Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ BÀI TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Mục tiêu Kiến thức + Hiểu định nghĩa tích vectơ với số + Nắm tính chất tích vectơ với số, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm + Nắm điều kiện vectơ phương, ba điểm thẳng hàng Kĩ + Xác định vectơ tích vectơ với số + Chứng minh vectơ phương, ba điểm thẳng hàng + Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa r r r Cho số k �0 vectơ a �0 Tích vectơ a với số k r vectơ, kí hiệu k a r r Nếu k k a hướng với a r r Nếu k k a ngược hướng với a r r r Độ dài k a là: k a k a Tính chất r r Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có r r r r k a b k a kb ; r r r h k a ka ; r r h ka hk a ; r r r r 1.a a; 1 a a Điều kiện để hai vectơ phương r r r b phương a a �0 có số k thỏa mãn r r Mở rộng: Điều kiện cần đủ để A, B, b ka C uuur uuur thẳng hàng có số k cho AB k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương r r r r r r Cho a khơng phương với b Khi vectơ x biểu diễn dạng x ma nb biểu diễn (có hệ số m, n ) Sơ đồ lí thuyết Trang r k acùng hướng Cho k vectơ số thực r k a ngược hướng k 0 Độ dài A, B, C thẳng hàng Phân phối Tích vectơ với số phương r r r r k a b k a kb r r r h k a k a Điều r r kiện b ka uuur uuur phương Các r r tính h k a hk a chất Kết hợp Nhân đơn vị r r r r 1.a a; 1 a a AB k AC r Biểu x ln biểu diễn diễn Phân tích r r vectơ a ; b không phương qua hai m, n Chú ý vectơ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, việc sử dụng quy tắc cộng, trừ hai vectơ, cịn sử dụng tính chất phép nhân vectơ với số Ta lưu ý số vấn đề sau r r r k �0 a �0 Tích k a vectơ có r + Phương: Cùng phương với vectơ a r + Hướng: k : hướng với vectơ a r k : ngược hướng với vectơ a r r + Độ dài: k a k a r r r r Quy ước: 0a k uuur uuur uuu r Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có MA MB 2MI uuur uuur uuuu r uuuu r Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có MA MB MC 3MG Ví dụ: Cho lục giác ABCDEF có tâm O Chứng minh uuur uuur uuu r uuu r a) AB EC 2OA CA uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) DE DF DA DB DC 3DA Hướng dẫn giải Trang uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r a) Ta có AB EC 2OA ED EC 2OA uuur uuur uuu r CD DA CA (điều phải chứng minh) b) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur DE DF DA DB DC uuur uuur uuur uuur uuur DE DC DF DA DB uuur uuur uuur uuur uuur uuur DO DE DO DA DO DC uuur uuur uuur uuur 3DO DE DC DA uuur uuur uuur uuur DO DA DA DA uuur 3DA (điều phải chứng minh) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh uuu r uuur uuu r a) CB CD CA uuur uuur uuur uuur b) OD OC DA DB uuu r uuur uuur uuur c) AB AC AD AC uuu r uuur uuur uuur d) AB AD AC 4OC uuu r uuur uuur uuur e) AB CD AC DB uuur uuur uuur uuur f) AD BC AC BD uuur uuur uuur g) AC BD 2BC uuur uuur uuur uuu r uuur h) OD OC AO OB AC Hướng dẫn giải Trang uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r a) Theo quy tắc hình bình hành ta có CB CD CA CA CA (điều phải chứng minh) uuur uuur uuur � OD OC CD � r b) Theo quy tắc trừ hai vectơ chung điểm đầu ta có �uuur uuur uuu �DA DB BA uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Mà ABCD hình bình hành nên CD BA � OD OC DA DB (điều phải chứng minh) c) Theo quy tắc hình bình hành ta có uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur AB AC AD AB AD AC AC AC AC (điều