SKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số họcSKKN Một số bài toán dãy số có tính chất số học
PHỤ LỤC Trang Báo cáo tóm tắt nội dung, chất, hiệu sáng kiến 2 Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến kinh nghiệm…… Phạm vi triển khai thực hiện…………………………………………… Mô tả sáng kiến………………………………………………………… 4.1 Đặt vấn đề ……………………………………………… 4.2 Giải vấn .…………………………………………… Kết hiệu mang lại……………………………………………23 Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến………………………….23 Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………….23 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….25 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hanh phúc Điện Biên phủ, ngày 15 tháng năm 2017 BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG, BẢN CHẤT, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tính chất số học dãy số Người thực hiện: Phạm Thị Hà Định Thời gian thực hiện: Từ tháng 01/1/2017 đến ngày 10/4/2017 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình toán phổ thông ngành đại số giải tích toán học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, sâu vào nghiên cứu toán dãy số có tính chất số học chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải toán dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng toán khác đồng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải toán Đứng trước toán chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Toán chuyên THPT - Sách giáo khoa nâng cao chuyên Toán - Các toán chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chuyên toán THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thông qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư +) Các định lí bản số học b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều toán chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu giúp em xác định được hướng giải toán dãy số, đặc biệt phát tính chất số học dãy số 3.2.2 Giải pháp thực hiện: Sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán chứng minh số phương Công thức tổng quát dãy (un ) thỏa mãn un +2 = aun +1 + bun + c Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai Phương pháp thường dùng để chứng minh f (un ) số phương, (un ) thỏa mãn un +2 = aun +1 + bun + c Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn bn = cn , ∀n ∈ ¥ Dãy số (cn ) thường dự đoán bằng cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , tìm quy luật dãy (cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn + số phương với mọi số tự nhiên n , sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính được bn = cn 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: Trong đề tài lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải toán nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào toán cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp môn Toán Trong đề tài mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Ý kiến xác nhận Điện Biên Phủ, ngày 15 tháng năm 2017 thủ trưởng đơn vị Người báo cáo Phạm Thị Hà Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình toán phổ thông ngành đại số giải tích toán học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, sâu vào nghiên cứu toán dãy số có tính chất số học chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải toán dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng toán khác đồng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải toán Đứng trước toán chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Toán chuyên THPT - Sách giáo khoa nâng cao