SKKN một số bài toán về tích của vectơ với một số

MỤC LỤC I Lời giới thiệu ………………………………………………………… II Tên sáng kiến……………………………………………………… III Tác giả sáng kiến………………………………………………… 2 IV Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến……………………………………… V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………… VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu…………………………… VII Mô tả chất sáng kiến…………………………………… A Nội dung…………………………………………………………… Cơ sở lý luận……………………………………….………………… Các toán bản…………………………….…………………… Bài toán Chứng minh đẳng thức vectơ……………………… Bài toán Các toán trọng tâm tam giác, tứ giác…………… 15 Bài toán Chứng minh điểm thẳng hàng, hai đƣờng thẳng song song…………………………………………………………………… 31 Bài tốn Các tốn tìm điểm, tìm tập hợp điểm……………… 44 B Về khả áp dụng sáng kiến……………………………… 52 VIII Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có)……………………….52 IX Đánh giá lợi ích thu đƣợc kết kiểm nghiệm…………… X Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử 52 áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): ………………………………… 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 55 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Hình học vectơ kiến thức lạ em học sinh lớp 10 làm quen Các em thường thấy khó khăn việc giải tập hình 10 Sáng kiến kinh nghiệm “Một số tốn tích vectơ với số” đề tài cung cấp cho em đa dạng dạng tập, phương pháp giải hình vec tơ, đặc biệt xoay quanh tích vectơ với số cho nhiều toán hay Đề tài viết dạng phân dạng dạng tập, có phương pháp, tập minh họa, tập trắc nghiệm Qua bổ xung cho em lượng kiến thức phong phú tập hình vectơ Các em thấy số tập hình phẳng giải phương pháp vectơ trở lên đơn giản, gọn nhẹ hay nhiều Đề tài có sử dụng tham khảo nhiều tài liệu nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi II Tên sáng kiến: Một số tốn tích vectơ với số III Tác giả sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THẢO - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 03355001986 E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn IV Chủ đầu tƣ tạo sáng kiến - Họ tên: NGUYỄN THỊ THẢO - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 03355001986 E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài “Một số tốn tích vectơ với số ” đề cập đến tốn liên quan đến tích vectơ với số để từ em có cách nhìn hướng giải tốn hình học vectơ đơn giản Đề tài áp dụng cho em học sinh lớp 10 Đề tài viết nhằm mục đích bổ xung nâng cao kiến thức hình học vectơ cho học sinh đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: Tháng năm 2015 VII Mô tả chất sáng kiến A NỘI DUNG Cơ sở lý luận a, Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k ≠ vectơ, kí hiệu ka , hướng với a k > 0, ngược hướng với vectơ a k < có độ dài k a Qui ước: 0.a = v¯ k0 = b, Tính chất: i) (k+ ii) k a ± b iii) ( ) = ka + k ( m a ) = ( km) a iv) ka = v) m) a = ka + ma 1a = a  k= ⇔ kb  a = , ( −1) a = − a c, Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý) d, Tính chất trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA+ GB + GC = O G trọng tâm tam giác ABC ⇔ OA+ OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) e, Điều kiện để hai véc tơ phƣơng: b phương với vectơ a ≠ có số k thỏa mãn b = ka Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB = kBC f, Phân tích vectơ theo hai vectơ không phƣơng: Cho a không phương với vectơ b Khi với vectơ x ln biểu diễn x = ma + nb m, n số thực Các toán Bài toán Chứng minh đẳng thức vectơ Phƣơng pháp giải Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế thành vế hai biểu thức hai vế biểu thức thứ ba biến đổi tương đương đẳng thức đúng:  Các tính chất phép tốn vectơ  Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành quy tắc phép trừ  Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ OA + OB = 2OM (Với O điểm tuỳ ý)  Tính chất trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA+ GB + GC = O G trọng tâm tam giác ABC ⇔ OA+ OB + OC = OG (Với O điểm tuỳ ý) Các tập minh họa: Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AB, CD, O trung