phải chứng minh) d) uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB AD AC AB AD AC AC AC AC 4OC (điều phải chứng minh) uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r e) Ta có AB CD AC DB � AB AC CD DB � CB CB (hiển nhiên) Ta suy điều phải chứng minh uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur f) Ta có AD BC AC BD � AD AC BD BC � CD CD (hiển nhiên) Ta suy điều phải chứng minh uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur g) Ta có AC BD AB BC BC CD BC AB CD uuur uuu r uuu r uuur BC AB AB 2BC (điều phải chứng minh) uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur r uuur uuur h) Ta có OD OC AO OB OD OB AO OC AC AC (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho hình chữ nhật PQRS tâm O uuur uuu r uur uuu r a) Chứng minh PQ RP SR SQ uuur uuur uuur uuu r uur uuur uuur b) Chứng minh RQ OP QO OS SP RO 4OP uuur uuur uuuu r uuur c) Chứng minh MP MR MQ MS với điểm M Hướng dẫn giải uuur uuu r uur uur uuu r uuur uuu r a) Ta có PQ RP SR SR RP PQ SQ (điều phải chứng minh) uuur uuu r uuur uuu r uur uuur uuur uuur uuu r uur uuur uuu r b) Ta có RQ OP QO OS SP RO RQ QO OS SP RO OP uuur uuur uuu r uuu r uuu r RO OP RP RP RP uuu r uuu r uuu r RP 2.2.OP 4OP (điều phải chứng minh) Trang c) Cách Với điểm M ta có uuur uuur uuuu r uuur uuur uur uuuu r uuur uuur uur MP MR MQ QP MS SR MQ MS QP SR uuuu r uuur uuu r uuu r uuuu r uuur MQ MS QP QP MQ MS Suy điều phải chứng minh Cách Vì O trung điểm PR QS nên với điểm M ta có uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur �MP MR 2MO � � MP MR MQ MS (điều phải chứng minh) u u u u r u u u r u u u u r � �MQ MS 2MO Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M, N, P trung điểm cua BC, CA, AB gọi I trung điểm AM Chứng minh uuu r uuur uuur a) AB AC AG uur uur uu r r b) IB IC IA uuuu r uuur uuu r r c) GM GN GP uuur uuur uuur uuur d) HA HB HC 3HG với điểm H Hướng dẫn giải a) Theo tính chất trung điểm ta có uuu r uuur uuuu r uuur uuur AB AC AM AG AG (điều phải chứng minh) b) Theo tính chất trung điểm ta có uur uur uu r uuur uu r uuur uu r r r IB IC IA 2IM 2IA IM IA 2.0 (điều phải chứng minh) uuuu r uuur uuu r r uuu r uuur r uuu r uuur uuu uuu 1r r c) GM GN GP GA GB GC GA GB GC 2 2 (điều phải chứng minh) d) Với điểm H bất kỳ, ta có uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur r uuur HA HB HC HG GA HG GB HG GC 3HG GA GB GC 3HG 3HG (điều phải chứng minh) Trang B C Ví dụ Nếu G G� trọng tâm tam giác ABC tam giác A��� uuur uuur uuuu r uuuu r B C có trọng tâm Từ suy hai tam giác ABC tam giác A��� AA� BB� CC � 3GG� uuur uuur uuuu r r AA� BB� CC � Hướng dẫn giải B C , ta có Với G G�lần lượt trọng tâm tam giác ABC tam giác A��� uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur AA� BB� CC � AG GG� G� A� BG GG� G� B� CG GG� G�� C uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r r r uuuu r uuuu r AG BG CG G� A� G� B� G�� C 3GG� 3GG� 3GG� (điều phải chứng minh) Đặc biệt: B C có trọng tâm Hai tam giác ABC tam giác A��� uuuu r r uuur uuur uuuu r r � G�G� 3GG� AA� BB� CC � (điều phải chứng minh) B C có trọng tâm G G�ta Lưu ý: Từ toán trở đi, để chứng minh hai tam giác ABC A��� uuur uuur uuuu r r chứng minh trực tiếp hai trọng tâm G G�trùng chứng minh AA� BB� CC� 0 Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi H, E, F điểm cạnh AB, BC CA cho AB AH , CB 3BE , CA 3CF Chứng minh hai tam giác ABC HEF có trọng tâm