|'` VŨ HỮU BÌNH (Chủ biên)
'TRẦN HỮU NAM - PHẠM THỊ BẠCH NGỌC NGUYÊN TAM SƠN
TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ
PHAN CONG BIEN SOAN
NGUYEN TAM SON : Các chuyên đề từ 1 đến 1ó PHAM THI BACH NGOC: Chuyén dé 17
TRAN HUU NAM: Các chuyên đề 18 vờ 19
Ảnh minh hoa bia 1:
Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (1601 — 1665)
Trang 2Bộ sách Tài liệu chuyên Toán Trung học cơ sở gồm 8 cuốn, từ
lớp 6 đến lớp 9, mỗi lớp 2 tập (tập một: Đại số, tập hai: Hình học),
được biên soạn nhằm :
~ Cung cấp cho các em học sinh một tài liệu có hệ thống và khá
đầy đủ để học tập chun sâu về mơn Tốn ở cấp Trung học cơ sở
~ Tạo nguồn cho các lớp chuyên Toán ở Trung học phổ thông và giúp
các em học sinh lớp 9 thi vào lớp 10 chuyên Toán
~ Giúp các cán bộ chỉ đạo mơn Tốn, các thầy cô giáo dạy Toán ˆ_ có thêm tài liệu để chỉ đạo và giảng dạy chuyên sâu về Toán tại các hoạt động chuyên đề, ngoại khóa, các câu lạc bộ Toán học nhằm bồi dưỡng cho học sinh về kiến thức, kĩ năng, tư duy và những phẩm chất
tốt trong học tập, nghiên cứu và sáng tạo, góp phần vào việc đào tạo
và bồi dưỡng nhân tài
Nhóm tác giả của bộ sách là những thầy cô giáo đã và đảng giảng
dạy ở các lớp chuyên Toán của các trường Đại học, các trường Trung
học cơ sở có uy tín, những chuyên gia Toán có kinh nghiệm ở Tạp chí
Toán học & tuổi trẻ và Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
Cuốn sách Tải liệu chuyên toán THCS Toán 8, tập một : Đại số
gồm 16 chuyên đề cơ bản và 4 chuyên đề nâng cao
Ở mỗi chuyên để cơ bản, cuốn sách không lặp lại các nội dung đã
có trong Sách giáo khoa mà chỉ tóm tắt các kiến thức cơ bản, đồng
thời bổ sung thêm một số kiến thức cần thiết Do đó, khi giảng dạy
các chuyên đề, các thầy cô giáo nên sử dụng kết hợp tài liệu này với
Sách giáo khoa Các ví dụ minh hoạ được chọn lọc nhằm giúp học
sinh biết cách giải và trình bày lời giải một số dạng toán nâng cao thường gặp Sau đó là các bài tập có hướng dẫn giải
Các chuyên đề nâng cao nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu và rộng hơn
những nội dung có liên quan đến chương trình, chúng được trình bày
để học sinh có thể tiếp thu được
Chúng tôi hi vọng cuốn sách này sẽ là một tài liệu thiết thực và bổ ích giúp các em hiểu sâu sắc những kiến thức Toán đã học, góp phần
vào việc nang cao chất lượng đào tạo và bồi dưỡng học sinh giỏi
Toán ở cấp Trung học cơ sở
Mặc dù các tác giả đã làm việc nhiệt tình, nghiêm túc và có trách nhiệm, tuy nhiên, cuốn sách vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót
Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc Các góp
ý xin gửi về :
Ban Toán - Tin, Công ty CP Dịch vụ Xuất bản Giáo dục Hà Nội, Nhà xuất bắn Giáo dục Việt Nam, 187B Giảng Võ, Hà Nội
: Chủ biên
Trang 3CÁC CHUYÊN ĐỀ CƠ BẢN hương ¡ - PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chuyon dé 1 NHÂN BA THUR - CAC HANG SANG THUC SANG NH I KIẾN THỨC CƠ BẢN
† Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử
của đạ thức rồi cộng các tích với nhau :
A(B+C-D)=AB+AC-AD
2 Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích tìm được với nhau ;
(A +B)(C+D~E) = AC + AD-~ AE + BC + BD - BE 3 Các hằng đẳng thức đáng nhớ : * (a+b)` =a2+2ab + bể (@) * (a-b)° =a2~2ab+bỂ Q) * a2~b` =(a+b)(a=b) (3) * (a+b)` =a`+3a”b+3ab2+bŸ (4) =a’ +b? +3ab(a+b) * (a-b)` =aŸ~3a”b + 3ab ~bŸ (5) =a? ~b*—3ab(a-b) * beb® = (a+b)&2=ab+bŸ) © * ~=bŸ =(a=b)@2+ab+b?) ) Kiến thức bổ sung ` (a+b +c)? =a? +b? +c" + 2ab + 2ac + 2bc * (atayt ta,)” = ab tad + ta? +2ajay +2ajay + +2aja, +2a9a5 + +2aga, + +2dy sy Fab + ab”? +b) * ab" =(a— bya” +a" b +a! (với n= 2 ta có (3), với n = 3 ta có (7))
Ap (ae bya !— a2 2p + dế a + ab DY) * aleb" = (at bya”! —a" 4 ab? - ab"? +b") vain le
(n=3 tacd (6)
Khai triển nhị thức Niu-tơn:
n(n= 1) 8⁄22 ¿ nín - l(n =?)¿n-tu2 "1
12 123 ‘Tam giác Pascal? : Bảng các hệ số trong khai triển (a +b)" :
(a+b)°= a" + na""Íb + 1 2 1 1 3 3 1 E 4 6 Ht 1 1 5 10 — 10 5 I 1 6 Is 20 l5 6 1 Véin=0: (a+b)’= 1
Vớin=l: (a+b)!= , a+b
Vớin=2: (a+bjl= a? + 2ab +b?
Vớin=3: (a+by= a? + 3a°b + 3ab? + b* Vớin=4: (a+b)'= a’ + 4a’b + 6a°b? + dab? + b* an š 5 s 4 4.2 2.3 4 5 Voin=5: (a+b)= đỗ + 5á b + 10a°b? + 10a7b* + Sab! +b’ đỉn xé> 6 6 5, A2 3,3 2.4 nhà 6 Vớin=6: (a+b)= a °+6ab+l5abf+20abÌ+l5abÍ+6ab +bì 1) Niu-ton (Newton) (1643 ~ 1727) nha bc hoc Anh
Trang 4II VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 1.1 a) Rút gọn biểu thức :
A= 15(a + 2b)? — 3(a + 2b)(a + 2b + 19) + 6(2a + 4b)(1 — a — 2b)
b) Cho A =xŸ ~ 2x?y + Sxy?-y?; B=x+2y; C= I0xyˆ ~ yŸ(x + 2y)
Tính AB—C
Giải : a) Đặt a + 2b = x thì
A= 15x? — 3x(x + 19) + 12x(1 =x) = 15x? — 3x2 ~ 57x + 12x ~ 12x2
=—45x = -— 45(a + 2b)
b) AB=(x? — 2x’y + Sxy?— y?)(x + 2y)
=x" 4 2x3y — axy — 4x2V2+ 5x2y? + LOxy3 xy? — 2y?
=x!+ x3y2+ I0xy`~ xy? = 2y
C= 10xy*- xy? — 2y, Vậy AB-C=xÍ + x2y2, Ví dụ 1.2 Cho biểu thức : 4 (+Ÿn 1 2 _ 6033 2013 ~ 2015 »p_ 2011 201s “P= 2013" a) Rút gọn D theoa vab; 20152013 2013.2015 Đặt a= b) Tính giá trị của -L D Giải Nhận xét: —2—=¡_ 2013 20H, —6033_ 2013” 20132015 ` '2015 2013” _¡ L_ 2011 Do đó D=4a( + b) + a(1 — b) — 3ab = 12a + 4ab +a — ab —3ab = 13a ye D Us ass, 13 Ví dụ 1.3 Cho biểu thức : E=x°— 6x) + 6x4 — 6x” + 6x? — 6x + 6 Hãy tính giá trị biểu thức với x =: 5 Giải Cách 1 : Thay x = 5 vào E, ta có : 6.5) + 6.5” ~ 6.5°+ 6.5” ~ 6.5+6 ~(@+1)5'+(6+1).5~ (5 + 1.5`+ (5 + 1).5?~ (5 + 1).5+6 =56~ 55 _ SỐ.+ SỐ + 5° ~ 9'— 5 + SỐ + 5Ẽ ~ 52 — 5 + 6= |, Cách 2 : Do x = 5 nên 6= x + I Ta có: E=xế~ @ +1) XÃ +@+ D3 =(+1)x)+@+I)X= + 1x#x# 6— xố + xÕ+ xế x — x) + x + x2— x”—x+x + =,
Litu ý : Qua ví dụ 1‹ 1.3 ta thấy khi tính giá trị một biểu thức, tùy từng
trường hợp có thể thay 12 chữ hoặc thay chữ bằng số cho phù hợp để bài toán
có thể được giải một cách đơn giản, thuận lợi Vi du 1.4 Chứng minh ràng : Voi x = a + b + c thì (x +a)(x +b) + (x + b)Œx + €) + (X + €)Œ +) = 5(A + b + G)” + ab + ác + be, =xố—x
Giải : (x + a)(x + b) + (x + b)(X +€) + (x + OK +a)
=X” + aX + bx + äb + XÃ + DX + CX + b€ + X” Hex Fax tac
= 3x? + 2x(a + b +€) + äb + ac + bc
= 3x? + 2x? + ab +ac + be = 5(a +b +c)’ +ab+ac + be
Vậy đẳng thức được chứng minh Ví dụ 1.5 Cho đa thức xà ~ 2x” + 3x ~ 4 a) Viết đa thức trên dưới dạng đa thức của biến y với y = x - Ì ; ari
b) Viết đa thức trên dưới dạng đa thức của biến Z với z =
Trang 5>; B= 6x(y +z) + 2x”
Vi du 1.6 Cho A=(x +y +z) +(x-y-
Chiing minh rang A = B
Giải : Xét hiệu A- B= (x + y +2) + (x ~y-z)- 6xly +2)" - 2x? =[x+(y+Z)} + [x-(y +2)]° — 6x(y +2)" -2x°
=x? + 3x%(y +2) + 3xly +2) + (y +2) +x? —3x°(y +2) + 3x(y +2) — (y +z)’ - 6x(y +z)" — 2x°=0 Vay A=B Vi dy 1.7 Cho M = 24.(57 + 1)(54 + 1)(SŠ + 1)(5"%+ 1) và N = 53, Hãy so sánh M và N Giải :M =4.6.(5°+ 1)(5°+ 1)(5Ÿ + D)(`5+ 1) =(5 — 1)(5 + 1)(57 + 1)(54+ 1(5° + 15! 1) 52~ 1)(5 + 1)(5°+ 1)(5Š + 1J(5 5+ 1) = (54-1154 + 165" + 1)(G'% 1) =(6#~ IJ(6Š + 1)(6'% 1) = (5!5~ 1)J(615+ 1) = 522 ~ 1 Vậy M<N Vi du 1.8 Cho P= (x +y)*+(y+z)°+(z+x)* Q=(Œ+y)\(y +2) + (y +2) + x)+(2 + x)(x + y) Chứng minh rằng nếu P = Q thì x = y =Z Giải Đặt x + y =a; y+Z=b;Z+x=c thì P= Q có nghĩa là 4 + bŸ + cŸ— ab — be — ac =0
© 2a” + 2b + 2c” ~ 2ab — 2be — 2ac = Ứ
© (a? — 2ab + b) +(bŠ~ 2be + c2) + (c2 ~ 2ac + a2) = 0 © (a-b) + (b— c)ˆ+ (c ~ a)ˆ =0
a-b=0
©a=b=cC€ỀẦx+y=y+⁄Z=z+X€ex=y=z
Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng nếu a + b + c =0 thì aÌ+ bỶ + cÝ =3abc
Giải : Từ a + b +c = 0, suy ra a + b=—c nên cŸ = ~(a + b)`
Từ đó äŸ + bỂ + cÝ= aŠ + bỂ — (a + bộ” = (4Ÿ + bÖ) — [a` + bỂ + 3a(a + b)] „ = —3ab(a + b) = 3abc II BÀI TẬP 1.1 Thực hiện phép tính: a) (a+ b)(a’—a* b + a°b" - ab? +b’); b) (x = a(x = bx - €) 1⁄2 Thực hiện phép tinh : a) 5x"(3y — 1) — [3x”(Sy + 2) — 2x(3x? ~ 7x)] ; b) 4xP(7x"Í + x ~ 5) ~ 2x""2(14x"*! ~ I0x2), 13 Rútgọn: a) (a+b + )(4Ÿ + bỂ + c`~ ab — ác — bề) ; b) (a+ c)(a-c) — (a= b-c)(a—b +c) + b(b — 2a) 1⁄4 ChoA=x2~x+3;B=2x?~3x~5; C=4x?~ 4x — 15 a) Tinh D= AB—C; b) Tính giá
15 Choa+b+e=~6; ab + be + ca = II và abe.= —6 Hãy tính giá trị của biểu thức E = (x + a)(x + b)(& + c) với || = 2 1.6 Tính giá trị của các đa thức : a) f(x) = x° — 50x + 50x" ~ 50x? + 50x” ~ 50x + 50 tại x = 49; b) g(x) = 1969 — 80x + 80x? — 80x” +80xf'— + 80x!968 _ xI96 tai x = 79, 1.7 Chứng minh rằng giá trị của các đa thức sau không phụ thuộc vào x : 4) h) =(& — I)@ˆ+x + 1)~ (% + D)@2—x + ); b) k(x) = 2x(4x + 1) - 8x°(x + 1) + (2x) ~ 2x +3
