Toán 10 Bài 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định lý dấu tam thức bậc hai ý nghĩa hình học + Hiểu khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai ẩn  Kĩ + Có kĩ thành thạo việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm bất phương trình có chứa tam thức bậc hai + Biết cách giải biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn mẫu có tam thức bậc hai + Biết cách giải biện luận bất phương trình bậc hai ẩn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Dấu tam thức bậc hai Minh họa hình học dấu tam - Tam thức bậc hai x biểu thức có dạng thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c , a, b, c hệ số, a ≠ - Trường hợp a > - Cho f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ), ∆ = b − 4ac • Nếu ∆ < f ( x ) dấu với hệ số a với ∀x ∈ ¡ • Nếu ∆ = f ( x ) ln dấu với hệ số a trừ điểm x=− b 2a • Nếu ∆ > f ( x ) dấu với hệ số a x < x1 x > x2 , trái dấu với hệ số a x1 < x < x2 , x1 , x2 ( x1 < x2 ) hai nghiệm f ( x ) Chú ý: Có thể thay biệt thức ∆ = b − 4ac biệt thức thu b  gọn ∆′ = ( b′ ) − ac  b′ = ÷ 2  Bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x bất phương trình dạng ax + bx + c < (hoặc ax + bx + c ≤ , ax + bx + c > , ax + bx + c ≥ ), a, b, c số thực cho, a ≠ - Giải bất phương trình bậc hai ax + bx + c < , thực chất tìm khoảng mà f ( x ) = ax + bx + c dấu với hệ số a ( trường hợp a < ) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai Trang Phương pháp giải Dấu tam thức bậc hai thể bảng Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau sau a) x + x − f ( x ) = ax + bx + c , ( a ≠ ) b) x + x + a f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ ∆ 0, ∀x ∈ ¡ \ −   2a  a f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ) ∆=0 ∆>0 a f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x1 ; x2 ) Hướng dẫn giải  x = −3 a) Ta có x + x − = ⇔  x = Bảng xét dấu Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c a > • ax + bx + c > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ < x 3x + x − −∞ + −3 − + +∞ b) x + x + a > • ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ Ta có ∆′ = 0, a > a < • ax + bx + c < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ < c) x + x + a < • ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ∆ ≤ Suy x + x + > 0, ∀x ∈ ¡ Suy x + x + > 0, ∀x ≠ −1 Ta có ∆ = −72 < 0, a = > Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Xét dấu tam thức sau a) x − x − b) − x + x + Hướng dẫn giải x = a) Ta có x − x − = ⇔  x = −  Bảng xét dấu x 3x − x − −∞ − + +∞ − + 4  Suy x − x − > ⇔ x ∈  −∞; − ÷∪ ( 2; +∞ ) 3    x − x − < ⇔ x ∈  − ; ÷   Trang  x = −1 b) Ta có − x + x + = ⇔  x = Bảng xét dấu −∞ x −x + 4x + − −1 + − +∞ Suy − x + x + > ⇔ x ∈ ( −1;5 ) − x + x + < ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 5; +∞ ) Ví dụ 2: Xét dấu tam thức sau a) 25 x + 10 x + b) −4 x + 12 x − Hướng dẫn giải  1 a) Ta có ∆′ = 0, a > suy 25 x + 10 x + > ∀x ∈ ¡ \ −   5 3 b) Ta có ∆′ = 0, a < suy −4 x + 12 x − < ∀x ∈ ¡ \   2 Ví dụ 3: Xét dấu