SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai SKKN Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Chương trình Toán lớp 10 và 11 chuyên

3 Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ 9 - 2015 đến 5 - 2016

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định

Điện thoại: 0976138529

5 Đồng tác giả (nếu có): không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị:Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định

Điện thoại: 0350640297

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình toán chuyên, dãy số là một nội dung rất quan trọng và nóthường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi tỉnh, khu vực, quốc gia và quốc tế.Trong quá trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của trường, tôi được phâncông dạy mảng tính chất số học của dãy số Chính vì thế tôi đã chọn nội dung tính chất sốhọc của dãy số để làm nội dung cho sáng kiến của tôi Mảng kiến thức về tính chất số họccủa dãy số là một mảng tương đối rộng và khó Trong khuôn khổ sáng kiến này, tôinghiên cứu sâu hơn về tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai và một số dãy

số có thể biến đổi về dãy truy hồi tuyến tính cấp hai Nội dung này xuất hiện rất nhiềutrong các đề thi học sinh giỏi

Một số bài toán về tính chất số học của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai trong các

đề thi học sinh giỏi:

Đề thi VMO năm 2011: Cho dãy số nguyên a xác định bởi n

0 1, 1 1, n 6 n 1 5 n 2

a  a  a  a   a  với mọi n 2

Chứng minh rằng a2012 2010 chia hết cho 2011

Đề thi TST năm 2012: Cho dãy số nguyên dương ( )x xác định bởi n

n

n

a a

Chứng minh rằng a n2a n a n212n với mọi số tự nhiên n

Trong đó  x kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Đề thi VMO năm 1989 Xét dãy số Fibonacci xác định bởi

1 2 1, n 2 n 1 n

a a  a  a  a với mọi n 1

Đặt f n  1985n21956n1960

1 Chứng minh rằng có vô hạn số hạng F của dãy sao cho f F chia hết cho 1989. 

2 Chứng minh rằng không tồn tại một số hạng G của dãy sao cho f(G)+2 chia hết cho

1989

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Tính chất số học của dãy số là một trong những nội dung khó và lý thú của dãy số

và số học Đây là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán chuyên cũng nhưtrong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Để giải quyết các bài toán về tính chất sốhọc của dãy số mà cụ thể là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đòi hỏi học sinh phải có cáckiến thức đa dạng, tổng hợp về dãy số và số học Khi tìm hiểu về một số tính chất của dãytruy hồi tuyến tính cấp hai tôi nhận thấy rằng việc áp dụng các tính chất này đã giải quyếtđược rất nhiều bài toán hay và khó

Là một giáo viên dạy trường chuyên, tôi nhận thấy rằng cần phải có một đề tàinghiên cứu sâu hơn về dạng toán này để giúp các em học sinh lớp chuyên Toán bổ sungcác kiến thức cơ bản đồng thời phát triển tư duy và kĩ năng giải toán, giúp các em khôngcòn lúng túng khi gặp các bài toán dạng này Trong sáng kiến này tác giả nghiên cứu sâuhơn về một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, từ các tính chất này các emhọc sinh có thể sáng tạo ra rất nhiều bài toán khác nhau Hy vọng những nội dung trongsáng kiến sẽ giúp các em học sinh tìm ra được các phương pháp hợp lí để giải quyết cácbài toán dạng này

Trong sáng kiến này, tác giả đã nghiên cứu các nội dung: nội dung thứ nhất cáchtìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai, sau khi tìm được số hạng tổngquát của dãy số thì suy ra được các tính chất số học của dãy số đó Tuy nhiên có rất nhiều

bài toán khi tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thì việc xử lí các tính chất số họccủa nó tương đối khó khăn và mất nhiều thời gian nên nội dung thứ hai tác giả đã đưa ramột số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai và nó đã giải quyết được rất nhiều bàitoán hay và khó Nội dung tiếp theo, tác giả nghiên cứu về một dãy truy hồi tuyến tínhcấp hai đặc biệt và nó có rất nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong thực tiễn, đó

là dãy Fibonacci

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm hai phần

Phần thứ nhất: Kiến thức cơ bản

I.1. Số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.2. Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

I.3. Dãy Fibonacci

Phần thứ hai: Một số phương pháp giải các bài toán về tính chất số học dãy truy hồi

tuyến tính cấp hai

2.1 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

2.1 Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

2.3 Một số tính chất số học của dãy Fibonacci

1.1 Số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Cách xác định số hạng tổng quát của dãy như sau:

Xét phương trình ẩn t sau đây: t2 at b  (**) được gọi là phương trình đặc trưng của0(*) Phương trình có biệt thức  a24b