18 a) Viết 15.256 thành tổng của bốn lấy thừa cơ số 2 với các số mũ là bốn số
tự nhiên liên tiếp ;
b) Viết 775.625.5 thành tổng của ba lũy thừa cơ số 5 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp
19 Toon m= (ee ~—_(;_-_2_)_ 194 1946 3 1975(1945 j 1945 1975) 1975'1945 1975.1945
1.10 Tìm các hệ số a, b, e, biết :
a) 2x (ax” + 2bx + 4c) = 6x'~ 20x” ~ 8x2 với mọi x ;
b) (ax + b)(X”~ cx + 2) = x” + x? — 2 với mọi x
Trang 61.11 Tìm x, biết : a) 2x - 5) +5) —(x + 2)(2x — 3) + x(xỂ — 8)= (x + J)@?—x+ i}; 0)3($x~7)-20,5%+6)-(5- 004-44) =804 75 2 o) 452(821)_ (12) 48 41) 2292, 5 3 2 5 3 y 45 1.12 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (2—n)(n? — 3n + 1) + n(n? + 12) +8 chia hét cho 5;
b) Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên chẩn liên tiếp là 44 Tìm hai số đó ;
c) Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp là 48 Tìm hai số đó ;
đ) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích mỗi tích là tích của hai trong ba số đó thì được 74
1.13 Tính nhanh giá trị của các biểu thức sau : a) A = 123(123 + 154) + 77; b) B=3"— (274 + 109% 1); c) C= 8574 75° + 65? + 557-45? — 35% - 25? - 157; 135? + 130.135 + 65? 135? ~ 652 , 2~22+32_ 42+ 52—6?+ +20112 ~ 20127, d)D= e)E= 1.14 So sánh : 4) 2011 2013 + 2012 2014 và 2012? + 2013? ~ 2 ; b) 9 +107 + NO + NO*+ 1)! + 10%? + 1) và 95 — 1; co) va ay với x >y>0; x+y vớix>y >0; 1.15 Rút gọn biểu thức : a) (a2 bỂ + c2” — (a2~ bể — c”); b)(a+b+e)°~(a~b~c) ~ 4ae; H ©)(a+b+€)Ê ~ (a + b)Ÿ —(a +c)Ÿ~(b+©)Ÿ; đ)(a+b+e)°+(a~b+e)°+(a+b=e)°+(©a+b+©)” 1.16, Chứng minh rằng : a) (aˆ — be? — để) = (ac + bd)? — (ad + be)”; b)2(4ˆ + b + cÝ~ 3abe) = (a + b + )|(a ~ ĐỘ +(b-c) +(=8) | ;
c) (a+b) (b +e)(c +a) + dabe = cía + b)Ÿ + a(b + c)"+ D(C +a)";
d)(atb+cP =a +b +c°+3(a+b\(b+c)(c +a)
1,17 a) Cho x” + y? +2? = xy + xz + yz Chứng minh rằng x = y =Z;
b) Cho (a — b)Ể + (b — c) + (c — a)” + 4(ab + ac + be) = 4(a? +B? + 07), Chứng mỉnh ring a=b=c 1.18 a) Cho x — y =7, tính giá trị của biểu thức x? ~ 2xy + y`~ 5x + 5y +6; b) Tìm x, y và z biết x” — 2x + yˆ + 4y + 5 + (22 ~ 3)ˆ = 0 1.19 Tìm x biết : a) 5x(x — 3)(x + 3) — (2x ~ 3)” ~ 5(x +2) + 34x(x +2) = I; b)(x~2)”+6(x + L”— (x — 3)(&” + 3x + 9) = 97, 1.20 Choa+b+c+d=0
Chứng minh rằng a” + b* +c? +d? = 3(ab — cd)(c + đ) : 1.21 a) Cho x = 99 Tính giá trị của biểu thức xà + 3x2 + 3x ;
b) Cho x + y = I Tính giá trị của biểu thức 3(x? + y?) — 2(xỶ + y`) ;
©) Cho x +y = 101 Tinh giá trị của biểu thức :
xÌ ~ 3x'+ 3x2y + 3xy2 + y) — 3y2~ 6xy + 3x + 3y + 2012
1.22 Cho a + b + = 4m Chứng minh rằng : a) 2ab +b? +a? ~c? = l6m” ~ 8mc ;
2 b 2 2
(Se Bae) 2 [Ac te] „tt 2 2 b | ve eet - nối
1.23 a) Chứng minh tích của bốn số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương ;
b) Chứng minh rằng số nˆ+n+ 1 vớin nguyên đương không là số chính phương
Trang 7
Chuyen db 2 PHAN TICH 8A THUC THANH NHAN TỬ I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi da thức đó thành một tích các đa thức Các phương pháp thường dùng : Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức đáng, nhớ, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó Các phương pháp khác : — Tach hoặc thêm bớt các hạng tử ; ~ Dùng biến phụ ; ~ Phương pháp hệ số bất định ;
— Phương pháp sử dụng định lý Bézout (xem chuyên dé 16) ;
~ Phương pháp hoán vị vòng quanh I Vi DU MINH HOA
Ví dụ 2.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) (a+b +c)(ab + be + ca) — abc ;
b) a(a + 2b)* — b(b + 2a)*,
Gidi a) (a+b + c)(ab + be + ca) — abe = [(a + b)+ c](ab + be + ca) — abe
= (a+ b)(ab + be + ca) + abe + be” + c7a— abe = (a + b)(ab + be + ca + €2)
=(a+b)[b(a+ © + c(a + c)] = (a + b)(b + c)(c + a)
b) a(a + 2b) — b(b + 28)” = a(a? + 6a°b + 12ab2+ 8b?) — b(b* + 6b°a + 12ba?+ Ba) =a! —b* + 6ab(a” — b?) ~ Bab(aŸ — bŸ)
= (a? — b*)(a? +b?) — 2ab(a? - b*)
= (a2 ~ b?)(äŸ + bỂ ~ 2ab) = (a — b)(a + b\(a— by’ = (a+ bY(a—b)? Vi dy 2.2 Phan tich x? — 5x + 6 thanh nhan tir 13 cách sau đây : Giả có thể tách (hoặc thêm bớt) các hạng tử theo một s Cách 1 :x?~5x+6=x”~2x~ 3x +6 =x(«—2)~3(x =2) = (x~ 2)(x ~ 3) 525 1 h2: x? -5x4+6 =x? -2x.-4—=-— Cách 2 : x” — 5x +6 =x RStT | (x — 3)(x — 2) 2 HE rE dl “2 8) \ 2 2 Cách 3 :x?~5x+6=x?~9~5x + I5=(x~3)(x +3) — 5(x~ 3)=(x~3)(& — 2) Cách 4 4~5+ I0=@~2&+2)~5%~2)==2)&=3) Cách 5 :x~5x+6=x?~6x+9+x~3=(x~3) + (x~3)= @x~3)&~2) Cách 6 :x?~5x+6=x?=4x+4~x+2=(X~2)”~(x~2)= (x~2)(x~3) #" LƯU Ý
Nhận xét Ö bài toán trên ta có rất nhiều cách phân tích Tuy nhiên
thông thường ta hay sử dụng cách I và cách 2 để phân tích một đa thức
thuộc dạng ax?+ bx +€ hoặc ax2+ bxy + cy” thành nhân tử
"Ta có thể tìm được quan hệ giữa các hệ số a, b, c để đa thức ax'+ bx + c,
Trang 8Khi đó 6x” + 23x ~ 18 =6x” + 27x ~ 4x — I8 = 3x(2x + 9) -— 2(2x + 9) = (2x + 9)(3x - 2) Ví dụ 2.3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 4) 8) + bỀ + cỔ— 3abc ; 3, b)(a+b+c)Ÿ — ` — bỀ~ ©.œ=y) +(w=2) + =x) Gidi a) a+b? +c — Babe = a? + 3a2b + 3abÊ + bŸ + eŸ— 3abe — 3a?b — 3ab2 =(atb)'+c* 3ab(a +b +c)
= (a+b +c)[(a+b)- (a+ b)c+c? | -3ab(a+b +0)
=(a+b+0) (a’+ 2ab +b ac~ be + c° — 3ab)
=(a+b+c) (a? +b? +0?— ab — ac~ be) Vay.a? +b? + cÌ~ 3abe = (a + b + €) (a” + b*+ c?— ab — ac— be)
b) Áp dụng hằng đẳng thức (x + y)Ÿ= xÌ+ yÌ + 3xy(X + y), ta,có :
(a+b+)°— a”— bŠ—c? 3 =(4+ b)” + cÝ + 3(a + b), c.(a + b + c)— a` — bỂ — cổ
= 8Ÿ + bỂ + 3ab(a + b) + cÝ + 3c(a + b)(a + b + e) — a” — bŸ — cŸ
=3(a + b)(ab + ac + be + c2) = 3(a + b)[a(b + e) + c(b + )] =3(a + b)(b + c)(c + a) ©) Đặt x— y=a; y 'Từ a) ta có a*+ bŸ+ c`~3abc = (a + b +c) (a? +674 c?— ab — ac~ be) = 0; [(a +b)+c]Í ~ aˆ — bỂ —c z=b¡Z—x =e thì a+b+ c =0, do đó aŸ*+bŸ+cÌ= 3abc Vậy @œ y)°+(y—2)Ì+(Œ=x)Ì=3@œ~y)(y=2)~x) Ví dụ 2.4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x! +64; b)xf+x2+1; 5 +1; c)xÖ+x+l; đ)x”+ Giải a) x' + 64=x* + 16x? +64 — 16x" = (x? +8)? — 16x” = (x? + 4x +8) (x?- dx +8) 15 b)xf+x2+1 =xf+2x2+1~x2= (2+ D=x? =(x2+ I+x)@P +1—x)=(X2+x + I)@&— x + 1) 5T-x?+x?+x+l 2œ2~1)+@2+x+ =x!œ%~ D)@2+x+ 1+ @Ê+x + I) =G?+x+ D)@`~— x?+ I) ox txt] = dx’ +x +1 ax ext ex xt] TS x+x —=x2+x2+x + =x(x= I) 4x79 = 1) 4 (72 +x +1) =x(x? = 108 +1) +709 - 1) + (x2+x+ 1) = (x9 = (xt x x2) 4072 +x + 1) B(x + Dx Doct x? +x) + 1] a(x 4x4 DOO — xt 4x0 -x +1) Ví dụ 2.5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A= (x —1)(x —2)(x — 3)(x- 4) - 80; b) B=x* + 2x5 — 2x44 x? - 2x — 100 + 10x (x4 + x) + (Sx — 1) Gidi a) A = (x2 — 5x + 4)(x? ~ 5x + 6) — 80 Đặt x? — 5x +4=u Tacó A=u(u+2)~80=uˆ2+2u+l—8 =(u+1)°-81=(u+1+9) (ut 1-9) =(u+ 10) (u-8) Vậy A=(x?—5x + 14)(x?- 5x -4) b) Ba (x +2x5 + x2) + 10x (x4 + x) — (2x! + 2x) + (5x — 1)? - 100 = (x4 + x)? + 2¢x4 + x)(5x — 1) + (Sx — ĐỂ ~100 Dat x’ +x =a; 5x— 1 =b thi B= a + 2ab +b? — 100 = (a+b)? — 100 =(a+b+ 10)(a+b~ 10) Vậy B= (x' + 6x + 9)(x” + 6x — 11)
© Ta biết rằng a là một nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Vì thế nếu đa
thức f{x) có nghiệm x = a thì nó chứa nhân tử (x — a) và nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do
TNgười ta dựa vào nhận xét đó để phân tích các đa thức thành nhân tử bằng phương,
pháp nhẩm nghiệm (thực chất là sử dụng định lý.Bézout)
Trang 9Ví dụ 2.6 Phân tích da thức sau thành nhân tử :
F(x) =x*- 6x” + I1x ~ 6
Hướng dẫn giải Nhận xét : f(L) = 1 — 6 + 11L— 6 =0 nên đa thức f(x) khi phân
tích thành nhân tử có chứa một nhân tử (x — l) Giải : TQ) =xỶ~ 6x” + 11x =6 = xÌ~ x? — 5x? + 5x + 6x — 6 2 (x = 1) — x(x = 1) + 6(x — 1) =X - I? ~ 5x + 6) = (x = 1)(x? = 2x = 3x + 6) = (x — DE x(x -2)- 3% - 2)] = (x~ 1)(x - 2)(x - 3)
Ví dụ 2.7 Phan tích đa thức 3x” — 7x” + 17x — 5 thanh nhan tit
Tướng dẫn giải Các số + 1; + 5 không là nghiệm của đa thức Đa thức không có nghiệm nguyên nhưng có thể có nghiệm hữu tỉ dạng P' (với p là ước của hệ số q tự do, q là ước dương hệ số của hạng tử bậc cao nhất) Thử với + ; va + ; thi ; là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử x — ; hay 3x — 1 Giải 3x3 — 7x? + 17x — 5 = 3x? — x? — 6x? + 2x + l5x — 5 =x"(3x = 1) - 2x(3x — 1) + 53x — 1) = 3x ~ I)(x?= 2x +5) ox LUU Y ‘
‘Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp hệ số bất định :
Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng : (ax + b)(cx? +dx+e)= acx? + (ad + be)x? + (ae + bd)x + be
Đồng nhất đa thức này với 3x" ~ 7x” + [7x ~ 5, ta có : ac =3; ad + be =—/; ae + bd = 17; be =-5 Giả sử a > 0 (nếu a < 0 ta đổi dấu cả hai nhân tử) thì a= 3 hoặc a = I Xét a=3 thì c = I, ta có 3d + b=~7; 3e + bd = 17 và be =~5 Suy ra b có thể là #I hoặc +5 Với b =~I thì e= 5 ; d= ~2 thoả mãn Vậy ta có 3x3 — Tx? + 17x — 5 = (3x — 1)(x?- 2x +5) 17
