Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân ppsx

T T T r r r ư ư ư ờ ờ ờ n n n g g g T T T H H H P P P T T T N N N g g g u u u y y y ễ ễ ễ n n n B B B ỉ ỉ ỉ n n n h h h K K K h h h i i i ê ê ê m m m Đại số & Giải tích 11. Tiểu luận : HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn . Lớp : A6 Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p ( p  N٭ cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :  Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.  Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1. VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = 2 n ( n + 1). (*) Giải :  Với n = 1 , ta có : 1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = 2 k ( k + 1), Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là : 1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =   2 1k ( k + 2). Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) =   2 1kk + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( 2 k + 3k +2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) =   2 1k (k + 2).  ĐPCM . VD2: Chứng minh rằng : n u = 113  n chia hết cho 6  n  N*.(1) Giải :  Khi n = 1, ta có : n u = 13 – 1 = 12  6   1 đúng .  Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là : 6113  k  Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là : 6113 1  k Thật vậy , ta có : 113 1  k = 121313.13  k =   1211313  k 6  ĐPCM. 2. Dãy số : a) Các định nghĩa :  Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.  Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên ( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).  Dãy số tăng :   n u là dãy số tăng nn uun  1 , > 0.  Dãy số giảm :   n u là dãy số giảm nn uun  1 , < 0.  Dãy số không đổi :   n u là dãy số không đổi nn uun  1 , = 0.  Dãy số bị chặn trên :   n u là dãy số bị chặn trên nếu  M:  n u M ,  n  N*.  Dãy số bị chặn dƣới :   n u là dãy số bị chặn dƣới nếu  m:  n u m,  n  N*.  Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới . b) VD: 1) Cho dãy   n u với n u =   3 1n .Chứng minh n u là dãy số tăng. Ta có : nn uu  1 =     33 12  nn = 793 2  nn > 0,  n  N*  Dãy số tăng. 2) Cho dãy số   n u với n u = 56 65   n n . Chứng minh n u là dãy số giảm. Ta có: nn uu  1 = 56 65 116 115      n n n n =    56116 11   nn < 0,  n  N*  Dãy số giảm. 3) Chứng minh rằng dãy   n v với n v = 32 1 2 2   n n , là dãy số bị chặn. Ta có : n v =           32 22 2 1 2 2 n n =         32 5 1 2 1 2 n =   322 5 2 1 2   n . Dễ thấy  n  N* , thì 5 1 32 1 1 2    n . Do đó  -2 ≤ n v ≤ 1 (  n  1). Vì vậy,   n v là dãy số bị chặn. 3. Cấp số cộng & Cấp số nhân: a) Cấp số cộng : Định nghĩa : dãy   n u là cấp số cộng  n , 1n u = n u + d ( d là một hằng số & đƣợc gọi là công sai). Các tính chất của cấp số cộng :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :   n u là cấp số cộng  k u =   2 2 11    k uu kk .  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng   n u : n u =   dnu 1 1  (d là công sai)  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng   n u : n S =   2 1 n uun  hoặc n S =     2 12 1 dnun  . VD : Cho dãy   n u với n u = 20n – 2010.  Chứng minh rằng n u là cấp số cộng. Tìm công sai.  Tính 2009 u & 2011 u . Từ đó suy ra 2010 u .  Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên. Giải :  Ta có : nn uu  1 = 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.    n u là cấp số cộng , công sai d = 20.  2009 u = 20.2009 – 2010 = 38170. 2011 u = 20.2011- 2010 = 38210.  2010 u = 2 20112009 uu  = 2 3821038170  = 38190.  Ta có : 12 S =     2 12.201122 1 u . Mà : 1 u = 20.1 – 2010 = - 1990.  12 S = - 22560. b) Cấp số nhân : Định nghĩa : dãy   n u là cấp số nhân  n , 1n u = qu n . ( q là hằng số & đƣợc gọi là công bội). Các tính chất của cấp số nhân :  Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :   n u là cấp số nhân  2 k u = 11 .  kk uu (k ≥ 2 ).  Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân   n u : n u = 1 1 . n qu ( q là công bội ).  Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân   n u với q  1: n S = . 1 1 . 1 q q u n   VD: Cho cấp số nhân   n v có 3 v = 24 , 4 v = 48.  Tìm 1 v , công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.  Tính tổng 200 số hạng đầu tiên. Giải:  Vì n v là cấp số nhân  q = 3 4 v v = 2.  1 v = 3 4 q v = 3 2 48 = 6.  Số hạng tổng quát : n v = 1 2.6 n (  n  1).  Ta có : 200 S =   q qv   1 1 200 1 =   21 216 200   =   200 6 2 1 . II. Các dạng bài tập : Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học : Bài1 : Chứng minh rằng : 2222 321 n =    6 121  nnn ( n  N * ). Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau : 13 1 2 1 1 1      nnn > 1. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n  2, ta luôn có các bất đẳng thức sau : i. n 1 3 1 2 1 1  > n ; ii. 12 1 3 1 2 1 1   n < n. Bài 4: Cho số thực  2kx  . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có : nxxx cos 2coscos1  =   2 sin 2 cos 2 1 sin x nxxn  . Bài 5 : Chứng minh rằng :  121 1211   nn 133 (  n  N*). Bài 6: Tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1). ( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ). Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) = 2 n , (  n  N*). Bài 8: Chứng minh rằng : n U =  1222 32.7   nn 5 (  n  N*). Bài 9: Chứng minh rằng : 3333 321 k =   4 1 2 2 kk , (  k  N*). Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu 18  k  7 thì 18 1  k 7” Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau : Ta có : 18 1  k =   7188  k . Từ giả thiết “ 18  k  7”  18 1  k 7 . Hỏi rằng từ lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “ 18  k  7 , (  k  N*)” hay không ? Vì sao ? Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số : Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau : i. Dãy số   n v với n v = 3 3 n n . ii. Dãy số   n u với n u = nn 20092010  . iii. Dãy số   n v với n v = 3 2 sin  n . (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6). Bài 2: Xét tính tăng -giảm của các dãy số sau : i. Dãy số   n f , với n f = 152 3  nn ; ii. Dãy số   n u , với n u = n n 2 . iii. Dãy số   n v , với n v = 1 2 3 n n . (HD : Xét hiệu : nn uu  1 ); Bài 3 : Xác định số thực m để dãy số   n u , với n u = 32 1. 2 2   n nm là dãy số tăng. Bài 4: Xét tính đơn điệu của dãy số   n u , với n u = 1 2  nn ; (HD : viết lại n u = 1 1 2  nn ) Bài 5 : Chứng minh rằng dãy số   n v , với n v = 75 57   n n là dãy số tăng và bị chặn. Bài 6: Cho dãy số   n f , với n f = 6 cos 3 sin  nn  , chứng minh rằng n f = 12n f , n 1. Bài 7 : Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 u = 2 và 1n u = 4 4 2  n u ( n 1) . Chứng minh rằng   n u là dãy số không đổi. Dạng 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bởi hệ thức truy hồi: Bài 1 : Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 u = 1 và 1n u = 7 n u , n 1. Chứng minh rằng : n u = 67 n .( HD : chứng minh bằng quy nạp ). Bài 2: Cho dãy   n u , có n u = 34 2 2  nn ,   n v có : 1 v = 1 u và 1n v = 1  nn uv . Tính n v theo n. Bài 3:Cho dãy   n u có : 1 u = 1 và 1n u = n u + 2. Tìm n u theo n.( HD: viết ra một vài số đầu và số cuối theo hệ thức truy hồi rồi khử các số hạng giống nhau). Bài 4 :Cho dãy số   n a xác định bởi 1 a = 2 và 1n a = 123  na n , n 1. Chứng minh rằng : n a = n n 3 . Dạng 4: Chứng minh dãy số là cấp số cộng và vận dụng các tính chất của cấp số cộng:  Để chứng minh dãy số   n u là cấp số cộng ta chứng minh rằng : nn uu  1 = d (d không đổi ). Bài 1:Cho dãy số   n s , xác định bởi : 1 s = 1 , và 1n s = n s - 3. n 1. Chứng minh rằng   n s là cấp số cộng . Tìm công sai. Bài 2:Cho cấp số cộng   n u với công sai d và cho các số nguyên dƣơng m, k với km  . Chứng minh rằng m u =   dkmu k  . Rút ra nhận xét . Bài 3: Cho cấp số cộng   n u và cho các số nguyên dƣơng m, k với m < k .Chứng minh rằng k u = 2 mkmk uu   . Áp dụng : tìm cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ 3 bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10. Bài 4: Cho cấp số cộng   n u có 25 uu  = 90 . Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của   n u . ( HD : viết tổng 25 uu  thành 231 uu  = 90 ) Bài 5: Cho một cấp số cộng tăng   n v có 33 1 15 vv = 302094 và 15 S = 585. Tìm công sai và số hạng đầu của cấp số cộng đó .( ĐS : 1 v = 11, d = 4). Bài 6 : Xét dãy số   n u xác định bởi 1 u = m và 1n u = 5 - n u , n 1. Trong đó m là số thực . Hãy xác định tất cả các giá trị của m để   n u là một cấp số cộng. Bài 7: Cho dãy số   k u , có 1k u = 313 k . Tính tổng sau : S =     30201921141312 uuuuuuu  . Bài 8 :Cho cấp số cộng   n u có 10 u = 12 và có công sai d = 6 . Tính 20 u . (HD : áp dụng công thức chứng minh ở câu 2 _dạng 4 ) Bài 9 : Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102 , số hạng thứ 2 bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.(HD: tìm d, gọi k là số các số hạng của cấp số cộng đã cho thì k u = 999). Bài 10 : Cho cấp số cộng   n u có 2017 uu  = 9 và 22 17 20 uu = 153 . Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó . ( HD : có thể viết lại 22 17 20 uu =       2 2017 2 2017 2 1 uuuu  , sau đó xét 2 TH khi 2017 uu  < 0  2017 uu  > 0. ) Dạng 5: Các bài tập về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân: Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số   n f xác định bởi 1 f = 1 và 1n f = 7 n f là cấp số nhân. Xác định công bội . Bài 2 : Xét dãy số   n u xác định bởi 1 u = a và 1n u = n u 12 , n 1 , a là số thực khác 0 . Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy số   n u là cấp số nhân. (HD : giả sử   n u là cấp số nhân, khi đó  q > 0 sao cho 1n u = qu n . , từ đó tính đƣợc 2 n u = q 12 ). Bài 3 :Cho cấp số nhân   n u và các số nguyên dƣơng m,k với m < k .Chứng minh rằng : k u = mkmk uu  . . Áp dụng : tìm cấp số nhân có công bội âm , có 7 số hạng số hạng thứ 3 bằng 2 và tích của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 18. (HD : viết mk u  và mk u  với công bội q 0 ). Bài 4 :Cho cấp số nhân   n u công bội q 0 và 0 1 u . Cho các số nguyên dƣơng m , k , với km  . Chứng minh rằng : m u = km k qu  . . Áp dụng : tìm công bội q của cấp số nhân   n u có 4 u = 2 và 7 u = -686. Bài 5 :Cho cấp số nhân   n u có 52 .33 uu  = 0 và 2 6 2 3 uu  = 63. Hãy tính tổng S = 10321 uuuu  . Bài 6: Cho cấp số nhân   n u có 52 6 uu  = 1 và 43 23 uu  = -1. i. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. ii. Tính tổng : S =     5 6 9 8 9 12 14 u u u u u u u        . Bài 7: Ba số x, y ,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân ; đồng thời , chúng lần lƣợt là số hạng đầu , số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng . Hãy tìm ba số đó , biết tổng x + y + z = 13. ( HD : vì x, y, z là cấp số nhân  2 y = zx. ; từ giả thiết x, y, z là cấp số cộng ta tính hiệu y – x và z – y ). Bài 8 : Cho cấp số nhân   n u có 7 số hạng , 4 u = 6 và 7 u = 2 243u , tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó . Bài 9 :Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 264 . (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k ). Bài 10: Cho dãy số   n u xác định bởi 1 u = 2 và 1n u = 94  n u , n 1 Chứng minh rằng dãy số   n v , xác định bởi n v = n u + 3, n 1 là cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội bội của cấp số nhân đó. (HD : dễ thấy 1n u +3 = 94  n u + 3 = 4( n u + 3) ). III. Một số bài tập trắc nghiệm : Chọn câu trả lời đúng nhất trong các phƣơng án trả lời: Câu1: Cho dãy   n u xác định bởi 1 u = 32 và 1 2 nn uu   , 2, *nn   . Tổng 120 số hạng đầu tiên của dãy   n u là : A. 45632 B. 65212 C. 18120 D.19630 Câu2: Cho dãy   n a xác định bởi 1 a = 1 và   1 2 . 2 nn a n a n     .Khi đó 12 a bằng : A. 11 2 .12! B. 13 4 .11! C. 11 2 .12! D. 13 4 .11! Câu3: Cho cấp số cộng   n u có 1 2u  và 3 6u  , Tổng : 12 13 17 S u u u    bằng : A. 170 B. 180 C.132 D. 174. Câu4: Cho dãy số   n f xác định bởi   1 2 3 n n f fn     và 1 12f  , tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy trên là : A. 28697812 1594323 B. 28697813 1594324 C. 7174453 398581 D. 28697813 1594323 . Câu5: Cấp số cộng   k u có : 45 3u   và 47 7u   , thì 46 u bằng : A. 5  B. 10  C. 2  D. Chƣa đủ dữ kiện trả lời. Câu6: Cho cấp số nhân   n v có công bội q = 4 và 17 15v  thì 21 v bằng : A. 15 B.2120 C. 41160 D. Kết quả khác. Câu7: Dãy số   n u cho bởi 1 2 n n u n   là dãy số : A. Tăng B. Giảm C.Không tăng không giảm D. Có thể tăng có thể giảm . Câu8: Cho cấp số nhân   n u có 10 u = 2 có 12 u là nghiệm nguyên của bất phƣơng trình 2 12 12 10 163 660 0uu   . Công bội q của   n u là : A. 4 B.2 C. 8 D. 10. Câu9: Cho dãy   n u xác định bởi : 1 18u  và 1nn u u n   . Khi đó 1n u  đƣợc biểu thị theo n là : A. 1 2 n n un   B. 2 1 36 2 n nn u    C.   1 18 1 n u n n     D. 1 21 n n u   . Câu10: Cho dãy   n v có 1 1 1 14 n v vv      số hạng thứ n v là : A. 1 n B. 15 C. 53 n  D. Chƣa đủ dữ kiện để trả lời. …………… HẾT……………… Học sinh : Nguyễn Công Tuấn. . Đại số & Giải tích 11. Tiểu luận : HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Người thực hiện. cả các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 số hạng thứ 2 bằng -2 và số hạng cuối bằng 264 . (HD : gọi k là số số hạng của cấp số nhân đã cho, tìm k ). Bài 10: Cho dãy số . về cấp số nhân và tính chất của cấp số nhân: Bài 1 : Chứng minh rằng : dãy số   n f xác định bởi 1 f = 1 và 1n f = 7 n f là cấp số nhân. Xác định công bội . Bài 2 : Xét dãy số