tam thức sau a) x − x + b) −2 x + x − Hướng dẫn giải a) Ta có ∆′ = −2 < 0, a = > suy x − x + > ∀x ∈ ¡ b) Ta có ∆′ = −1 < 0, a < suy −2 x + x − < ∀x ∈ ¡ Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau a) x + x − < b) −2 x − 3x − ≤ c) x − x > Hướng dẫn giải a) Tam thức f ( x ) = x + x − có hai nghiệm x = 1; x = − Bảng xét dấu x f ( x) −∞ − + +∞ − +   Nghiệm bất phương trình − < x < hay S =  − ;1÷   b) Tam thức f ( x ) = −2 x − 3x − có hai nghiệm x = −1; x = − Bảng xét dấu Trang x −∞ f ( x) − −1 − + +∞ − Nghiệm bất phương trình x ≤ −1 x ≥ − hay   S = ( −∞; −1] ∪  − ; +∞ ÷   c) Tam thức f ( x ) = x − x có hai nghiệm x = 0; x = Bảng xét dấu x f ( x) −∞ + − Nghiệm bất phương trình x < x > +∞ + Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau a) x − x + > b) x + x + < c) 25 x − 20 x + > d) x + x + ≤ Hướng dẫn giải a) Tam thức bậc hai x − x + có ∆ = −108 < a = > Suy x − x + > với x ∈ ¡ Tập nghiệm bất phương trình S = ¡ b) Tam thức bậc hai x + x + có ∆′ = −2 < 0, a = > Suy x + x + > 0, ∀x ∈ ¡ Tập nghiệm bất phương trình x + x + < S = ∅ c) 25 x − 20 x + > có ∆′ = 0, a = 25 > ⇒ 25 x − 20 x + > , ∀x ≠ 2 Tập nghiệm bất phương trình S = ¡ \   5 Ghi nhớ: b • ( ax + b ) > ⇔ x ≠ − a • ( ax − b ) ≥ ⇔ x ∈ ¡ • ( ax + b ) ≤ ⇔ x = − b a • ( ax − b ) < ⇔ x ∈ ∅ d) x + x + = ( x + 3) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ Do x + x + ≤ ⇔ x = −3 Nghiệm bất phương trình x + x + ≤ x = −3 Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để biểu thức sau Trang âm a) f ( x ) = − x − x − m b) g ( x ) = 4mx − ( m − 1) x + m − với ∀x ∈ ¡ Hướng dẫn giải  a = −1 < ⇔ m > a) f ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔   ∆′ = − m < Vậy với m > biểu thức f ( x ) ln âm b) Với m = g ( x ) = x − < x < không thỏa mãn ∀x ∈ ¡ Do m = khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m ≠ g ( x ) = 4mx − ( m − 1) x + m − tam thức bậc hai nên a = 4m <  g ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔   ∆′ = ( m − 1) − 4m ( m − 3) < m < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −1  4m + <  m < −1 Vậy với m < −1 biểu thức g ( x ) ln âm Ví dụ 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để 2 a) x − ( m + 1) x − 2m + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − b) Hàm số y = có nghĩa với x Hướng dẫn giải 2 a) x − ( m + 1) x − 2m + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆′ = ( m + 1) + ( 2m − 3m + ) ≤ (do a = > ) ⇔ 7m2 − 7m + ≤ ⇔ m − m + ≤ (vô nghiệm ∆ = −3 < ) Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn b) Hàm số có nghĩa với x ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ • Với m = −1 biểu thức trở thành x − ≥ ⇔ x ≥ (không thỏa mãn ∀x ∈ ¡ ) • Với m ≠ −1 ta có Trang ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − ≥ 0, ∀x ∈ ¡ m + > ⇔ ∆′ = ( m − 1) ( −2m − ) ≤ ⇔ m ≥1 Vậy m ≥ hàm số y = ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − có nghĩa với x Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình x ( x + ) ≤ ( x + ) A ( −∞;1] ∪ [ 4; +∞ ) B [ 1; 4] C ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) D ( 1; ) C ( −∞; −5] ∪ [ 1; +∞ ) 1  D  −∞; −  ∪ [ 1; +∞ ) 5  Câu 2: Tập xác định hàm số y = − x − x A [ −5;1]   B  − ;1   Câu 3: Các giá trị m làm cho biểu thức f ( x ) = x + x + m − dương A m < B m ≥ C m > D m ∈ ∅ Câu 4: Cho hàm số f ( x ) = x + 2mx + 3m − Tìm m để f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ A m ∈ [ 1; 2] B m ∈ ( 1; ) C m ∈ ( −∞;1) D m ∈ [ 2; +∞ ) Bài tập nâng cao Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm f ( x ) = ( m − 3) x + ( m + ) x − > A m ≤ −22 m ≥ B −22 ≤ m ≤ C −22 < m < D −22 ≤ m ≤ m = Câu 6: Định m để bất phương trình ( m − 1) x − ( m − ) x + − m > có miền nghiệm ¡ A < m < B m < m > C m < m > D < m< 2 Dạng 2: Ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích Phương pháp giải ( x + 3) ( −2 x + 3x + ) Ví dụ: Xét dấu biểu thức Bước Biến đổi bất phương trình dạng f ( x ) > ; f ( x) < ; f ( x) ≥ ; f ( x ) ≤ , Hướng dẫn giải Ta có x + = ⇔ x = −  x=−  −2 x + x + = ⇔  x =  Trang f ( x ) tích hay thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét Ta có bảng xét dấu dấu f ( x ) −∞ x − 2x + − −2 x + x + − ( x + 3) ( −2 x + 3x + ) + − + + + − − + − Từ bảng xét dấu, ta có xét dấu để suy tập ( x + 3) ( −2 x + x + ) 3    > ⇔ x ∈  −∞; − ÷∪  − ; ÷ ; 2    ( x + 3) ( −2 x + x + )  1 < ⇔ x ∈  − ; − ÷∪ ( 2; +∞ )  2 trình + − Bước Dựa vào bảng nghiệm bất phương +∞ Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau 2 a) ( − x + x − 1) ( x − x + 1) 2 b) ( x − x + ) ( − x + x ) c) x − x + Hướng dẫn giải 1 a) Ta có − x + x − = vô nghiệm; x − x + = ⇔ x = ; x = Bảng xét dấu x ( −x −∞ − x2 + x −1 − x2 − 5x + + − + − + − + x − 1) ( x − x + 1) − +∞ − Từ bảng xét dấu ta có ( −x ( −x 1 1 + x − 1) ( x − x + 1) > ⇔ x ∈  ; ÷ 3 2 1 1   + x − 1) ( x − x + 1) < ⇔ x ∈  −∞; ÷∪  ; +∞ ÷ 3    b) Ta có x − x + = ⇔ x = 1; x = ; − x + x = ⇔ x = 2; x = Bảng xét dấu Trang −∞ x x2 − 5x + + − 5x + x2 + − f ( x) + − + − 0 +∞ − − + + − + + + Từ bảng xét dấu, ta có (x (x 1  − x + ) ( − x + x ) > ⇔ x ∈  −∞; ÷∪ ( 1; ) ∪ ( 4; +∞ ) ; 2  1  − x + ) ( − x + x ) < ⇔ x ∈  ;1÷∪ ( 2; ) 2  c) Ta có x − x + = ( x − ) ( x + x − 1) Ta có x − = ⇔ x = ; x + x − = ⇔ x = −1 ± Bảng xét dấu x −∞ −1 − −1 + +∞ x−2 − − − x2 + 2x −1 + − + x3 − 5x + − + − + + + Từ bảng xét dấu, ta có ( ) − x + < ⇔ x ∈ ( −∞; −1 − ) ∪ ( −1 + x − x + > ⇔ x ∈ −1 − 2; −1 + ∪ ( 2; +∞ ) ; x3 ) 2; Ví dụ Xét dấu biểu thức sau a) f ( x ) = ( x − ) ( x + ) 2 b) f ( x ) = x ( − x ) ( x + x − ) Hướng dẫn giải a) f ( x ) = ( x − ) ( x + ) Ta có x − = ⇔ x = ±1 ; x + = ⇔ x = −2 Bảng xét dấu x −∞ −2 x2 − + 3x + − −1 + + +∞ − + + + Trang f ( x) − + − + Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > ⇔ x ∈ ( −2; −1) ∪ ( 1; +∞ ) ; f ( x ) < ⇔ x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −1;1) 2 b) f ( x ) = x ( − x ) ( x + x − ) x = Ta có x = ⇔ x = ; − x = ⇔ x = ±3 ; x + x − = ⇔   x = −8 Bảng xét dấu x −∞ −8 −3 x2 + + − x2 − − x2 + x − + − f ( x) − + + 0 + + + + + − − + − + − +∞ + − + − Từ bảng xét dấu, ta có f ( x ) > ⇔ x ∈ ( −8; −3) ∪ ( 1;3) ; f ( x ) < ⇔ x ∈ ( −∞; −8 ) ∪ ( −3;0 ) ∪ ( 0;1) ∪ ( 3; +∞ ) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Với x thuộc tập hợp f ( x ) = x ( x − 1) không âm? A ( −∞; −1) ∪ [ 1; +∞ ) B [ −1;0] ∪ [ 1; +∞ ) C ( −∞; −1] ∪ [ 0;1) D [ −1;1] Câu 2: Tập nghiệm bất phương trình ( − x ) ( x − ) ( x + 1) < 1  A S =  −1; ÷ 2  5  B S =  −1; ÷ 2  1 5   C S =  −1; ÷∪  ; +∞ ÷ D S = ( −1; +∞ ) 2 2   Câu 3: Hàm số có bảng xét dấu x −∞ f ( x) − + +∞ − + hàm số A f ( x ) = ( x − 3) ( x − x + ) B f ( x ) = ( − x ) ( x − x + ) C f ( x ) = ( x − ) ( − x + x − 3) D f ( x ) = ( − x ) ( − x ) ( − x ) Trang 10 2 Câu 4: Tập nghiệm phương trình x − x + = x − x + A { 2;3} B ( 2;3) D ( −∞; 2] ∪ [ 3; +∞ ) C ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) Bài tập nâng cao Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình ( x − 3) ( x + x − ) > ( x − ) ( x + x + ) có dạng ( a; b ) với a, b ∈ ¡ Giá trị a + b A B − C D − Câu 6: Có giá trị m để x > thỏa bất phương trình ( x + x + m ) ≥ ( x − 3x − m ) ? A B C 2 D Dạng 3: Ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải Ví dụ: Xét dấu biểu thức −2 x + x + 2x + Hướng dẫn giải Bước Biến đổi bất phương trình dạng f ( x) > ; f ( x ) < ; f ( x ) ≥ ; f ( x ) ≤ , f ( x ) tích hay thương Ta có x + = ⇔ x = − ;  x=−  −2 x + 3x + = ⇔  x = 2 nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét dấu f ( x ) Lưu ý giá trị x làm f ( x ) không xác định Bảng xét dấu x tập nghiệm bất phương trình − 2x + − −2 x + x + − f ( x) Bước Dựa vào bảng xét dấu để suy −∞ + Dựa vào bảng xét dấu ta có − + +∞ + + − + − − + − ( x + 5) ( −2 x + 3x + ) > ⇔ x ∈  −∞; −     ÷∪  − ; ÷ 2   ( x + 5) ( −2 x + 3x + ) < ⇔ x ∈  − 1 ; − ÷∪ ( 2; +∞ )  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dấu biểu thức sau Trang 11 x2 −1 a) ( x − ) ( −3 x + x + ) b) x2 − x − − x + 3x + Hướng dẫn giải a) Đặt f ( x ) = x2 −1 ( x − ) ( −3 x + x + ) x = Ta có x − = ⇔ x = ±1 ; x − = ⇔ x = ± ; −3 x + x + = ⇔  x = −  2 Bảng xét dấu x −∞ − − x2 −1 + x2 − + −3 x + x + − − f ( x) − + −1 − + + − − − − + + + + − + 0 − 0 + + 0 +∞ + + + + − − Dựa vào bảng xét dấu ta có x2 −1 4  > ⇔ x ∈  − 3; − ÷∪ ( −1;1) ∪ 2 3 ( x − 3) ( −3x + x + 8)  ( ) 3; ; x2 −1   < ⇔ x ∈ −∞; − ∪  − ; −1÷∪ 1; ∪ ( 2; +∞ ) 2 ( x − 3) ( −3x + x + 8)   ( b) Đặt g ( x ) = ) ( ) x2 − x − − x2 + 3x +  x = −1  x = −1 2 Ta có x − x − = ⇔  ; − x + 3x + = ⇔  x = x = Bảng xét dấu x −∞ −1 x2 − x − + − − x + 3x + − + g ( x) − − + + +∞ + − + − Dựa vào bảng xét dấu ta có x2 − x − > ⇔ x ∈ ( 2; ) ; − x + 3x + x2 − x − < ⇔ x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1; ) ∪ ( 4; +∞ ) − x + 3x + Ví dụ Giải bất phương trình sau Trang 12 a) 1 ≥ x − 3x − − x c) x − b) x + 10 ≤ x2 + x2 − x2 − x + ≥ − x + 3x + Hướng dẫn giải a) Ta có 1 1 ≥ ⇔ − ≤0 x − 3x − − x − x x − 3x − ⇔ x − 3x − − ( − x ) (x − 3x − ) ( − x ) ≤0⇔ x2 − 2x − ≤0 ( x − 3x − ) ( − x ) Bảng xét dấu −∞ x −1 1− − − − − − − − − + − + x − 3x − + + 1− x + + + VT + − + 0 +∞ − x2 − 2x − 1+ − 0 + + + Dựa vào bảng xét dấu, ta có