Hướng dẫn giải uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r 1r r Ta có AH BE CF AB BC CA AB BC CA 3 3 Suy tam giác ABC tam giác HEF có trọng tâm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? r r A Hai vectơ a, k a hướng r r C Hai vectơ a, k a có độ dài r r B Hai vectơ a, k a phương r r D Hai vectơ a, k a ngược hướng Câu 2: Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai? uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur A AB AM B AC NC C BC 2MN D CN AC Trang Câu 3: Phát biểu sai? uuu r uuur uuu r uuur A Nếu AB CD AB CD uuu r uuur B AB CD A, B, C , D thẳng hàng uuur uuur r C Nếu AB AC A, B, C thẳng hàng uuu r uuur uuur uuu r D AB CD DC BA Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Khẳng định sau đúng? uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur uuur A AB AC AD B AB AC AD AC uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur C AB AC AD AC D AB AC AD AC Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có M giao điểm hai đường chéo Mệnh đề sau sai? uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur A AB BC AC B AB AD AC uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r C BA BC BM D MA MB MC MD Câu 6: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Mệnh đề sau đúng? uuur uuur uuuu r uuur uuur A MA MB 3MC AC 2BC uuur uuur uuuu r uuur uuur B MA MB 3MC AC BC uuur uuur uuuu r uuu r uuu r C MA MB 3MC 2CA CB uuur uuur uuuu r uuu r uuu r D MA MB 3MC 2CB CA Câu 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM Đẳng thức sau đúng? uu r uur uur r uu r uur uur r A IA IB IC B IA IB IC uu r uur uur uu r uur uur uu r C IA IB IC IA D IB IC IA Câu 8: Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC tứ giác ABCD Đẳng thức sau sai? uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r A AC DB 2MN B AC BD 2MN uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r C AB DC 2MN D MB MC MN Câu 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, O điểm Đẳng thức đúng? uuur uuur uuur r uuu r uuu r uuur uuur A AO BO CO B OA OB OC 2OG uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur r C AO BO CO 3GO D AG GB BO B C có trọng tâm G G� Câu 10: Cho ABC A��� Khi đó, tổng ba vectơ uuur uuur uuuu r AA� BB� CC �bằng uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r A GG� B 2GG� C 3GG� D GG� Dạng 2: Phân tích (biểu diễn) vectơ theo hai vectơ cho trước Phương pháp giải r r r r r r Cho a b khơng phương x bât kì Khi đó, có cặp số h, k cho x kb r r Dùng phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số để phân tích vectơ x phụ thuộc theo a r b Trang uuuu r AM Bài tốn phân tích số 1: Với điểm M hình vẽ, ta có r n uuu m uuur AB AC mn mn Đặc biệt: Nếu M trung điểm BC uuuu r uuu r uuur AM AB AC 2 Bài toán phân tích số 2: Với điểm M hình vẽ, ta có uuuu r m n uuu r m uuur AM AB AC n n uuuu r m n uuur m uuu r AM AC AB n n r r r r r a, b �0 phương � k : a k b uuur uuur A, B, C thăng hàng � AB phương AC uuu r uuur � k ��: AB k AC uuur uuur Nếu AB kCD hai đường thẳng AB, CD phân biệt AB / / CD Ví dụ: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, N trung điểm AM P điểm đối xứng với M qua uuur uuur r uuur r uuur B Hãy phân tích AN , AP theo hai vectơ u AB v AC Hướng dẫn giải Vì N trung điểm AM M trung điểm BC nên ta có Trang uuur uuuu r �1 uuu r uuur � AN AM � AB AC � 2 �2 � uuur uuur r r AB AC u v 4 4 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AP