SKKN một số bài toán về tích của vectơ với một số

Lời giới thiệu Hình học vectơ là kiến thức hết sức mới lạ đối với các em học sinh lớp 10 mới được làm quen.. Sáng kiến kinh nghiệm “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” là đề tà

MỤC LỤC

I Lời giới thiệu ……… 2

II Tên sáng kiến……… 2

III Tác giả sáng kiến……… 2

IV Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……… 2

V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……… 2

VI Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu……… 2

VII Mô tả bản chất của sáng kiến……… 2

A Nội dung……… 3

1 Cơ sở lý luận……….……… 3

2 Các bài toán cơ bản……….……… 3

Bài toán 1 Chứng minh đẳng thức vectơ……… 3

Bài toán 2 Các bài toán về trọng tâm tam giác, tứ giác……… 15

Bài toán 3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song……… 31

Bài toán 4 Các bài toán tìm điểm, tìm tập hợp điểm……… 44

B Về khả năng áp dụng của sáng kiến……… 52

VIII Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)……….52

IX Đánh giá lợi ích thu được và kết quả kiểm nghiệm……… 52

X Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): ……… 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 55

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I Lời giới thiệu

Hình học vectơ là kiến thức hết sức mới lạ đối với các em học sinh lớp 10 mới được làm quen Các em thường thấy khó khăn trong việc giải bài tập hình

10 Sáng kiến kinh nghiệm “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” là đề

tài cung cấp cho các em đa dạng các dạng bài tập, phương pháp giải các bài hìnhvec tơ, đặc biệt chỉ xoay quanh bài tích của vectơ với một số cũng cho chúng tarất nhiều các bài toán hay Đề tài được viết dưới dạng phân dạng các dạng bàitập, có phương pháp, bài tập minh họa, bài tập trắc nghiệm Qua đó sẽ bổ xungcho các em lượng kiến thức rất phong phú về các bài tập hình vectơ Các emthấy được một số bài tập hình phẳng giải bằng phương pháp vectơ trở lên đơngiản, gọn nhẹ và hay hơn rất nhiều Đề tài có sử dụng tham khảo của nhiều tàiliệu nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi

II Tên sáng kiến: Một số bài toán về tích của vectơ với một số

III Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 03355001986

E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn

IV Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 03355001986

E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn

V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Đề tài “Một số bài toán về tích của vectơ với một số ” đề cập đến các bài

toán liên quan đến tích của vectơ với một số để từ đó các em có cách nhìn vàhướng giải các bài toán hình học vectơ đơn giản hơn Đề tài được áp dụng chocác em học sinh lớp 10 Đề tài được viết nhằm mục đích bổ xung và nâng caokiến thức hình học vectơ cho học sinh đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi

VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: Tháng 9 năm 2015.

VII Mô tả bản chất của sáng kiến

2

A NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

a, Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k0 là một vectơ, kí hiệu là ka ,

cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài

bằng k.a

Qui ước: 0.a 0v¯k00

b, Tính chất:

i) kkmakama

ii)k kab kkakb

iii)k kma k kkma

k0 iv) kka0

a0

v)1aa k, k1a ka k

c, Tính chất trung điểm:

M là trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB 0

M là trung điểm đoạn thẳng AB  OA  OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)

d, Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác ABC GA+ GB + GC = O

G là trọng tâm của tam giác ABC  OA+ OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ

ý) e, Điều kiện để hai véc tơ cùng phương:

b kcùng phương với vectơ ka0 kkhi và chỉ kkhi có số kk kthỏa mãn kbka k Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho

AB kkBC

f, Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho a không cùng phương với vectơ b Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn được xma nb và m, n là các số thực duy nhất.

2 Các bài toán cơ bản

3

Bài toán 1 Chứng minh đẳng thức vectơ

1 Phương pháp giải.

Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:

 Các tính chất phép toán vectơ

 Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ

 Tính chất trung điểm:

M là trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB 0

M là trung điểm đoạn thẳng AB  OA  OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)

 Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác ABC  GA+ GB + GC = O

G là trọng tâm của tam giác ABC OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)

2 Các bài tập minh họa:

)AB  DC AD

AC k kDB k( kAD kDA) k kAC k kDB k(1)

+) Theo quy tắc ba điểm ta có

ACAIIJAIIJJCBDBDIJJD

4

M¯ I , J lÇnlîtl¯trung®iÓmcða ABv¯CDnªn AI

BI0; JC JD0 VËy AC BD( AI BI)( JC JD) IJ 2 IJ .

Tõ(1) v¯ (2ta cã: AB  DC  AC BDIJ (®pcm).

5

6

Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng

tâm tam giác Chứng minh rằng

a, AH 2

3  AC 1

3 ABCH  3 1 AB 1

3 AC b, MH 6 1 AC 6 5 AB,víi Ml¯trung ®iÓm cða BC.

Cho ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN.