2A, WET Hes To 8: DI SỐ
Ví dụ 2.8 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
ab(a + b) ~ be(b + c) + ac(A ~ €) Giải
Cách!: — ab(a+b)—be(b+€)+ac(A=c) * Sabla +b) - bc — be? + a’ — ac”
= ab(a +b) + (ae ~ bc) — (ac? + be”)
= ab(a + b) + c(a - b)(a + b) - e (a+ b)
=(a + b) [ ab + cía — b) — c?] = (a +b) (ab + ca — cb — €”)
=(a+ b) [(b(a — €) + c(a = e)]= (a + b)(a ~ e)(b + €)
Cách 2 : Ta có a = c = (a + b) — (b + c) nên ab(a + b) — be(b + e) + ac(a — €) =ab(a + b) — bc(b + c) + ac (a + b) ~ ac(b + c)
= (ab + ac)(a + b) — (be + ac)(b +c)
=(a+ b)a(b +c) — (b + c)c(a + b) = (a + b)(b + c)(a — €)
Vi dy 2.9 Phân tích đa thức a` + a — 1 thành nhân tử Từ đó chỉ ra số 100.009 là hợp số Giải a+a-l=a +a at =a (a+ 1)-@?-at =e (at Ie?—a+ l)-@-atl) =(a?-a+ Ia +a?- 1) Với a = 10 ta có 100 009 = 91 1099 là hợp số III BÀI TẬP 2.1 a) Cho (x + y +2)(xy + yz + ZX) = xyZ Chứng minh rằng x1 +ự8 + ;03 =(x+ yt z/913,
b) Chứng minh rằng nếu x + y + z ‡ 6 thì A = (x + y)(y + Z) + x)~ 2Xy:
Trang 102.3 Phân tích các da thức sau thành nhân tử : (dùng cách 2 trong ví dụ 2.2)
a)x?~x—6 b) x~ 8x + 12 ©)x?+3x — I0 d)x?~ 12x 13 ©)2x?~5x~3 D3x?+5x—2
8) 15x”¬x—6 h) x”~ 4x + 13
2.4, a) Chứng minh rằng điều kiện dé da thức x? + bx + phân tích được thành 2
nhân tử là : ~ —c la binh phuong cia mot sé hitu i
b) Chứng minh rằng điều kiện để da thtic ax? + bx +6 (Với a# I và a0) phân tích
2a a
kiểm tra xem đa thức : 2x”~ 5x + 7 có phân tích được thành nhân tử không ? 2.5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2 được thành nhân tử là : (2) ~Š là bình phương của một số hữu tỉ Sau đó a) x*+ 6x? + 11x +63 b) x44 3x7 7x?-27x - 18; c)x?-8x° +x +42; d) x" + 5x*~ 7x? - 41x ~ 30, 2.6 Giải các phương trình : a) 6x`+x + 4= IIx2 b) x© 14x"4 49x? = 36 2.7.- Phan tich các đa thức sau thành nhân tử: _ A)x +4; b) x! +324; ©)x”+64 2.8, Phan tích các da thức sau thành nhân tử ; a)x2+xỐ k1 by x64 xŠ+4 o)x* +7x4 + 16 d) x 42x 4.9 e) x +x""41 (1 € N) 0x ”"+5x?"+ 0 8) xf” + 4x?" + 16 2.9 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) +x-1 b)xÌ~x~l Ox exe ` Ax ext ax gt oe) xa EL, 2.10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A= (74x41)? +x +2)- 12; b) B= (x= I(x = 2)(K - 3)(x-4) +1; 19 c) C= (x — 2)(x — 4)(x — 6)(x - 8) + 15; d) D=(x — 2)(x — 4)(x — 6)(x - 8) + 16; ©)E=(x2+3x +2)(X” + 7x + 12) — 24; DF=(@ˆ+3x +2) + 7x + 12)+ l 2.11 a) Chứng mỉnh rằng với mọi x, y e Z thì S=(x +y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + yŸ là số chính phương b) Cho T = (t— 1)(t = 3)(t— 4)(t— 6) + 9
1) Chứng minh : T> 0 với mọi t 2) T là số chính phương với mọi t e Z
2.12 a) Tìm điều kiện của a và m để M = (x — a)(x — 2a)(x — 3a)(x — 4a) + m phân tích
được thành nhân tử Đa thức H = (x — 2)(x - 4)(x ~ 6)(x - 8) + 4 có phân tích được thành nhân tử không ?
b) Tìm điều kiện của a, b, n € Q để : N=(x+ a)(x+ b)(x + a+n)(x +b + n) +k 1) Phân tích được thành nhân tử ; 2) Trở thành bình phương đúng 2.13 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) a b*+ c* + 3abe š
b)a*- bŸ~ ~ 3abc ;
©)(A+b)`+(b+e)` + (c +a)” — 8(a + b+€)Ÿ; đ)(a = b)P + (b— e)Ÿ + (e — a)Š
2.14 a) Cho äŸ + bŸ + cÌ = 3abc, chứng minh rằng a+b+c=0hoặc a=b=c b) Cho a! + bể + c + dÝ = 4abed và a, b, c, d > 0, chứng mỉnh rằng 2.16 a) Tìm x, biết x'+ 3ax2+3(a~bc)x + aŸ+ bŸ+ c`~ 3abc =0 với a, b, c là các số đã cho
b) Tìm bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thoả mãn :
xÌ++ 34yz.=zÌ= (2x + 2y)
Trang 112.16 Phân tích thành nhân tử :
8) A = a bÊ(a — b) ~ cˆbŠ(c — b) + a2c(c — a) ;
b) B = 2be(b + 2c) + 2ac(c — 2a) ~ 2ab(a + 2b) — 7abc ;
c) C= ab(b - a) — bc(b — c) — ac(C — a) ;
đ)D=3be(b ~ c) ~ 3ac(3 — a) ~ 3ab(3a + b) + 28abc ; 6) BE =a(bỂ + cÊ) + b(aÊ + c2) + c(aÊ + b) + 2abc
2.17, a) Lần lượt thay a = I ; 2; 3; ; n trong hằng đẳng thức (a + LÊ =2 + 2a + 1 rồi cộng theo vế các đẳng thức
Từ đó tính tổng SỊ = 1 +2+ 3+ +n,
b) Hãy tính tổng S = 1? + 2+3 + + nỄ từ (a + LẺ, ©) Hay tinh tổng S; = IŸ + 2+3 + + nỄ từ (a + LỊ",
2.18 a) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A = nÌ + 2n? ~ 3 ; 1) Là hợp số ; ,
2) Bằng 2013
b) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức B = nỄ ~ nỄ ~ 6nˆ + 7n ~ 2I là số
nguyên tố
2.19 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định :
a) 2x? ~ Ixy + 6y2+ 9x — 13y — 5; : b) 2x" — 7x9 + 17x? 20x + 14; ©)2x` ~ 19x” + 2002x? — 9779x + 11670 2.20 a) Chứng minh rằng tổng của tích bốn số tự nhiên chấn liên tiếp với 16 là số chính phương ‘ b) Tim cac số nguyên a, b, e sao cho (x + a)(x-2)-7= (x4 b)x+ c) Chuyen db 3 TINH CHAT CHIA HET TREN TAP HOP SC NGUYEN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Dinh nghia : Cho hai s6 nguyên bất kỳ a va b (b # 0) C6 một và chỉ một cap 86 nguyén q va r sao cho a=bq+rv6i0<r<Ibl ae + Neu r=0 thi a chia hết cho b (ký hiệu a! b) hay b chia hết a (ký hiệu b | a) hay a là bội của b hay b là ước của a : 21 b,c,dm,neZ 2 Một số tính chất chia hết : Với a) Nếu a #0 thì ; ý b) Nếu a ? b và b : c thì a ? c (tính chất bắc cầu) €) Nếu a ï bvàb ? athìa= + b d) Nếu a : b thì a e) Nếu a: bvà thì a: BCNNG, c) Khi (b, c)= I thì a : b.c x va (b,c) =I thia:c cvabicthia tb! c (tinh chat chia hết của tổng và hiệu) vablcthiat ble c;bidthiab: cd k) Nếu a : bthì a" ï b"(n e NÑ) D) Nếu a ‡ c hoặc bï e thì ab ï c m) Nếu a m;bŸ n thì ab mn
n) Nếu a.b : p; p là số nguyên tố thì a ï p hoặc b ï p
Nếu a” ? p; p là số nguyên tố thì a : p
Chi ý : Một số nhận xét thường dùng trong các chứng minh về chia hết : 1 Trong n số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho n
'Tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
2 Khi chia một số nguyên a cho số nguyên b # 0, xảy ra một trong lbl dạng sau :a= bq; a= bq + Ï; a= bq+2; ; a=bq + (Ibl= 1) với q nguyên
II VÍ DỤ MINH HOẠ
1 Chứng minh quan hệ chia hết : Cho B(a) là một biểu thức phụ thuộc vào a
(a œN hoặc a e-Z) Để chứng minh B(a) : n ta thường dùng phương pháp phân
tích B(a) thành nhân tử trong đó có chứa n Nếu n là hợp số ta phân tích n thành
một tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh B(a) chia hết
cho tất cả các số đó
Để chứng minh quan hệ chia hết, ta còn dùng cấu tạo số và các phép tính lũy
Trang 12hét cho'S Suy ra a’ —
(a~ 1a ! 2 viIatich của hai số nguyên liên tiếp
= (a? — Das (a l)a(a + l) : 3 vì là tích của ba số nguyên liên tiếp
Giải a) a2 —
a(a’ — 1) = ala’ — 1)(a? + 1)
+ = ala? — 1a? —4 +5) = a(a? ~ 1)(a ~ 4) + 5a(a2 ~ 1) a~ 2)(a ~ L)a(a + L)(a + 2) + Sa(a’— 1): 5
Vì đây là tích của năm số nguyên liên tiếp cộng năm lần một số nguyên Cách 2 : Xét hiệu a` _- a với tích của năm số nguyên liên tiếp : (a~2)(a — Dalat 1)(a +2)
Tacó (4 =a)~(a~2)(a~ Da(a+ l)(a+2)
= (a® ~a) —(@° — 5a? + 4a) = 5a) 5a ï 5
Mà (a — 2)(a — 1)a(a + L)(a + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia
5
Cách 3 : Xét số dư của a trong phép chia cho 5 :
45a =a(a''— 1) = a(a2 — 1)(aÊ + 1)
Xin <Z)thìa 5,
+ Thì đ”~ 1 =(25k? # 10K+ 1)—1=25kP + 10K ï 5 naar: # tha’ + 1 = (25k? + 20k 44) 41 = 25k? + 2K 4535,
“Trường hợp nào TH có một thừa số chia hết cho 5 nên a' đ) Chứng minh a”~a17 tương tự câu c)
Cách 1 : Xét hiệu (a” — 3)~(@=3)(&—2)@ = Da(a + IJ(a + 2)(a + 3) —7a(2a1~ 7a? + 5) ¡ 7 ‘ Suy ra a” =a Ts Cách 2 :a” =a= a(A` + 1)(aÖ ~ 1), Xéta=7k;a=7k + 1;a=7k+2;a=7k +3 ôâ CHUY 19 Mệnh đẻ "a' ~ a: 9 với mọi số nguyên a'không, đúng (chẳng hạn 2° ~ 2 = 510 7 9)
Bài toán tổng quát của các bài toán trong ví dụ 1 là : "Nếu pl]à số nguyên tố thi a” — a chia hết cho p với mọi số nguyên a" — Đây là định lý nhỏ Fermai.) 1) Pierre de Fermat (1601 — 1665) nhà toán học Pháp 23 Ví dụ 3.2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên a : 16; a)a’- bya’-7ai6 oatllai6;
d) Tir céc phan trén, hay téng quat héa bai ton va ching minh
Giải a) Ta c6: a? —a=a (a? - 1) =(a-1) a (at 1), Ritich của ba số nguyên
liên tiếp Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 và ít nhất một số chẩn 24 Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên (a-Na(atl)i6 P—a—6a i 6via®—a! 6 vaba! 6 b)a’-7az=a
©)a2+lla=a°~a+ I2a ‡ 6 vì a`—a ¡ 6 và 12a? 6,
đ) Tổng quát : a° — (1 + 6k) a ¡ 6 (với mọi a ; k é Z) Chứng minh : a8” — (1 + 6k) a= (a°~ a) — 6ka ‡ 6,
(Với k =0 ta có câu a) ; với k= I ta có câu b) ; với k = ~2 ta có câu ©)