điểm IJ Chứng minh a, AB + DC = AC + BD = IJ OD = b, OA + OB + OC + c, MA + MB + MC + MD = MO , víi M l¯ ®iĨm bÊt kú Lời giải B C I a, J O D A +) AB + DC = AD DB + DA + AC + = AC + DB +( AD +DA) = AC + DB (1) +) Theo quy tắc ba điểm ta có AC = AI + IJ = AI + IJ + JC ; BD = BD + IJ + JD M¯ I , J lần lợt l trung điểm ca AB v¯ CD nªn AI + BI = ; JC + JD = VËy AC + JD ) + Tõ IJ = IJ (2) BD = ( AI + BI ) + ( JC + AB + DC = (1) v¯ (2) ta cã: AC + BD = IJ (®pcm) b, Theo hƯ thøc trung ®iÓm ta cã OA + OB = OI ; OC + OD = OJ MỈt kh²c O l¯ trung điểm IJ nên ta có OI + OJ = Suy OA + OB + OC + OD = c, Theo c©u ta cã : OA + OB + OC + OD = ⇔ ) + ( OM + MD = )= OD ( OM + ) ( OM + ) ( OM + MA + OB + OC ⇔ MA + MB + MC + (®fcm) OM Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC, BD Chứng minh AB + CD = 2IJ Lời giải Ta cã : IJ = IB ID + B C  IA+AB+IC+CD ( = AB+CD+ IA+ IC = AB + CD ) I J D A VËy AB + CD = 2IJ (®pcm) Bài Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự trung điểm đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ Chứng minh rằng: RS = MN + PQ α) β) RS = Lời giải ( ) AN B M ED P R E S C Q D ( MN a) Ta cã + PQ ) = MR+ RS + SN + PR+RS + SQ ( MR+ PR) + ( SN + SQ) = 2RS +  2RS b) Theo c©u a) ta cã  1 1 MN + RS =  EB + BD = ( ) PQ = Vậy RS = ED  2 ED  ( ®pcm) Bài Cho ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh AM+BN+CP= Lời giải A P N B C M Vì M, N, P trung điểm BC, CA, AB nên ta có AM + BN + CP = ( CA + CB ) ( AB + AC) + = ( AC + ) CA + 1 ( AB + BA ( BA + BC) + )+ 1 2 ( BC + CB) = Bài Cho tam giác ABC, M điểm cạnh BC Chứng minh AM = MC BC AB + BC MB AC Lời giải Bài Cho lục giác ABCDEF Tìm tập hợp điểm M cho MA + MB + MC + MD + ME + MF nhËn gi² trÞ nhà nhÊt Lời giải Gọi P trọng tâm tam giác ABC, Q trọng tâm tam giác DEF Khi MA + MB +MC + MD +ME +MF = 3MP +3MQ = 3MP + MQ D©ò '=' ≥ 3PQ x°y ⇔ M ∈ PQ Bài Cho lục giác ABCDEF tâm O Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn : MA+MB+MC+MD+ME+MF = 3MA-MD Lời giải MA+ MB+ MC + MD+ ME+ MF = MA-MD  MO + OA+ MO + OB + MO + OC + MO + OD + MO + OE + MO + OF = ⇔6MO MO + OA- MO - OD = 3DA ⇔MO = DA= OA Vậy tập điểm M đường tròn tâm O bán kính R = OA Bài Hai đoạn thẳng AB CD trượt cạnh Ox, Oy góc xOy , A thuộc đoạn OB , C thuộc đoạn OD , I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh IJ song song với phân giác góc xOy độ dài IJ khơng đổi Lời giải Trên Ox, Oy lấy điểm X, Y cho OX = OY =AB =CD Dựng hình thoi OXMY OM phân giác góc xOy điểm M cố định Ta cã: IJ = 1 ( AB + CD) = ( OX + OY ) = OM Vậy IJ song song với phân giác góc xOy ( ) 1 Hơn IJ = OM = OM không đổi IJ = 2 Bài 10 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Tìm điểm M thuộc (O) cho MA + MB - MC nhà nhÊt, lín nhÊt 46 Lời giải A I M1 O C B M2 Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI , ta có IA + IB - IC = Suy : +) MA+ MB - MC M ≡ M1 +) nhà nhÊt ⇔ MI MA+ MB - MC nhà nhÊt ⇔ lín nhÊt ⇔ MI lín nhÊt ⇔ M ≡ M2 Trong M1, M2 giao điểm đường thẳng IO với đường tròn, M1 phía, M2 khác phía với I I, (lưu ý tam giác ABC nhọn nên I ln nằm ngồi đường tròn ) Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Cho tam giác ABC Vị trí điểm M cho MA− MB + MC = A M trùng C B M đỉnh thứ tư hình bình hành CBAM C M trùng B D M đỉnh thứ tư hình bình hành CABM Lời giải Chọn D A B D C MA− MB+ MC = 0⇔ BA+ MC = 0⇔CM= BA Vậy M thỏa mãn CBAM hình bình hành Câu 2: Cho tam giác MA+ MB + MC A ABC , có điểm =1 B C Lời giải M thoả mãn: D vô số 47 Chọn D Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có MA + MB + MC = MG = MG = ⇒ MG = Tập hợp điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = đường tròn tâm G bán kính R = Câu 3: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh vectơ v = MA + MB − 2MC ãy xác định vị trí điểm D cho CD = v A D điểm thứ tư hình bình hành ABCD B D điểm thứ tư hình bình hành ACBD C D trọng tâm tam giác ABC D D trực tâm tam giác ABC Lời giải Chọn B Ta có: v = MA + MB − MC = MA − MC + MB − MC = CA + CB = 2CI (Với I trung điểm AB ) Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M