7

C' D'

Ta có:

B'B k kCC' k kD'D kAB k kAB' kAC' k kAC kAD k kAD'

 AB kAD kAC kAB' kAD' kAC k0

Bài 9.

Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

DC k, kAB k; kP klà giao điểm của kAM, kDB kvà kQ klà giao điểm của kCN k, kDB k.

Chứng minh rằng DM NB và DP  PQ  QB

Lời giải.

8

A N B

Q P

Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / /QC do đó

P là trung điểm của DQ

Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của P k

B Vì vậy DP  PQ  QB từ đó suy ra DP  PQ  QB

Bài 10.

Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác ạ MD,

ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB.

Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC.

Theo b¯ita cã:S a MA  S b MB  S C MC  0 (1)

MÆt kh²c MD k



M D

9

10

Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC Đẳng thức nào sauđây đúng?

11

Câu 4: Cho tam giácABCbiết AB k k8, kAC k k9, kBC k11

Gọi

M klà trung điểm

BC kvà kN k klà điểm trên đoạn AC ksao cho k kAN k kx k(0 k kx k k9) k ệ thức

nào sau đây đúng?

Câu 5: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh

AB, kBC k, kCD, kDE k Gọi k I k kvà k kJ k klần lượt là trung điểm các đoạn k MP k kvà

NQ Khẳng định nào sau đây đúng?

A.IJ 1 AE k. B.IJ 1 AE k. C.IJ 1 AE k. D.IJ 1 AE k.

12

Câu 6: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác

ABCD k Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 7: Gọi M, N klần lượt là trung điểm các cạnh kAD, kBC kcủa tứ kgiác kABCD k.

Đẳng thức nào sau đây sai?

N

M

Do M là trung điểm các cạnh AD nên MDMA 0

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB Nên

D đúng.

Câu 8: Cho tứ giác ABCD k, trên cạnh kAB k, kCD klấy lần lượt các điểm k kM k, kN

sao cho 3AM 2 AB và 3DN 2 DC Tính vectơ MN theo hai vectơ

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / /CA Vì ABC

là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác

đều Suy ra D, E,F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS Khi

15

Bài toỏn 2: Cỏc bài toỏn về trọng tõm tam giỏc , tứ giỏc.

1 Phương phỏp :

 Sử dụng cỏc kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức

ở hai vế cựng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thứcđỳng:

 Cỏc tớnh chất phộp toỏn vộc tơ

 Cỏc qui tắc ba điểm, qui tắc hỡnh bỡnh hành và qui tắc trừ

 Tớnh chất trung điểm:

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA k kMB k0 k;

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB thỡ OA OB 2OM (Với O là điểm tựy ý)

 Tớnh chất trọng tõm:

+ G là trọng tõm tam giỏc ABC khi và chỉ khi GA kGB k kGC k k0,

+ G là trọng tõm tam giỏc ABC thỡ OA OBOC 3OG (Với O là điểm tựy ý)

Suy ra OB OC AH k Ta l³i có : kAH k k kOH - OA

Từ đó suy ra : OB  OC  OH - OA hay OA OB  OC  OH

Mặt khỏc do G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn ta cú

OA kOB kOC k 3OG ,O bất kỳ

Vậy OAOBOCOH3OG

(Nhận xột: Từ OH3OG suy ra H, O , G thẳng hàng)

16

b,Ta cã: HA HB HC HG3 HOOG3

Cho tam giác ABC và

tâm các tam giác BCA 1

G 1 G 2 G 3

A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm G Gọi G 1 , G 2 , G 3 là trọng , CAB 1 , ABC 1 Chứng minh G là trọng tâm tam giác

Nhận xét : Hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

AA kBB kCC k0

17

Q E

AD  theo

Bài 6.

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi AM, BN, CP lần

lượt là các đường phân giác trong của tam giác đó Chứng minh rằng:

BN k kca k kbCP k k k

0

Bài 7.

Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng :

tan AHA.tan B.HBtan C.HC  0

Dựng Bx song song với NC cắt AM tai F E

tan

A ; BF k tan

A HA

BHBEBF tan

C HC  tan

A HA

suy ra: tan A.HA  tan B.HB  tan C.HC  0

19

Bài 8.

Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh BC,

CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: aID  bIE  cIF 0

T¬ngtù:b IE( p - c)IA( p - a)IC(2)

c kIF k k k( kp k- kb)IA k k( kp k- ka)IB(3)

20

Bài 9.

Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự

CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: a.AD  b.BE

Lời giải.