Ví dụ 3.3 Chứng mỉnh rằng :
a) 102010 ~ 1 ; 90; b)3'9+2
c) oi {ue : 252010, đ) (409195, vinh, ah 293,
Trang 13Giải Cách 1 :4° + l5n — 10=4°~ 1 ~3n + lên — 9 Xét 4"— 1—3n = (4—1)(41714 492 +43 + +4Z+4+ 1)~3n =3(A11+4"2+4"?+ +4?+4+1—n) =3171~ 1)+(472~ 1)+(473~1) + +(@Ÿ—1)+(4—1)+(— ĐI Ta lại có 4'”!~ 1 =3.4172 + 43+ .+42+4+ D)=3kị 42-1 =3(412+404+ +42+4+ 1)=3k; —3.471+4 5+ +42 +4+ 1= 3k; 4-1=3.1 Vay 4—l-3n=3.3(Œi+ka+ks+ +5+I)=9k? 9 Dođó 4`+ lấn— 10: 9 (ne N)
Cách 2 : Chứng minh bằng quy nạp toán học (xem chuyên để 18) : + Với n=0 thì 4” + lấn — I0= 1+0 — I0= =9 ‡ 9 đúng
+ Giả sử bài toán đúng với n = k nghĩa là 4Š + 15k ~ 10 : 9 Ta phải chứng
minh bài toán đúng với n= k + I, nghĩa là 4Ï + 15k + 1) — 10 ‡ 9 “Thật vậy 4F * Ì + 15+ 1) ~ 10 =4.4X + 15k +5
=4,(4* + 15k — 10) — 45k + 45 ï 9
(4Ÿ + 15k — 10 1 9;45k ‡ 9; 45 7 9) + Vậy bài toán đúng với mọi số tự nhiên n
Ví dụ 3.5 Chứng minh rằng hiệu giữa một số tự nhiên có sáu chữ
viết theö thứ tự ngược lại luôn chia hết cho 9 Hãy tổng quát hoá bài toán và chứng minh Giải Gọi số có 6 chữ số là abcdef (a, b,c,d, e, fe N,a,b,c,d,e,f <9; az:0) số và số Số viết theo thứ tự ngược lại là fedcba Ta có abcdef — fedcba = =(a.10°+b.10" 40.10? +d.10?+0.10+ f) ~(£.10" + 0.10" + 4.10" +c.10° + b.I0 + ä) =a(10°— 1) + b(10* - 10) + e(10° ~ 10%) - d(10° - 10%) — e( 10" ~ 10) - £(10° - 1) = 9ky + 0k; + 0ky — 9k, — 9kg — k= 9k: 9 25 ay — aay’ “Tổng quất : aâạ_ yân_2 Chứng minh tương tự
Chú ý : Khi giải bài tập dạng này, cẩn nhớ cấu tạo số trong hệ thập phân,
Ananjânsa aga2a, =au.10?T+ay 4.10"? +a, 2.10" + +2310? + ap.10+ a)
2 Chứng minh quan hệ không chia hết, chia hết có điều kiện, tìm điều
kiện để chia hết
Với các bài toán chứng minh quan hệ không chia hết ta thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng hoặc sử dụng tính chất chia hết của
tổng hoặc hiệu Dạng toán chứng minh chia hết có điều kiện, tìm diều kiện để chia hết thường sử dụng tính chất chia hết của tổng hoặc hiệu và các hằng dang thtic a" — b"; a" + b° (với n lẻ), (a + b)” ; sử dụng các phép tính luỹ thừa và thêm bớt, tách các hạng tử một cách thích hợp Có thể dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp toán học Ví dụ 3.7 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : 4) nỄ +7n + 2020 7 9; b)22.484"+ 16?" +2011 7 19 Giải a) Vn N;nỄ+7n +2020 = Ÿ + 5n + 2n + 10+ 2010 =n(n + 5) + 2(n + 5) + 2010 =(n+5)(n +2) + 2010
Giả sử tồn tai a € N sao cho a” + 7a + 2020 : 9 thi
(a+ 5)(a +2) +2010 = 9k ? 3(k EN)
Do 2010 : 3 nén (a+ 5)(a+2) !3 Vì 3 là số nguyên tố nên a+ 5 ‡ 3 hoặc a+2 3
“Ta lại có (a + 5) — (a+2)=3 : 3nêna+5 : 3vàa+2: 3
Suy ra (a + 5)(a + 2) ¡9 =» 2010 ‡ 9 vô lý vì 2010 ? 3 không chỉa hết cho 9
Trang 14Ví dụ 3.8 Tìm giá trị nguyên dương của n để : 4) 3” — 1 chia hết cho 8 ; b)2°~ I chia hết cho 7 Giải a) Với n chẩn n = 2k (k e N) thì (9~10)(9*~!+9*^?+, +9+1)=8 3*⁄~1=ø*~I Vin én =2k +1 thi 3+ _ 1 3.9 -342= 308-1) 4+2=3.8p+278
Vậy với n e N* chấn thi 3"- 1: 8
b) Néun = 3k thi 2-1 =2*—1=8*-1=7a: 7(k EN)
22%~2+1=22*~I)+1 77
Nếu n=3k + I thì2"~1=2*!~
Nếu n=3k+2thì2"~1=2#13~1=42*~4+3=4(2*⁄—1)+3 77
Vậy với n e N* là bội số của 3 thì 2"~ I chia hết cho 7
Ví dụ 3.9 a) Chứng minh rằng nếu abe : 23 thi 30a + 3b — 2c ï 23
b) Chứng minh số có 6 chữ số abcdef : 7 khi và chỉ khi abc — đef : 7
Giải a) Xét 2abc + (30a + 3b — 2c) = (200a + 20b + 2c) + (30a + 3b — 2) =23(10a + b) :23
Do đó nếu abc ‡ 23 thì 30a + 3b - 2c : 23
b) abedef = 1000 abe + def = 1001 abc - abe + det
= 1001 abe = (abe —def ) = 7 143 abe — (abe - def) ? 7
Vậy abcdef 7 <> abe — def : 7
Dạng toán tìm số dư, tìm chữ số tận cùng :
Ở dạng tốn trên, ngồi phương pháp biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức a” =b”; a” + bŸ (với n lẻ) ; (a + b)” ; sử dụng các phép tính về luỹ thừa, ta còn sử dụng,
phương pháp tính chữ số tận cùng của các luỹ thừa với chú ý rằng ( 0)" = (.1)"= „l1; (.5)"= 5; (.6)”= 6; (.2)= 6 ; (.3)= L; (.7 (9 4" = 6 27
Ví dụ 3.10 a) Tìm số dư trong phép chia 2!” cho 9
b) Tìm ba chữ số tận cùng của 3!” khi viết trong hệ thập phân Giải a) Ta có 2199 =2.2=2.(2)8 = 28”) =2 (9= I)P
Áp dụng nhị thức Niu-ton (a + b)"
(9 = 1)" = 9k = I nen 2, (9 = 1) = 209k — 1) =2.9k - 2 = (2.9k -9) +7 Vay s6 du trong phép chia 2'? cho 9 147
b) Tìm ba chữ số tận cùng của 3! khi viết trong hệ thập phân, tức là tìm số
Trang 15b) §= 15.17(1+28+2!5 + +295) mà (L+28 +2!6 + +25) lẻ nên S có chữ số tận cùng là 5 Ta có S=20+2l! +22+2`+ 2+ +2160 22101 ¿2102 „ 2103 =@-—1)00+2!+22+22+2'+ +2!99+2!91 +28 219) =291— 1, Vậy 2!9! = S + 1 e> 2Ì! có chữ số tận cùng là 6 III BẦI TẬP 31 3.2 3.3 Từ các bài 3.4 35 3.6 Chứng minh rằng : aa "26 (ed); b) Điều kiện cần và đủ để a® +b? +c? làa+b+ci6 (a,b,ceZ); ©afb-abÌi6 (beZ); 3 2 Đ<—+ + <2 (ae Z); ©) aŸ— a ï 24a với a là số nguyên+ố lớn hơn 3 Chứng minh rằng :
a)a®—a i 30vaa"—a™! : 30(@@eZ;neN);
b)a® + 59a ? 30 và a` — 91a ï 30 Hãy tổng quát hoá bài toán ; €) aŸ~ 2bŸ + 3cŸ — 31a + 62b + 87 ï 30 (a, b,c € Z); đ) a2015p2011_ 2201112015 ; 30 (be Z); a a a = yo Se Zine 120 24 30 Z 3.1, 3.2 hãy để xuất các bài toán tương tự với a” — a và tự giải
Chứng minh rằng với mọi số nguyen a: a) a’ +6a° + Ila? +6a : 24;
c) 3a" —14a¥ + 21a? —10a ; 24
Chứng minh rằng tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 Chứng mình rằng : a) nŸ — AnŸ ~ 4n” + lồn ‡ 384 với n là số tự nhiên chẵn ; b) mỶ + 20m : 48 với m là số nguyên cẻ c)n'2~ nỄ ~ nỶ + 513 ‡ 512 với n là số nguyên lẻ b)a®—Sa* +a! 120; 29 3.7 Chứng minh rằn; a) 10" + 18n ~ 5: 3.8 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : ays" — ai ga i505 3.9 Cho B= 10%"? + 10"! + 1 Chimg minh ring : B: 91 với nIẻ 275 b) 3°"? — 26n = 27: 169 b) 8.5" + 11.6": 19, B: Ill véineN; 3.10 Chứng minh rằng với mọi số chẩn n : a)a"—b°? (a—b)(a+ b); 3.11 Chứng minh rằng : a) 122000 _ 1000 : 19, b) C= 16" + 12"-5"-1 : 187 b) 20117" + 20137""' ; 2012, 3.12 Chứng minh ràng : ˆ a) 1920 + 110 + 20)! ; 10; b) 193019 + 1945! + 1954! + 1g7s!95 _ 20 2! ChoP=5Ì + 52+ 5Ÿ + 5' + + 528 + 2” + 3190, a) Chứng minh P : 30; b) Chứng minh P : 126 ; ©) Tìm chữ số cuối cùng của P 3.14 Chứng minh rằng : a) A = 0,3(1983!9 ~ 1017!!7) thuộc Z ; b) 720102012 _ 42008701 c©)E=22225555 4 555572? : 7, 3.15 Chứng minh rằng một số có bốn chữ số có chữ số, hàng nghìn và hàng chục bằng nhau : 4) Chia hết cho 4 khi và chỉ khi tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục chia hết cho 4
b) Chia hết cho 8 khi và chỉ khi tổng của chữ số hàng đơn vị với 2 lần chữ số hàng chục và 4 lần chữ số hàng trăm chia hết cho 8
3.16 Chúng minh rằng với mọi số tự nhiên n : a)n” +8n + 17 7 (n+4);
b)n” + 7n — 40 7 121;
©)nŸ+6nˆ+ IIn+7 7(n+ 1); +2) và (n +3)
Trang 163.17 a) Tìm số abe (a có thể bằng 0) sao cho 345abc : 3;7; 8;
b) Viết thêm vào bên phải số 1975 bốn chữ số để nhận được một số có tám chữ số chia hết cho 6; 7 ; 8; Ø và II
3.18 Chứng minh rằng :
a) Nếu 20a + IIb : 17 thi 83a + 38b : 17(a,b € Z); b) Nếu 2a + 3b + 4c : 7 thi 13a + 23b + 33c ï 7 (a, b,e € Z) 3.19 Tìm n e N để : ayn! +1210; b) 2" +2015: 7; c)n’—4n +2935; đ)n+2n+6 n+4 3.20 a) Chứng minh tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không là số chính phương ; b) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có tận cùng bằng 1 thì chữ số hàng chục là chữ số chấn ; ©) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng đơn vị của nó là 6
3.21 a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n ‡ 6 và 1000n là số chính phương
b) Cho các số D= II đ1 11; E=II II;F= 66 66 ni số | n+l số Ì Chứng minh rằng D + E + F + 8 là số chính phương 3.22 Chứng minh rằng : a) E = JI 1211 J (n e NÌ) là hợp số ; n số vài "xố aol b)G= U1 1 22.2 (re N’) là tích hai số fguyện liên tiếp ; # tr ©)Q= sa bb b với 0<a; b<9; a, b e NỈ là hợp số nsố b nso 3.23 Cho bốn số nguyên dương a, b, c,d thod man ding thie a? + b? = c2 + d2, Chứng minh rằng số a + b + e +'d là một hợp số 3.24, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì : Số 6n + I và Sn + l nguyên tố cùng nhau ; Số 2n — I và 2n + I nguyên tố cùng nhau 3.25 a) Tìm số tự nhiên a để a + 1 ; 4a” + 8a + 5 và 6a? + 12a + 7 dồng thời là các Số nguyên tố b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố khác 3 thì số A= 3n +2014 + 2012p? là hợp số với mọi n e N 31 Chuyen de 4 CHIA 8A THUC
“1 KIEN THOC CƠ BAN
1 Véi hai đa thức thy ý A và B của cùng một biến (B # 0), tổn tại duy nhất một
cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R
