1.Qui tắc cộng: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 2.Qui tắc nhân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Trần Sĩ Tùng Đại số 11 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A TỔ HỢP I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai cơng đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường Bài 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Bài 3: a) Một bó hoa gồm có: hồng trắng, hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa? b) Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? ĐS: a) 18 b) 15 Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Baøi 5: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo cà vạt được? b) Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35 b) 29 Baøi 6: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chun tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên tốn học sinh chun tin Hỏi có cách lập đồn trên? Bài 7: Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần Trang 21 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 8: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu không gần Bài 9: Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, có nam nữ Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ban thường trực gồm người Hỏi có cách chọn ban thường trực cho phải có người nam ĐS: 161 Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x Ỵ A, y Î A b) {x , y} Ì A c) x Î A, y Î A vaø x + y = ĐS: a) 25 b) 20 c) cặp Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x; y), biết rằng: x Ỵ A, y Ỵ A, x > y n(n - 1) Baøi 12: Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi) ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba Þ có 9.10.10 = 900 (số) Bài 13: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 14: a) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c) Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? d) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? e) Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? ĐS: a) 3125 b) 168 c) 20 d) 900 e) 180000 Baøi 15: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số: a) Gồm chữ số? b) Gồm chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm chữ số? d) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e) Gồm chữ số viết không lặp lại? f) Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25 b) 20 c) 15 d) e) 120 f) 24 Baøi 16: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, có số lớn 300? c) Khác nhau, có số chia hết cho 5? d) Khác nhau, có số chẵn? e) Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a) 100 b) 60 c) 36 d) 52 e) 48 Baøi 17: a) Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a) 35 b) 24 ĐS: Trang 22 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 II Hoán vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n - p)! Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 ! nk ! Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: 7!4! ổ 8! 9! A= ỗ ữ 10! ố 3!5! 2!7! ø B= 2011! 2009 2010!- 2009! 2011 C= n (m + 2)! E = å k k ! F= (m + m) 4!(m - 1)! k =1 é 6! (m + 1)! m.(m - 1)! ù A= ê (m - 2)(m - 3) ë (m + 1)(m - 4) (m - 5)!5! 12.(m - 4)!3! ú û D= 7! Baøi 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn –1 = (n –1)Pn –1 c) n2 1 = + n! (n - 1)! (n - 2)! ĐS: n! £ 10 (n - 2)! (n - 1)n a) Û £5 n k -1 k =2 k ! å (với m ³ 5) b) Pn = (n - 1)Pn -1 + (n - 2)Pn-2 + + P2 + P + 1 d) + 1 1 + + + + < 1! 2! 3! n! e) n! ³ n-1 Bài 3: Giải bất phương trình sau: ỉ (n + 1)! n.(n - 1)! a) ỗ ữÊ5 n - ố n + (n - 3)!4! 12(n - 3).(n - 4)!2! ø c) n3 + 5! (m + 1)! m(m + 1) (m - 1)!3! Þ n = 4, n = 5, n = Trang 23 b) £ n!+ (n + 1)! < 50 b) n = 2, n = Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 4: Giải phương trình sau: a) P2 x – P3 x = b) Px - Px -1 = Px +1 c) (n + 1)! = 72 (n - 1)! n! n! n! n! =3 e) = (n - 3)! f) n3 + = 10 (n - 2)! (n - 1)! 20n (n - 2)! ĐS: a) x = –1; x = b) x = 2; x = c) n = d) n = e) n = f) n = Baøi 5: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Baøi 6: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 9? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 19? d) Không bắt đầu 135? ĐS: a) 24 b) 96 c) d) 118 Baøi 7: Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên? ĐS: Với i, j Ỵ {1,2,3, 4,5,6,7} , số số mà chữ số j hàng thứ i 6! Þ Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Bài 8: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Baøi 9: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? c) Theo môn sách Toán nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 10: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn tròn Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp Baøi 11: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! ĐS: 3! 3! Baøi 12: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Baøi 13: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài 14: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a) Bạn C ngồi giữa? b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? d) Trang 24 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 ĐS: a) 24 b) 12 Bài 15: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000 Baøi 16: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b) Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400 b) 2903040 Baøi 17: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560 b) 120960 Bài 18: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 Bài 19: Có đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề? ĐS: 26336378880000 Bài 20: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 Bài 21: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a) Tập tập đứng cạnh nhau? b) Tập tập khơng đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29! b) 28.29! Bài 22: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần? ĐS: 3360 Baøi 23: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 5880 Baøi 24: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu: a) chữ số xếp kề nhau? b) Các chữ số xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120 b) 3024 Trang 25 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 £ k £ n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! k An = n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) = (n - k )! · Công thức cho trường hợp k = k = n n · Khi k = n An = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: An = n k Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: A5 A10 + A= P2 P5 B = P1 A2 + P2 A3 + P3 A4 + P4 A5 - P P2 P3 P4 12 11 A49 + A49 C= 10 A49 - 10 A17 + A17 39A10 49 E= 38A10 + A11 49 49 ổP P P P D = ỗ + + + ữ A5 ỗ A A3 A2 A1 ÷ è 5 5ø A17 + 12!(5!- 4!) 13!4! F= 21(P3 - P2 ) ổP P P P 20 ỗ + + + ữ ỗ A A3 A2 A1 ÷ è 5 5ø C = 1440; D = 42 ĐS: A = 46; B = 2750; Baøi 2: Chứng minh rằng: 1 n -1 a) + + + = , với n Î N , n ³ 2 2 n A A A b) c) n n+2 n+ n An+ k + An+ = k An+k k k k k -1 An = An-1 + k An -1 với n, k Ỵ N, k ³ Bài 3: Giải phương trình sau: a) An = 20n d) g) k) Pn +2 b) An + An = 2(n + 15) = 210 n-4 An-1 P3 A10 + Ax = x y +1 Ax +1 Px - y ĐS: Px -1 Ax = 72 a) n = e) n = i) x = 2 c) An - A2 n + 42 = e) 2( An + An ) = Pn+1 2 f) Pn + An - Pn An = 12 2 2 h) Px Ax + 72 = 6( Ax + Px ) i) Ax + 50 = A2 x l) Pn+3 = 720A Pn-5 n m) An + An = An b) n = c) n = f) n = 2; g) x = 11 k) x = 8, y £ 7, y Ỵ N Trang 26 d) n = h) x = 3; Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Bài 4: Giải bất phương trình: An+2 143 b)