chuyên Toán - Các toán chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chuyên toán THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thông qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas F1 = F2 = +) Dãy Fibonacci ( Fn ) dãy cho hệ thức truy hồi: Fn+ = Fn+1 + Fn ∀n ≥ Dùng phương pháp xác định số hạng tổng quát dãy số bằng phương trình đặc trưng ta dễ dàng thấy công thức tổng quát dãy ( Fn ) là: n n + − Fn = ÷ − ÷ Ta quy ước F0 = 2 +) Một vài tính chất số học dãy Fibonacci : ( Fn , Fn +1 ) = với mọi n Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m với m > ( Fn , Fn +1 ) = Fd với d = ( m, n) Nếu n ≥ Fn số nguyên tố n cũng số nguyên tố Dãy ( Fn ) chứa tập vô hạn số đôi nguyên tố F5 n = 5Fn qn với qn không chia hết cho 5k ⇔ nM 5k Fn M Fn có tận chỉ nM 15 Fn có tận hai chữ số chỉ nM 150 L0 = 2; L1 = +) Dãy Lucas ( Ln ) được xác định sau: Ln+ = Ln+1 + Ln , ∀n ≥ Ta có công thức tổng quát dãy Lucas: n n 1+ 1− Ln = ÷ + ÷ , n≥0 2 * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai +) Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ẩn (un ) phương trình sai phân dạng: aun+ + bun +1 + cun = f (n) (1) Phương trình sai phân tuyến tính tương ứng với phương trình (1) có dạng: aun+ + bun +1 + cun = (2) Nghiệm tổng quát (1) có dạng un = xn + yn , xn nghiệm tổng quát (2), còn yn nghiệm riêng (1) Để tìm nghiệm (2) ta lập phương trình đặc trưng (2) là: ax + bx + c = (3) TH1 Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 thì: xn = At1n + Bt2n TH2 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm kép t1 = t2 = t0 thì: xn = ( A + Bn)t0n TH3 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm phức y t = x + iy = r (cosϕ + isinϕ ) với i = −1, r = x + y ,ϕ = arctan Khi đó: x xn = r n ( A cos nϕ + Bsin nϕ ) Ở A, B hằng số thực được xác định dựa vào điều kiện ban đầu * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư Cho hai số nguyên a b Ta nói rằng a đông dư với b theo module m ( m số nguyên dương) kí hiệu a ≡ b(mod m) chỉ a − b Chia hết cho m Các tính chất đồng dư: i) Nếu a ≡ b(mod m) c ≡ d (mod m) a + c ≡ b + d (mod m); ac ≡ bd (mod m) ii) Nếu p số nguyên tố ab ≡ 0(mod p) a ≡ 0(mod p) b ≡ 0(mod p ) +) Các định lí bản số học i) Định lí Fermat nhỏ Nếu p số nguyên tố a số nguyên tùy ý, a p ≡ a(mod p) Đặc biệt (a, p ) = a p −1 ≡ 1(mod p) ϕ (m) ≡ 1(mod m) , ii) Định lí Euler Nếu m số nguyên dương (a, m) = a ϕ (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m iii) Định lí Wilson p số nguyên tố chỉ ( p − 1)! + chia hết cho p b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều toán chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu 10 n n +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 xn = A.t1 + B.t2 , A, B hằng số được tính theo số hạng x1 , x2 n +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1 = t2 = t0 xn = ( A + Bn).t0 , A, B hằng số được tính theo số hạng x1 , x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x ± yi xn = r n ( Acosnϕ + B sin nϕ ) , A, B hằng số được tính theo số hạng x1 , x2 r = a + b , ϕ arcgument x + yi Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai Xét dãy số (un ) xác định bởi: un+ = aun+1 + bun , n = 1,2, Ta có un+ − bun un +1 − bun −1 = ⇒ un (un + − bun ) = un+1 (un +1 − bun −1 ) un+1 un ⇒ unun+ − un2+1 = −b(un −1un +1 − un2 ) = = (−b) n −1 (u1u3 − u22 ) n −1 Do dãy (un ) thỏa mãn ⇒ unun+ − un+1 = (−b) (u1u3 − u2 ) Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường được sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phương pháp thường dùng