Toán 10 Bài 3 dấu của NHỊ THỨC bậc NHẤT

BÀI DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm nhị thức bậc nhất, định lí dấu nhị thức bậc + Nắm bất phương trình dạng tích, thương nhị thức bậc + Nắm bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối nhị thức bậc  Kĩ + Biết cách lập bảng xét dấu, thành thạo bước xét dấu nhị thức bậc + Biết cách giải bất phương trình dạng tích, thương chứa dấu giá trị tuyệt đối nhị thức bậc + Thành thạo việc biểu diễn tập nghiệm bất phương trình dạng tích, thương chứa dấu giá trị tuyệt đối nhị thức bậc ẩn trục số Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí dấu nhị thức bậc Chứng minh - Nhị thức bậc x biểu thức dạng Ta có f ( x) = ax + b = a  x + b ÷ a  f ( x) = ax + b a, b hai số cho a ≠ , b b - Nhị thức f ( x) = ax + b có giá trị dấu với hệ số a • Với x > − a ⇒ x + a > nên f(x) dấu  b  x lấy giá trị khoảng  − ; +∞ ÷, trái dấu  a  b  với hệ số a x lấy giá trị khoảng  −∞; − ÷ a  với hệ số a • Với x < − b b ⇒ x + < nên f(x) trái dấu với a a hệ số a Biểu diễn trục số: - Minh họa đồ thị Xét dấu tích, thương nhị thức bậc - Giả sử f(x) tích nhị thức bậc Áp dụng định lí dấu nhị thức bậc xét dấu nhân tử Lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức bậc có mặt f(x) ta suy dấu f(x) Trường hợp f(x) thương xét tương tự (chú ý điều kiện mẫu số khác 0) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu thức - Để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta lập bảng xét dấu xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương, giá trị âm Từ đó, rút nghiệm bất phương trình Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Bằng cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối học, ta dễ dàng giải bất phương trình f ( x) < g ( x ) f ( x) > g ( x ) sau:  g ( x) ≥ f ( x) < g ( x ) ⇔  − g ( x ) < f ( x) < g ( x) Trang  g ( x) <   g ( x) ≥ f ( x) > g ( x ) ⇔      f ( x ) < − g ( x)     f ( x ) > g ( x) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương nhị thức bậc Phương pháp giải Xét dấu nhị thức bậc f ( x) = ax + b Ví dụ Xét dấu nhị thức f ( x) = x − - Tìm nghiệm phương trình ax + b = Hướng dẫn giải - Xác định dấu hệ số a, sau sử dụng định lí dấu nhị thức bậc để xét dấu Ta có x − = ⇔ x = Hệ số a = > Bảng xét dấu 1  Vậy f ( x) > x ∈  ; +∞ ÷; 3  1  f ( x) < x ∈  −∞; ÷ 3  Xét dấu tích, thương nhị thức bậc Ví dụ Xét dấu biểu thức f ( x) = (2 x + 1)(2 − x) - Ta lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức Hướng dẫn giải bậc tích (thương) đó, từ suy dấu 2x +1 = ⇔ x = − tích (thương) 2− x =0 ⇔ x = Bảng xét dấu:   Vậy f ( x) > x ∈  − ; ÷;   1  f ( x) < x ∈  −∞; − ÷hoặc x ∈ ( 2; +∞ ) 2  Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Xét dấu nhị thức sau a) f ( x) = − x b) f ( x) = (m + 1) x + 3m Hướng dẫn giải a) Ta có − x = ⇔ x = Bảng xét dấu: 3 3   Vậy f ( x) < x ∈  ; +∞ ÷; f ( x) > x ∈  −∞; ÷ 4 4   b) Ta có (m + 1) x + 3m = ⇔ x = − 3m (vì m + > với ∀m ∈ ¡ ) m2 + Bảng xét dấu: 3m   3m   Vậy f ( x ) > x ∈  − ; +∞ ÷ ; f ( x) < x ∈  −∞; − ÷ m +1   m +1   Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = x − Tất giá tị x để f ( x ) ≤ A x ∈ [ 3; +∞ ) B x ∈ ( 3; +∞ ) C x ∈ ( −∞;3) D x ∈ ( −∞;3] Hướng dẫn giải Ta có x − = ⇔ x = Ta có: Vậy f ( x ) ≤ x ∈ ( −∞;3] Chọn D Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = ( x + 2)(5 − x ) Tất giá trị x thỏa mãn f ( x) ≤ A x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 5; +∞ ) B x ∈ ( 5; +∞ ) C x ∈ ( −2;5 ) D x ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 5; +∞ ) Hướng dẫn giải Trang  x = −2 Ta có f ( x) = ⇔ ( x + 2)(5 − x) = ⇔  x = Bảng xét dấu: Vậy f ( x ) ≤ x ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 5; +∞ ) Chọn D Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = x ( x − 3)(4 − x ) Tất giá trị x thỏa mãn f ( x) < A x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3; ) B x ∈ ( 0; ) C x ∈ ( 0;3) ∪ ( 4; +∞ ) D x ∈ ( 3; ) Hướng dẫn giải x =  Ta có f ( x) = ⇔ x ( x − 3)(4 − x) = ⇔  x =  x = Bảng xét dấu f ( x) : Vậy f ( x ) < ⇔ x ∈ ( 0;3) ∪ ( 4; +∞ ) Chọn C Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = ( x − 1)( x3 − 8) Tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) ≥ A x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 2; +∞ ) B x ∈ [ 1; 2] C x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) D x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) Hướng dẫn giải Ta có f ( x) = ( x − 1) ( x − ) ( x + x + ) Vì x + x + = ( x + 1) + > 0, ∀x ∈ ¡ nên f ( x) = ⇔ x = x = 2 Bảng xét dấu Trang Vậy f ( x ) ≥ x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) Chọn A Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = ( x + 1) ( − x ) x−2 Tất giá trị x thỏa mãn f ( x) > A x ∈ ( −1; ) B x ∈ ( 3; +∞ ) C x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) D x ∈ ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải  x = −1 Điều kiện: x ≠ Ta có f ( x ) = ⇔ ( x + 1) ( − x ) = ⇔  x = Bảng xét dấu: Vậy f ( x ) > x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2;3) Chọn C Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = 3x − Tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) ≤ x2 − x A x ∈ [ 0;1] ∪ [ 2; +∞ ) B x ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ ) C x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 1; 2] D x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; 2] Hướng dẫn giải x ≠ Điều kiện:  x ≠ Ta có f ( x) = ⇔ 3x − = ⇔ x = Bảng xét dấu: Trang Vậy f ( x ) ≤ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; 2] Chọn D Ví dụ Cho biểu thức f ( x ) = − + Tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) > x +1 − x A x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0; ) B x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) C x ∈ ( −∞; ) D x ∈ ( −1; +∞ ) Hướng dẫn giải  x ≠ −1 Điều kiện  x ≠ Ta có f ( x) = −2 + x + x + 3x ⇔ f ( x) = ( x + 1)(2 − x) ( x + 1)(2 − x) Do f ( x) = ⇔ x = Bảng xét dấu f ( x ) Vậy f ( x ) > x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 0; ) Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho biểu thức f ( x) = x − Tập hợp tất giá trị x để f ( x ) ≥ A [ 5; +∞ ) 1  B  ; +∞ ÷ 5  C ( −∞;5] D ( 5; +∞ ) Câu Cho biểu thức f ( x) = ( x + 1)(3 − x) Các giá trị x thỏa mãn f ( x) ≤ A x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) B x ∈ (3; +∞) Trang D x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) C x ∈ ( −1;3) Câu Cho biểu thức f ( x) = A x ∈ ( −∞; 4] Các giá trị x để f ( x) ≤ 2x − B x ∈ ( −∞; ) Câu Cho biểu thức f ( x) = C x ∈ ( 4; +∞ ) x( x − 3) Các giá trị x thỏa mãn f ( x ) ≥ ( x − 9)(1 − x) A x ∈ ( −∞;0] ∪ ( 3; +∞ ) B x ∈ ( −∞;0] ∪ ( 1;9 ) C x ∈ [ 0;1) ∪ [ 3;9 ) D x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1;9 ) Câu Cho biểu thức f ( x) = 3x − Tất giá trị x thỏa mãn f ( x) ≤ x2 − 8x A x ∈ ( 0;3] ∪ ( 8; +∞ ) B x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 3;8 ) C x ∈ ( −∞;0 ) ∪ [ 3;8 ) D x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 3;8 ) Câu Tìm x để D x ∈ [ 4; +∞ ) 3− x ≥ 2x +   A x ∈  − ;3 ÷   Câu Cho f ( x ) =   B x ∈  − ;3     C x ∈  − ;3     D x ∈  − ;3 ÷   − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) ≥ là: 2− x A S = ( −1; ) B S = [ −1; ) C S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) D S = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) Câu Cho biểu thức f ( x ) = −2 − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) > 3x + − x 1  A x ∈  −5; − ÷∪ [ 2; +∞ ) 3  1  B x ∈  −5; − ÷∪ ( 2; +∞ ) 3    C x ∈ ( −∞; −5] ∪  − ; ÷     D x ∈ ( −∞; −5 ) ∪  − ; ÷   Câu Cho f ( x ) = − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) > x −1 x +1 A S = ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) B S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1) C S = ( −3; −1) ∪ ( 1; +∞ ) D S = ( −3;1) ∪ ( −1; +∞ ) Câu 10 Cho f ( x ) = − Tập hợp tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) ≥ − x 2x +1 1    A S =  −∞; − ÷∪  ;1÷  11    2 B S =  − ; ÷∪ ( 1; +∞ )  11  1    C S =  −∞; −  ∪  ;1÷  11   1    D S =  −∞; − ÷∪  ;1÷   11   Trang Bài tập nâng cao Câu 11 Tìm tập hợp tất giá trị x thỏa mãn 2x − > x +1 x −1  1 A S =  −1;  ∪ ( 1; +∞ ) 3  B S = ( −∞; −1] ∪ ( 1; +∞ )  1 C S =  −1; ÷∪ ( 1; +∞ ) 3  1  D S = ( −∞; −1) ∪  ;1÷ 3  ≥ Câu 12 Tất giá trị x thỏa mãn + x x+4 x+3 A S = ( −∞; −12] ∪ ( −4;3) ∪ ( 0; +∞ ) B S = [ −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) C S = ( −∞; −12 ) ∪ [ −4;3] ∪ ( 0; +∞ ) D S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) Câu 13 Tìm tập hợp tất giá trị x thỏa mãn x + ≥ ( x − 1) A S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ [ 1;3] B S = [ −1;0 ) ∪ ( −3; +∞ ) C S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ ( 1;3) D S = ( −1;0] ∪ [ 3; +∞ ) Câu 14 Cho f ( x ) = x2 + x − − Tìm tập hợp tất giá trị x thỏa mãn f ( x ) < x2 − A S = ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; ) B S = ( −2;1] ∪ ( 2; +∞ ) C S = [ −2;1) ∪ ( + ∞ ) D S = ( −2;1] ∪ [ 2; +∞ ) Dạng Bất phương trình tích Phương pháp giải Bất phương trình có dạng P ( x ) Q ( x ) > , Ví dụ Giải bất phương trình ( x + 1) ( − x ) > P ( x ) , Q ( x ) nhị thức bậc Cách giải: Ta lập bảng xét dấu P ( x ) , Q ( x ) từ suy tập nghiệm bất phương trình Hướng dẫn giải Đặt f ( x ) = ( x + 1) ( − x )  x = −1 Ta có f ( x ) = ⇔   x = Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > x ∈ ( −1; ) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −1; ) Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình ( x + ) ( − x ) > có dạng ( a; b ) Khi b − a A – B C D Hướng dẫn giải  x = −2 Đặt f ( x ) = ( x + ) ( − x ) Ta có f ( x ) = ⇔  x = Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > x ∈ ( −2; ) Khi b = 2; a = −2 b − a = Chọn B Ví dụ Tập nghiệm S = ( −4;5 ) tập nghiệm bất phương trình sau đây? A ( x + ) ( x + ) < B ( x + ) ( x − 25 ) < C ( x + ) ( x − 25 ) > D ( x − ) ( x − ) < Hướng dẫn giải Ta có x + = ⇔ x = −4; x + = ⇔ x = −5; x − = ⇔ x = 4;5 x − 25 = ⇔ x = Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu ta thấy tập nghiệm S = ( −4;5 ) tập nghiệm bất phương trình ( x + ) ( x − 25 ) < Chọn B Trang 10 Ví dụ Bất phương trình ≥ có tập nghiệm − x 2x +1 1    A S =  −∞; − ÷∪  ;1÷  11    2 B S =  − ; ÷∪ ( 1; +∞ )  11  1    C S =  −∞; −  ∪  ;1÷  11   1    D S =  −∞; − ÷∪  ;1÷   11   Hướng dẫn giải  x ≠ − Điều kiện   x ≠ Ta có 11x − ≥ ⇔ ≥ − x 2x +1 ( − x ) ( x + 1) Đặt f ( x ) = 11x − 2 Ta có f ( x ) = ⇔ x = ( − x ) ( x + 1) 11 Bảng xét dấu 1    Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  −∞; − ÷∪  ;1÷  11   Chọn A Ví dụ Bất phương trình + < có tập nghiệm x x+4 x+3 A S = ( −∞; −12 ) ∪ ( −4;3) ∪ ( 0; +∞ ) B S = [ −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) C S = ( −∞; −12 ) ∪ [ −4;3] ∪ ( 0; +∞ ) D S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) Hướng dẫn giải x ≠  Điều kiện  x ≠ −4  x ≠ −3  x + 12 < ⇔ < Ta có + x x+4 x+3 x ( x + 3) ( x + ) Trang 18 Đặt f ( x ) = x + 12 Ta có f ( x ) = ⇔ x = −12 x ( x + 3) ( x + ) Bảng xét dấu Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) Chọn D 1 Ví dụ Bất phương trình x + < có tập nghiệm S ( x − 1) A S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ [ 1;3] B S = [ −1;0 ) ∪ ( −3; +∞ ) C S = ( −∞; −1) ∪ ( 0;1) ∪ ( 1;3) D S = ( −1;0] ∪ ( −3; +∞ ) Hướng dẫn giải  x ≠ −1 Điều kiện  x ≠ x ≠ x − 1) − ( x + 1) x ( x − 3) ( 1  < ⇔ x +1 x −1 Câu Bất phương trình 1 < có tập nghiệm S x + x −3 A S = ( −3; −2 ) B S = ( −3; +∞ ) C S = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) D S = ( −2; +∞ ) Bài tập nâng cao Câu Bất phương trình x+4 4x − < có nghiệm ngun âm lớn x − x + 3x − x A x = B x = C x = −2 D x = −1 Dạng 4: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải  g ( x ) ≥ Dạng 1: f ( x ) < g ( x ) ⇔  − g ( x ) < f ( x ) < g ( x ) Ví dụ 1: Giải bất phương tình x + < g ( x) <   g ( x ) ≥ Dạng 2: f ( x ) > g ( x ) ⇔   f x < − g x  ( ) ( )    f ( x ) > g ( x )    Ta có Hướng dẫn giải x + < ⇔ −3 < x + < ⇔ −5 < x < ⇔ − < x < 3 Lưu ý: Nếu bất phương trình có chứa nhiều dấu giá Vậy nghiệm bất phương trình − < x < 3 trị tuyệt đối ta chia khoảng để khử dấu giá Ví dụ 2: Giải bất phương trình − x ≥ trị tuyệt đối Hướng dẫn giải Ta có 6 − x ≥  −4 x ≥ −4 x ≤1 − 4x ≥ ⇔  ⇔ ⇔ 6 − x ≤ −2  −4 x ≤ −8  x ≥ Vậy nghiệm bất phương trình x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 2; +∞ ) Ví dụ mẫu Ví dụ Bất phương trình − x > có tập nghiệm Trang 21 1  A  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ ) 3  B ( 1; +∞ ) 1  C  −∞; − ÷ 3  1  D  −∞; ÷ 3  Hướng