nhỏ hơn của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B)
Khi R =0 thì phép chia A cho B là phép chia hết
Trang 17Ví dụ 4.2 Cho đa thức B= 6x" 2yŠ~ 19x"*8VŸz và đơn thức C= 4xây""},
Hay xác định giá trị của số tự nhiên n để B chia hết cho C Giải Để B ï C ta phải có : n-2>4 n+3>4 n>6 e on=6 6>n-l <6 S2n-1 Vậy với n= 6 thì B ‡ C
Khi đó B: C = (6x"y® - 19x°y°z) : 4xy` = y
Ví dụ 4.3 Thực hiện chia (x* + 3x?y? + 4y!) : (x? - xy +2y’)
a) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số (phương pháp hệ số bất định) biết rằng dư bằng 0
b) Bằng phép chia thông thường
Giải a) Đa thức bị chia bậc bốn, đa thức chia bậc hai nên đa thức thương bậc
hai c6 dang ax” + bx +c
Hệ số của hạng tử bậc cao nhất của x trong đa thức bị chia là I, trong đa thức chia là I nên ta có ngay a = l
Hệ số của hang tử bậc cao nhất của y trong da thức bị chia 18 4, trong đa thức chia là 2 nên ta có ngay c =4 : 2 =2
Vay x! + 3x2y? + dy! = (x2 ~ xy + 2y?)(x? + bxy + 2y’)
Ta c6 x4 + 3x2y2 + 4y = x4 + Oxy + 3x2y? + Oxy? + 4y4
(x? = xy + 2y)(x2 + bxy + 2y?) =x4 + (b— Dx'y + 4 —byx’y? + (2b — 2xy? + 4y*, -l= Hai đa thức trén bang nhau néntacé: 44-b=3 @b=1 2b-2=0 Vậy (xà + 3x2y? + 4y") : (x? - xy + 2y?) = x” + xy + 2y” 33 3 LET THGS T9 8ñ: DẠi Số b) Đặt phép chia thông thường : 4 x + 3x?y? + ay! xy+ 2y? x'- xy+2x? x°+xy+2y” xy + xy? + ay! = xy-xy? 4 2xy? 2x*y? — 2xy? + dy! - 2x8y?~2xy? + Ay! — 8 Ví dụ 4.4 Xác định các số hữu tỉ p và q để da thức x” + px + q chia hét cho da thức x?°~2x—3 Giải Cách 1 Đặt tính chía : 3 x + px +q 2x? — 3x 2x? + (p+ 3)x +q ~ 2x? - 4x ~6 (p+7x +(q+6) Dé chia het thi đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của x nên : +7=0 ==7 P -© P # q+6=0 q=-6 Vậy với p= ~7; q= =6 thì xÌ + px + q chia hét cho x? - 2x — 3 Cách 2 : Phương pháp hệ số bất định :
Đa thức bị chia bậc ba, đa thức chia bậc hai nên thương bậc nhất có dạng ax + b Hệ số của hạng tử bậc cao nhất của x trong đa thức bị chia là 1, trong đa thức chia
Trang 18Cách 3 : (Phương pháp trị số riêng) : Tacó - x”~2x-3=(Œx-3)&x+l) Gọi thương khi chia xÌ + px + q cho xŸ~ 2x ~ 3 là Q(x) Dư là 0 nên ta có : x? + px +q =(x?-2x ~ 3) Q(x) hay x3 + px + q=(x—3)(x + 1) QQ) Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x = 3, x =—I ta được : 27+3p+q=0 3p+q=-27 p=-7 Pe eS -l-p+q=0 -p+q=-l q=-6
Vậy với p ~6 thì x’ + px + q chia hét cho x? 2x - 3
(Phương pháp trị số riêng cũng giống phương pháp sử dụng dinh ly Bézout Xem chuyên đề 16 : Định lý Bézout và lược đỏ Horner)
Ví dụ 4.8 Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức :
2nŸ — 7n” + 13n + 2 chia hết cho giá tị của-biểu thức 2n — 1 Giải Cách 1 : Đặt phép chia : 2nŸ ~ 7n” + lần +2 — 2nŠ~nẺ ~ 6n” + lần +2 — = 6n? +3n l0n +2 ~ 10n=5 7
In? + 13n + 2 khong chia hét cho đa thức 2n ~ 1 nhung c6 nhiing
an làm cho giá trị cia 2n* - 7n? +‘13n + 2 chia hết cho giá trị
là ước của 7, nghĩa là 2n — I bằng + I; +7 giá trị nguyên € của 2n — I Muốn như vậy 2n — I phải I V6i2n-1=1 tacén=1 V6i2n-1=-1tacén=0 V6i2n-1=7 tacén Với 2n — 1 =-7 tacén=-3 Vậy với n bằng -3 ; 0; 1 ; 4 thì giá trị của biểu thức 2n ~ 7n” + 13n +2 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n — 1 Cách 2 : Dùng phương pháp tách đa thức 2n” - 7n” + lần + 2 thành các hạng tử chứa (2n - 1) để lý luận : 2n” ~ 7nỄ + 13n+2=2n`~ nỄ~6nˆ +3n + lÚn= 5+7 =nÏQn ~ I)~3n@n— 1)+5(2n~ I)+7=(2n~ Inˆ~3n+5)+7 35 Để (2nŸ ~ 7n” + lần + 2) ‡ (2n — 1) thì 7 | (2n — 1) nghĩa là 2n — I là ước số
của 7 Ta cũng có kết quả như cách 1
Ví dụ 4.6 Đa thức f(x) nếu chia cho x — 2 thì được số dư bằng 3 ; nếu chia cho x — 3 thì được số dư bằng 4 Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho (x = 2)(x =3)
Giải Cách 1 : Gọi thương của phép chia f(x) cho x — 2 và — 3 theo thứ tự là A(x) va B(x)
Với mọi giá trị của x ta có f(x) = (x - 2)A(x) + 3 và f(x) = (x ~ 3)B(x) + 4: Dodó f2)=3;f3)=4 |
Goi thuiong cita phép chia f(x) cho (x — 2)(x — 3) 18 C(x), dur 1a R(x) Do đa
thức chia bậc hai nên R(x) có bậc nhỏ hơn hai và có dang R(x) = ax + b Tacé — (x) = (x- 2)(x-3).C(x) +ax +b Như vậy : f(2) = 2a +b=3 f3)=3a+b=4- Từ (1) và (2) suy ra a= I và b= 1 'Vậy dư của phép chia chia đa thức f(x) cho (x = 2)(x ~ 3) là x + I Cách 2: Do f(x) = (x = 2)A(x) + 3.=> (%~3)f@) = (x~2J(x—3)A(x)+3@«~3) @) f(x) = (x — 3)BOx) + 4 > (x — 2)f(x) = (x — 2(K — 3) BOX) + 4(K- 2) (4) Tir (3) va (4) suy ra: [Œ ~ 2)~ (x =3)] f&) = (x — 2)( ~ 3) [B(x) = A() ] + 4(x — 2) — 3(x - 3) f(x) = (x~2)(x =3) [B&) ~ A(x) ]+x + I 'Vậy dư của phép chia chia đa thức f(x) cho (x — 2)(x ~ 3) là x + I () 2) III BÀI TẬP 4.1 Thực hiện phép tính : 100 33 a) 2.8": 47; ») (3) {8) ; 3 27 9?°.1254.163.49" “gan! đ) (45.129 + 87.819 — 16°.27') : 4'° 9%), 4.2 Chứng minh rằng:
4) (— 75x'y”) : (25x?y`) luôn có giá trị âm với mọi giá trị x #0; y #0; Ð) (x =2y)Ê : (— 2x” + 8xy ~ 8y”) luôn có giá trị âm với mọi giá trị x # 2y
43
b) C: D, voi C= 9x2” Íÿ6~ sx'yŸ; D= 5xŠyh,
Trang 1944 4.5 4.6 47, 48 Xác định số a để : a) 18x? + a chia hết cho 2x ~ 3 ;
b) x* + ax? + 1 chia hét cho x? - 2x +1;
©) 2x? + ax + 5 chia cho x + 3 dư 41
Xác định các số a ; b để :
a) 2x? — 3x” + ax + b chia hết cho x + x +2; b) 2x + ax” + b chia hết cho x2 ~ x + 3;
c) ax? + bx + 12 chia hét cho (x — 1)(x + 2)
Tìm các số a, b để :
a) 3 x" — 8x°— 10x” + ax — b chia hét cho 3x? - 2x +1;
b) xà — x`y — x”y? + axy” + by" chia hết cho x? — 2xy + 3y?;
©) 3x? = 3x4y + 4x? + 3x'y` — axy" ~ by” chia hết cho 3x”~ 2xy? + yŸ ;
d) x* + 2x? — 3x? + ax + b chia cho x? — x + 2 dự — 4x — 1 Xác định các số a, b dé :
a) ax? + bx? — [1x + 30 chia hết cho x2~ 3x — 10; b) ax* — bx? +1 chia hét cho x? — 2x + 1;
©) x* + ax + b chia cho (x — 2) thì dư 12, chia cho (x + 1) thi du— 6
Tìm các s6 a, b, ¢ sao cho:
a) 4x* +81 chia hét cho ax?+bx +c;
ì b) x? + ax? +b x +c chia cho (x +2); (x+ 1); (x— 1) déu du8 4.9 4.10 4.11 4.12 Tìm các số a, b, c để ax” + bx” + c chia hết cho x — 2 và chia cho x? — | thi du 2x + 5 ý Tìm số dư của phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2015 cho đa thức x? + 8x + 10 Tìm các số a, b, e, d để x” + ax” + bx? + ex +d khi chia cho (x — 2), (x ~ 1), (x + 1), (x + 2) đều có số dư là 2012 Cho f(y)=y ~3yŸ + ay? ~ 6y +2b; k(y) =y? + 3y +2;
hy) = y*- Sy? +4
a) Tinh g(y) = hy) : k(y) ;
b) Tìm y để g(y) = 72
©) Xác định a và b dé f(y) chia hết cho g(y) bằng phương pháp chia thông
thường, phương pháp hệ,số bất định, Phuong pháp trị số riêng
37
PHAN THUG BAI SỐ
Chuyen dé 5
TÍNH CHAT CO BAN CUA PHAN THUC RUT GON PHAN THUC ( nương I I KIẾN THỨC CƠ BẢN Biểu thức có dạng 5 „ trong đó A, B là những đa thức và B z0 4 Định nghĩa : là một phân thức đại số
A được gọi là tử thức (hay tử) B được gọi là mẫu thức (hay mẫu) Mỗi đa thức được coi là một phân thức có mẫu là 1
: Af mi
2 Hai phân thức bằng nhau : Với hai phân thức 5 và D ta nói
 ~Ê nuAD=BC B D
3 Tính chất cơ bản
®- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì
được một phân thức mới bằng phân thức đã cho
A_AM
BBM
* Néu chia ca tit va mau cita mot phan thiic cho mot nhân tử chung của chúng
thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho A_A:N B 4 Rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau : (M là một đa thức khác 0) (N là một nhân tử chung)
~ Phan tích tử và mẫu thành nhân tử Tìm nhân tử chung
— Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Trang 20II VÍ DY MINH HOA
Ví dụ 5.1 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng mỉnh hai phân
thức sau bằng nhau :
a? —2ab—3b7 , a+b
oe vA a2~4ab+3b2 a-b
Gidi, Xét (a? — 2ab — 3b%)(a - b) = (a? + ab - 3ab ~ 3b*)\(a— b) = [ala + b) — 3b(a + b)|(a— b) = (a + b)(a ~ 3b)(a — b)
Xét (a? = dab + 3b*)(a +b) = (a? — ab — 3ab + 3b”)(a + b)
= la(a — b) — 3b(a— b)|(a + b) = (a—b)(a - 3b)(a +b) JỀ_24B-2MỀ s
vay 2ab 30? „ah
a’ —4ab + 3b a-b
Ví dụ 5.2 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, xét sự bằng nhau của
và >> trong các trường hợp biến x thuộc các tập với a# b và a # 3b hai phân thức hợp sau :
a)xeN; b)xeZ; c)xeQ
Gidi a) V6i x e N thi 4(3x +2) EN, do đó (3x + 2)(x + 5).4 = 4.(3x + 2)(x + 5) @x+2)& +5) _ x+5 4Gx+2) 4 b) x € Z tương tự Vậy c) Khi x e Q thì hai phân thức bằng nhau khi x # a (dé 3x +2 #0) 2013? = 2012? 4 _ 2013 = 2012 2013 + 2012? © 2013+ 2012" Giải Đặt 2013 = a và 2012 = b tạ có : Vi dụ 5.3 So sinh C= 2 2 a“ˆ =b c=5 >; a’ +b _a-b_(a—ba+b) _a?-b? =—————m< a? a+b (a+b)(A+b) a2+2ab+b2 a? +b?