để chứng minh f (un ) số phương, (un ) thỏa mãn un+ = aun+1 + bun + c Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn bn = cn , ∀n ∈ ¥ Dãy số (cn ) thường dự đoán bằng cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , tìm quy luật dãy (cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn + số phương với mọi số tự nhiên n , sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính được bn = cn 12 Bài tập minh họa Bài Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ = 4an+1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: i) an − số phương với mọi n lẻ ii) an − số phương với mọi n chẵn Lời giải Cách 1: Ta dự đoán dãy số (cn ) cho a2 n +1 − = cn , ta có a1 = 2, a3 = 26, a5 = 362, a7 = 5042 suy c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy (cn ) theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử cn+ = acn+1 + bcn từ c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 ta được 5a + b = 19 a = ⇔ Do ta dự đoán dãy số (cn ) là: 19 a + b = 71 b = − c0 = 1, c1 = 5, cn + = 4cn +1 − cn , n = 0,1,2, Ta chứng minh bằng quy nạp a2 n +1 − = cn (1), ∀n = 0,1,2, Thật (1) với n = , giả sử (1) đến n > , ta chứng minh (1) đến n + Ta có a2 n +3 − = 4a2 n+ − a2 n+1 − = 4(4a2 n+1 − a2 n ) − a2 n+1 − = 16a2 n +1 − 4a2 n − a2 n +1 − = 15a2 n+1 − (a2 n +1 + a2 n −1 ) − = 14a2 n+1 − a2 n −1 − = 14(cn2 + 1) − cn2−1 − − = 12cn2 − cn2−1 − 12 (2) Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp ta được: cn+1cn−1 − cn2 = −6 ⇒ (4cn − cn −1 )cn −1 − cn2 = −6 ⇒ cn2 + cn2−1 − 4cn cn −1 − = (3) Ta có cn2+1 = (4cn − cn−1 ) = 16cn2 − 8cncn −1 + cn2−1 = 16cn2 − 2(cn2 + cn2−1 − 6) + cn2−1 = 14cn2 − cn2−1 − 12 (4) 13 Từ (2) (4) suy a2 n +3 − = cn +1 Do ta chứng minh được (1) đến n + suy (1) Cách 2: Ta có an+ an − an+1 = 3, ∀n ≥ Từ hệ thức ta được: (an+ − 1)(an − 1) = an+ an − an+ − an + = an2+1 + − 4an +1 + = (an +1 − 2) (5) Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy an − số phương với mọi số nguyên dương lẻ n ii) Ta chứng minh theo hướng sau: an+ − an − an + an − an + − an + an2+1 − 4an +1 + an +1 − = = = Ta có ÷ 6 36 36 Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp suy an − số phương Bài Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 13, an+ = 14an+1 − an , n ≥ Chứng minh rằng với số tự nhiên n , tồn số tự nhiên k , l cho an = k + (k + 1) , an2 = (l + 1)3 − l 2 2 Lời giải Nhận xét: Ta có an = k + (k + 1) = 2k + 2k + ⇔ 2an − = (2k + 1) 3 2 Và an = (l + 1) − l = 3l + 3l + ⇔ 12 an − = (6l + 3) Như toán quy chứng minh 2an − 1,12an − số phương Nếu ta chứng minh toán theo cách gặp phải tính toán lớn không sử dụng được máy tính nhiều thời gian Ta chứng minh theo cách Trước hết ta có hệ thức sau: an+ an − an2+1 = 12, ∀n ≥ Xét 14 (2an+ − 1)(2an − 1) = 4an+ an − 2( an+ + an ) + = 4( an2+1 + 12) − 28an +1 + = (2an+1 + 7) (12an2+ − 3)(12an2 − 3) = 144( an + an ) − 36(an2+ + an2 ) + = 144(an + an ) − 36(an + + an ) + 72an + an + = 144(an + an ) − 36(14an +1 ) + 72an + an + = 144(an + an ) − 36.142 (an+ an − 12) + 72an+ an + = 144(an + an ) − 36.194an + an + 2912 = (12an + an − 291) 2 Từ hệ thức phương pháp quy nạp ta được 2an − 1,12an − số phương Bài Cho dãy số ( xn ) : x1 = 1, x2 = 2011, xn + = 4022 xn+1 − xn , n = 1,2, x2012 + số phương 2012 Lời giải Ta giải toán tổng quát sau: Cho p số nguyên dương lẻ Chứng minh rằng dãy số ( xn ) được xác định sau: x1 = 1, x2 = p, xn+ = pxn +1 − xn , n = 1, 2, Chứng minh rằng x2 n + số phương với mọi số nguyên dương n p +1 Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị x2 + x +1 x +1 = 1, = (2 p − 1) , = (4 p − p − 1) , p +1 p +1 p +1 Ta dự đoán được , dãy số ( yn ) được xác định sau: y1 = 1, y2 = p − 1, yn+ = pyn+1 − yn , n = 1,2, Ta chứng minh kết bằng phương pháp quy nạp Ta có yn + yn − yn2+1 = (1) n−1 ( y3 y1 − y22 ) = p − ⇒ yn + yn = yn2+1 + p − ⇒ (2 pyn +1 − yn ) yn = yn2+1 + p − ⇒ yn2+1 + yn2 + p − = pyn yn+1 Ta có yn2+ = (2 pyn +1 − yn ) = p yn2+1 − pyn yn +1 + yn2 = p yn2+1 − 2( yn2+1 + yn2 + p − 2) + yn2 = (4 p − 2) yn2+1 − yn2 − p + (4 p − 2) Suy x2 n+ + x2 n + (4 p − 2) x2 n + − x2 n + x2 n+ + − − 4p + = = p +1 p +1 p +1 p +1 x2 n + + = yn2+ p +1 Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau: xn+ xn − xn2+1 = (1) n −1 ( x3 x1 − x22 ) = p − − p = p − ⇒ xn + xn = xn2+1 + p − Ta có xn+ + xn + xn+ xn + xn + + xn + xn2+1 + p − + pxn +1 + xn+1 + p = = p + ÷ p + ÷ = ÷ 2 ( p + 1) ( p + 1) p +1 Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được x2 n + số phương p +1 với mọi số nguyên dương n Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự ta được x2 n − số p −1 phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (an ) được xác định sau: a1 = a2 = 1, an +1 = 7an − an −1 , n = 2,3, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có an+1 + an + số phương Lời giải Cách Tính vài giá trị ta được: a1 + a2 + = 22 , a2 + a3 + = 32 , a3 + a4 + = , a4 + a5 + = 182 Từ ta dự đoán an+1 + an + = bn , dãy số (bn ) được xác định sau: b1 = 2, b2 = 3, bn+1 = 3bn − bn −1 , n = 2,3, Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp Ta có 16 bn+1bn−1 − bn2 = ⇒ (3bn − bn−1 )bn−1 − bn2 = ⇒ 3bnbn −1 = bn2−1 + bn2 + = an −1 + an + an + an +1 + = an+1 + 2an + an −1 + Theo công thức truy hồi dãy (bn ) ta được: bn2+1 = (3bn − bn−1 ) = 9bn2 + bn2−1 − 6bnbn −1 = 9(an + an+1 + 2) + an −1 + an + − 2(an+1 + 2an + an −1 + 9) = an +1 − an + 7an − an −1 + = an + + an +1 + 2 Do bn+1 = an +1 + an + + hay toán được chứng minh Cách Ta có đẳng thức sau: an+ + an = 7an +1 , an + an − an +1 = Xét (an + an +1 + 2)(an+1 + an + + 2) = an +1 (an + an + ) + an an + + an2+1 + 2(an + an + ) + 4an +1 + = an2+1 + an2+1 + + an2+1 + 14an+1 + 4an +1 + = 9an2+1 + 18an+1 + = (3an +1 + 3) Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta suy an + an+1 + số phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an+1 − an + 2, n ≥ Chứng minh rằng: an an+ số phương với mọi số tự nhiên n Lời giải Ta tìm x cho dãy số (bn ) : an = bn + x dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi dãy (an ) ta được: bn+ + x = 3bn+1 + 3x − bn − x + = 3bn+1 − bn + x + Ta chọn x cho x = x + ⇔ x = −2 suy an = bn − Như toán cho tương đương với toán sau: Cho dãy số (bn ) : b1 = 2, b2 = 3, bn + = 3bn +1 − bn Chứng minh rằng (bn − 2)(bn+ − 2) Là số phương với mọi số nguyên dương n 2 Ta có bn+ 2bn − bn +1 = ⇒ bn+ 2bn = bn +1 + ; bn+ + bn = bn +1 2 Do (bn − 2)(bn+ − 2) = bn + 2bn − 2(bn + + bn ) + = bn +1 + − 6bn +1 + = (bn +1 − 3) Vậy an an+ số phương với mọi số tự nhiên n Bài Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 1, an + = an +1 − an − 2, n ≥ Chứng minh rằng mọi số hạng dãy số số phương Lời giải Ta tìm x cho dãy số (bn ) : an = bn + x dãy tuyến tính cấp hai 17 Thay vào hệ thức truy hồi dãy (an ) ta được: bn+ + x = 7bn +1 + x − bn − x − = 3bn +1 − bn + x − Ta chọn x cho x = x − ⇔ x = 2 suy an = bn + 5 Như toán cho tương đương với toán sau: 3 Cho dãy (bn ) : b1 = , b2 = , bn+ = 7bn+1 − bn Chứng minh rằng bn + số 5 phương với mọi số nguyên dương n Cách Ta tính số giá trị bn + b1 + : 2 2 2 = , b2 + = 12 , b3 + = 22 , b4 + = 52 , Khi ta dự đoán bn + = cn2 5 5 (cn ) được xác định sau: c1 = c2 = 1, cn + = 3cn+1 − cn , n = 1,2, Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp: Ta có cn+ 2cn − cn2+1 = ⇒ (3cn +1 − cn )cn − cn2+1 = ⇒ 3cn cn +1 = cn2+1 + cn2 + cn2+ = (3cn +1 − cn ) = 9cn2+1 − 6cn cn +1 + cn2 = 9cn2+1 − 2(cn2+1 + cn2 + 1) + cn2 2 2 2 = 7cn2+1 − cn2 − = bn +1 + ÷− bn + ÷− = 7bn+1 − bn + = bn + + 5 5 5 Suy cn+ = bn + + Từ suy dự đoán hay toán được chứng minh Cách Ta có bn+ 2bn − bn +1 = bn+ + bn = 7bn+1 Khi 2 14 = bn2+1 + + bn +1 + bn + ÷ bn+ + ÷ = bn+ 2bn + (bn+ + bn ) + 5 25 5 25 14 49 7 = b + bn+1 + = bn +1 + ÷ 25 5 n +1 18 2 2 7 Suy bn + ÷ bn+ + ÷ = bn +1 + ÷ Từ đẳng thức bằng phương pháp 5 5 quy nạp suy bn + số phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (an ) xác định bởi: a0 = an+1 = 4an + 15an − 60 , n = 0,1,2, Chứng minh rằng số bn = ( a2 n + 8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên dương liên tiếp với mọi n ≥ Lời giải Từ giả thiết suy dãy số (an ) dãy số dương Ta có an+1 = 4an + 15an2 − 60 ⇒ ( an+1 − 4an ) = 15an2 − 60 ⇒ an2+1 − 8an an+1 + an2 + 60 = (1) 2 Từ (1) ta được: an+ − 8an+1an + + an+1 + 60 = (2) Từ (1) (2) suy an , an+ hai nghiệm phương trình: x − xan+1 + an2+1 + 60 = Do theo định lí Viet ta được: an + an + = 8an+1 ⇔ an + = 8an+1 − an Khi dãy số (an ) được xác định sau: a0 = 2, a1 = 8, an+ = 8an +1 − an , n = 0,1,2, Nhận xét: Giả sử 1 a −2 (a2 n + 8) = (k − 1) + k + ( k + 1) ⇔ (a2 n + 8) = 3k + ⇔ n = k2 5 15 Như yêu cầu chứng minh toán quy chứng minh phương với mọi số nguyên dương n Cách Ta tính vài giá trị đầu tiên: 19 a2 n − số 15 a0 − a −2 a −2 a −2 = 02 , = 22 , = 16 , = 126 15 15 15 15 Khi ta dự đoán a2 n − = bn2 , dãy số (bn ) được xác định sau: 15 b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126, thử xác định dãy (bn ) dưới dạng dãy số tuyến tính sau: bn+ = xbn +1 + ybn , n = 0,1,2, 2 x = 16 x = ⇔ Từ b0 = 0, b1 = 2, b2 = 16, b3 = 126 ta được 16 x + y = 126 y = −1 Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp a2 n − = bn2 , (bn ) dãy 15 số thỏa mãn b0 = 0, b1 = 2, bn+ = 8bn+1 − bn , n = 0,1,2, bn+1bn−1 − bn2 = −4 ⇒ (8bn − bn−1 )bn−1 − bn2 = −4 ⇒ 8bn +1bn −1 = bn2−1 + bn2 − Ta có b2 n −2 − b2 n − b + b − 64 + − = 2n−2 n 15 15 15 a2 n + = 8a2 n +1 − a2 n = 8(8a2 n − a2 n −1 ) − a2 n = 63a2 n − (a2 n + a2 n −2 ) = 62a2 n − a2 n −2 Theo công thức truy hồi dãy (bn ) đẳng thức ta được: bn2+1 = (8bn − bn−1 ) = 64bn2 + bn2−1 − 16bnbn −1 = 64 = a2 n − a2 n− − a + a2 n −2 − 64 + − 2n ÷ 15 15 15 62a2 n − a2 n− − a2 n+ − = 15 15 Do bn+1 = a2 n+ − hay toán được chứng minh 15 Cách Ta có a2 n + a2 n − a22n+1 = 60 ⇒ a2 n+ a2 n = a22n +1 + 60 Ta xét a2 n+ − a2 n − a2 n + a2 n − 2(a2 n + + a2 n ) + a2 n +1 + 60 − 16a2 n +1 + = = ÷ ÷ 225 225 15 15 a −8 = n +1 ÷ 15 20 Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được a2 n − số 15 phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = 20, u2 = 30, un+ = 3u n +1 − un , n = 1,2, Tìm tất số nguyên dương n cho + 5unun+1 số phương Lời giải Dễ thấy dãy (un ) dãy số tăng suy với n ≥ ⇒ un + un +1 ≥ u4 + u5 ≥ u3 + u4 = 250 (1) +) n ∈ { 1,2} không thỏa mãn +) n = + 5u3u4 = 251 suy n = thỏa mãn +) n ≥ , theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: un+ 2un = un2+1 + (1) n−1 (u3u1 − u22 ) = un2+1 + 500 ⇒ (3un+1 − un )un = un2+1 + 500 ⇒ 3un +1un = un2+1 + un2 + 500 ⇒ 5un+1un + = (un+1 + un ) + 501 Giả sử + 5unun+1 số phương, + 5unun+1 = a , a ∈ ¥ * Khi ta có: (un+1 + un ) + 501 = a ⇔ ( a − un+1 − un )(a + un +1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167 Ta xét