sin D 10.sin 35� = � AC = = (m) sin C sin D sin C sin 5� Xét tam giác ABC vuông B, ta có BC = AC.sin A = 10.sin 35� sin 40��42,3 (m) sin 5� Vậy chiều cao tòa nhà khoảng 42,3m Chọn đáp án C Ví dụ Muốn đo chiều cao mà đến gốc cây, người ta lấy hai điểm M, N mặt đất có khoảng cách MN = m thẳng hàng với gốc để đặt hai giác kế Chân giác kế có chiều cao MA = NB = 1, m Lấy điểm D thân cho A, B, D thẳng hàng Người � = b = 41� � = a = 36�và CBD ta đo CAD Chiều cao A h �23,3 m B h �24,3 m C h �25,3 m D h �26,3 m Hướng dẫn giải Ta có b = a + � ACB � � ACB = b - a = 41� - 36�= 5� Trang Áp dụng định lý sin vào tam giác CAB, ta có AB BC AB.sin A 5.sin 36� = � BC = = (m) sin C sin A sin C sin 5� Xét tam giác BCD vng D, ta có sin B = CD 5.sin 36� � CD = CB.sin B = sin 41��22,1 (m) CB sin 5� Vậy chiều cao h �22,1+1, = 23,3 m Chọn đáp án A Ví dụ Trên tịa nhà có cột ăng-ten thẳng BC cao 4m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh B chân C cột góc 50 40 so với phương nằm ngang Chiều cao CH tòa nhà A CH �14,5 m B CH �15,5 m C CH �16,5 m D CH �17,5 m Hướng dẫn giải � = 90� Ta có � ABD = 90� - BAD - 50�= 40�, � = BAD � - CAD � = 50� BAC - 40�= 10� Áp dụng định lý sin vào tam giác CAB, ta có BC AC BC sin B 4.sin 40� = � AC = = (m) sin A sin B sin A sin10� Xét tam giác ACD vng D, ta có sin A = CD 4.sin 40� � CD = AC.sin A = sin 40��9,5 (m) AC sin10� CH = CD + DH �9,5 + = 16,5 (m) Vậy chiều cao tòa nhà khoảng 16,5m Chọn đáp án C Bài tốn Tính khoảng cách Phương pháp giải Ta chuyển khoảng cách cần tính việc tính độ dài cạnh tam giác áp dụng hệ thức lượng tam giác để giải Ví dụ mẫu Ví dụ Trên biển thuyền thả neo vị trí A người đứng vị trí K bờ biển muốn đo khoảng cách từ người đến thuyền, người chọn Trang 10 điểm H bờ với K đo KH = 380 m, � AKH = 50�, � AHK = 45� Khoảng cách KA từ người đến thuyền A KA �270 m B KA �280 m C KA �290 m D KA �300 m Hướng dẫn giải �- K � = 180� ∆AHK có � A = 180� - H - 45� - 50�= 85� Áp dụng định lý sin vào tam giác AHK, ta có AK HK HK sin H 380.sin 45� = � AK = = �270 (m) sin H sin A sin A sin 85� Vậy từ người đến thuyền khoảng 270m Chọn đáp án A Ví dụ Một tàu khách tàu hàng xuất phát từ vị trí bến tàu, thẳng theo hai hướng tạo với góc 55 Tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải lý giờ, tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý Sau giờ, khoảng cách hai tàu gần với đáp án nhất? A 37 hải lý B 47 hải lý C 57 hải lý D 67 hải lý Hướng dẫn giải Gọi bến tàu vị trí A Tàu khách tàu hàng sau vị trí C B Do tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải lý nên AB = 22.2 = 44 (hải lý) Do tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý nên AC = 35.2 = 70 (hải lý) Áp dụng định lý côsin vào ∆ABC, ta có BC = AB + AC - AB AC.cos A = 442 + 702 - 2.44.70.cos 55��3303 ޻ BC 57 Vậy sau giờ, hai tàu cách khoảng 57 hải lý Chọn đáp án C Bài tập tự luyện dạng Trang 11 Bài tập Câu Để đo khoảng cách từ vị trí N bờ sơng đến gốc A cù lao sông, người ta chọn điểm M bờ với N Biết ta đo MN = 32 m, � , � AMN = 30� ANM = 42� Khoảng cách từ N đến gốc A A AN �14,82 m B AN �15,82 m C AN �16,82 m D AN �17,82 m Câu Từ đỉnh tháp chiều cao CD = 80 m, người ta nhìn thấy hai điểm A B mặt đất góc nhìn 60 45 (như hình vẽ) Biết ba điểm A, B, C thẳng hàng Tính khoảng cách AB A AB = 160 ( ) - m B AB = 160 m C AB = 160 m D AB = 160 ( ) +1 m Câu Khoảng cách từ A đến C đo trực tiếp phải qua đầm lầy nên người ta làm sau: Xác định điểm B có khoảng cách AB = 15 m đo góc � ACB = 42� Biết BC = m, tính khoảng cách AC A AC �18, 45 m B AC �19, 45 m C AC �20, 45 m D AC �21, 45 m Câu Một cột điện cao 20m đóng triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang góc 17 (quan sát hình vẽ bên) Người ta nối dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc, biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc 72m Chiều dài AD đoạn cáp A AD �83, m B AD �84, m C AD �85, m D AD �86, m Câu Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A, thẳng theo hai hướng hợp với góc 60 Tàu thứ chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h Hỏi sau hai tàu cách ki-lômét? A 5200km B 20 13 km C 10 13 km D 1300km Bài tập nâng cao Câu Một ô tô muốn từ A đến C A C núi cao nên ô tô phải thành hai đoạn từ A đến B từ B đến C, đoạn đường tạo thành tam giác ABC có AB = 15 km, BC = 20 km � ABC = 120� Giả sử tơ chạy 5km tốn lít xăng Nếu người ta làm đoạn đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ A đến C Biết giá lít xăng có giá 20000 Trang 12 đồng, tơ chạy đường tiết kiệm số tiền so với chạy đường cũ A 92000 đồng B 140000 đồng C 18400 đồng D 121600 đồng Dạng Chứng minh hệ thức mối quan hệ Phương pháp giải Để chứng minh hệ thức, ta biến đổi vế thành vế kia, biến đổi hai vế biểu thức trung gian chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với hệ thức biết Khi chứng minh cần khai thác giả thiết kết luận để tìm hệ thức thích hợp làm trung gian cho q trình biến đổi Ví dụ: Gọi S diện tích R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh S = R sin A.sin B.sin C Hướng dẫn giải Trong hệ thức cần chứng minh có xuất S, R giá trị sin góc, ta khai thác cơng thức có liên quan đến giá trị Ta có VT = S = Mặt khác abc 4R a b c = = = 2R sin A sin B sin C � sin A = a b c ; sin B = ; sin C = 2R 2R 2R VP = R sin A.sin B.sin C = 2R a b c abc = 2R 2R 2R 4R Vậy S = R sin A.sin B.sin C Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a , CA = b Khẳng định sau đúng? A cos A cos B cos C a + b + c + + = a b c 2abc B cos A cos B cos C a - b + c + + = a b c 2abc C cos A cos B cos C a + b - c + + = a b c 2abc D cos A cos B cos C a - b - c + + = a b c 2abc Hướng dẫn giải Áp dụng định lý côsin tam giác ABC, ta có cos A cos B cos C b + c - a a + c - b a + b - c + + = + + a b c 2abc 2abc 2abc Trang 13 Vậy = b + c - a + a + c2 - b2 + a + b - c 2abc = a + b2 + c 2abc cos A cos B cos C a + b + c (điều phải chứng minh) + + = a b c 2abc Chọn đáp án A Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi a = BC , b = CA , c = AB ma , mb , mc đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Chứng minh 2 2 2 a) ( ma + mb + mc ) = 3( a + b + c ) 2 b) GA + GB + GC = ( a +b2 + c2 ) Hướng dẫn giải a) Theo công thức trung tuyến ta có ma = b2 + c a a + c2 b2 a + b2 c ; mb = ; mc = 4 2 Suy ma + mb + mc = ( a +b2 + c2 ) 2 2 2 Vậy ( ma + mb + mc ) = 3( a + b + c ) (điều phải chứng minh) 2 2 2 2 b) Ta có GA = ma � GA = ma ; GB = mb � GB = mb ; GC = mc � GC = mc 9 4 GA2 + GB + GC = ma + mb + mc 9 = ( ma + mb + mc ) = ( a +b2 + c ) 2 Vậy GA + GB + GC = ( a +b2 + c ) (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a , AC = b R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đẳng thức sau đúng? A a b c = = =R sin A sin B sin C B a b c = = = 2R sin A sin B sin C C a b c = = = sin A sin B sin C R D a b c = = = sin A sin B sin C R Câu Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b BC = a Trung tuyến AM có độ dài Trang 14 2b + 2c - a A AM = b + c - a B AM = C AM = 3a - 2b - 2c D AM = 2b + 2c - a Câu Cho tam giác ABC có sin C = sin A + sin B Tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác ABC vuông A B Tam giác ABC vuông B C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC có diện tích S = R sin B.sin C , với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm số đo góc A A � A = 30� B � A = 45� C � A = 60� D � A = 90� Câu Cho tam giác ABC có , hb , hc đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Biết 2ha = hb + hc Khẳng định sau đúng? A 1 = + sin A sin B sin C B 2sin A = sin B + sin C C sin A = 2sin B + 2sin C D 1 = sin A sin B