Theo bài 11 ta có :

a kID( kp k- kc k) kIB( kp k- kb k)IC (1)

bIE( kp k- kc)IA( kp k- ka)IC(2)

cIF k k k( kp k- kb)IA k k( kp k- ka)IB(3)

Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác Đặt S MBC = S a ,S MCA

= S b , S MAB = S c Chứng minh rằng: S a MA S b MB  S c MC 0

- Cho M trùng với trọng tâm ta được kết quả GAGB GC  0

- Cho M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta được kết quả bài 9

- Nếu tam giác ABC đều thì với mọi điểm M bất kì trong tam giác ta có

xMA k kyMB k kzMC k k k0

Trong đó x, y, z là khoảng cách từ M đến BC , CA, AB

- Nếu M nằm ngoài tam giác ABC , chẳng hạn M thuộc góc BAC , chứng minhtương tự ta có kết quả S a k.MA k S b k.MB k- kS c k.MC k k k0 k.

21

a kbc0

th × a)

 b)   2,NÕu 

 a) ka kb) kb kc0

22

Bài 13.

Cho tam giác ABC, M là một điểm bên trong tam giác H, I, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên BC, CA, AB Chứng minh rằng M là trọng tâm tam giác ABC kkhiv¯chØkhia k2 kMHb k2 kMIc k2 kMK0.

K M

K M

23

y' k k ky' k k kz' x' ky

'z'

A M

Tớnh duy nhất được chứng minh

Bõy giờ giả sử tồn tại x, y ,z thoả món (*) ta phải chứng minh điểm M nằm trong tam giỏc ABC

Lấy A'thàam±n: yA' B zA'C0.

Vì y  0; z  0nên A'thuộcđo³n BC

Khi đó xMA yMBzMC x( yz)MA' 

x(1  x)MA'

Vỡ x > 0; 1 – x >0 nờn M thuộc đoạn AA’

Vậy M nằm trong tam giỏc ABC.

Nhận xột:

Bằng cỏch biểu diễn: MA kOA- kOM,

Kết hợp với nhận xột cuối ta rỳt ra kết luận quan trọng sau đõy:

Cho tam giỏc ABC và điểm O Chứng minh rằng điểm M trong mặt phẳng tồn

x ky kz1 tại duy nhất bộ ba số (x, y, z ) sao cho   (*)

OM k= kxOA k+ kyOB k+ k zOC

24

Bài 16.

Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, A 1 , B 1 , C 1 theo thứ tự

là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng I thuộc miền trong

Lời giải.

AC

Câu 1: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của

tam giác ABC Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?

Chọn A A

Ta có AM  3

AG

2Mặtkhác AM và AG cùng hướng

Câu 2: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của

tam giác ABC Câu nào sau đây đúng?

M

Do M là trung điểm của

Câu 3: NếuGlà trọng tam giác

A AG kABAC

.2

Gọi M là trung điểm của BC nên ta có

AB kAC k2AM

Mà AM 3 AGAB kAC2 3 AG3AG kAG ABAC

26

Câu 4: Cho hai tam giác ABCvà ABC k klần lượt có trọng tâm là kG kvà kG k.

Đẳng thức nào sau đây là sai?

27

Câu 6: Cho G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A' B 'C' Khi

 3GG' (AG  BG  CG)  (G'A'  G'B'  G'C') 3GG'  0

0

Câu 7: Cho tứ giác ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm

trên GC sao cho IC 3IG Với mọi điểm M k kta luôn có

 4MI (IAIBICID)4MI 04MI

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm

của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A OH 4OG B OH 3OG C OH 2OG D 3OH OG

28

 3HO  (OA OB  OC)  2HO  OA OB  OC HO  3OG  OH

Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B

qua G Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC

Ta thấy AHCG là hình bình hành nên

AHAGACAH 2 AMACAH2 1AB k kAC k

Câu 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi các điểm D, E , F lần lượt là

trung điểm của các cạnh BC ,CA và AB Trong các khẳng định sau,

2 AE k 2 A

F

3 3 2 3 3 3

29

Bài toán 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song.

1 Phương pháp:

 Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB và

AC cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: AB kAC

 Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm

A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định.

 ai đường thẳng AB và MN song song khi AB kMN và điểm A không thuộc đường thẳng BC.

Cho a ,b là hai vectơ không cùng phương khi đó:

 Với mọi vectơ x luôn tồn tại duy nhất các số thực m, n sao cho

Cho ABC lấy các điểm I, J thoả mãn IA 2IB , 3 JA2JC 0 Chứng

minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ABC

Lời giải.

A

J G B

I

IA k2IB k kIA k 2IB k k0

3JA 2JC  0  3IA 2IC  5IJ.

Suy ra 2( IA  IB  IC )  5IJ  6 IG  5IJ  I, J, G thẳng hàng.

30

Bài 2.

IA k3IC k 0, FA 2FB  3FC 0 Chứng minh rằng ba điểm I, F, B

thẳnghàng

Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho

DE k kkDI k, muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ kDE, kDI kqua hai vectơ không

cùng phương AB và AD và sử dụng nhận xét " ma nb0 mn 0

với a, kb klà hai vectơ không cùng phương " từ đó tìm được kk k k2

k.3

31

Bài 4.

Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF