SKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy số

SKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy sốSKKN Cách giải bài toán tìm tổng của dãy số

A.đặt vấn đề

Một trong những nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục Tiểu học

là nâng cao chất lợng đại trà, chú trọng mũi nhọn, quan tâm

đến đối tợng các học sinh yếu kém Vì vậy nâng cao chất lợngdạy học nói chung và môn toán nói riêng là yếu tố quan trọng nhấtcủa quá trình dạy học, là cơ sở để nhà trờng tạo niềm tin đối với

địa phơng, phụ huynh học sinh và cấp trên

Dạy học cũng nh bồi dỡng học sinh có năng khiếu đạt chất ợng tốt còn biểu hiện tính nghề nghiệp của ngời thầy trong xãhội hiện nay

l-Với ý thức trách nhiệm của ngời giáo viên, tôi luôn học hỏi vàtìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học mới để bồi dỡng cho học sinhkhá giỏi có hiệu quả hơn, học sinh tiếp thu bài và thực hiện tốtcác yêu cầu của bài tập cũng nh tìm ra nhiều cách giải đúng,nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng bài toán

và lựa chọn phơng pháp để giải

1 Cơ sở lí luận

Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng rất lớn.Việc nâng cao hiệu quả và bồi dỡng năng khiếu toán lớp 4,5 làmột yêu cầu cấp thiết Để đáp ứng với yêu cầu trên ngời giáo viênnên làm rõ cơ sở khoa học của kiến thức về môn toán ở bậc Tiểuhọc Nhiệm vụ cơ bản hàng đầu của việc bồi dỡng năng khiếutoán ở bậc Tiểu học là làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiếnthức và kĩ năng cơ bản về toán học Hình thành cho mình mộtphơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh và khả năng tiếp thu bàicủa học sinh, đặc biệt khi giải toán cần hình thành cho học sinhphơng pháp giải và tìm ra nhiều cách giải

Chơng trình toán lớp 4,5 đã đa ra rất nhiều bài toán vềtính tổng của dãy số viết theo quy luật, nhằm phát huy khả năng

t duy của học sinh Khi giải những bài toán này đòi hỏi học sinhphải tìm ra quy luật của dãy số Sau đó tuỳ theo quy luật để cóphơng pháp giải thích hợp

2 Cơ sở thực tiễn

Các bài toán về dãy số thờng có một số dạng sau:

- Điền số tiếp theo vào dãy số đã cho

- Điền số tiếp theo vào dãy số

- Xác định quy luật của dãy số, xét xem số a có thuộc dãy số

Ví dụ : bớc đầu tôi ra cho các em bài tập sau:

Phần lớn học sinh không viết đợc do không nắm đợc quy luậtcủa dãy số Khi tính tổng học sinh chủ yếu tìm tổng theo cáchtính quy đồng mẫu số rồi tính đối với bài tập 2 hoặc bằng cáchghép cặp đối với bài tập 1, cha biết cách tính nhanh vì các emcha đợc học phơng pháp tính tổng của dãy số bằng cách nhanhnhất Kết quả khảo sát nhận thấy

B GIảI quyết vấn đề

1 Biện pháp thực hiện

Để giúp học sinh nắm phơng pháp giải một cách tốt nhất,

đầu tiên giáo viên phân dạng các bài toán về tính tổng của dãy

số sau đó hớng dẫn phơng pháp giải từng dạng cụ thể, hớng dẫnhọc sinh thông qua một số ví dụ đi từ dễ đến khó

Dạng 1: Tính tổng của dãy số trong đó mỗi số luôn luôn bằng số liền trớc cộng với một lợng không đổi

Ví dụ1: Tính nhanh tổng sau:

S = 1+2 +3 +…+ 98+ 99 +100

Cho học sinh nhận xét đặc điểm của dãy số và nêu cáchtính

- Dãy trên là dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 nên có

100 số hạng, hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vịnên có khoảng cách là1

- GV gợi ý hớng dẫn vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp

để ghép cặp rồi tính

S = 1+ 2 +3+…+ 98+ 99+100

S = (1+100) + (2+99) + (3+98)+ …( 50+51) ( vì có 100 số hạng nên có 100:2= 50 cặp))

50 tổng

100 số hạng 2S =101 ì100 =10100

S =10100 : 2 = 5050

Qua cách giải trên giúp học sinh nắm một số kiến thức về:

