Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ‡ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ‡ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
i s 11 Trn S Tựng Trang 54 I. Phng phỏp qui np toỏn hc chng minh mnh cha bin A(n) l mt mnh ỳng vi mi giỏ tr nguyờn dng n, ta thc hin nh sau: ã Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1. ã Bc 2: Gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng n = k tu ý (k 1), chng minh rng mnh ỳng vi n = k + 1. Chỳ ý: Nu phi chng minh mnh A(n) l ỳng vi vi mi s nguyờn dng n p thỡ: + bc 1, ta phi kim tra mnh ỳng vi n = p; + bc 2, ta gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng bt kỡ n = k p v phi chng minh mnh ỳng vi n = k + 1. Baứi 1: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 1 + 2 + + n = (1) 2 nn + b) 222 (1)(21) 12 6 nnn n ++ +++= c) 2 333 (1) 12 2 nn n ộự + +++= ờỳ ởỷ d) 2 1.42.7 (31)(1) nnnn ++++=+ e) (1)(2) 1.22.3 (1) 3 nnn nn ++ ++++= f) 111 1.22.3(1)1 n nnn +++= ++ Baứi 2: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 221 n n >+ (n 3) b) 2 225 n n + >+ c) 22 111 1 2 2 n n +++<- (n 2) d) 13211 242 21 n n n - < + e) 11 1 2 2 n n +++< f) 11113 12224 nnn +++> ++ (n > 1) Baứi 3: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú: a) 3 11 nn + chia ht cho 6. b) 32 35 nnn ++ chia ht cho 3. c) 2221 7.23 nn + chia ht cho 5. d) 3 2 nn + chia ht cho 3. e) 212 32 nn ++ + chia ht cho 7. f) 131 n - chia ht cho 6. Baứi 4: Chng minh rng s ng chộo ca mt a giỏc li n cnh l (3) 2 nn - . Baứi 5: Dóy s (a n ) c cho nh sau: 11 2,2 nn aaa + ==+ vi n = 1, 2, Chng minh rng vi mi n ẻ N* ta cú: 1 2cos 2 n n a + = p . CHNG III DY S CP S Trn S Tựng i s 11 Trang 55 II. Dóy s 1. Dóy s :* () u nun đ ƠĂ a Dng khai trin: (u n ) = u 1 , u 2 , , u n , 2. Dóy s tng, dóy s gim ã (u n ) l dóy s tng u n+1 > u n vi " n ẻ N*. u n+1 u n > 0 vi " n ẻ N* 1 1 n n u u + > vi " n ẻ N* ( u n > 0). ã (u n ) l dóy s gim u n+1 < u n vi " n ẻ N*. u n+1 u n < 0 vi " n ẻ N* 1 1 n n u u + < vi " n ẻ N* (u n > 0). 3. Dóy s b chn ã (u n ) l dóy s b chn trờn $ M ẻ R: u n Ê M, " n ẻ N*. ã (u n ) l dóy s b chn di $ m ẻ R: u n m, " n ẻ N*. ã (u n ) l dóy s b chn $ m, M ẻ R: m Ê u n Ê M, " n ẻ N*. Baứi 1: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ) cho bi: a) 2 2 21 1 n n u n - = + b) (1) 21 n n n u n +- = + c) 2 1 1 n n u n - = + d) 1 3 n n u ổử =- ỗữ ốứ e) 2 cos n unn =+ f) (1)! 2 n n n u + = Baứi 2: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ) cho bi: a) ( ) 11 1 2,1 3 nn uuu + ==+ b) 1221 15,9, nnn uuuuu ++ ===- c) 11 2 2 0, 1 n n uu u + == + d) 1221 1,2,2 nnn uuuuu ++ ==-=- Baứi 3: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u n ), d oỏn cụng thc s hng tng quỏt u n v chng minh cụng thc ú bng qui np: a) 11 1,23 nn uuu + ==+ b) 2 11 3,1 nn uuu + ==+ c) 11 3,2 nn uuu + == d) 11 1,21 nn uuu + =-=+ e) 11 1,7 nn uuu + ==+ e) 1 5 4 u = , 2 1 1 + = + n n u u S: a) n n u 1 23 + =- b) n un 8 =+ c) n n u 1 3.2 - = d) n u 1 =- e) n un 76 =- f) n n n u 1 1 21 2 + + + = Baứi 4: Xột tớnh tng, gim ca cỏc dóy s (u n ) cho bi: a) 21 32 n n u n + = - b) 41 45 n n n u - = + c) (1) 2 n n u n - = + d) 2 2 1 1 n nn u n ++ = + e) 2 cos n unn =+ f) 2 n n u n - = Baứi 5: Xột tớnh b chn trờn, b chn di, b chn ca cỏc dóy s (u n ) cho bi: a) 23 2 n n u n + = + b) 1 (1) n u nn = + c) 2 4 n un =+ Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 56 d) 2 2 2 1 n nn u nn + = ++ e) 2 2 n n u nnn = ++ f) (1)cos 2 n n u n =- p III. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (u n ) là cấp số cộng Û u n+1 = u n + d, " n Î N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: 1 (1) n uund =+- với n ³ 2 3. Tính chất các số hạng: 11 2 kk k uu u -+ + = với k ³ 2 4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1 12 () 2 n nn nuu Suuu + =+++= = 1 2(1) 2 nund éù +- ëû Baøi 1: Trong các dãy số (u n ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: a) u n = 3n – 7 b) 32 5 n n u + = c) 2 n un = d) 3 n n u = e) 73 2 n n u - = f) 1 2 n n u =- Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: a) 153 16 10 17 uuu uu ì +-= í += î b) 253 46 10 26 uuu uu ì +-= í += î c) 3 14 15 18 u u ì =- í = î d) 73 27 8 .75 uu uu ì -= í = î e) 715 22 412 60 1170 uu uu ì += ï í += ï î f) 135 123 12 8 uuu uuu ì ++=- í = î Baøi 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng. b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. Baøi 4: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66. Baøi 5: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó. b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 3 0 . Tìm số đo của các góc đó. c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó. Baøi 6: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: a) 222222 ;; xbbccyccaazaabb =++=++=++ b) 222 ;; xabcybcazcab =-=-=- Baøi 7: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: a) 2 103;23;74 axbxcx =-=+=- b) 2 1;32;1 axbxcx =+=-=- Baøi 8: Tìm các nghiệm số của phương trình: 32 15711050 xxx -+-= , biết rằng các nghiệm số phận biệt và tạo thành một cấp số cộng. Baøi 9: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng? Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 57 IV. Cấp số nhân 1. Định nghĩa: (u n ) là cấp số nhân Û u n+1 = u n .q với n Î N* (q: công bội) 2. Số hạng tổng quát: 1 1 . n n uuq - = với n ³ 2 3. Tính chất các số hạng: 2 11 . kkk uuu -+ = với k ³ 2 4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1 1 1 (1) 1 1 n n n Snuvôùiq uq Svôùiq q é == ê - ê =¹ ê - ë Baøi 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a) 42 53 72 144 uu uu ì -= í -= î b) 135 17 65 325 uuu uu ì -+= í += î c) 35 26 90 240 uu uu ì += í -= î d) 123 123 14 64 uuu uuu ì ++= í = î e) 123 123 21 1117 12 uuu uuu ì ++= ï í ++= ï î f) 1234 2222 1234 30 340 uuuu uuuu ì +++= ï í +++= ï î Baøi 2: a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Baøi 3: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Baøi 4: a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486. b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. Baøi 5: a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. b) Độ dài các cạnh của DABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng DABC có hai góc không quá 60 0 . Baøi 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560. Baøi 7: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó. Baøi 8: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148 9 , đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Baøi 9: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân. Baøi 10: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24. Baøi 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1) 2 , ab + 5, (a + 1) 2 lập thành một cấp số nhân. Baøi 12: Chứng minh rằng nếu 3 số 212 ,, yxyyz lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân. Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 58 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1: Tính tổng : Snn 1.22.3 (1) =++++ Bài 2: Dãy số () n u xác định bởi công thức: 1 1 1 31 nn u uu + = ì ï í =- ï î với 1 n ³ . Chứng minh dãy số tăng bằng phương pháp quy nạp Bài 3: Cho dãy số )( n u xác định bởi: 4 5 1 =u và 2 1 1 + = + n n u u với mọi 1 ³ n . a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi 1 ³ n ta có 1 2 1 1 += +n n u . b) Chứng minh rằng dãy số )( n u là dãy giảm và bị chặn. Bài 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số () n u với: a) n n u 2 - = b) 31 4 n n n n u + = Bài 5: Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 =2 và 1 2 nn uu + =+ với mọi 1 n ³ . Chứng minh u n = 2 với mọi 1 n ³ . Có nhận xét gì về dãy số này ? Bài 6: Cấp số cộng: a) Tìm các nghiệm của phương trình: xxx 32 –1571 –1050 += . Biết rằng các nghiệm này tạo thành một cấp số cộng. b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đó. c) Cho phương trình xmxm 422 –(34) (1)0 +++= . Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. d) Cho các số a, b, c thoả mãn 111 ,, abacbc +++ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng abc 222 , , cũng tạo thành một cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng: qrarpbpqc (–)(–)(–)0 ++= f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là n Snn (5–3) = . Tìm số hạng thứ p của cấp số cộng đó. g) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là n Sn 71 =+ và n Tn 47 =+ . Tìm tỉ số 11 11 u v của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đó. Bài 7: Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số hạng đầu bằng 56. b) Một cấp số nhân () n u có 5 số hạng, biết công bội 1 4 q = và 14 24 uu += . Tìm các số hạng của cấp số nhân này. Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số xyxyxy 6,52,8 +++ , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Đồng thời 1,2,3 -+- xyxy theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y. b) Cho 3 số có tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số nhân đó biết nếu số thứ nhất giảm 4 thì ta được 3 số lập thành cấp số cộng. c) Tìm hai số a và b biết ba số: 1 , 8 a + , b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1, , ab theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 59 d) Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng của chúng là 280? e) Một CSC và một CSN có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ 2 của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy? Bài 9: Cho dãy số (u n ) với 25 25 nn n nn u - = + . Tính 10 1210 111 111 S uuu =+++ . Bài 10: Cho dãy số (u n ), kí hiệu tổng n số hạng đầu tiên của nó là S n , được xác định 2 37 2 nn S n - = . a) Tính u 1 , u 2 , u 3 . b) Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nó. Bài 11: a) . các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Baøi 3: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. qrarpbpqc (–) (–) (–) 0 ++= f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là n Snn ( 5–3 ) = . Tìm số hạng thứ p của cấp số cộng đó. g) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là n Sn 71 =+ và. bằng 56. b) Một cấp số nhân () n u có 5 số hạng, biết công bội 1 4 q = và 14 24 uu += . Tìm các số hạng của cấp số nhân này. Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số xyxyxy 6,52,8 +++ ,