(doa>0; b > 0 nên a” + 2ab + bỂ > a + bŸ), sd ec 2 VậyD< Chay 203~2012 „ 202-2012 2013 +2012 ` 2013? +2012? 39 Ví dụ 6.4 Chứng minh rằng :
L+a+a2+a`+ + số” = (1 +a)(1 +a2(1 + ä') (1 + a'2) đ@)
Giải Gọi vế trái của (1) là M;; vế phải của (1) là N
Trang 21II BÀI TẬP $1 5.2 53 54 5.5 5.6 Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong các trường hợp sau : A _ 15x? + 10x 3x2 —5x~2 _ x-2 „ 4) 3x-2 + 9x24 = ; b)————= › A 2x -3 3 4 2 44x44 a eh tes a tt =-ˆ_- xo +x-6 A Xe +x°-x42 x41
Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa
Trang 22§Š.14 Rút gọn các phân thức sau : (+2) +3)œ+4)(x+5)+l, :b)U= xỶ~—53x +88 a)T= : » x2+Tx+Il &=D&-3œ-5&=?+I6 SIIS,Cho 2= Ð~Š tay aed: x y 2 2 xo + Chimg minh ring (ax + by + ¢: 5.16 Cho ax + by + cz = 0 Rút gọn phân thức : ax” + by? +c be(y — z)? + ca(z — x)? + ab(x — y)? 9x? + y? +77) (x -y) + (y= 2)? +(2-x) V= 5.17 Cho x + +7.=0 Ching minh 5.18 Chứng minh x ty? Z2 ~224+2xy =tỦ _ x?=y?+z2~221+2xz= x#y-z~t s x-y+z-t ˆ 5.19 Rút gọn _ @1+4)(61 + 4)01 +4)(14' +4) © 44448" + 02" +4168 4 4) Chuyen dé 6 TÁC PHÉP THÁN VỀ PHÂN THÚC ĐẠI SỐ x I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Quy đồng : Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau :
— Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
— Tim nhan tử phụ của mỗi mẫu thức
—_ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
2 Cộng, trừ phân thức Các tính chất
~_ Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức
— Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi
cộng các phân thức có,cùng mẫu thức vừa tìm được 43 —_ Phép cộng các phân thức có tính chất : GCA page 2c se: _ lối Giao hoán: +“ 5 B C).E_A.(C_E Kết hợp: (§+§)*z-2'(š*z) : A đa — Phân thức đối của phân thức B được kí hiệu bởi "n" att ~ -B B B c rs Bsc xs OL — Trừ phân thức D là cộng với phân thức đối của n° A — và _-A-,
3 Nhân, chia phân thức Các tính chất
~ Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với AC AC nhau : —.> = —— BD BD ~— Tính chất của phép nhân các phân thức : «ie eS he + Giao hoán : hy 5 AC A(CE +keinop: (4.6 4 (2.2)
+ rin tt 6 arpepctng: A(S +8) ASAE han phối đối véi phép cong: | + E)= ED t Bop
Trang 23Giả Phân tích thành: “hâm tử:
2 †yZ—X —Xy=Z ~X +YZ—Xy=(⁄-x)+x) + y#—X)=(—
Biến đổi tương tự ot PVC Qưệ Bà ĐI,
XÃ +XZ—Y) — 2= (X=Y)GX +Y +2)
sete Yf *Xy~Z —XZ= (y~?)(y +Z+x)
nếu ta hoán vị vòng quanh thay x bằng y, y bằng z và z bằ ì
Xinh tên, \y x bằng y, y bằng z và z bằng x thì tả được ngay
Mẫu chung bằng (x ~ y)(y =Z).~ x)(% + y + 2)
Dođó A=—_Ở=2~Œ-x)+@&-y)
Œ&-y)ŒW_ z)(z—x)(x+y +z)
- ~2~x) _ 2:
(Œ~y)y~Z)=X)&+y+2) %—y)W—2)&+ ⁄ y+z) ;
Vi dy 6.2 Thuc hién phép tinh :
1 5 1 sẽ 2 4 + 8 16
gi quủ 1a l1+Aa l+a?” J+af l+a®" J+al6”
gi nói j a không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từ trái Ẩn 8 16 I+a* 1+a® 1+alé 8 16 I+aŠ 1+alé 16 = + I+a® 1 4alé l6 _ 32 ltalS a?" «1K +18 Ví dụ 6.3 Tìm các số a và b sao cho phân thức C = 8 3X” +x=14 viết được : thanh + š x 3x +7 ‘ Giải Cách 1 (Phương pháp hệ số bất định) : 17x +18 Ta có 3x” + x — 14= (x— 2)(3x + 7) nên C= —[X +18 (x = 2)3x +7) b_ _ax+7)+b(x =2) _ đa+b)x+(7a-2b) x-2 3%X+7 (@-2@x+7) (@&-2@x+7 ˆ Như vậy ta phải có : 17x + 18 = (3a+ b)x + (7a = 2b) với moi x Đồng nhất hệ số các hạng tử cùng bậc ở hai vế ta có : : 3a+b= 3a mpm fg 99 mạ =4; beố, 45 46 17x +18 4 5 Này mẽ + 5 My2ix-l4 x=2 3X+7 Cách 2 : (Phương pháp trị số riêng) :
Ta có I7x + 18 =a(3x + 7) + b(x — 2) đúng với mọi x
Với x =2 ta có 52 = a.L3 nên a = 4
7 7
V6i x = —= tacé 17.] -—] + 18 =b.]- đỉx=—2 tacó ( 2) (
Ví dụ 6.4 Cho a + b+c =0 và a, b, c, đều khác 0 Rút gọn biểu thức : 2ab Ð 2bc # 2ca 32+(b+e)(b—e) bÊ+(e+aJ(e-a) c? + (a +bY(a-b) 2) nén b=5 Giải a5 a+b+c=0@a+b —e = (a+b)”=(~c)” © dˆ+b —c?=~— 2ab
Do dé a? + (b +e)(b — €) = âÊ + bể — cŸ =— 2ab “Tương tự b? + (€ + a)(c — a) = bỂ + c? — aˆ =~ 2bc
c?+(a+b)(a —b) =cŸ + aˆ ~ bỂ=~2ca
Pudšp- 25 ¿29 v2: =-1~1—1=-3, ~2ab ~2bc -2ca
Trang 256.3 Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau, hãy rút gọn các biểu thức : 1 1 1 4)A=————+———:—: (a=b)4=c) (a-b\(b~e) (e~a)J(e=b)”
WB=e==ek—xc Ty a(a—b)(=c) b(b~a)\(b~c) c(c—a)(—b) ” Ì Ty acs be *% ac & ab : (a-b)(a-c) (b~a)(b—c) a)(c-b) * = a + — fa ; (a-b)a=e) (b~=aJ(b=e) (c=a)(=b) ` xã 3 3°
e)E= (a-=b)(a=e) (b—a(b-c) (c—a)(-—b) ¬ `.¬
GA, Chomf=— SE” a? - ac —ab + be ab—cb+ea c?~cb—ac tab" I coal’ + Chứng minh rằng M= 2N 65 tho 2 +le2 sow? a x Chứng minh rằng —^ 6.6 Cho abc #0 và a+ b+c = 0 Rút gọn biểu thức 2: 2 ` bả 2 hoi ÿ 2 + =
(a~b)(a+b)~c” (b~e)(b+e)-a” (c—a)(+a)— b2
6.7 Choa”+b + cŸ= 3abc và abe # 0;a+b+c #0,
Chứng minh rằng P = E + az + + Bee lie a b)lb cle aj abe a+b? +07 va abe #0, 3 T= 6.8 Cho(a+b+c) a ~ 3 be ac ab Chứng minh rang = += += ae 6.9 a) Cho abc = I Rút gọn biểu thức =5 en rn ab+a+l be+b+l ac+c+l E= 49 -$A TUCT THCS TOÁN ân; ĐẠI SỐ 6.12 Cho A= b) Cho abc = 2012 Rút gọn biểu thức a b 2012c —————-'.—— Ẵ ab+a+2012 be+b+1 ac+20l12c +2012 G= 6.10 Cho abc =m (m € N3) Rút gọn biểu thức : a b „_ mẸ Hz——+_-—— % ab+a+m be+b+l ac+mc+m 611 Cho 1+ L<—- ac b-c a-b vaac#0;a¥b; bee Giinemittidoe hứng minh rằng Š = 2~” , : ee be e5 Œ&=y°+(y~2°+Œ=X ,p_ (x~y)W~2~X) Rút gọn A + B 6.13 Cho C= (xy sy+ | bc+l cat] ab+l + ;
a?4+2be b?+2ac c?+2ab
a2+bc bổ+ca ậ c? +ab
Trang 26
6.17 Cho abe # 1 và ne L_ Mtl 1 (những mữlka =b=ẻ Chuyen dd 7
© " Z ẩ F1 “, om 2
6.18, a) Chứng minh ring, néu ab + be + ca = abc # 0 và a + b + c =0 BIẾN HỔI CÁC HIẾU THỨC HỮU Th
GIA TRI CUA PHAN THUC BAI SO L1 thì aie ab b) Ching minh rang, néua+b-+e=ab+be+ca=abex0va 4+ I KIẾN THỨC CƠ BẢN a’
thì 1 ~ Biểu thức hữu tỉ : là biểu thức nguyên và biểu thức phân
a bee ~ Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức : Nhờ các quy tắc của các
©) Choatb+e=a? +b? c2=2 và abe #0 Ching minh ring 2444421 phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu : ab & abe thức hữu tỉ thành một phân thức
6.19, a) Cho abe = I và a+b+c = + i + bự Chứng minh rằng tổn tại một trong ~ Khi làm các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức, trước hết phải tìm
ba số a, b, c bằng I ‘ điều kiện để giá trị của phân thức được xác dịnh, đó là những giá trị của
_ : L1 I biến làm mẫu thức khác-không Tại giá trị của biến mà giá trị của phân thức
b) Chứng minh rằng nếu a + b + e= n và —+ bTg Ea đ tổn tại ruột được xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn của nó có cùng một
a c n em
trong ba số bằng n giÁ
c) Chứng minh rằng, nếu ba số a, b, c khác 0, thoả mãn đẳng thức we a* - b’ a ee br =e i c-a Lo II Vi DY MINH HOA Z 3 S
oe : 30
: HD be oe Vĩ dụ 7.1 Tìm giá trị của x để phân thức 2° 2% +30 pang 0,
thì tồn tại hai số bằng nhau x-%
a2 (b2 + c2) ~ b2c? 6 _ 5x-2)x~3)
620.Cho AT SP, : gO ORD) Mae),
a’b’c x(x? —9) x(x —3)(x + 3)
cn La +b?) = 07d? Với x = 2 thì tử bằng 0, mẫu khác 0 nên phân thức bằng 0
Trang 27c) Tìm giá trị của phân thức để giá trị của từng phân thức bằng 0;
đ) Tìm giá trị của phân thức A tại x = 3 và phân thức B tại |x - I] = 3 ; e) Tìm giá trị nguyên của x để 5 nhận giá trị nguyên XỔ + xf — l6x — l6 xÌ~6x?~9x +14 Phan tich tit: x5 4x4 — 16x — 16 = x4(x + 1) — 16(x + 1) = (x + IQ — 16) = (x? + 4x + 2)( = YK 4D Gidi a) A Phân tich mau : x? — 6x? - 9x + 14 =x? — 5x? — 14x — x24 5x + 14 = x(x?— 5x — 14) — (x? — 5x — 14) = (x? Sx — 14)(x — 1) = (x? — 7x + 2x - 14)(x — 1) = [x(x - 7) + 2K - DIK 1) = (K-7)(x +2) = 1) * Giá trị của phân thức A được xác định khi mẫu khác 0 tức là : (x~7)&+2)&~ 1) #0=>x#7;x#~2; x# _X'Œ&-~2)+4x~2) _ (x? + 4)(K-2) — x°-7x-3x+2l XŒ&-=7)—3&-—7) (œ2 +4)(x —2) —œ-3-=7)ˆ * Giá trị của phân thức B được xác định khi mẫu khác 0 tức là : (x-3)(x -7) 40x 47;x#3; , (x? +4)(x + 2)(x — 2)(x +1) = (x? +4) - 2) +1) (x + 2K — DK —D (=7) ©) Giá trị của A = 0 khi tử bằng Ø và mẫu khác 0 “Ta có B b) Rút gọn : A= Ta có x” +4 >0 Hai giá trị này của x đều thoả mãn điều kiện để mẫu khác 0 Vậy A =0 khi x=2; x=—l Tương tự B = 0 khi x =2 @?+4)@-2)3+U _ 13 đ)Khix=stnA= Ð 120-2610 3, @-7)G-I) 5 ới mọi x, do đó (x” + 4)(x = 2)(x + 1) =0 khi x=2;x=~l 53 x-1=3 [i= eS x=-2 a -1J=3 Ta có |x~ [=3 P3 (42+4)(4-2) 40 (4-34-1737 [2Ÿ +4](-2-~2) _ _32 (2-3(2-7) 45" c) Ngoài các điều kiện x khác 7 ; -2 ; I; 3 để giá trị ? xác định cần thêm “Tại x =4 thì Taix=-2thi B= điều kiện x # 2 A „ G2+4)œ =2) +), G2 +4) =2) ` &=3)&~7) B (x=7)(x - l) _ Œ +4) =2) + I) (x — 3)(x - 7) = & +N =3) (&%x~7Jx-l) ` @?+4)\(x-2) x.ẽ BE cứng 06a), x c2 ĐH vu ey B xT xe] xe
aot € Z=x-l làước của 4 = x-1 bing + 1;+2;44
=x€ {~3;~I ;0; 5}, (loại x =2 ; 3 vì không thoả mãn điều kiện xác định)
5 ‘
Vidu 7.3, Choa? + b?= Tào với b >a > 0 Tính giá trị của phân thie B= 2+ = Gidi Cach ] : Tita? +h? = a ab, suy ra 7a? + 7b” = SOab
a? +2ab+b* _ 7a? + 7b” + l4ab _ 50ab + l4ab _ 6đab _16 a —2ab+b? 7a2+7b2-l4ab 5Úab-l4ab 36h 9ˆ
Dob>a>Onena-b<0;a+b>0>B<0>B=-5
xa B
Céich 2: Tita? +b? = 2 ab, suy ra 7a” + 7b? = 50ab => Ta” + 7b? — S0ab = 0 => 7a? = 49ab'- ab + 7b? = 0
= 7a(a— 7b) — b(a — 7b) = 0 => (a — 7b)(7a — b) = 0
Trang 28Š› về se 2012 Vidy 7.4 Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C= mm b)Tại xe T2 là số nguyên z a De ( $ ) : (- | _ 4025 2013 _ 4025 Giải Ta có với x nguyên thi 2x — 1 0, giá trị của phân thức được xác định 2013) (2013) 20134027 4027 3 cĐể D=2012th Š#Í 2012 œx + 1 =6086 ~2012x©x= 6Š, Cn 28a? 42x? =x An TES 3 Ky ts 2013 ~ 2x—I 4 ma 2 =x =x =x _X @x~l)†x(2x-l)†(2x-l)+5 „2 = =0 Tận ĐH ĐẾD e #tủ ~— €Z=3—x là ước của4 2x-1 2x-1" 3- Nếu 3~ x= I thì x =2 Nếu 3— x =-l thì x=4 Nếu 3 x =2 thì x = I (loại vì không thoả mãn ĐKXĐ) $ 3 5 Với x nguyên thì để giá trị của biểu thức C là số nguyên thì 5 giá trị nguyên Do đó 2x ~ I phải là ước của 5 tức là 2x =I = £1; 2x 2x-1 -5 #I 1 5 Nếu 3~x =~2 thì x =5