x2 − 2x − ≤ ⇔ x ∈ 1 − 6; −1 ∪ 1;1 +  ∪ ( 4; +∞ ) ( x − 3x − ) ( − x ) ) ( b) Ta có x + 10 ≤ ⇔ ⇔ x2 + x2 + ⇔ − ( x + 10 ) ≥ x2 − x2 − x + − ( x − ) ( x + 10 ) x2 − ≥0 ( − x ) ( + x ) ≥ ⇔ − x2 ≥ (do + x > , ∀x ) 81 − x ≥ ⇔ x2 − x2 − x2 − Bảng xét dấu x −∞ −3 − x2 − x2 − + VT − −2 + + + + − − + +∞ 2 + + − + − ) ( Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm bất phương trình cho S =  −3; −2 ∪ 2;3 ( x − 1) ( − x + x + ) c) Ta có x − x − x + = − x + 22 x + x − = − x + 3x + − x + 3x + − x + 3x + Trang 13  x = −2  x = −1 2 Ta có − x + x + = ⇔  ; − x + 3x + = ⇔  x = x = Bảng xét dấu x −∞ x −1 − − x2 + x + − − x + 3x + − x− x2 − x + − x + 3x + −1 −2 − Dựa vào bảng xét dấu, ta có x − − − + + + + + − 0 − + + + +∞ + + − − + − − + x2 − x + ≥ x ∈ [ −2; −1) ∪ [ 1;3] ∪ ( 4; +∞ ) − x + 3x + Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tập xác định hàm số y = x + 5x − A ( −∞; −6] ∪ [ 1; +∞ ) B ( −6;1) C ( −∞; −6 ) ∪ ( 1; +∞ ) Câu 2: Tập nghiệm bất phương trình A ( −∞;1) x −1 ≤ x + 4x + B ( −3; −1) ∪ [ 1; +∞ ) C ( −∞; −3) ∪ ( −1;1] Câu 3: Với x thuộc tập hợp f ( x ) = A S = ( −∞;1) D ( −∞; −1) ∪ ( 6; +∞ ) D ( −3;1) x −1 không âm? x + 4x + B S = ( −3; −1) ∪ [ 1; +∞ ) C S = ( −∞; −3) ∪ ( −1;1] D S = ( −3;1) Câu 4: Khi xét dấu biểu thức f ( x ) = x + x − 21 , ta có x2 −1 A f ( x ) > −7 < x < −1 < x < B f ( x ) > x < −7 −1 < x < x > C f ( x ) > −1 < x < x > D f ( x ) > x > −1 Bài tập nâng cao Câu 5: Số nghiệm nguyên thuộc khoảng ( 0; 2017 ) bất phương trình A 2014 B 2015 Câu 6: Số giá trị nguyên m để hàm số y = A B C 2016 x − 3x + x − ( 3m + ) x + C 4x2 + − x ≤ 2x + D 2017 xác định với giá trị x D Trang 14 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm Phương pháp giải Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có biệt thức ∆ = b − 4ac (hoặc ∆′ = b′2 − ac ) Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt − x2 + ( m + 2) x − = • Có hai nghiệm phân biệt ∆ > • Có nghiệm kép ∆ = Hướng dẫn giải • Vơ nghiệm ∆ < Ta có ∆ = ( m + ) − 16 = m + 4m − 12 • Có nghiệm ∆ ≥ Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  m < −6 ∆ > ⇔ m + 4m − 12 > ⇔  m > Vậy với m ∈ ( −∞; −6 ) ∪ ( 2; +∞ ) phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với giá trị thực tham số m a) phương trình x − ( m + ) x − ( m + 3) = có nghiệm 2 b) phương trình ( m + 1) x + ( ) 3m − x + = vô nghiệm Hướng dẫn giải a) Ta có ∆′ = ( m + ) + m + = m + 5m + Vì tam thức m + 5m + có ∆ m = −3 nên ∆′ = m + 5m + > với m Do phương trình cho có nghiệm với m b) Ta có ∆ = ( ) 3m − − ( m + 1) = −5m − 3m − Vì tam thức −5m2 − 3m − có am = −5 < ∆′m < nên ∆ = −5m − 3m − < với m Do phương trình cho vơ nghiệm với m Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) x − mx + m + = b) ( + m ) x − 2mx + 2m = Hướng dẫn giải a) Phương trình có nghiệm ∆ ≥ m ≥ ⇔ m − ( m + 3) ≥ ⇔ m − 4m − 12 ≥ ⇔   m ≤ −2 Vậy với m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 6; +∞ ) phương trình x − mx + m + = có nghiệm Trang 15 b) Với m = −1 phương trình trở thành x − = ⇔ x = Suy m = −1 thỏa