Trường hợp 1:  a24b khi đó (**) có hai nghiệm thực phân biệt 0 t t Số1 2;hạng tổng quát của (*) có dạng u nx t.1ny t.2n, với mọi n   và x, y là hai số thực*

tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u và 0 u 1

Trường hợp 2:  a24b  khi đó (**) có một nghiệm kép thực t Số hạng0tổng quát của (*) có dạng u n x t n y nt n1

  , với mọi n   ( ở đây ta qui ước * 0 1 0

 )

và x, y là hai số thực tuỳ ý; x và y sẽ hoàn toàn xác định khi cho trước u và 0 u 1

Trường hợp 3:  a24b , ( **) có hai nghiệm phức Thuật toán làm trong0trường hợp này như sau:

B

ướ c 1: Giải phương trình t2 at b  và nhận được nghịêm phức0

.2

ướ c 3: Xác định p, q theo các giá trị cho trước u u 0 1;

Về cơ sở lí thuyết của cách làm trên được chứng minh bằng kiến thức của đại sốtuyến tính Ở đây, tôi xin trình bày chứng minh trường hợp 1 và trường hợp 2 bằng kiếnthức trung học phổ thông

Trường hợp 1:  0 (**) có hai nghiệm phân biệt t t khi đó theo định lí Vi-et1 2,

1.2 Một số tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Tính chất 1: Cho dãy số ( )u thỏa mãn n u n2 au n1bu n với mọi n   Khi đó ta*

Tính chất 2: Cho dãy ( )u được xác định bởi n u1m u, 2 p u, 3q m p q( , , 0) và

Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra c u n2.u n u n21

Thay n bởi n  ta được 1 c u n1.u n1 u n2

Chú ý:

Xét dãy số ( )u thỏa mãn n u n2a u n1 u n và c u u 1 3 u22 Ta có u n2u n u n21 c

Xét tiếp dãy số  v sao cho n v n u n2,n

Ta sẽ có

1.3.1 Dãy Fibonacci ( )F mang tên chính nhà toán hoc Pisano Fibonacci Dãy cho bởi n

hệ thức truy hồi đơn giản 1 2

Từ sau, để thuận tiện cho việc tính toán, ta quy ước F  0 0

1.3.2 Một vài hệ thức cơ bản của dãy Fibonacci:

1 F1F2 F n F n2 1

2 F1F3 F2n1F2n

2.1 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

mọi Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương số là một

Ta sẽ tìm tính chất của dãy Đầu tiên ta thử dự đoán dãy là tuyến tính tức là với mọi

Do đó ta có hệ sau:

Từ đó ta có hướng giải như sau: Ta lập dãy được xác định như sau:

và với mọi Sau đó ta sẽ chứng minh với mọi

Cách 1 Từ dãy truy hồi của và ta được:

Khi đó ta kiểm tra được ngay đẳng thức với mọi

Cách 2 Ta chứng minh bằng quy nạp đẳng thức trên Thật vậy, từ cách xác định của dãy

ta chỉ ra được:

(1)Theo công thức truy hồi của dãy và (1) ta có:

Do đó với mọi

Hướng thứ hai Từ công thức truy hồi của dãy ta tìm được công thức tổng quát:

Khi đó ta chứng minh được:

Bài toán 2 Cho dãy số a n , n 1, 2,  được xác định như sau:

Suy ra A N , khi đó a  là số chính phương n 1

Vậy a  là số chính phương khi và chỉ khi n là số tự nhiên lẻ hoặc n 1 n  0

Chú ý: Một số dãy số dãy số công thức của số hạng tổng quát tương đối cồng kềnh thì ta

có thể sử dụng một dãy số khác có tính chất số học tương tự như dãy ban đầu nhưng côngthức số hạng tổng quát của nó đơn giản hơn Khi đó lời giải của bài toán sẽ đơn giản và

dễ hiểu hơn Sau đây là một số bài toán sử dụng hướng làm này

Bài toán 3 Dãy x n , n 1, 2,  được xác định như sau:

2 6 5 0 3 14

x  x   x  , ta thấy nghiệm này lẻ nên công thức của a sẽ phức tạp n

Do bài toán chỉ yêu cầu chứng minh a2012 2010 chia hết cho 2011 nên ta có thể thaydãy a bởi dãy n  b sao cho n a n b nmod 2011 , n=0,1,2,  

Bây giờ ta sẽ chọn dãy  b thỏa mãn: n b0 1,b11 và b n26b n15k b n với mọi0

n  và k là số ta sẽ chọn sau Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là:

2 6 5 0 ' 14

x  x  k      , để 'k  là số chính phương ta sẽ chọn k 2011 Nhưvậy ta xây dựng dãy  b được xác định như sau: n b0 1,b11 và

Từ dãy truy hồi a n2 6a n15a n ta sẽ tìm công thức tổng quát cho a n

+) Phương trình đặc trưng của dãy trên là: Khi đó

, sử dụng giả thiết ta được:

Ta có nên theo định lí Fecma nhỏ và (6) ta được:

hay ta được chia hết cho

Nhận xét 1 Trong (1) nếu ta thay n 2011 ta được:

 2011    

2011 2011

90b 41.48 49 42 41.48 49.42 mod 2011 90 mod 2011 , suy ra b20111 2011  a20111 2011 Từ đó ta có bài toán sau:

Bài 4.1 Cho dãy số nguyên  a n xác định bởi:

0 1, 1 1

a  a  và a n2 6a n15a n với mọi n  0Chứng minh rằng a2011 2010 chia hết cho 2011

Nhận xét 2 Nếu trong (1) thay n bởi số nguyên tố p  ta được:5

90b p 41.48p49 42 p 41.48 49.42 mod p 90 modp  b p 1 p Từ đó ta

có bài toán sau:

Bài 4.2 Cho dãy số nguyên  a n xác định bởi:

0 1, 1 1

a  a  và a n2 6a n12016a n với mọi n  0Chứng minh a  chia hết cho p , trong đó p là một số nguyên tố lớn hơn 5 p 1

Nhận xét 3 Nếu trong (1) thay n bởi số p  , trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 5 ta1

Bây giờ ta tiếp tục suy nghĩ bài toán 4 xem nó phục thuộc vào giá trị ban đầu

như thế nào? Ta có bài toán sau:

Bài 4.4 Cho là các số nguyên cho trước Dãy số nguyên được xác định như sau:

và với mọi số tự nhiên

Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho

hay b2012 2010 chi hết cho 2011 khi và chỉ khi

Từ cách xác định của dãy a và n  b ta có: n a n b nmod 2011 , n=0,1,2,   Do đó

2012 2010

các số nguyên tùy ý

Tương tự lời giải của các bài toán trên ta có thể đưa ra các bài tập sau:

Bài 4.5 Cho là các số nguyên cho trước Dãy số nguyên được xác định như sau:

và với mọi số tự nhiên

Tìm tất cả các số nguyên sao cho chia hết cho

Xét dãy số nguyên  b xác định bởi n

0 1, 1 1, n 6 n 1 2016 n 2

b  b  b  b   b  với mọi n 2

Dễ thấy với mọi n  , ta có 0 a n b nmod 2011

Dễ dàng suy ra số hạng tổng quát của dãy  b là n

+ Giả sử đẳng thức đúng đến p lẻ, p  Ta chứng minh đẳng thức đúng với 3. p 2.

Từ đó ta có điều phải chứng minh

2.2 Sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai

Việc tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai tương đối đơn giản Tuy nhiên cái khó của bài toán là ở phần tính chất số học của nó Trong quá trính nghiên cứu cũng như tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi quốc gia, tôi nhận thấy rằng việc sử dụng các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai đã xử lí được rất nhiều bài toán hay

và khó về tính chất số học của dãy số mà lời giải của bài toán lại rất ngắn gọn và dễ hiểu

Từ các tính chất này các em học sinh có thể sáng tác ra rất nhiều bài toán khác nhau, từ

đó tạo cho các em có hứng thú và say mê trong học tập Sau đây là một số bài toán sử dụng các tính chất này

Bài toán 1 Cho dãy số ( )a được xác định như sau: n

Cách 2 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Đặt v n  3 1 2n1  3 1 2n1, ta chứng minh với mọi n  thì 1 v  n 2 n

Từ công thức tổng quát của v ta có được hệ thức truy hồi : n v n 2v n1v n2

Bằng quy nạp và dựa vào hệ thức truy hồi ta chứng minh được với mọi n  thì 1 v  n 2 n