x a2 [| 0 i 3 Nếu 3 ~ x =4 thì x = >1 (oại vì không là số tự nhiên)
Trang 297.3 7.4 1:5: _ a) ina et nc), ¡c9 9 x +l Ps ve) = ro si 2 oss Ps Œœ%-y)-(y-z)-(-x) X VY VY 4 2 cG= @œ~y)°+(y~Z)°+(—x)” ||, ݆Z q,Z†X q,X‡Y x y z 3 + l+ Xt) ratte x d)H= +1],—_2+Y , _x» _ [ 2xy j= yz? x? + dy? —(x -2y)* my “Tìm diều kiện xác định và tính giá trị của các biểu thức sau : gIi- Xe +29) +0 + DỢ TỦ vìx=2013;y=2072; + x(x +2)-(y+ D(y-D 5 x44] =x b)K= voi x = 2013; X x°+x+l x~—I
` 4x5 - 12x4y - xy + 3y` ier
Rane 2x y“ˆ — Oxy” + xy" — 3y 23 43,5 Ỳ 5
Trang 307.15 Cho phân thức : (Sx + Sy + 52)? ~ (25xy + 25yZ + 25x) a) Tìm các giá trị của x, y, z để phân thức xác định ; b) Rút gọn"A 7.16 Cho biểu thức : +242—a (a+2)°—a2 amt? _gantl 3a | 4a2~4 a) Rút gọn B b) Khin = 1, tim giá trị của a để B = 3 7.17 Cho các biểu thức : x2 y? x2y? + x2y2 C=————;-———z:D= XxX#+y-xy-Yy ` X+ÿ+Xxy+Xx a) Tinh C-D b) Tím các cặp gid tri nguyen (x; y) dé C- D = 10 x2 46x49 eo „s2, 2-9 2 ( 7.18.Cho E=—— ST =“——— coe x 43x? 27x +27 |x? 46x49 3x (x 3 š 3‡x x-6x+9( 3 vì Fa i 2 Ot |= _ 3-x 9x2 3—x a) Rút gọn E và F;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để : nhận giá trị nguyên ;
©) Tìm các giá trị của x nếu II _o, F — - E đ) Tìm các giá trị của x để a S92 e) Tìm các giá trị của x nếu Ẳ =2013; 0 Tìm giá trị của 2 tai fx - I] = 2012 _ x? + Sy? +522 )x ty +2)? + Say + yz + zx)? I+x-y?—xy? 59
7.19, a) Cho a*+ b? +c? = 3abe va abe #0
Tính giá trị của biểu thức P= ( + jJ + jf + ‘)
€ a
b) Cho ba số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau và thoả mãn a + b + e = Ữ
Trang 31ÔhươngHI — PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘTẨN _
Chuyen dé 8
PHUONG TRINH BAC NHAT MOT AN
1 KIẾN THỨC CƠ BAN
1 Mở đầu về phương trình
* Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế
phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x
* Giá trị của biến thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho là
nghiệm của phương trình đó
* Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tập nghiệm) của phương trình đó
*ˆ Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương
2 Hai quy tắc biến đổi tương đương
a) Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử
từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó
b) Quy tắc nhân với một số : Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc
chia) cả hai vế với (hoặc cho) cùng một số khác 0
* Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn
nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho
3 Phương trình bậc nhất một ẩn
* Phuong trinh c6 dang ax + b =0, với a và b là hai số đã cho và a # 0, được
gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
* Phuong trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = 4 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 và phương pháp giải
a) Phương trình không chứa mẫu số :
~ Thực hiện phép tính và bỏ ngoặc
=
61
— Chuyển các hang tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kỉa = Thu gon va giải phương trình nhận được
b) Phương trình chứa niẫu số bằng số : Trước hết phải quy đồng mẫu số rồi nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu rồi thực hiện nhw a) II VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 8.1 Giải các phương trình : a) 2x(x — 5)= (x +2) + (x— 5)”; (1) x+3 b)2x-—2——4 6 @) Giải a) (1) cv 2x2~10x=x?+4x+4+x2— 10x+25 © 2x?~ I0 — x? — 4x — x? + IÚx =4 +25 , 29 ©@-4x=29 © x=-— 4 * bjỚj c2 286-1 RO gụi 24 - 12 © 48x—x~6 = 26x ~ l0 — 24x + 24 <> 48x —x - 26x + 24x = —l0+24+6 © 45x =20 2 x=4 § 9 Ví dụ 8.2 Giải phương trình sau với a là hằng số (ta còn gọi a là tham số) a(ax = ])=x(3a =2) — I @) Giải (3) © ax—a=3ax~2x—l © a2x~3ax+2x=a~— © x(a’~3a+2)=a-1 © x(a-Ia-2)=a-1 Š 1 ~ Nếu a #1 via #2 thìx= ———
~ Nếu a =2 phương trình có dạng 0x = 1 Vô nghiệm
Trang 32Giải Điều kiện b # + 2
(4) © œ%~1+b)(b~2)+(~b)\(b+2)=x—b
©xb~2xS~b+2+bˆ—2b+ xb+2x —bŸ—2b=x—b
© 2xb—x=4b—~2 @ (2b— I)x= 2b — l) #Nếb #2 (ab # + 2) thìx=2
* Nếu b 3 thì phương trình trở thành 0x = 0 Phương trình nghiệm đúng với
moi gid tri cla x Ví dụ 8.4 Giải phương trình : x+1 x42, x+3_ xl, a) ——+ 2012 2011 * 3010 | 2014 ” 20 b) 5-24 ot A ố an na an n
Giải a) Nhận xét: Nếu quy đồng mẫu thức hai vế thì mẫu thức chung quá lớn Nếu cộng thêm 1 vào mỗi phân thức ở hai vế thì các phân thức nhận được có các tử thức bằng nhau Do đó ta có cách giải sau : x+I 1 x+2 1 x+3 1 Ns (Gat )*(§m= ) +(e ) 3:—I‡ x-2 x53 =|——*+!|+|—-r'! 2014 2015 — Stl 2016 x+2013 | x +2013 X+2013 _x+2013 x +2013 | x +2013 + = 2012 2011 * 3010 2014 2015 2016 x+2013 x+2013 x+2013 x+2013 x+2013 x+201 202 ° 201 2010 2014 2015 2016 1 ] 1 I 1 1 9013) — a oe eee Siữ Naira ae 2014 2015 aaa) 5 I 1 1 1 i 2012 2011 2010 2014 2015 2016 * Vay x =~2013 Dễ thấy 63 b) Ta biến đổi phương trình (6) như sau : “a6 101 98 to sử Là, +ÍX=#-¡ 97 96 eo $= 100_x=100 , x-100_ x-100 , 90 — lÔI 98 — 10 x~100 x~100 x~100_ x=100 # 7 7 103 ` 96 — 104 + sa =0 @œ-l %(~Tar*35~ïB* #.- L2 E4 99 TÔI 98 102 97 103 96 104 <>x=100
Potyt ryt oii
(do — 99 TÔI 98 102,97 103 96 104 somata mete #0)
'Vậy nghiệm của phương trình là x = 100 Ví dụ 8.5 Tìm giá trị của m để : +) Phương trình sau có nghiệm x =—2: (3x — 4)(1 + 2m) — 8(x + 4) = 25(x + 5)(2 — x) + 3(m - 2) + 25 (7) b) Phuong trinh (x — m)(x + 2) - 5mx + 4 = (x + m)(x — 2) — 3x (8) có nghiệm gấp đôi nghiệm của phương trình 2x(x — 3) — 6x = 2(x —l)(x + 5)
Trang 348.6 ST 8.8 8.9 8.10 Giải các phương trình : J2 15,2416, 2+7 2193 24494 24495, Os 0g T 0g 7 6 5 py WA28, BHK , W6-x, Tx =x, 236 12 "724 3 2 == tt tt 50 49 48 47 25 200) a 5x = 150, Sx - 102 | x= 56 | 5x -12 poke 660 =0) 50 49 48 47 46 Giải phương trình : z với a là hằng số ; 9a jix6% 1 (CS ca oc ab với a, b, c là các hằng số và a.b.c # 0 Giải phương trình : a) x=n X=b,x+2 b+2 a-2 a+b BC b~9,X~9—A „XP —È „3 với gsb và lv eác bằng số khíe Ó: a b Giải các phương trình : tot 1 a —=+~+ +——+_—~— |503 9(*‡*3* “20 mãi 7 = 3 véi a; bla cdc hang s6 ; 2014 2015 4023 4024 =l+“C —+——t +— ta: 3 2011 2012 06+ 2~— 2-0542 b) = + 93x 2 ea 3 9 _ (3037 _ nến” # AT 4545 975975)2 3 6 Tìm x, nếu : 8 8 8 8), 38 2x+7 5x~8 a) | + +“ +—+2x-l)= + °(D*sm* 25” +a) ieee 67 » (ae 3030 | Fg) Os =D = tl 16+ 1212 * 2020 *“** 9090 © 2014.2011 + 2017 2011 2011 2011 2012 2012 2012 ©)|——+——r+ + x=——+ + — LM 2.12 100.110 tt : 1.101 2.102 10.110 “2z dò 9 PHUONG TRINH TICH 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
— Dang phuong trình : A(x) B(x) = 0 trong đó A(x), B(x) là các đa thức của biến x
~ Phuong pháp chung : Dể giải phương trình A(x).B() = 0, ta giải hai
phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0, rồi lấy tất cả các nghiệm thu được
A(x) B(x) =0 A(x) = 0 hoặc B(x) =0
Trang 35Vi dụ 9.3 Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các lập phương của ba số
đầu bằng lập phương của số thứ tư
Giải Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp cần tìm là a; a+1;a+2;a+3 "Ta có a+ (atl) +(@+2) =(a+3)°
coat g’43a'43a4 1 +a’ + 6a" + 12a+8 =a + 9a + 270427 ea? ~ 3a? + 3a”- 9a +3a-9=0 & (a-3)a? + 3a 43) =0
2
DosÊ+3a+ 3= (s+ 2) + Š > O Với mọi a nên a~ 3 =0 hay a =3
'Vậy bốn số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 3 ; 4 5 ; 6, Ví dụ 9.4 Giải phương trình (x= 18 -(« - 37 =98 Giải Cách 1 : Biến đổi phương trình được x3 3x? + 3x — 1 —x° + 9x? — 27x + 27=98 © 6x? — 24x -72=0 © X?-4x-12=0 x-6=0 [ =6 Se = (x—6\(x+2)=0 © lim x=-2 Nghiệm của phương trình là x = 6 ; x =~2 Cách 2 : Ta có x ~ 2 là trung bình động của x — 1 và x — 3 Đặt x ~ 2 = y phương trình trở thành (y + 1Ÿ ~ (y — 1 c©y`+3y°+3y+l~y`+3y?~3y+1=98 © 6y°=96 œ yŸ= l6 - [y=4 x-2=4 x=6 ° Suy ra > -4 2=-4 x - y= x= Nghiệm của phương trình là x = 6 ; x=~2 Ví dụ 9.8 Giải phương trình (2x7~ x~ 3)”— 7(2x”~ x + 3) + 42=0 Giải Đặt 2x?= x -3 = Phương trình trở thành y” — 7(y + 6) +42 =0 y=0 2x? -x-3=0 °° y~T=0 2x? -x-10=0 le =0 @đ Se â y(y-7)=0 © [ (2x —5)(& +2) =0 (2) 69 Giải (1) được x = ti NI Giải (2) được x = 3 Vậy phương trình có bốn nghiệm x = -2; x =-1; x= 5s Ví dụ 9.6 Giải phương trình (x = 1I)(x — 2)(x — 5)(x - 6) = 252
Giải Xét vế trái nếu nhân nhân tử thứ nhất với nhân tử thứ tư ; nhân nhân tử thứ hai với nhân tử thứ ba thì chúng cùng hệ số của xŸ và của x Do dé ta biến đổi thành : (x? 7x + 6)(x? — 7x + 10) = 252 Đặt xŸ ~ 7x + 8 = y, phương trình trở thành (y ~ 2)(y + 2) = 252 © y°~4=252y?=256 œ y = # l6 * Với y= l6 ta có xŸ— 7x +8 = l6 eœ x”— 7x~ 8 =0) ôâ &-8)&x+l)=0 â [; x * Với y=~l6 ta có x” — 7x + 8 =~ l6 <> x?-7x +24 = 0, phuong trinh nay
'Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 8 và x =
(Ta cũng có thé dat x” ~ 2x + 6 hoặc x2 — 7« + 10 làm biến phụ Bạn đọc tự giải)
#ð' CHÚ Ý : :
Khi giải phương trình tích ta có thể gặp phương trình đối xứng, đó là
phương trình có hệ số của chúng đối xứng nhau
Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì ˆ cũng là nghiệm
a
Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có nghiệm là — 1
Trang 36Giải a) : Biến đổi phương trình thành (x + 1)(x + 4)(4x + 1) =0 Phương trình có ba nghiệm x =—l ; x =~ 4 và x Gs
b) Cách: ! : Biến đổi phương trình thành (x'~ x + 1)(2x ~ 1)&— 2) =0
Nghiệm của phương trình là x = 2 và x = nà
Cách 2 : Vì x = 0 không là nghiệm nên x z 0 Chia hai vế của phương trình cho x” ta được a(x + 3) - af« + 4) +9=0 A La 2 Dity=x+— thhy’-2=x°+— ity x ty Zz ay’ -2)-Ty+9=0 © 2y?-Ty+5=0 Do đồ ta có Đ@y~5)=0 œ|Ÿ~!=9 © (-l)2y-5)= 2y-5=0 * Với y.~ I =0 ta có x+ 2-1-0 © x~x + I=0 vơ nghiệm vì iy 3 x~x+I=|x-~| 2) +=>0, vx 4 t)-s=0 © 2x?~5x+2=0 x * V6i 2y-5=O0tacd afx+t © (x-I)x—2)=0 © x=2 1 x= 2 Vay nghigm eta phuong trình là x =2 và x = 7 III BÀI TẬP 9.1, Giải các phương trình : a) œ—3)”— l6=0; ©) @&Ÿ~ 9)(3x +2) = (x2 9)(2x - 3); b)(—4)ˆ= d) Gx - 5)? —4(x = 3) =0; x + ĐỂ; 1 9.2 Giải các phương trình : 4)XÖ—x”+x—l=0; -x-1=0; +4=0; b) xP +x! d) x +x ©)xÌ+x”~4x=4=0; ©) (x= I(x = 3) + (x— I? (x +3) = 72 9.3 Giải các phương trình : a) x" 5x3 + 5x? + 5x =6 =0; c) 24x3 9.4 Giải các phương trình; a) (x? - x)? = 12 44x — 4x"; €) (x? = 3x + 2)(x?~ 9x +20) = 40, c phương trình : a) (x- 28 +(x + 1) = (2x— ĐỂ; 4 4 ©) (x-4) +(x+3) = 82 2 2)
9.6 Cho phương trình xÌ~ 9x + 13ax ~ I2a =0
a) Giải phương trình với a = 2
b) Tìm a để phương trình có nghiệm là — 2
9.7 Cho phương trình (x ~ I)Ÿ— (4ˆ ~ a +7) = 1) ~ 3(a2~a— 2) =0
a) Tìm các giá trị của a để một trong các nghiệm của phương trình là 2 b) Giải phương trình với cá ¡ đó của a
Trang 37Chuyen db 10
PHUONG TRINH CHUA AN @ MAU THUC 1 KIEN THC CO BAN
Phương pháp chung :
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình (giá trị của ẩn làm tất cả các
mẫu thức của phương trình khác 0) Viết tắt : ĐKXĐ Bước 2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4 : (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điểu kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho _
II VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 10.1 Giải phương trình
9-4x _ 3 8
9x2-1 3x41 1-3x°
Giải ĐKXĐ của phương trình : x # # +
Với điều kiện đó phương trình tương đương với : 9~4x=33x— 1) + 5(3x + l) © 9-4x=9x-3+l5x+5 © -28x=-7 © gale 4 Giá trị này thoả mãn điều kiện trên Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = + Vi dụ 10.2 Giải phương trình 2x3, xÃ~5x422 _3x—5 -3 : x+l x?-2x-3 ` i ạ 2-3, X =5x+22 _ 3x - Giải Phương trình trên tương đương với vài Gr De —3) D&-3 x3” ĐKXĐ :x#3 và x#—l Quy đồng hai vế và khử mẫu được : (2x = 3)(x = 3) +x? = 5x +22 = 3x ~ 5) + l) © 2x2~0x+0+ x”~ 5x +22 = 3x” — 2x — 5 œ ~12x=~36 œ x=3 Giá trị này không thoả mãn ĐKXĐ của phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 10.3 Cho phương trình x‡+b + x+ð x-§ x-b ä) Giải phương trình với b = 2 b) Tìm b để phương trình có nghiệm x = 10; ©) Giải phương trình với tham số b =2 (với b là hằng số) x†2 x+5_ =2 x-5 #-2 Giải a) Khi b= 2ta có : với x # 5 và x # 2 thì © x?~4+x2~25 =2x?~ I4x+20 œ 14x =49 10+b l5 + 10- = 100-b? +75 = 100~ I0b © 100 =b~ I0b+25 =15 b) Nếu x = 10 với b # 10, ta có b © 100=(b-5)”© I
©) Điều kiện của nghiệm nếu có là x # 5 và x # b
Trang 38Kết luận : Nếu b # +5 phương trình có nghiệm duy nhất x = a
Nếu b= 5 phương trình vô nghiệm
Trang 39Chuyen db 11
GIAI BAI TOAN BANG CACH LẬP PHUWNE TRÌNH
1 KIEN THUC CO BAN
1 Các bước giải bai toán bằng cách lập phương trình
Bước 1 : Lập phương trình
~ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩr
~ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết ; — Lap phương trình biểu thị quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2 : Giải phương trình
Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn diều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận
2 Một số dạng toán thường gặp
a) Toán chuyển động đều : có ba đại lượng : Vận tốc (v) ; quãng đường (s) và
thời gian (L)
Quan hệ giữa chúng như sau : s = v.L; v=§ :t;t=§:
Don vị của các đại lượng trên phải tương ứng với nhau Chẳng.hạn, đơn vị
vận tốc : km/giờ thì đơn vị quãng đường : km và thời gian
Đặc biệt : Chuyển động xuôi, ngược dòng nước (hoặc xuôi gió, ngược gió) :
với v„ là vận tốc khi xuôi ; vạ là vận tốc khi ngược, v, là vận tốc riêng của
động tử, vạn là vận tốc của dòng nước (hoặc gió) thì :
Vy = Vp + Vận ;
Vn =Vr— Vane
b) Toán năng suất lao động : có ba đại lượng là năng suất lao động (khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian) ; khối lượng công việc ; thời gian hồn thành cơng việc Ba đại lượng đó quan hệ như sau :
Khối lượng = Na ất x Thời gian ;
Nang suất = KHỐL|ƯỢIE muại gian „ Khối Thời gian Năng sui
c) Tốn vẻ cơng việc đồng thời (làm chung hoặc riêng một công việc) : Đây là
dạng đặc biệt của toán năng suất lao động Khối lượng công việc ở đây
không được cho dưới dạng cụ thể Vì thế ta có thể quy ước cơng việc cần
hồn thành là 1 Tùy nội dung từng bài toán cụ thể mà ta quy ước một đại
lượng nào đó làm đơn vị Khi ấy đơn vị của năng suất là :
1 công việc/ 1 đơn vị thời gian T7
này, ta thường gặp vấn để làm chung, làm riêng, một
ng suất lao động chung bằng tổng năng suất lao động,
Trong các bài to: điều cần lưu ý là :
riêng của từng cá th
d) Toán có nội dung liên quan đến cấu tạo thập phân của số
e) Toán có nội dung liên quan đến tỉ số, tỉ số %
f) Toán có nội dung lý, hóa, hình học
#) Các dạng toán khác : tăng, giảm, thêm, bớt, chuyển các đại lượng
II VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 11.1 Quãng đường AC gồm hai đoạn AB và BC Đoạn BC dài hơn AB là 60km Một ô-tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/giờ rồi tiếp tục di đến C với vận tốc 40km/giờ Tính quãng đường AC biết thời gian đi trên doạn dường AB ít hơn
thời gian di trên đoạn đường BC là 2 giờ
Giải Gọi quãng đường AC là x(km) ; x > 0 Do doạn BC dài hơn AB là 60km ; tổng hai đoạn đường là x (km) nên : x=60 x+60 — Đoạn đường AB dài (km), doạn đường BC là (km) l +60 ~ Thời gian ô-tô đi trên doạn AB là ot (h), đi trên đoạn BC là : ` 20 (h) x x-60 “Theo heo bài ra ta có phương trình bài ra ta có phương trình : -—— =2 T00
Giải phương trình được : x = 260
Quãng đường AC dài 260km
Ví dụ 11.2 Một người đi ô-tô trên nửa đầu của đoạn đường AB với vận tốc
60km/siờ và trên nửa sau của đoạn đường AB với vận tốc 40km/giờ Tính vận tốc
trung bình của ô-tô trên cả đoạn đường Sau đó tính thời gian người đó đi nửa sau
của đoạn dường AB biết thời gian đi cả đoạn đường AB là 3 giờ
Giải Gọi vận tốc trung bình của ô-tô trên cả đoạn dường là x (km/giÒ) ; x > 0
Biểu thị nửa đoạn đường AB là a km (a > 0) thì thời gian ô-tô đi nửa đoạn đường ä 8® xá S5 Ga SÈ a ¬ Ms đầu là 2 giờ ; thời gian ô-tô đi nửa đoạn đường sau là dỡ gid; a a 08
“Theo bài ra ta c6 phuong trinh; “+2 = = 60° 40° x Gili phuong wink wendupes +e 2 eo xs, 60 40x
Trang 40-tô là 48km/giờ :48 3= 144(km) Vận tốc trung bình Quang dudng AB di
“Thời gian đi nửa sau đoạn đường là : 1 = 1,8 (gid) = 1 giờ 48 phút
Ví dụ 11.3 Đường sông xuôi từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường
bộ là 12km Đi ca nô từ A đến B hết 4 giờ còn đi ô-tô nhanh hơn Igiờ 30 phút Tính vận tốc riêng của ca-nô, biết vận tốc ô-tô hơn vận tốc riêng của ca-nô là 20km/giờ, vận tốc dòng nước là 2km/giờ
Giải Gọi vận tốc riêng của ca-nô là x (km/giờ) với x > 0, thì vận tốc khi ca-nô xuôi dòng là x + 2 (km/giờ), vận tốc của ô-tô là x + 20 (km/giờ)
Quãng đường ca nô xuôi dòng từ A đến B là : 4(x + 2) (km) Quãng đường ô-tô đi từ A đến B là 2,5.(x + 20) (km)
“Ta có phương trình : 2,5(x +20) — 4(x + 2) = 12
Giải phương trình được x = 20
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 20km/giờ
Ví dụ 11.4 Hai tổ sản xuất càng may một loại áo Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 chiếc áo Biết rằng
năng suất lao động của tổ thứ nhất hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo / ngày Tính năng suất lao động của mỗi tổ
Giải Gọi năng suất lao động của tổ thứ hai là x (chiếc áo/ngày) ; (x € N*) thi năng suất lao động của tổ thứ nhất là (x + 10) (chiếc áo / ngày)
áo), trong 3 ngày tổ thứ nhất may
“Trong 5 ngày tổ thứ hai may được 5x (chỉ
được 3(x + 10) (chiếc áo)
Theo dau bai ta có phương trình : 3(x + 10) + 5x = 1310 Giải phương trình được x = 160 (thoả mãn điều kiện)
Vậy năng suất lao động của tổ thứ hai là 160 chiếc áo/ngày ; tổ thứ nhất là 170 chiếc áo/ngày
Ví dụ 11.5 Hai đội công nhân cùng làm một công việc trongl8 giờ thì xong Nếu đội thứ nhất làm 6 giờ, đội thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50%
công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hồn thành cơng việc đó trong bao lâu?
Giải Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng để hồn thành cơng việc là x (gid) (x > 0) Linh Am Trong | gid hai doi làm được = cong viée, di thit nhat lim duge + (cong việc) ; x đội thứ hai làm được Ñ = 3) (công việc) x 79
Ta có phương trình : 860 PONE Te lB +12 woe x) 2 x 6 Ug Seed
© x =36 (thod man diéu kiện) / Vậy nếu làm riêng thì đội thứ nhất hồn thành cơng việc đó trong 36 giờ ; đội thứ hai hoàn thành công việc đó trong 1 : ( = s) =36 (giờ),
Ví dụ 11.6 Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể, Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi
thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được : bể Hỏi nếu có vòi thứ ba chảy một mình sau 2 giờ được ; bể thì vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy vào cái bể không có nước đó trong bao lâu đẩy bể ?
Giải Gọi thời gian chảy một mình đây bể của vòi thứ hai là x (giờ), trong một
giờ vòi thứ hai chảy được = bể nước, vòi thứ nhất chảy được (-2) bể nước
x x
Ty Ta có phương trình : 2| — = 3 L — |+— = < Giải được x = 15 Dy 2 uy 6 XJ x 5
“Trong một giờ vòi thứ ba chảy được ; ø (bể nước)
Vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy một giờ được J + it — (bể nước) _ _ l5 12 2
NT EE sae ese Lo
“Thời gian vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy đây bể nước là I : 20 = cy or) (gid)
Dap s6 : 6 gid 40 phiit
Vi dy 11.7 Mot số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị là 2 Nếu chuyển chữ số 2 lên đầu thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 189 Tìm số đó