AB BP AB CB uuu r uuu r uuur r uuur r r uuu AB AB AC AB AC u v 2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD Gọi I trung điểm AD M điểm cho uuuu r uuur MC 2MB uuur uuuu r uuur a) Hãy phân tích AM theo hai vectơ AB AC uuu r uuur uur b) Hãy phân tích BI theo hai vectơ BA, BC Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur a) Vì MC 2 MB nên MC MB � CM 2MB uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuu r Ta có AM AC CM AC MB AC MA AB AC AM AB uuur uuur uuuu r AB AC AM uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur � AM AB AC � AM AB AC 3 b) Vì I trung điểm AD nên ta có uur uuu r uuur uuu r 1 uuur uuu r uuur BI BA BD BA BC BA BC 2 2 2 uuur uuuu r uu r uur uuu r uuu r Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M , I , J ba điểm thỏa mãn MB 3MC , IA IB, AJ JC K trung điểm đoạn IJ uuuu r a) Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ uuur b) Hãy phân tích vectơ AK theo vectơ uuur uuur AB AC uuur uuur AB AC Hướng dẫn giải uuur uuuu r uuur uuuu r r MB 3MC � MB 3MC � M thuộc đường thẳng BC cho C nằm B, M MB 3MC uu r uur uu r uur r IA IB � IA IB � I trung điểm đoạn thẳng AB Trang 10 Trước hết, theo tính chất hai vectơ phương, điểm cần tìm phải nằm đường thẳng AB Ta cần xác định điểm cần tìm thuộc đoạn thẳng AB hay nằm ngồi đoạn AB, xác định tỉ lệ, vẽ hình minh họa mơ tả vị trí tương đối điểm cần tìm so với hai điểm A, B Dạng Xác định điểm dựa vào đẳng thức vectơ ba hay bốn điểm cố định Trước hết, biến đổi đẳng thức vectơ, đưa điểm cần tìm phụ thuộc theo hai điểm cố định (đưa dạng 2) Tiến hành xác định vị trí điểm cần tìm theo phương pháp dạng uuur uuur Ví dụ: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG 2GD Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có AG 2GD � AG GA AD uuur uuur uuur uuur � AG AD � AG AD Suy G thuộc đoạn thẳng AD cho AG AD Mà AD đường trung tuyến tam giác ABC nên G trọng tâm tam giác ABC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai điểm phân biệt A B uuur uuur r a) Tìm điểm M cho MA 2MB uuu r uuur r b) Tìm điểm N cho NA NB uuur uuur r c) Tìm điểm H cho 3HA HB uuu r uuur r d) Tìm điểm K cho KA 3KB Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuu r r uuu r uuur a) MA 2MB � MA MA AB � AB 3MA uuu r uuuu r uuuu r uuu r � AB AM � AM AB � M thuộc đoạn thẳng AB cho AM AB uuu r uuur r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r b) NA NB � NA NA AB � AB 5 NA uuu r uuur uuur uuu r � AB AN � AN AB Trang 19 � N thuộc đoạn thẳng AB cho AN AB uuur uuur r uuur uuur uuu r r uuur uuu r c) 3HA 2HB � 3HA HA AB � HA AB � H thuộc đường thẳng AB (A nằm H B) cho HA AB uuu r uuur r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuur uuur uuur d) KA 3KB � KA KA AB � KA AB � AK AB � K thuộc đường thẳng AB (B nằm A K) cho AK AB Lưu ý: Từ ví dụ ta rút rằng: với h, k số thực lớn 0, hai điểm A, B cố định ta có: uuur uuur hMA k MB điểm M thuộc đoạn AB thỏa mãn hMA kMB uuur uuur hMA k MB điểm M nằm đoạn AB thỏa mãn hMA kMB Nếu h k B nằm A M Nếu h k A nằm B M Ví dụ Cho tam giác ABC Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ sau uuur uuur uuuu r r a) Điểm M thỏa mãn MA MB MC uuu r uuur uuur r b) Điểm N thỏa mãn NA NB NC uuu r uuu r uuu r c) Điểm P thỏa mãn PA PB CB Hướng dẫn giải uuur uuur uuuu r r uuu r uuuu r r uuuu r uuu r uuu r uuuu r a) Ta có MA MB MC � BA MC � MC AB � AB MC � M điểm cho ABCM hình bình hành b) Gọi I trung điểm AB Ta có uuu r uuur uuur r uur uuur r NA NB NC � NI NC uur uuur r uur uuur r � NI NC � NI NC Trang 20 � N trung điểm IC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuur r c) PA PB CB � PA PB CB PB � PI CP � PI PC � P thuộc đoạn CI cho 2PI PC Ví dụ Cho tam giác ABC uuur uuur uuuu r r a) Tìm điểm M cho MA 2MB 3MC uuu r uuu r uuur r b) Xác định điểm N cho NA AB NC uuu r uuu r uuur r c) Xác định điểm P cho PA 3PB PC Hướng dẫn giải Gọi I , J , K trung điểm cạnh AB, BC , CA uuur uuur uuuu r r uuur uuuu r uuur uuuu r r a) MA 2MB 3MC � MA MC MB MC uuuu r uuur r uuuu r uuur r � 2MK 2.2MJ � MK MJ � M thuộc đoạn thẳng JK cho MK 2MJ uuu r uuur uuur r uuu r uuur uuur r uuur uuu r r b) NA AB NC � NA NC AB � NK AB uuu r uuur uuur uuu r � AB KN � KN AB uuur uuu r uuur uuu r � KN KJ � KN 3KJ � N thuộc đường thẳng KJ (J nằm K N) cho KN 3KJ uuu r uuu r uuur r uuu r uuur uuu r r uuur uuu r r c) PA 3PB PC � PA PC 3PB � PK 3PB � P thuộc đoạn thẳng BK cho PK 3PB Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r a) Tìm điểm M thỏa mãn MA 2MB MC MD 3MO uuur uuur uuur uuur b) Tìm điểm N thỏa mãn 3AN AB AC AD uu r uur uur uur c) Tìm điểm I thỏa mãn IA IB IC ID Hướng dẫn giải Trang 21 uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r a) Ta có MA 2MB MC MD 3MO � MA MB MC MD MB 3MO uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r r � MO OA MO OB MO OC MO OD MB 3MO uuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur r r r uuuu r uuur r � OA OC OB OD MO MB � MO MB uuuu r uuur r � MO MB � M trung điểm đoạn thẳng OB uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur b) Ta có AN AB AC AD � AN AB AD AC uuur uuur uuur uuur uuur � AN AC AC � AN AC Suy N thuộc đoạn thẳng AC cho AN AC uu r uur uur uur uur uuu r uur uuu r uur uuur uur uuur r c) Ta có IA IB IC ID � IO OA IO OB IO OC IO OD uuu r uuur uuu r uur uuur r r uuu r uur uuur r uuu r uur r � OA OC OB IO 4OD � OB OI BO � 5OB OI uur uuur � OI 5BO Suy I thuộc đường thẳng BD cho O nằm B, I OI BO Bài tốn Tìm quỹ tích điểm Phương pháp giải Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn Trang 22 Tập hợp điểm M cách điểm I khoảng không đổi R : IM R đường trịn tâm I bán kính R Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B : MA MB đường trung trực đoạn thẳng AB Để giải tốn quỹ tích ta thường thực phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với số kết luận uuur uuur uuuu r uuuu r Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MC MD Hướng dẫn giải Gọi I, J trung điểm đoạn thẳng AB CD uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuur Theo tính chất trung điểm đoạn thẳng ta có MA MB MC MD � MI MJ � 2MI MJ � MI MJ Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán đường trung trực đoạn thẳng IJ Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC uuur uuur uuuu r uuur uuuu r a) Tìm tập hợp điểm M cho MA MB MC MB MC uuu r uuur uuur b) Tìm tập hợp điểm N cho 2NA NB NC Hướng dẫn giải Trang 23 a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuu r BC Ta có MA MB MC MB MC � 3MG CB � 3MG CB � MG Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm G bán kính R BC b) Gọi I trung điểm BC uuu r uuur uuur uuu r uur Ta có NA NB NC � NA NI � NA NI � NA NI Vậy tập hợp điểm N đường trung trực AI Ví dụ Cho tam giác ABC uuur uuur uuuu r r a) Xác định điểm M cho 3MA MB MC uuu r uuur uuur uuu r uuur b) Tìm tập hợp điểm N cho NA NB NC NA NB uuur uuur uuur uuur uuur c) Tìm tập hợp điểm D cho DA DB DC AC BC uuu r uuu r uuur uuu r uuur d) Tìm tập hợp điểm E cho EA EB EC EB EC uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur e) Tìm tập hợp điểm F cho FA 3FB FC FA FB FC Hướng dẫn giải Gọi I , J , K trung điểm AB, BC , CA uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur uuuu r r uuu r uuuu r r a) Ta có 3MA 2MB MC � MA MB MA MC � 2BA 2MK uuuu r uuu r uuu r uuuu r � MK AB � AB MK � ABKM hình bình hành Vậy M đỉnh thứ tư hình bình hành ABKM uuu r uuuur b) Với ABKM hình bình hành, ta suy BA KM Trang 24 uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r 3NA NB NC NA NB � NA NB NA NC BA uuu r uuur uuuu r uuur � BA NK BA � KM NK BA uuur uuuur uuuur BA � NK KM BA � NM BA � NM BA � NM Vậy tập hợp điểm N đường tròn tâm M, bán kính R BA c) Gọi O trung điểm IJ Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r DA DB DC AC BC � DA DB DB DC AB uuu r uuu r uuu r uuu r � DI DJ AB � DI DJ AB uuur � 2.2.DO AB � DO AB � DO AB Vậy tập hợp điểm D đường trịn tâm O, bán kính R AB d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm ta có uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r EA EB EC EB EC � 3EG EJ � 6EG EJ � EG EJ Suy E cách hai điểm G, J Vậy tập hợp điểm E đường trung trực đoạn thẳng GJ uuu r uur e) Gọi P điểm đối xứng với B qua A Vẽ hình bình hành BCIT � CB IT uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur FA 3FB 2FC FA FB FC uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur � FA FB FB FC FA FB FA FC uur uuu r uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r � FI 2CB BA CA � FI IT AP CA uuu r uuu r CP � FT CP � FT CP � FT Vậy tập hợp điểm F đường trịn tâm T, bán kính R CP uuuu r uuu r uuur uuur Ví dụ Cho tứ giác ABCD Với số k tùy ý ta lấy điểm M, N cho AM k AB, DN k DC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN với giá trị k Hướng dẫn giải Trang 25 Gọi E, F trung điểm AD BC uuur uuu r uuur uuur � �EF EA AB BF Ta có �uuur uuur uuur uuur �EF ED DC CF Cộng vế theo vế ta uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2EF EA ED AB DC BF CF AB DC Tương E I trung điểm AD MN nên uur uuuu r uuur uuur uuur r uuur uuur k uuu k uuur EI AM DN k AB k DC AB DC EF k EF 2 2 uur uuur Suy EI , EF phương hay I thuộc đường thẳng EF Vậy k thay đổi tập hợp trung điểm I đoạn MN đường thẳng EF Bài tập tự luyện dạng uuur uuur uuuu r r Câu 1: Cho tam giác ABC Nếu điểm M thỏa mãn MA MB MC ta có A ABMC hình bình hành B ABCM hình bình hành C M trung điểm BC D M trung điểm AB uuur uuuu r uuur Câu 2: Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MB MC AB Tìm vị trí điểm M A M trung điểm AC B M trung điểm AB C M trung điểm BC D M điểm thứ tư hình bình hành ABCM uuu r uuur r Câu 3: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí điểm G biết GA AD A G nằm đoạn AD GD 2GA B G nằm đoạn AD AG AD D G nằm đoạn AD GA GD uu r uur uur r Câu 4: Cho tam giác ABC , D trung điểm cạnh AC Gọi I điểm thỏa mãn IA IB 3IC Khẳng định sau đúng? C G nằm đoạn AD AG AD A I trực tâm BCD B I trọng tâm ABC C I trọng tâm CDB D Cả A, B, C sai uuur uuur uuuu r Câu 5: Cho tam giác ABC, tập hợp điểm M cho MA MB MC A đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC B đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 18 C đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính D đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính Câu 6: Cho M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác ABC Giả sử I điểm uu r uur uur r thỏa mãn điều kiện IA IB IC Khi vị trí điểm I A tâm hình bình hành BMPN B đỉnh thứ tư hình bình hành AMPI C trực tâm tam giác ABC Trang 26 D trọng tâm tam giác MNP Câu 7: Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB Tập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur mãn đẳng thức 2MA MB MA 2MB A đường trung trực đoạn thẳng AB B đường trịn đường kính AB C đường trung trực đoạn thẳng IA D đường tròn tâm A, bán kính AB Câu 8: Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuuu r uuur uuur 2MA 3MB 4MC MB MA đường trịn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a A R a B R a C R a D R a Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD số thực k Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuuu r uuuu r MA MB MC MD k A đoạn thẳng B đường thẳng C đường tròn D điểm Câu 10: Cho tam giác ABC cạnh 2a, d đường thẳng qua A song song BC Khi M di động uuur uuur d giá trị nhỏ MA 2MB A a B a C 2a 3 D 2a Trang 27 ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-C 3-B Hướng dẫn giải 4-B 5-D 6-C 7-A 8-B 9-C 10 – C Câu uu r uur uur uu r uuur uuur uuur uuuu r Ta có IA IB IC IA IM MB IM MC uu r uuur uuur uuur r r r IA IM MB MA Câu Gọi I, J trung điểm AB CD Khi uuur uuur uur uu r uuu r uur uu r uuu r uur uur uu r uuu r uuu r uu r uuuu r AC BD AI IJ JC BI IJ JD AI BI IJ JC JD 2IJ �2MN Câu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AO BO CO AG GO BG GO CG GO uuur uuur uuur uuur AG BG CG 3GO r uuur uuur 3GO 3GO Câu 10 uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur Ta có AA� BB� CC � AG GG� G� A� BG GG� G� B� CG GG� G�� C uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuu r AG BG CG G� A� G� B� G �� C 3GG � r r uuuu r uuuu r 3GG� 3GG� Trang 28 Dạng Phân tích (biểu diễn) vectơ theo nhiều vectơ cho trước Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-C 3-B Hướng dẫn giải 4-D 5-B 6-B 7-B -A 9-B 10 - C 9-A 10 - B Câu AD phân giác tam giác ABC nên CD AC CD � BD AB CD BD r CD uuur uuu � CD CB CB 5 r uuu r CE uuu � CE CA Tương tự CA 9 uuur uuu r uuur uuu r uuu r Vậy DE CE CD CA CB � Câu uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có DE DA AE 2 AB AC � m 2, n � m.n 5 Dạng Tính độ dài tổng, hiệu vectơ tích vectơ với số Đáp án trắc nghiệm -A -A 3-C Hướng dẫn giải 4-C 5-D 6-B 7-C 8-C Câu Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB tam giác ABC Trang 29 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur AB GC AP 2PG AP PG AG AG AM AB BM 3 �a � 2a a � � 3 �2 � Câu Gọi M trung điểm CD O tâm hình thoi ABCD Ta có OM đường trung tuyến tam giác vuông OCD �a � a2 � � 2 CD OC OD �2 � a � OM 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r AC BD 2OC 2OD OC OD 2.2.OM uuuu r a 4.OM 4OM a Câu Gọi I trung điểm CD � ABID hình vuông r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uur uuu r uuur uu r uuur uuur uuu r u DA AB CD DA BA DC BA DA DC ID DA DC IA DC DC CB uuur DB DB AB AD a a a Câu Gọi I trung điểm AC Khi MI đường trung bình tam giác ACD � MI CD a Trang 30 MN đường trung bình hình thang ABCD � MN uuu r uuuu r AB CD a 2a 3a � MI MN 2 uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r r uuuu r uuuu r uuuu 3a a Ta có MA MC MN 2MI MN MN MN MN MN 3 3 2 Câu 10 uuur uuur uuur uuur uuuu r Dựng hình bình hành AGCN Ta có MA GC MA AN MN uuur uuur uuuu r Kẻ NK BC K Khi MA GC MN MN �NK uuur uuur Do MA GC nhỏ M �K Gọi I trung điểm AC, J hình chiếu vng góc I lên BC ( J �BC ) Khi I trung điểm GN nên BI BN Ta có BIJ BNK đồng dạng nên uuur uuu r BJ BI hay BK BJ BK BN 4 uuur uuur Măt khác BH HC uuur uuur IJ đường trung bình AHC nên J trung điểm HC hay HJ HC uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Suy BJ BH HJ HC HC HC BC BC 6 uuur uuu r uuur uuur Do BK BJ BC BC 3 Dạng Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước Đáp án trắc nghiệm -A -A 3-C Hướng dẫn giải 4-C 5-C -A 7-A 8-D 9-C 10 – D Câu uu r uur uur r uu r uur uur r Ta có IA IB IC � IA IC IB uur uur r uur uur r � IP IB � IP IB � I trung điểm BP hình bình hành BMPN Suy I tâm hình bình hành BMPN Trang 31 Câu uuu r uuu r r Chọn điểm E thuộc đoạn AB cho EB EA � EA EB uuu r uuu r r Chọn điểm F thuộc đoạn AB cho FA FB � FB FA Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r 2MA MB MA 2MB � 2ME EA ME EB MF FA 2MF FB uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur � 3ME EA EB 3MF FB FA � 3ME 3MF � ME MF * Vì E, F hai điểm cố định nên từ đẳng thức (*) suy tập hợp điểm M trung trực đoạn thẳng EF Gọi I trung điểm AB suy I trung điểm EF uuur uuur uuur uuur Vậy tâp hợp điểm M thỏa mãn 2MA MB MA 2MB đường trung trực đoạn thẳng AB Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC Với điểm I bất kỳ, ta có uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur 2MA 3MB 4MC MI IA MI IB MI IC uuu r uu r uur uur MI IA 3IB IC uu r uur uur r uu r uur uur uur uu r r Chọn điểm I cho IA 3IB IC � IA IB IC IC IA uur uuur r uur uuu r � 3.3IG AC � IG CA * uuur uuur uuuu r uuur uuur Do 2MA 3MB 4MC MB MA uuu r uu r uur uur uuu r � MI IA 3IB IC AB uuu r AB a � MI AB � 9MI AB � MI � MI 9 Vì I điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M cần tìm đường trịn tâm I, bán kính R a Câu Trang 32 uuu r uuur uuu r uuur r Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có OA OC OB OD uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r Do MA MB MC MD k � MO OA MO OB MO OC MO MD k uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuuu r k � MO OA OC OB OD k � 4MO k � 4MO k � MO Vì O điểm cố định nên tập hợp điểm M thỏa yêu cầu toán đường trịn tâm O, bán kính R k Câu 10 uuur uuu r r Chọn điểm N thuộc đoạn AB cho NA NB � NB NA uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r Ta có MA MB MN NA MN NB 3MN NB NA 3MN 3MN uuur uuur Do MA MB nhỏ � MN nhỏ � M hình chiếu vng góc N đường thẳng d Gọi H trung điểm BC, K hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng d Theo định lý Talet ta có � MN 2a MN AN MN 2 � � MN AH � MN AB BH BK AB AH 3 a � MN 2a 3 uuur uuur Vậy MA 2MB đạt giá trị nhỏ 3MN 2a Trang 33 ... hiệu vectơ tích vectơ với số Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành tích số với vectơ Tính độ dài vectơ Từ suy độ dài vectơ cho Ví dụ: Cho tam giác ABC vng A, BC 5a, AB 3a Tính độ dài vectơ. .. trừ hai vectơ, cịn sử dụng tính chất phép nhân vectơ với số Ta lưu ý số vấn đề sau r r r k �0 a �0 Tích k a vectơ có r + Phương: Cùng phương với vectơ a r + Hướng: k : hướng với vectơ a... Cho số k �0 vectơ a �0 Tích vectơ a với số k r vectơ, kí hiệu k a r r Nếu k k a hướng với a r r Nếu k k a ngược hướng với a r r r Độ dài k a là: k a k a Tính chất r r Với hai vectơ
Ngày đăng: 29/05/2021, 10:31
Xem thêm: Toán 10 Bài 3 TÍCH của VECTƠ với một số