dẫn giải  x  −1 > x  ⇔ ⇔ Ta có − x > ⇔   1 − x < −2 3 x > x >1 1  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ ) 3  Chọn A Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình x − ≥ có dạng S = ( −∞;a ] ∪ [ b; +∞ ) Giá trị tổng P = 5a + b A B C D Hướng dẫn giải x ≥ 5 x − ≥ 5 x ≥ 10 ⇔ ⇔ Cách x − ≥ ⇔  x ≤ − 5 x − ≤ −6  x ≤ −2   5 x − x ≥ Cách Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có x − =  4 − x x <  Do +) Với x ≥ , ta có x − ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ (thỏa mãn) +) Với x < , ta có x − ≥ ⇔ −5 x + ≥ ⇔ x ≤ −2 ⇔ x ≤ − (thỏa mãn) 5 2  Khi tập nghiệm bất phương trình S =  −∞; −  ∪ [ 2; +∞ ) 5   a = − Suy  b = Vậy 5a + b = Chọn C Ví dụ Bất phương trình x − > x + có tập nghiệm Trang 22 1  A  −7; ÷ 3  1  B  7; − ÷ 3  1  C  −7; − ÷ 3    D ( −∞; −7 ) ∪  − ; +∞ ÷   Hướng dẫn giải Ta có x − > x + ⇔ ( x − 3) − ( x + ) > 2 ⇔ ( x − − 2x − 4) ( x − + 2x + 4) > ⇔ ( − x − ) ( x + 1) > ⇔ −7 < x < − 1  Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  −7; − ÷ 3  Chọn C Ví dụ Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + 12 ≥ x − A B 19 C 11 D 16 Hướng dẫn giải +) Với x − ≥ ⇔ x ≥ , ta có x + 12 ≥ x − ⇔ x + 12 ≥ x − ⇔ x ≤ 16 Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta tập nghiệm S1 = [ 2;16] +) Với x − < ⇔ x < , ta có x + 12 ≥ −2 x + ⇔ x ≥ −8 ⇔ x ≥ −   Kết hợp với điều kiện x < , ta tập nghiệm S =  − ; ÷     Do đó, tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S =  − ;16    Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình 19 Chọn B Ví dụ Bất phương trình x − ≥ x − có tập nghiệm 4  A  −∞;  3  1 4 B  ;  2 3 1  C  ; +∞ ÷ 2  D ¡ Hướng dẫn giải +) Với x ≥ Bất phương trình trở thành x − ≥ x − ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Trang 23 4  Do bất phương trình có nghiệm x ∈  ; +∞ ÷ 3  +) Với x < Bất phương trình trở thành − x ≥ x − ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ 4  Dó đó, bất phương trình có nghiệm x ∈  −∞; ÷ 3  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ¡ Chọn D Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình x −1 < x+2   A S =  − ; +∞ ÷     B S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷   1  C S =  −∞; − ÷∪ ( 2; +∞ ) 2  1  D S =  −2; − ÷ 2  Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≠ −2 +) Với x − ≥ ⇔ x ≥ , ta có x −1 x −1 −2 x+2 x+2 x+2 Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta tập nghiệm S1 = [ 1; +∞ )  x −1 x>− 2x +1  0⇔ +) Với x − < ⇔ x < , ta có  x+2 x+2  x < −2   Kết hợp với điều kiện x < , ta tập nghiệm S = ( −∞; −2 ) ∪  − ;1÷     Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞; −2 ) ∪  − ; +∞ ÷   Chọn B Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình x+2 −x ≤ x A ( 0;1] B ( −∞; −2 ) ∪ ( 1; +∞ ) C ( −∞;0 ) ∪ [ 1; +∞ ) D [ 0;1] Hướng dẫn giải Điều kiện x ≠ +) Với x + ≥ ⇔ x ≥ −2 , ta có x+2 −x x ≥1 x+2− x 2(1 − x) ≤2⇔ ≤2⇔ ≤0⇔ x x x x < Trang 24 Kết hợp với điều kiện x ≥ −2 , ta tập nghiệm S1 = [ −2;0 ) ∪ [ 1; +∞ ) +) Với x + < ⇔ x < −2 , ta có x+2 −x −x − − x 2x + ≤2⇔ ≤2⇔− ≤2 x x x x > x +1 x +1 2x + ⇔− ≤ ⇔ 1+ ≥0⇔ ≥0⇔  x ≤ − x x x  Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta tập nghiệm S = ( −∞; −2 ) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S2 = ( −∞;0 ) ∪ [ 1; +∞ ) Chọn C Ví dụ Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x + + −2 x + ≤ x + A B C D Hướng dẫn giải Xét bất phương trình x + + −2 x + ≤ x + ( *) Bảng xét dấu +) Với x < −2 , ( *) ⇔ ( − x − ) + ( −2 x + 1) ≤ x + ⇔ −2 ≤ x ⇔ x ≥ − Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta tập nghiệm S1 = ∅ +) Với −2 ≤ x < , ( *) ⇔ x + − x + ≤ x + ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với điều kiện −2 ≤ x < +) Với x ≥ , ta tập nghiệm S = ∅ , ( *) ⇔ x + − ( −2 x + 1) ≤ x + ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta tập nghiệm S3 = ∅ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S ∪ S3 = ∅ Chọn D Ví dụ Bất phương trình x + − x − < x − có tập nghiệm Trang 25 A ( −2; +∞ )   B  − ; +∞ ÷     C  − ; +∞ ÷   9  D  ; +∞ ÷ 2  Hướng dẫn giải Xét bất phương trình x + − x − < x − ( *) Lập bảng xét dấu +) Với x < −2 , ( *) ⇔ − x − + x − < x − 3 ⇔ x>− 2 Kết hợp với điều kiện x < −2 , ta tập nghiệm S1 = ∅ +) Với −2 ≤ x < , ( *) ⇔ x + + x − < x − ⇔ x 2 9  Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta tập nghiệm S3 =  ; +∞ ÷ 2  9  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =  ; +∞ ÷ 2  Chọn D Ví dụ 10 Số nghiệm nguyên bất phương trình 2−3 x ≤ 1+ x A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện x ≠ −1 +) Với x ≥ , ta có 2−3 x − 3x − 3x ≤1⇔ ≤ ⇔ −1 ≤ ≤1⇔ ≤ x ≤ 1+ x x +1 x +1 1 3 Kết hợp với điều kiện x ≥ , ta tập nghiệm S1 =  ;  4 2 Trang 26 +) Với x < , ta có 2−3 x + 3x + 3x ≤1⇔ ≤ ⇔ −1 ≤ ≤1⇔ − ≤ x ≤ − 1+ x x +1 x +1  1 Kết hợp với điều kiện x < , ta tập nghiệm S =  − ; −   2 1 3  1 Do đó, tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S2 =  ;  ∪  − ; −  4 2  2 Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên x = Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Tất giá trị x thỏa mãn x − < A −4 < x < B < x < C x < D < x < C ≤ x ≤ D −4 ≤ x ≤ Câu Nghiệm bất phương trình x − ≤ A ≤ x ≤ B −4 ≤ x ≤ Câu Bất phương trình x − ≤ 10 có nghiệm 14  A ( −∞; −2] ∪  ; +∞ ÷ 3   14  B  −2;  3  C ( −∞; −2] 14  D  ; +∞ ÷ 3  Câu Bất phương trình − x > có tập nghiệm 5  A ( −∞; −1) ∪  ; +∞ ÷ 3  5  B  ; +∞ ÷ 3  C ( −∞; −1) 5  D  −∞; ÷ 3  Bài tập nâng cao Câu Tập nghiệm bất phương trình A khoảng −5 10 < x+2 x −1 B hai khoảng Câu Số nghiệm nguyên bất phương trình A B C ba khoảng D toàn trục số 2018 − x ≤ −4 x + x − 2020 2019 + x C D PHẦN ĐÁP ÁN Dạng Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương nhị thức bậc –A 2–D 3–B 4–C 5–C 11 – D 12 – A 13 – D 14 – A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 6–C 7–A 8–B 9–C 10 – A Trang 27 Chọn 11 Chọn D  x ≠ −1 Điều kiện  x ≠ Ta có 2x 1 − 3x − >2⇔ > x +1 x −1 ( x − 1) ( x + 1) Đặt f ( x ) = − 3x Ta có f ( x ) = ⇔ x = ( x − 1) ( x + 1) Bảng xét dấu 1  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞; −1) ∪  ;1÷ 3  Câu 12 Chọn A x ≠  Điều kiện  x ≠ −3  x ≠ −4  x + 12 ≥ ⇔ ≥ Ta có + x x+4 x+3 x ( x + 3) ( x + ) Đặt f ( x ) = x + 12 Ta có f ( x ) = ⇔ x = −12 x ( x + 3) ( x + ) Bảng xét dấu Vậy x ∈ ( −12; −4 ) ∪ ( −3;0 ) thỏa mãn đề Câu 13 Chọn D Trang 28  x ≠ −1 Điều kiện  x ≠ ( x − 1) − ( x + 1) ≥ ⇔ x ( x − 3) ≥ ⇒ x ( x − 3) ≥ 1 ≥ ⇔ Ta có 2 x + ( x − 1) x +1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) Đặt f ( x ) = x = x ( x − 3) Ta có f ( x ) = ⇔  x +1 x = Bảng xét dấu Vậy x ∈ ( −1;0] ∪ [ 3; +∞ ) thỏa mãn đề Câu 14 Chọn A  x ≠ −2 Điều kiện  x ≠ f ( x) = x +1 f ( x ) = ⇔ x = −1 ( x − ) ( x + ) Ta có Bảng xét dấu Vậy x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1; ) f ( x ) < Dạng Bất phương trình tích 1–C 2–B 3–D 4–B 5–B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 6–B 7–C 8–B 9–D 10 – A Câu Chọn C Đặt f ( x ) = x ( x − 3) ( x + ) Ta có x = 0; x − = ⇔ x = 3; x + = ⇔ x = −2 Ta có bảng xét dấu Trang 29 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > ⇔ x ∈ ( −2;0 ) ∪ ( 3; +∞ ) Vậy nghiệm nguyên dương nhỏ thỏa mãn bất phương trình Câu Chọn B Ta có x + = ⇔ x = −1; x − = ⇔ x = 3; − x = ⇔ x = 4; x − = ⇔ x = Ta có bảng xét dấu Từ bảng xét dấu, ta thấy S = ( −∞;1) ∪ ( 3; ) tập nghiệm bất phương trình ( x − 1) ( x − 3) ( − x ) > Câu Chọn D Đặt f ( x ) = ( − x ) ( x + 1) ( − x ) Ta có − x = ⇔ x = 3; x + = ⇔ x = −1;8 − x = ⇔ x = Ta có bảng xét dấu Trang 30 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) ≤ ⇔ x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 3;8] Vậy bất phương trình cho có nghiệm ngun dương Câu 10 Chọn A Ta có ( x − ) ( x − ) ( x + ) ( x − ) > ⇔ ( x − ) ( x + ) ( x − ) > ( 1)  x ≠ 2 Vì ( x − ) > 0, ∀x ≠ nên ( 1) ⇔  ( x + ) ( x − ) > Đặt f ( x ) = ( x + ) ( x − ) Ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( x ) > ⇔ x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 5; +∞ ) Kết hợp với điều kiện x ≠ , ta x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 5; +∞ ) Do nghiệm nguyên âm lớn bất phương trình – nghiệm nguyên dương nhỏ bất phương trình Vậy tích cần tính ( −5 ) = −30 Dạng Bất phường trình chứa ẩn mẫu 1–B –A –A 4–C 5–D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn D Điều kiện x ≠ 0; x ≠ ±3 Bất phương trình tương đương với x ( x + 4) x ( x − 3) x ( x + 3) x + 22 − −3 ⇔ x > −1 Kết hợp với điều kiện −2 < x < , ta tập nghiệm S = ( −1;1) - Với x > , ( *) ⇔ x − − ( x + ) < ⇔ x > −5 Kết hợp với điều kiện x > , ta tập nghiệm S3 = ( 1; +∞ ) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = ( −∞; −5 ) ∪ ( −1;1) ∪ ( 1; +∞ ) Câu Chọn C Xét vế trái 2018 − x ≥ 2019 + x Xét vế phải −4 x + x − 2020 = − ( x − 1) − 2019 < Vậy bất phương trình vơ nghiệm Trang 32 ... thị Xét dấu tích, thương nhị thức bậc - Giả sử f(x) tích nhị thức bậc Áp dụng định lí dấu nhị thức bậc xét dấu nhân tử Lập bảng xét dấu chung cho tất nhị thức bậc có mặt f(x) ta suy dấu f(x)... ( x ) > g ( x) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xét dấu nhị thức bậc nhất, tích thương nhị thức bậc Phương pháp giải Xét dấu nhị thức bậc f ( x) = ax + b Ví dụ Xét dấu nhị thức f ( x) = x − - Tìm nghiệm... Định lí dấu nhị thức bậc Chứng minh - Nhị thức bậc x biểu thức dạng Ta có f ( x) = ax + b = a  x + b ÷ a  f ( x) = ax + b a, b hai số cho a ≠ , b b - Nhị thức f ( x) = ax + b có giá trị dấu