Số hạng, số số hạng, khoảng cách, nhận xét rút ra cách giải tổngquát:

Ta gọi các dãy số trong đó mỗi số luôn luôn bằng số liền trớccộng với một số lợng không đổi là dãy số cách đều thì:

Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : khoảng cách + 1

Số cuối = Số đầu + (Số số hạng- 1) x khoảng cách

ì +

Khi HS nắm đợc phơng pháp giải

GV lấy một số bài tập yêu cầu học sinh tự luyện

1.Tìm tổng sau:

a Các số có hai chữ số chia hết cho 5

b Các số có hai chữ số chia hết cho 3

3 ì 4ì3;…thành một hiệu trong đó số bị trừ của hiệu sau thì

bằng số trừ của hiệu liền trớc Nhờ thế ta có thể rút gọn các số

ấy với nhau để làm cho S ì3 chỉ còn lại số hạng 99 ì100ì101 Tatính kết quả rồi đem chia cho 3 đợc S

Qua ví dụ trên ta rút ra cách tính tổng quát

S = 1ì2 + 2ì3 + 3 ì 4 +…+n ì(n +1) =

3

) 2 ( ) 1 ( + ì +

Dạng 3 : Tính tổng của dãy số mà mỗi số hạng đều bằng

số thứ tự của nó nhân với chính số thứ tự ấy

Ví dụ 3: Viết thêm cho đầy đủ rồi tính tổng

S = 1 ×1 + 2 ×2 + 3 × 3 + 4×4 + 5× 5 + 6 ×6 + 7×7 + 8×8 + 9×

9 +10×10

Ph©n tÝch mét thõa sè cña sè h¹ng thµnh hiÖu víi 1

S = 1 ×(2-1) + 2 ×( 3-1 ) + 3 × (4 -1) + 4×(5-1) + 5× (6-1) +6 ×1) + 7×(8-1) + 8×(9-1) +9×(10-1) +10×(11-1)

(7-S = 1 ×2-1 + 2 × 3 - 2 + 3 × 4 -3 + 4×5- 4 + 5 × 6- 5 + 6 ×7- 6 +

7×8 - 7 + 8×9- 8 + 9×10-9 + 10×11-10

S = 1 × 2 + 2 × 3 +3 × 4+ 4 × 5 +5 × 6 + 6 × 7 +7 × 8+ 8 × 9 +9 × 10 +10 × 11-( 1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10)

× n n

S = 3 + 3 + 13 +13 + 55 + 55 + 233 +233

.Ví dụ 5.1: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính

1 +

B

ớc1: Hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật

- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có tử sốbằng 1

-Mẫu số của phân số thành phần bất kì trong tổng bằnghai lần mẫu số của phân số đứng liền trớc nó

-Từ chỗ tìm ra đợc quy luật các em sẽ dễ dàng tìm đợc các

số hạng để viết thêm cho đầy đủ

Số hạng thứ t mẫu số là 8 ì2 = 16 suy ra số hạng là:

16 1

Số hạng thứ năm mẫu số là 16 ì2 = 32 suy ra số hạng là:

32 1

Số hạng thứ sáu mẫu số là 32 ì2 = 64 suy ra số hạng là:

64 1

Số hạng thứ bảy mẫu số là 64ì2 = 128 suy ra số hạng là:

GV nhận xét đó là một cách song với dãy số có nhiều số hạng

sẽ mất nhiều thời gian

Giáo viên hớng dẫn: Ta thấy

1 +

= 1 -

256 1

= 256255

Từ cách giải trên cho HS nhận xét rút ra cách giải tổng quát

Cách (1) Phân tích mỗi số hạng thành hiệu trong đó số bị

trừ của hiệu sau thì bằng số trừ của hiệu liền trớc rồi tính

GV hớng dẫn thêm Cách (2)

Dãy số này có mẫu số của số hạng liền sau gấp đôi mẫucủa số hạng liền trớc nên ta có thể đa về dạng tính tổng s = s x

S =

256 255

Thông qua các bớc trên cho học sinh nhận xét rồi rút ra cáchgiải tổng quát

*Cách giải: Gọi tổng là S, gọi q là khoảng cách Để tính tổng của dãy số hạng này ta làm nh sau:

S =

384 275

Bài tập2: Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

- Đầu tiên hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật

- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có

tử số bằng 1

- Mẫu số của phân số thành phần bất kì trong tổng bằng

ba lần mẫu số của phân số đứng liền trớc nó.( Nên q bằng 3)