Khi đó: CD = v = 2CI ⇒ I trung điểm CD Vậy D D điểm thứ tư hình bình hành ACBD Câu 4: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N thuộc cạnh AC cho NC = 2NA ãy xác định điểm K thỏa mãn: AB + AC − 12 AK = điểm D thỏa mãn: AB + AC − 12 KD = A K trung điểm MN D trung điểm BC B K trung điểm BC D trung điểm MN C K trung điểm MN D trung điểm AB D K trung điểm MN D trung điểm AC Lời giải Chọn A 48 Ta có:   AC = 3AN ⇒ 3AB + 2AC −12AK = AB = 2AM  AN ⇔ 3.2AM + 2.3AN −12AK = ⇒ AK = ) Suy K trung điểm MN Lại có: ( AM + ( ) 3AB + 4AC −12KD = ⇔ 3AB + 4AC −12 AD − AK = ⇔ 3AB + 4AC +12AK = 12AD  12AD = 3AB + 4AC + 3AB + 2AC ⇔12AD = 6AB + 6AC  AD = 2( AB + AC) Suy D trung điểm BC Câu 5: Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi O điểm thỏa mãn hệ thức OA + OB + 2OC = Tìm điểm M đường thẳng d cho vectơ v = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ A Điểm M hình chiếu vng góc O d B Điểm M hình chiếu vng góc A d C Điểm M hình chiếu vng góc B d D Điểm M giao điểm AB d Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB Khi đó: OA + OB + 2OC = ⇔ 2OI + 2OC = ⇔ OI + OC = ⇒ O trung điểm IC Ta có: v = MA + MB + MC = OA − OM + OB − OM + 2(OC − OM)  OA+ OB + 2OC − 4OM = −4OM Do v = 4OM Độ dài vectơ v nhỏ 4OM nhỏ hay M hình chiếu vuong góc O d 49 Câu 6: Cho hai điểm cố định A, B ; gọi I trung điểm AB Tập hợp điểm M thoả: MA + MB = MA − MB A Đường tròn đường kính AB B Trung trực AB C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB Lời giải Chọn A Ta có: MA + MB = MA − MB ⇔ MI = BA ⇔ 2MI = AB Vậy tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB Câu 7: Cho tam giác ABC Tập hợp MA+ 2MB = MA− MB A M nằm đường tròn tâm I , bán kính điểm M cho: R = 2AB với nằm I cạnh AB cho IA = 2IB B M nằm đường trung trực BC C M nằm đường tròn tâm I , bán kính R = AC với I nằm cạnh AB cho IA = 2IB D M nằm đường thẳng qua trung điểm AB song song với BC Lời giải Chọn A C A I B Gọi I điểm cạnh AB cho 3BI = BA, ta có: MA+ 2MB = MB + BA+ 2MB = 3MB + BA = 3MB + 3BI = 3MI MA− MB = BA MA+2MB = MA− MB ⇔ 3MI = BA ⇔ MI = 2AB Vậy M nằm đường tròn tâm I , bán kính R = 2AB với I nằm cạnh AB cho IA = 2IB Câu 8: Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M cho: y = k A Tập hợp điểm M đường tròn B Tập hợp điểm M đường thẳng C Tập hợp điểm M tập rỗng D Tập hợp điểm M điểm trùng với A Lời giải Chọn A B A C N Gọi I điểm thỏa mãn IA + 3IB − IC = MA+ 3MB − 2MC = 2MA− MB − MC  2MI + IA+ 3IB − 2IC = BA+ CA ( 1) = −AN ⇔IM= AN Gọi N trung điểm BC Ta được: ( ) ⇔ MI I , A, N cố định nên tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính AN có Câu 9: ChotamgiácABC điểmOthỏamãn: OA+ OB − 2OC = OA− OB Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC cân C C Tam giác ABC vuông C D Tam giác ABC cân B Lời giải A Chọn C I B C Gọi I trung điểm AB Ta có: OA +OB − 2OC = OA −OB ⇔ OA −OC +OB −OC = BA ⇔  2.CI = AB⇔2CI = AB⇔CI = Tam giác ABC vuông C CA +CB = AB AB⇒ 51 Câu 10: Cho tam giác ABC , trọng tâm G , gọi I trung điểm BC , M điểm thoả mãn: MA + MB + MC = MB + MC Khi đó, tập hợp điểm M là: A Đường trung trực BC B Đường tròn tâm G , bán kính BC C Đường trung trực IG D Đường tròn tâm I , bán kính BC Lời giải Chọn C Ta có: MA + MB + MC = MB + MC  23MG = 32MI ⇔ MG = MI ⇔ MG= MI Vậy tập hợp điểm M thoả hệ thức đường trung trực IG B Về khả áp dụng sáng kiến: + Đề tài viết bao gồm lý thuyết dạng tập phong phú từ dễ đến khó Đồng thời có bổ xung số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi Đề tài thích hợp cho việc dạy cho học sinh giỏi đặc biệt bồi dưỡng hoc sinh giỏi VIII Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có): Khơng IX Đánh giá lợi ích thu đƣợc kết kiểm nghiệm: *Qua thực tế dạy chuyên đề nhận thấy rằng: ọc sinh thấy hứng thú tích cực việc học hình Khả áp dụng giải tập nâng cao ọc sinh giải số tập có đề thi học sinh giỏi * Kết kiểm nghiệm hai lớp 10A, 10B có khả nhận thức tương đương Lớp 10B dạy theo đề tài này, lớp 10A không dạy, kết thu sau Lớp 10A Năm Lớp học 2015 10A 2016 Điểm ≥ Tổng Số Tỉ lệ số lượng (%) 36 13 36 6,5 ≤ Điểm