mãn yêu cầu tốn Với m ≠ −1 phương trình có nghiệm ∆′ ≥ ⇔ m − m ( + m ) ≥ ⇔ m + m ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Kết hợp hai trường hợp, ta thấy −2 ≤ m ≤ phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm b) ( m − 1) x − ( 2m − ) x + 2m = a) x − 2mx + m + = Hướng dẫn giải a) Phương trình vơ nghiệm ∆′ < ⇔ m2 − m − < ⇔ − 13 + 13 ⇔ ( m − 1) − 2m ( m − 1) < ⇔ ( m − 1) ( − m − 1) < ⇔   m < −1 Vậy với m ≥ m < −1 phương trình vơ nghiệm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Phương trình x − 4mx + m + = vô nghiệm A m < B − < m < C m ≤ − m ≥ D − ≤ m ≤ Câu 2: Phương trình x + x + m = vô nghiệm A m > − B m < − C m > D m > − Câu 3: Tập giá trị m để ( m + ) x − ( m − 1) x − − 2m = vô nghiệm A ¡ B ∅ C ( −4; +∞ ) D ( −∞; −4 ) Câu 4: Phương trình x − mx − m = vơ nghiệm A −1 < m < B −4 ≤ m ≤ C −4 < m < D m < −4 m > Bài tập nâng cao Câu 5: Với giá trị m phương trình ( m − 1) x − ( m − ) x + m − = có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 + x1 x2 < ? Trang 16 A < m < B < m < C m > D m > ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai 1-A 2-A 3-C 4-A 5-B 6-D Câu Chọn B Với m = ⇒ f ( x ) = x − > ⇔ x > (loại) Với m ≠ , f ( x ) tam thức bậc hai ẩn x Khi m − < f ( x ) = ( m − 3) x + ( m + ) x − ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇔ −22 ≤ m ≤ ∆ = m + 20m − 44 ≤ Câu Chọn D Với m = bất phương trình cho trở thành x + > ⇔ x > − (loại) Với m ≠ bất phương trình cho bất phương trình bậc hai ẩn Khi ( m − 1) x − ( m − ) x + − m > 0, ∀x ∈ ¡ m − > ⇔ ⇔ < m< 2 ∆′ = ( m − ) ( 2m − 3) < Dạng 2: Ứng dụng định lý dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích 1-B 2-C 3-A 4-D 5-D 6-B Câu Chọn D Ta có ( x − 3) ( x + x − ) > ( x − ) ( x + x + ) ⇔ x + 3x − 26 < ⇔ − Suy a + b = − 13 < x< 13 +2=− 5 Câu Chọn B Ta có ( x + x + m ) ≥ ( x − 3x − m ) ⇔ ( x + 2m ) ( x − x ) ≥ ⇔ ( x + m ) x ( x − 1) ≥ 2 Mặt khác x > ⇒ ( x + m ) ( x − 1) ≥ 0, ∀x > ⇒ m = −2 Dạng 3: Ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn mẫu 1-C 2-C 3-B 4-B 5-C 6-C Câu Chọn C Trang 17  x ≥  4x + 3 − 6x − 2x ≤ ⇔ ≤0⇔  Ta có 2x + 2x + x < −  2 Khi số nghiệm nguyên thuộc ( 0; 2017 ) 2016 nghiệm Câu Chọn C Hàm số y = x − 3x + x − ( 3m + ) x + xác định với giá trị x ⇔ x − ( 3m + ) x + > 0, ∀x ∈ ¡ 1 > a > ⇔ ⇔ ⇔ 9m + 12m − 12 < ⇔ −2 < m < ∆ <   − ( 3m + )  − 4.4 < Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai vơ nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm 1-B 2-C 3-B 4-C 5-B Câu Chọn B  m ≠ m − ≠ ⇔ ⇔ m ≠1 Phương trình có hai nghiệm   ∆′ ≥ ( m − ) − ( m − 1) ( m − 3) ≥ Khi x1 + x2 + x1 x2 < ⇔ ( m − 2) m − 2m − + ) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét dấu tam thức bậc hai Trang Phương pháp giải Dấu tam thức bậc hai thể bảng Ví dụ: Xét dấu tam thức bậc hai sau sau a) x + x − f ( x ) = ax + bx + c , ( a... thương nhị thức bậc tam thức bậc hai Bước Lập bảng xét Ta có bảng xét dấu dấu f ( x ) −∞ x − 2x + − −2 x + x + − ( x + 3) ( −2 x + 3x + ) + − + + + − − + − Từ bảng xét dấu, ta có xét dấu để suy