sin C Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỷ số A + B 2+ R r C 2- D 1+ Câu Cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm hai đường chéo AC, BD Khẳng định khẳng định sau? A AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + 4EF B AB + BC + CD + DA2 = AC + BD C AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + EF D AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + EF Trang 15 ĐÁP ÁN Dạng Giải tam giác Đáp án trắc nghiệm 1–B –A 3–C –A 5–B 6–C 11 – C 12 – A 13 – C 14 – B 15 – D 7–C 8–B 9–B 10 – D Hướng dẫn giải Câu 11 AB = Ta có BC = AB + AC = 32 + 82 = 73 ; cos B = BC 73 2 73 Do BM = 2MC nên BM = BC = 3 Áp dụng định lý côsin tam giác ABM ta có AM = BA2 + BM - BA.BM cos B � 73 � 73 � � = +� 2.3 � � � � � 73 �3 � = 265 Vậy AM = 265 Chọn đáp án C Câu 12 Đặt AB = x , AC = y ( x, y > 0) Gọi { G} = CN �BM ; { I } = AG �BC Khi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm BC Tam giác BGC vuông G nên IG = IB = IC = BC = 2 Suy AI = 3IG = Theo cơng thức trung tuyến, ta có AI = AB + AC BC 81 x + y � = - � x2 + y = 45 (1) 4 Theo định lý cơsin, ta có BC = AB + AC - AB AC.cos A � = x + y - xy.cos 30� (2) Từ (1) (2) suy xy = 12 Diện tích tam giác ABC SD ABC = 1 AB AC.sin A = xy.sin 30�= 3 2 Vậy SD ABC = 3 Chọn đáp án A Trang 16 Câu 13 1 2 a - ( b - c) � = ( a - b - c + 2bc) Ta có S = ( a + b - c ) ( a - b + c ) = � � � � � 4 b + c - a ) bc � ( � 1� � � = � bc = bc.( 1- cos A) � � � 2� 2bc � � � � 1 2 Mặt khác S = bc sin A � bc.( 1- cos A) = bc sin A � sin A =1- cos A � sin A = ( 1- cos A) 2 Do sin A + cos A = nên 1- cos A = 1- 2cos A + cos A � cos A - 2cos A = � cos A = � cos A ( cos A - 1) = � � � cos A = � � = 90� Do 0�< � A ACB � Do BC > AB nên BAC Trang 17 � = 120�� CAM � = 60� Suy BAC Theo tính chất đường phân giác ta có �3 � Mà BM + MC = BC nên � � � � �3BM AB 3- � = = � BM =� � � MC AC � � 1� � MC + MC = BC � MC = � � � Áp dụng định lý sin vào tam giác AMC, ta có � 1� � MC � � � MC MC 3- = 2R � R = = = - � � 2sin 60� sin CAM 2sin CAM Chọn đáp án D Dạng Ứng dụng vào việc đo đạc Đáp án trắc nghiệm 1–C –A 3–B –A 5–B 6–C Hướng dẫn giải Câu Quảng đường ô tô từ A đến C qua B S1 = AB + BC = 15 + 20 = 35 (km) Áp dụng định lý cơsin vào tam giác ABC, ta có AC = AB + BC - AB.BC.cos � ABC = 152 + 202 - 2.15.20.cos120�= 925 � AC = 37 (km) Nếu theo đường hầm quãng đường tơ phải S = S1 - AC = 35 - 37 �4, (km) Ơ tơ tiết kiệm số tiền 4, : 5.20000 =18400 (đồng) Chọn đáp án C Dạng Chứng minh hệ thức mối quan hệ Đáp án trắc nghiệm 1–B 2–B 3–C 4–D 5–A 6–A –A Hướng dẫn giải Bài tập nâng cao Câu Đặt AB = c Do tam giác ABC vuông cân A nên AC = c , BC = c Nửa chu vi tam giác ABC p = Diện tích tam giác ABC SD ABC Ta có SD ABC = AB + AC + BC c + c + c c = =c+ 2 c2 = AB AC = 2 c2 � c 2� c � AB AC.BC c2 c2 c S � � = pr � = c + r�r= � ; � = �R= � D ABC � � � � 2+ � 4R 4R Trang 18 R Vậy = r c 2 =1+ c 2+ Chọn đáp án A Câu Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có AB + AD BD CB + CD DB 2 ; CE = ; AE = 4 AE + CE AC EF = � EF = ( AE + CE ) - AC 2 BD BD 2 = AB + AD + BC + CD - AC 2 2 � AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + EF Chọn đáp án A Trang 19 ... giác ABC có sin C = sin A + sin B Tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác ABC vng A B Tam giác ABC vuông B C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC có diện tích S = R sin B.sin... BC 2 � 4.82 = AB + 2. 132 - 12 � AB = 31 Mà AB > nên AB = 31 Nửa chu vi tam giác ABC p = AB + BC + CA 31 + 13 +12 31 + 25 = = 2 Theo cơng thức Hê-rơng, ta có diện tích tam giác ABC SD ABC = p... 16,5m Chọn đáp án C Bài tốn Tính khoảng cách Phương pháp giải Ta chuyển khoảng cách cần tính việc tính độ dài cạnh tam giác áp dụng hệ thức lượng tam giác để giải Ví dụ mẫu Ví dụ Trên biển thuyền