Chuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So NhanChuong III Day So Cap So Cong Cap So Nhan
CHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I Phương pháp chứng minh qui nạp Để chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p ≥ phương pháp qui nạp, ta tiến hành theo bước Bước Kiểm tra mệnh đề với n = p Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p (gọi giả thiết qui nạp), chứng minh với n = k + II Dãy số Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vơ hạn Trong u1 số hạng đầu un số hạng tổng quát III Cách cho dãy số Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Dãy số cho phương pháp mô tả: mô tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số Dãy số cho phương pháp truy hồi a Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu b Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng vài số hạng đứng trước IV Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn Dãy số tăng dãy số giảm Dãy số (un) gọi dãy số tăng un+1 > un với số nguyên dương n Dãy số (un) gọi dãy số giảm un+1 < un với số nguyên dương n Dãy số (un) với un = 2n dãy số tăng un+1 – un = 2(n + 1) – 2n = > nên un+1 > un Dãy số bị chặn Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho: u n ≤ M, với số nguyên dương n Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho: m ≤ un, với số nguyên dương n Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn V Cấp số cộng Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ 2, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Công thức truy hồi: un+1 = un + d với số nguyên dương n Nếu d = cấp số cộng dãy số không đổi Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (u n) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ Tính chất số hạng cấp số cộng uk–m + uk+m = 2uk (với k > m ≥ 1) n(u1 + u n ) n[2u1 + (n − 1) d] = Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: Sn = u1 + u2 + u3 + … + un = 2 VI Cấp số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạn thứ 2, số hạn tích số hạng đứng trước với số không đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có un+1 = unq, với số nguyên dương n Số hạng tổng quát: un = u1qn–1 với n ≥ Tính chất số hạng cấp số nhân: (uk)² = uk–m.uk+m (k > m ≥ 1) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân u1 (1 − q n ) Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ Sn = u1 + u2 + + un = 1− q TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu Cho đẳng thức a + + + … + (2n + 1) = n² b 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3 c 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²/4 d 1² + 2² + 3² + 4² + + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6 Số đẳng thức với số nguyên dương n A B C D Câu Viết tiếp số hạng thứ 3; 4; dãy số (un) có u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un+1 + un A 2; 3; B 3; 4; C 2; 5; D 3; 5; Câu Cho dãy số (un) sau a un = 2n+1 – 2n b un = 2.3n–1 – c un = (1/n – 2n)² d un = (n + 1)/n Số dãy số tăng A B C D Câu Công thức số hạng tổng quát dãy số (un) có u1 = 1, un+1 = 2un + A un = 2n+1 – 1B un = 2n+1 – 2C un = 2n+1 – 3D un = 2n+1 – Câu Công thức số hạng tổng quát dãy số (un) có u1 5/4; 2un+1 = un + A un = + 1/2n–1 B un = + 1/2n+1 C un = + 1/2n D un = + 1/2n+1 Câu Cho dãy số (un) sau n +1 (−1) n a un = b un = c un = 1/n² + 2n d un = 2n(2n – 5) n+2 n +1 Số dãy số giảm A B C D Câu Cho dãy số (un) sau a un = 2n/(n + 2) b un = 2n – 3/n c un = 2n – n² + d un = (–1)n/(n² + 1) Số dãy số bị chặn A B C D Câu Cho dãy số (un) sau a un = 12n – 11 b un = n(3n – 2) c un = – n d un = (n + 1)² – n² Những dãy số cấp số cộng gồm A a c B a, c d C a, b c D b, c d Câu Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un), biết u1 + 2u5 = S4 = 14 A u1 = d = –3 B u1 = d = –1 C u1 = d = –2 D u1 = d = –4 Câu 10 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un), biết u4 = 10; u7 = 22 A u1 = –8 d = B u1 = d = C u1 = –2 d = D u1 = d = Câu 11 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un), biết u1 + u5 – u3 = 10; u1 + u6 = 17 A u1 = d = B u1 = 16 d = –3 C u1 = –3 d = D u1 = 15 d = –3 Câu 12 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un), biết u3 = –15 u8 = 25 A u1 = –31; d = B u1 = –35; d = 10 C u1 = –31; d = 10 D u1 = –35 d = Câu 13 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un), biết u7 + u15 = 60 (u4)² + (u12)² = 1170 A u1 = –12; d = u1 = 0; d = 21/5 B u1 = –10; d = u1 = 0; d = 21/5 C u1 = –10; d = 21/5 u1 = 0; d = D u1 = –12 d = 21/5 u1 = 0; d = Câu 14 Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng (un), biết u1 + u3 + u5 = –12 u1u2u3 = A u1 = –2; d = –1 B u1 = –1; d = –2 C u1 = 1; d = –2 D u1 = d = –3 Câu 15 Một cấp số cộng gồm số hạng với số hạng đầu –15 số hạng cuối 69 Các số hạng lại A –2; 11; 23; 35; 47; 58 B –3; 11; 23; 35; 47; 59 C –2; 10; 21; 33; 45; 57 D –3; 9; 21; 33; 45; 57 Câu 16 Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng tăng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 A 4; 9; 14 B 3; 9; 15 C –1; 9; 19 D 0; 9; 18 Câu 17 Ba cạnh tam giác vng có độ dài số nguyên dương lập thành cấp số cộng có cơng sai Tìm ba cạnh A 3; 5; B 5; 7; C 4; 6; D 6; 8; 10 Câu 18 Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Số đo góc nhỏ A 40° B 15° C 30° D 45° Câu 19 Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm cơng sai cấp số cộng A d = 40° B d = 30° C d = 25° D d = 35° Câu 20 Tìm x cho số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, biết a = 10 – 3x, b = 3x² + 5, c = – 4x A x = 1/2 V x = –5/3 B x = –1/2 V x = 5/3 C x = V x = –10/3 D x = –1 V x = 10/3 Câu 21 Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = công sai d = Tìm n cho tổng n số hạng cấp số cộng 3003 A n = 77 B n = 78 C n = 79 D n = 80 Câu 22 Cho dãy số (un) sau a un = 3.(–2)2n+1 b un = (–1)n.33n+1 c u1 = un+1 = 2un + d un = 3n – Số cấp số cộng dãy số A B C D Câu 23 Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân (un), biết u1 – u3 + u5 = 65; u1 + u7 = 325 A u1 = q = ±2 B u1 = q = ±3 C u1 = q = ±2 D u1 = q = ±3 Câu 24 Tìm cơng bội cấp số nhân (un) dãy số giảm có u2 – u3 = 768 u2 – u5 = 1008 A q = –5/4 B q = 1/5 C q = –4/5 D q = 1/4 Câu 25 Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (–2)n+1.3n+2 Chọn kết luận A Dãy số cấp số nhân có cơng bội q = B Dãy số cấp số nhân tăng C Dãy số khơng có chặn chặn D Dãy số cấp số nhân giảm Câu 26 Tìm số hạng đầu cấp số nhân hữu hạn, biết công bội –3, tổng số số hạng 364 số hạng cuối 486 A –1 B C D –2 Câu 27 Tìm cơng bội cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 A q = 3/2 B q = C, q = 5/2 D q = Câu 28 Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số A q = 1/2 B q = C q = 1/4 D q = Câu 29 Tìm số hạng đầu cấp số nhân tăng, biết tổng số hạng đầu 148, đồng thời số hạng đầu số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng A B 12 C 27 D 36 Câu 30 Tìm số hạng đầu a, b, c cấp số nhân, biết a, b + 2, c tạo thành cấp số cộng a, b + 2, c + lập thành cấp số nhân A 4; 8; 16 4/25; 16/25; 64/25 B 2; 4; 4/25; –16/25; 64/25 C 2; 4; 4/25; 16/25; 64/25 D 4; 8; 16 4/25; –16/25; 64/25 Câu 31 Tìm số a, b, c, d theo thứ tự giảm dần a, b, c ba số hạng cấp số nhân, b, c, d ba số hạng cấp số cộng; a + d = 32 b + c = 24 A 30; 18; B 32; 16; C 16; 8; D 24; 12; Câu 32 Tìm số a, b cho a, a + 2b, 2a + b số liên tiếp cấp số cộng (b + 1)², ab + 5, (a + 1)² ba số liên tiếp cấp số nhân A a = b = 12 B a = 12 b = C b = a = D a = b = Câu 33 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) = 53130 A n = 20 B n = 21 C n = 22 D n = 23 Câu 34 Cho dãy số (un) có u1 = 5/4; 2un+1 = un + với số nguyên dương n Chọn kết luận A Dãy số có số hạng tổng quát un = 2–n–1 + (n ≥ 1) B Dãy số (un) không bị chặn C Dãy số (un) không bị chặn D Dãy số (un) dãy số tăng bị chặn Câu 35 Cho dãy số (un) sau a un = 2–n b un = (–2)n + 2n c u1 = 2; un+1 = un + (–1)n d un = (–1)n(1 + un) Số dãy số không bị chặn A B C D Câu 36 Tìm số hạng đầu cấp số nhân tăng (un) có u1u2u3 = 4096 S3 = 56 A u1 = B u1 = C u1 = D u1 = Câu 37 Một cấp số nhân (un) có số hạng, biết cơng bội q = –1/2 u1 + u4 = 63 Tìm số hạng thứ A u5 = B u5 = 9/2 C u5 = 7/2 D u5 = Câu 38 Các biểu thức x + 5y, 5x + 2y, 8x + 2y có giá trị theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đồng thời x – 1, y + 3, x – 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x, y A x = –3; y = –1 x = 27/2; y = 9/2 B x = –9/2; y = –3/2 x = 3; y = C x = 9/2; y = 3/2 x = –3; y = –1 D x = –27/2; y = –9/2 x = 3; y = Câu 49 Tìm hai số dương a b biết ba số 1; a + 8; b theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số 1; a; b theo thứ tự lập thành cấp số nhân A a = b = 16 B a = b = C a = b = D x = b = 25 Câu 50 Một cấp số cộng tăng (u n) cấp số nhân tăng (vn) có số hạng thứ u1 = v1 = 5; biết u2 – v2 = 10 u3 = v3 Tìm cơng bội q cấp số cộng công sai d cấp số cộng A d = 20 q = B d = 15 q = C d = 10 q = D d = 15 q = n Câu 51 Cho dãy số (un) với un = – Tính tổng 10 số hạng đầu dãy số A 2056 B 2066 C 2036 D 2026 Câu 52 Cho dãy số (un) có tổng n số hạng Sn = (7n – 3n²)/2 với n > Số hạng tổng quát A – 3n B – n C – 2n D – n Câu 53 Cho hai cấp số cộng (u n) (vn) có tổng n số hạng S n = 2n² + n với n > Tn = n² + 7n với n > Tính tỉ số u1/v1 A 3/7 B 3/8 C 1/2 D 5/7 Câu 54 Gọi a nghiệm phương trình x² – 3x + = Xét dãy số (u n) có un = an + 1/an với n ≥ Chọn kết luận A Dãy số bị chặn B Dãy số có số hạng số nguyên C Dãy số giảm D Dãy số có số hạng đầu u1 = –3 2n + Câu 55 Cho dãy số (un) có un = Số hạng 1/5 số hạng thứ mấy? n +1 A 12 B 11 C 10 D Câu 56 Cho dãy số (un) có un = cos (nπ/3) với n nguyên dương Số giá trị khác dãy số A B C D Câu 57 Cho dãy số (un) có số hạng un số dư phép chia n cho Chọn kết luận sai A Dãy số có giá trị khác B Dãy số bị chặn C Nếu um = un |m – n| chia hết cho D Số hạng nhỏ u1 Câu 58 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = un+1 = 3un với số nguyên dương n Số hạng tổng quát A un = 5.3n B un = 5.3n–1 C un = 5.3n–2 D un = 5.3n–3 Câu 59 Cho dãy số (un) có u1 = un+1 = 3un + 2n với số nguyên dương n Số hạng tổng quát A un = (1/2).3n–1 + n – 1/2 B un = (1/2).3n–1 – n – 1/2 n–1 C un = (5/2).3 – n – 1/2 D un = (5/2).3n–1 + n – 1/2 Câu 60 Cho dãy số (un) có u1 = un+1 = 2un – n với số nguyên dương n Số hạng tổng quát A un = n + – 2n–1 B un = n – – 2n–1 C un = n + + 2n–1 D un = n – + 2n–1 2n + Câu 61 Cho dãy số (un) có un = Chọn kết luận 2n + A Dãy số bị chặn mà không bị chặn B Dãy số bị chặn mà không bị chặn C Dãy số bị chặn D Dãy số không bị chặn không bị chặn Câu 62 Cho dãy số (un) có u1 = 1; um+n = um + un + m.n với m, n số nguyên dương Số hạng tổng quát A un = n(n + 1) B un = n(n + 1)/2 C un = n(n + 1)/3 D un = n(n + 1)/4 Câu 63 Cho dãy số (un) có u1 = 1; u2 = –7; un+2 = 5un+1 – 6un với số nguyên dương n Số hạng tổng quát A un = 2n – 3n–1 B un = 5.2n – 3n+1 C un = –2n + 3n–1 D un = 3.2n – 5.3n–1 Câu 64 Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng (un) có u9 = 5u2; u13 = 2u6 + A u1 = d = B u1 = d = C u1 = d = D u1 = d = Câu 65 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng (un) có u5 = 10; S10 = A u1 = 46 d = –9 B u1 = 86 d = –19 C u1 = –22 d = D u1 = –62 d = 18 Câu 66 Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng (u n) có tổng n số hạng S n = 3n + n² với số nguyên dương n A u1 = d = B u1 = d = C u1 = d = D u1 = d = Câu 67 Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 + u8 + u12 + u16 = 16 Tính tổng 19 số hạng đầu S19 A S19 = 76 B S19 = 152 C S19 = 138 D S19 = 252 Câu 68 Cho cấp số cộng (un) có m²Sn = n²Sm với m, n hai số nguyên dương Tính tỉ số u2017 / u1 A 4034 B 4033 C 8069 D 8070 Câu 69 Tìm số nguyên dương n biết (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + … + 3n = 2265 A n = 31 B n = 30 C n = 28 D n = 29 Câu 70 Tìm số nguyên dương n biết + + + + (n – 1) = 2017n A n = 4032 B n = 4033 C 4034 D n = 4035 Câu 70 Cho dãy số (un) có u1 = un – un+1 + = 1/n – 1/(n + 1) với số nguyên dương n Số hạng tổng quát A un = 3n – + 1/n B un = – 3n + 1/n C un = + 3n – 1/n D un = 3n – – 1/n Câu 71 Cho số a; b; a + b ≠ cho 3/a; 1/(a + b); –1/b theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tỉ số a²/b² A B 1/3 C D 1/2 Câu 72 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân (un) có u10 = 32 u15 = 256u7 A u1 = 16/5; q = B u1 = 1/16; q = C u1 = 1/16; q = 1/2 D u1 = 16/5; q = 1/2 Câu 73 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân (un) có u4 – u2 = 54 u5 – u3 = 108 A u1 = q = B u1 = q = C u1 = q = –2 D u1 = q = –2 Câu 74 Tìm x, y biết x; y; 12 số hạng liên tiếp cấp số nhân x; y; số hạng liên tiếp cấp số cộng A x = y = x = 27 y = 18 B x = 108 y = 36 x = y = C x = 27 y = 18 x = 36 y = 18 D x = 54 y = 27 x = 36 y = 18 Câu 75 Tìm x biết ba số cos (x – π/4); sin x; cos (x + π/4) số hạng liên tiếp cấp số nhân A x = ±π/3 + k2π, k số nguyên B x = ±π/6 + k2π, k số nguyên C x = ±π/3 + kπ, k số nguyên D x = ±π/6 + kπ, k số nguyên Câu 76 Cho x, y, z ba số hạng liên tiếp cấp số nhân giảm thỏa mãn xyz = 64 x³ + y³ + z³ = 584 Tìm x, y, z A x = 32; y = z = 1/2 B x = 8; y = z = C x = 2; y = z = D x = 1/2; y = z = 32 Câu 77 Cho x, y, z ba số hạng liên tiếp cấp số nhân có cơng bội q thỏa mãn |q| < 1; 1/x + 1/y + 1/z = 14 xy + yz + zx = –7/108 Tìm x, y, z A x = 1/18; y = –1/6 z = 1/2 B x = 1/3; y = –1/6 z = 1/12 C x = 1/2; y = –1/6 z = 1/18 D x = 1/12; y = –1/6 z = 1/2 n 1 ( −1) Câu 78 Tính S = lim [ − + − + + n ] A S = –1/3 B S = 1/3 C S = –1 D S = Câu 79 Cho ΔABC có 3sin A; 2sin B; 2sin C ba số hạng liên tiếp cấp số nhân A – C = 60° Số đo góc B A 30° B 60° C 45° D 54° Câu 80 Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình x² – x + c = x 3, x4 hai nghiệm phương trình x² – 4x + d = Tính c, d biết x1, x2, x3, x4 lập thành cấp số nhân tăng A c = 2/9; d = 32/9 B c = 3/16; d = 243/16 C c = 4/25; d = 1024/25 D c = 6/25; d = 243/50 Câu 81 Cho cấp số cộng (u n) có cơng sai d ≠ cấp số nhân (v n) có cơng bội q > thỏa mãn u = v1 = –2; u2 = v2; u3 = v3 + Tìm d q A d = q = B d = q = C d = –4 q = D d = –4 q = Câu 82 Cho dãy số (un) có u1 = 2, un+1 = + 4un Số hạng tổng quát A un = 2.4n–1 + B un = 2.4n–1 – C un = 3.4n–1 – D un = 3.4n–1 + ...TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu Cho đẳng thức a + + + … + (2n + 1) = n² b 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n +