Do đó : 2a  là số chính phương với mọi n 1 n 0

Do đó, từ (6) ta suy ra

2

1 2

n n

Bài toán 2 Cho dãy số ( )a được xác định bởi n a11,a2 2,a n2 3a n1 a n, n 1.Chứng minh rằng

2 1

2 n 1

n

n

a a

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 3 Cho dãy số ( )u thỏa mãn đồng thời các tính chất sau: n

Chứng minh rằng dãy ( )u chỉ chứa toàn số nguyên n

a) Tìm số ước dương của a n21 a a n n 2 theo n.

b) Chứng minh rằng với mọi n thì 1997.a n2 4.7n1

1997.a n 4.7n là số chính phương với mọi n  .

Bài toán 5 Cho , ,a b c là 3 số nguyên thỏa mãn a2   và dãy số (b 1 u được xác định n)như sau: u0 0,u n1a u n bu n2c2  n 0,1,2  Chứng minh rằng mọi số hạngcủa dãy trên đều là số nguyên

1

, 02

a) a là số nguyên dương với mọi n n  0

b) a a n n 1 1 là số chính phương với mọi n  0

Hướng dẫn giải

a) Ta có a  và dễ thấy ngay dãy ( )1 5 a tăng ngặt n

Từ giả thiết ta có 2a n1 7a n  45a n2 36 Bình phương hai vế ta được:

Do đó a a n n 1 1 là số chính phương với mọi n  (đpcm).0

Bài toán 7 Cho dãy số ( )a xác định bởi: n

0

2 1

Vậy a na n125a a n n1 1 a n a n112 nên 1 5 a a n n1 không chính phương.

Bằng phép thử trực tiếp với n = 1, 2, 3 ta được n = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.

Bài toán 10 Cho dãy số ( )u được xác định như sau n

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho u là số nguyên tố n

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh được  n 1 thì u là số nguyên dương và n u n11998 1u n  

Từ tính chất 1 suy ra u n2u n u n21 hay 1 u n2u n u n11 u n1 1 ,   n (2)Với n  thì 2, u 2 1999 là số nguyên tố Ta chứng minh n  thì không tồn tại n để 3 u n

Nhưng từ (1) thì u k 1998u k1, từ đó theo (6) ta có u k1 1 1998 u k1 u k10 vô lí

vì u k1 nguyên dương khi k 3

Vậy u không phải là số nguyên tố khi n n 3

Tóm lại trong dãy đã cho co duy nhất một số nguyên tố là u 2 1999.

Bài toán 11 Cho dãy số nguyên dương u xác định như sau: n

0 3, 1 17,

u  u  u n 6.u n1 u n2, n 2,3

Chứng minh rằng u  chia hết cho 2 và thương là số chính phương với  n = 0,1,2 n2 1

 là số chính phương với mọi n  2.

   là số chính phương với mọi n   *

Bài toán 13 (TST 2012) Cho dãy số nguyên dương ( )x xác định bởi n

 

 là số chính phương

Nhận xét: Bài toán này đã được trình bày ở phần tìm số hạng tổng quát của dãy số, sau

đay là lời giải thứ hai của bài toán bằng việc áp dụng tính chất 1

Hướng dẫn giải

2 2

2

2 2

6

111

1

11

Do đó khẳng định đúng với n  Vậy ta có điều phải chứng minh.2

Bài toán 14 Cho hai số thực a và b khác 0 Xét dãy số ( ) u xác định bởi: n

Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy ( )u là số nguyên thì mọi số hạng n

của dãy là số nguyên

Hướng dẫn giải

Ta có ngay u n21 u u n n2 b n (1)

+ Giả sử tồn tại bốn số hạng u u m; m1;u m2;u m3 là số nguyên, từ (1) suy ra b và m b m1

là số nguyên Từ đó suy ra b là số hữu tỷ Nhưng b là số nguyên nên b nguyên m

Ta có Q a n( )u n, đặc biệt Q m1( )a u m1 Vậy a là nghiệm hữu tỷ của đa thức

P x Q  x  u 

Vì đa thức P x( )  x và môníc nên a   Vậy mọi số hạng của dãy ( ) u là số nguyên n

Bài toán 15 Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương u thỏa: n

0 1, 1 2

u  u  và u n2u n u n21 1

Hướng dẫn giải Trước hết, ta đi tính giá trị của u 2