Sì3 = (

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

1 + + + + + ) x3= 1+

243

1 81

1 27

1 9

1 3

S x3- S = 1+

243

1 81

1 27

1 9

1 3

729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

S x2 = 1+

243

1 81

1 27

1 9

1 3

1

+ + +

-729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

1 =

S = : 2

729 728

S =

729 364

Dạng 5.2 Tính tổng của dãy số mà tử số của mỗi phân số

đều bằng1, mẫu số có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp trong đó mẫu số của phân số liền sau có thừa số thứ nhất bằng thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số liền trớc

Ví dụ 5.2: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tính

áp dụng cách 1 ở ví dụ 5.1: Phân tích mỗi số hạng thành hiệurồi giải

1

ì =

2 1

1 2

ì

−

=

2 1

1 2 1

2 3 2

3 3 2

2 3

2

1

-3 1

1 11 10

10 11

10

11 11

10

10 11 11 10

=

2 1

1

× +

3 2

1

× +

4 3

1

× +….+

10 9

1

× +

11 10

2

× +

7 5

2

× +…….+

99 97

2

× =

5

1 3

1 − ;

7 5

2

× =

7

1 5

1 − ……;

99 97

2

99

1 97

1 − +

7

1 5

1 − +… +

99

1 97

1 −

S = 1-

99 1

S =

99 98

Dạng 5.3 Tính tổng của dãy số mà tử số của mỗi phân số

đều bằng1, mẫu số có dạng a 1 ìa 2 ; a 2 ìa 3 ; a 3 ìa 4;……… a n ì

a n+2 ( a 1 ,a 2 … a nlà dãy số cách đều khoảng cách là h)

Ví dụ 5.4:Viết thêm cho đầy đủ các số hạng rồi tính tổng

S =

3

1

+ + 15

1 35

1

+….+

143 1

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số

1 35

1

+

99

1 63

1 + +

143 1

1 35

1

+

99

1 63

2 11 9

2 9 7

2 7 5

2 5 3

2 3 1

1 − +

7

1 5

1 − +… +

13

1 11

Từ ví dụ trên rút ra cách giải tổng quát tính tổng của dãy

số dạng :

S =

2 1

1

a

3 2

Trong đó a1; a2 ;……an là dãy số cách đều có khoảng cách là h

Cách giải:

+ Nhân S với h

+ Phân tích mỗi số hạng thành hiệu

+ Rút ra S

Qua những ví dụ trên sau khi phân tích học sinh đã nắm

đợc cách giải, GV đa ra thêm một sốví dụ nâng cao hơn để họcsinh suy luận biến đổi về dạng đã học để áp dụng phơng pháp

đã học rồi giải

Bài tập1 : Tính nhanh tổng sau:

S =

3 2 1

1

ì

4 3 2

1

ì

5 4 3

1

ì

ì +… +

17 16 15

2

ì

2 1

1

ì

-3 2

1

ì ;

4 3 2

1

ì ;……;

17 16 15

2

ì

17 16

1

ì

-3 2

1

ì +

3 2

1

ì

-4 3

1

ì +…… +

17 16

1 16 15

1

ì

-17 16

1

ì =

272

135 272

1 2

S =

544

135 2 : 272

135 =

Bài tập 2 :Tính nhanh tổng sau:

ì + +

7 5

4 5 3

4 3 1

4

23 21

4 21 19

Mẫu số có dạng a1 ìa2; a2 ìa3 ; a3 ìa4;……… an ìan+2 ( a1,a2 cókhoảng cách là 2)

B

ớc 2: Hớng dẫn học sinh biến đổi về dạng có tử số bằng 2( tử

bằng khoảng cách ở mẫu ) để phân tích mỗi số hạng bằng hiệurồi giải

Để có tử số bằng 2( bằng khoảng cách ở mẫu) ta có thể

đặt thừa số 2 ra ngoài

ì + +

7 5

4 5 3

4 3 1

4

23 21

4 21 19

2

7 5

2 5 3

2 3 1

2

23 21

1 − +

7

1 5

1 − +….+

21

1 19

1 19

1 17

S =

23 44

BT ra cho học sinh tự giải

a

20 18

4 18 16

4

8 6

4 6 4

4 4

2

4 3

2 3 2

đạt nh sau:

Lần Tổng số

HS

Tổng sốbài

Giải đúng vànhanh

Tỷ lệ

3.Bài học kinh nghiệm

Muốn cho học sinh học tốt môn toán nói chung và luyện tậpmột số bài tập nâng cao của môn toán nh điền số còn thiếu vàodãy số, tính tổng của dãy số nói riêng, ngời giáo viên phải khôngngừng tìm tòi học hỏi đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, khôngngừng đổi mới phơng pháp dạy học, phát huy tính tích cực củahọc sinh, phải làm sao giúp cho học sinh nắm đợc cách học, hứngthú học toán, không bao giờ bằng lòng với những gì mình có,một bài toán có thể tìm ra nhiều cách giải khác nhau và biếtcách giải hay nhất

Giáo viên phải nắm đợc những khó khăn, các tình huống sailầm đã và sẽ xảy ra với học sinh để có cách hớng dẫn tốt nhất Giáo viên phải giúp học sinh nắm đợc cách học hơn là chútrọng tìm ra kết quả của một bài toán

Không coi trong hay lạm dụng một phơng pháp naò để giảinhiều dạng toán

C kết luận- khuyến nghị 1Kết luận:

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà bản thân rút ratrong công tác giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi lớp 4,5 đạt kết quả.Xin trình bày trớc bạn bè đồng nghiệp với mong muốn góp phần

nâng cao chất lợng dạy toán nói chung và bồi dỡng học sinh giỏinói riêng.

- Rất mong đợc sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp

2 Khuyến nghị

- Đối với tổ chuyên môn nhà trờng:

Cần thờng xuyên tổ chức các chuyên đề về phơng phápgiải toán để tạo nên phong trào học tập, bồi dỡng năng lực chuyênmôn có chất lợng và hiệu quả cho toàn giáo viên

Cần có chính sách động viên hợp lí, kịp thời với những giáoviên có sáng kiến kinh nghiệm hay và mạnh dạn đa sáng kiến vàothực tế giảng dạy đạt hiệu quả tốt, góp phần nâng cao chất lợngdạy và học./

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh lớp 4 , 5 giải bài toán tìm tổng của dãy

địa phơng, phụ huynh học sinh và cấp trên

Dạy học cũng nh bòi dỡng học sinh khá giỏi có chất lợng tốt còn biểu hiện tính nghề nghiệp của ngời thầy trong xã hội hiện nay.Với ý thức trách nhiệm của ngời giáo viên, tôi luôn học hỏi và tìm tòi áp dụng phơg pháp dạy học mới để bồi dỡng cho học sinh khá giỏi có hiệu quả hơn, học sinh tiếp thu bài và thực hiện tốt các yêu cầu của bài tập cũng nh tìm ra nhiều cách giải đúng, nhanh, khoa học đồng thời nắm đợc cách học nhận dạng bài toánvà lựa chọn phơng pháp để giải

1 Cơ sở lí luận

Trong chơng trìnhTiểu học, môn Toán chiếm thời lợng rất lớn.Việc nâng cao hiệu quả và bồi dỡng năng khiếu toán lớp 4,5 là một yêu cầu cấp thiết Để đáp ứng với yêu cầu trên ngời giáo viên nên làm rõ cơ sở khoa học của kiến thức về môn toán ở bậc Tiểu học Nhiệm vụ cơ bản hàng đầu của việc bồi dỡng năng khiếu toán ở bậc Tiểu học là làm cho học sinh nắm đợc hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản về toán học Hình thành cho mình một phơng pháp dạy toán phù hợp hoàn cảnh và khả năng tiếp thu bài

của học sinh đặc biệt khi giải toán cần hình thành cho học sinhphơng pháp giải và tìm ra nhiều cách giải

Chơng trình toán lớp 4,5 đã đa ra rất nhiều bài toán về tính tổng của dãy số, nhằm phát huy khả năng t duy của học sinh Khi giải những bài toán này đòi hỏi học sinh phải tìm ra quy luật của dãy số Sau đó tuỳ theo quy luật để có phơng pháp giải thích hợp

2 Cơ sở thực tiễn

Các bài toán về dãy số liên quan đến phân số thờng có một số dạng sau:

- Điền số tiếp theo vào dãy số đã cho

- Điền số tiếp theo vào dẫy số

- Xác định quy luật của dãy số,xét xem số a có thuộc dãy số

Ví dụ: Viết thêm cho đầy đủ các số hạng trong dãy rồi tínhtổng:

Phần lớn học sinh không viết đợc do không nắm đợc quy luật củadãy số Khi tính tổng học sinh còn làm sai và không làm đợc Chủyếu tìm tổng theo cách tính quy đồng mẫu số rồi tính, chabiết cách tính nhanh vì một số giáo viên còn lúng túng trongviệc cung cấp cho học sinh phơng pháp tính tổng

Vậy làm thế nào để giúp học sinh giải quyết những bếtắc nói trên đó là điều làm tôi băn khoăn Vì vậy mà tôi đãquyết định chọn đề tài: “ Hớng dẫn học sinh khá giỏi lớp 4,5 giảibài toán tìm tổng của dãy số có liên quan đến phân số”

B GIảI quyết vấn đề

1 +

- Đầu tiên hớng dẫn học sinh nhận xét rút ra quy luật

- Nhìn vào dãy số ta thấy tất cả các số hạng của dãy đều có tử sốbằng 1

- Kể từ số hạng thứ hai mẫu số bằng mẫu số của số hạng đứng

Số hạng thứ năm mẫu số là 16 ì2 = 32 suy ra số hạng là:

32 1

Số hạng thứ sáu mẫu số là 32 ì2 = 64 suy ra số hạng là:

64 1

Số hạng thứ bảy mẫu số là 64ì2 = 128 suy ra số hạng là:

128 1

Số hạng thứ tám mẫu số là 128 ì2 = 256 suy ra số hạng là:

256 1

Dãy số đợc viết đầy đủ là:

= 1 -

256 1

= 256255

Tõ c¸ch gi¶i trªn cho HS nhËn xÐt rót ra c¸ch gi¶i tæng qu¸t

C¸ch (1) Ph©n tÝch mçi sè h¹ng thµnh hiÖu råi tÝnh

= 256255

Th«ng qua c¸c bíc trªn cho häc sinh nhËn xÐt råi rót ra c¸ch gi¶i tæng qu¸t

Cách giải: Gọi tổng là S, gọi q là khoảng cách Để tính tổng của dãy số hạng này ta làm nh sau:

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số

+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1

+ Mẫu số có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp

2 = 1 ì2 ; 6 = 2 ì 3 ; 12 = 3ì4 ; ….; 90 =9 ì10; 110 = 10 ì11Vậy các số hạng tiếp theo có thể điền:

áp dụng cách 1 ở ví dụ 1: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu

1

ì =

2 1

1 2

ì

−

=

2 1

1 2 1

2 3 2

3 3 2

2 3

2

1

-3 1

1 11 10

10 11

10

11 11

10

10 11 11 10

1

ì +

4 3

1

ì +….+

10 9

1

ì +

11 10

2

ì +

7 5

2

ì +…….+

99 97

+Tử bằng khoảng cách ở mẫu

Bớc 2: Phân tích mỗi số hạng thành hiệu rồi tính tổng

Ta thấy:

3 1

2

ì =

5

1 3

1 − ;

7 5

2

ì =

7

1 5

1 − ……;

99 97

2

99

1 97

1 − +

7

1 5

1 − +… +

99

1 97

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số

1 35

1

+

99

1 63

1 + +

143 1

1 35

1

+

99

1 63

2 11 9

2 9 7

2 7 5

2 5 3

2 3 1

1 − +

7

1 5

1 − +… +

13

1 11

1 −

= 1-

13 1

=

13 12

Từ ví dụ trên rútt ra cách giải tổng quát tính tổng của dãy số dạng :

Trong đó a1; a2 ;……an là dãy số cách đều có khoảng cách là h

Ví dụ: Tính nhanh tổng sau

Bớc 1: Cho HS nhận xét đặc điểm của dãy số

+ Các số hạng trên đều có tử số bằng1

+ Kể từ số hạng thứ hai mẫu số bằng mẫu số của số hạng

đứng trớc nhân với 2

Bớc 2: Giải

Từ nhận xét trên ta thấy bài toán có dạng ở ví dụ 1, từ đó áp dụng

cách giải ở ví dụ 1.Có thể chọn một trong hai cách

Ví dụ : Giải cách hai

=

384 275

Hay dạng bài tập sau: Tính tổng sau:

S =

3 2 1

1

ì

4 3 2

1

ì

5 4 3

1

ì

ì +… +

17 16 15