trường hợp sau: a + un+1 + un = 501 a = 251 ⇔ TH1 mâu thuẫn với (1) un +1 + un = 250 a − un+1 − un = a + un+1 + un = 167 a = 85 ⇔ TH2 un+1 + un = 82 a − un+1 − un = mâu thuẫn với (1) Do với n ≥ + 5unun+1 số phương Vậy n = số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập vận dụng Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 13, an+ = 14an+1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: a) an+1 − an an+ + 12 = 0, ∀n ≥ b) 48an − 12 số phương với mọi số tự nhiên n 21 c) 2an − 1, 2an + số phương với mọi số tự nhiên n Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 11, an + = 10an+1 − an + 10, n ≥ Chứng minh rằng: an + số phương với mọi n chẵn Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 2an +1 − an + 1, n ≥ Chứng minh rằng: 4an an+ + số phương với mọi số tự nhiên n Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an+ = 3an +1 − an + 2, n ≥ Chứng minh rằng: an an+ số phương với mọi số tự nhiên n Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an + = 3an+1 − 2an , n ≥ Chứng minh rằng: an2 + 2n + bình phương số nguyên lẻ ( VMO 1997) Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 45, an + = 45an +1 − an , n ≥ a) Tính số ước nguyên dương số an+1 − an an+ theo n n +1 b) Chứng minh rằng 1997an + 4.7 số phương với mọi số tự nhiên n Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 11, an+ = an +1 + 5an , n ≥ Chứng minh rằng an không số phương với mọi n > Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 3, an+ = 6an+1 − an + 2, n ≥ Chứng minh rằng an2 + (an + 1) số phương với mọi số tự nhiên n Cho dãy số (an ) : a0 = a, a1 = b, an+ = 3an +1 − an , n ≥ 0; a, b ∈ ¢ Chứng minh rằng tồn số nguyên k cho 5an + k số phương với mọi số tự nhiên n 10 Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 6, an + = 6an +1 − an , n ≥ Chứng minh rằng: 2 a) an+1 − 6an an+1 + an = với mọi số tự nhiên n b) Với mọi số tự nhiên n tồn số nguyên dương k cho an2 = k (k + 1) 11 Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = −1, an + = − an +1 − 2an , n ≥ Chứng minh rằng 22012 − 7a2010 số phương 12 Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 2, an+ = 4an+1 − an , n ≥ Chứng minh rằng 22 2 a) an + an−1 − 4an an+1 = −3, ∀n ≥ an2 − b) số phương 13 Cho dãy số (an ) : a0 = 1, a1 = 2, an+ = 4an+1 − an , n ≥ Tìm n để an − số phương 14 Cho dãy số (an ) : a1 = 1, a2 = 2, an+ = 4an+1 + an , n ≥ Chứng minh rằng an an + + ( −1) n số phương với mọi số nguyên dương n n n 3+ 3− 15 Cho dãy số ( xn ) : xn = ÷ + ÷ − 2, n ≥ Chứng minh rằng x2 n +1 số phương với mọi số tự nhiên n 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: Trong đề tài lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải toán nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào toán cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương 23 +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp môn Toán Trong đề tài mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Danh sách đồng tác giả: Không 24 Tài liệu tham khảo 1.Tài liệu giáo khoa theo chương trình nâng cao sách giáo khoa chuyên toán 2.Tạp chí toán học tuổi trẻ 3.Các thi Olympic toán THPT Việt Nam đề thi đại học 4.Mạng Internet 26 ... minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thông qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán. .. minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thông qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán. .. trình toán phổ thông ngành đại số giải tích toán học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy