Toán 10 Bài 3 PHƯƠNG SAI, độ LỆCH CHUẨN

CHƯƠNG THỐNG KÊ BÀI PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn + Hiểu ý nghĩa phương sai, độ lệch chuẩn + Nắm phương thức tính phương sai, độ lệch chuẩn  Kĩ + Giải thành thạo toán phương sai, độ lệch chuẩn + Vận dụng kiến thức để giải toán thống kê thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương sai Giá trị trung bình x = Khi hai dãy số liệu thống kê có đơn ( n1 x1 + n2 x2 + + nk xk ) n vị đo có số trung bình cộng Phương sai tính theo cơng thức sau: ( x − x) + ( x = s 2 −x ) xấp xỉ nhau, phương sai ( ) + + xn − x nhỏ mức độ phân tán ( so với trung bình cộng ) số liệu bé N Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất s2 = ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + + nk xk − x ) N ( ) ( ) ( = f1 x1 − x + f x2 − x + + f k xk − x ) ni , f i tần số, tần suất giá trị xi ; N số liệu thống kê: N = n1 + n2 + + nk Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp s2 = N ( ) ( n c − x + n c − x 2  1 ( ) ( ) ) 2 ( ) + + nk ck − x   ( = f1 c1 − x + f c2 − x + + f k ck − x ) Trong ci , ni , f i giá trị đại diện lớp thứ i; N số số liệu thống kê: N = n1 + n2 + + nk Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn tính cơng thức s = Phương sai độ lệch chuẩn dùng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) s2 Nhưng cần ý đến đơn vị đo ta dùng s s có đơn vị đo với dấu hiệu nghiên cứu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính phương sai, độ lệch chuẩn bảng số liệu Phương pháp giải Trang Ví dụ: Kết kiểm tra mơn tốn 24 học sinh cho mẫu số liệu sau: 6,5 4,5 9,5 7 7,5 8,5 7,5 5,5 8,5 7 5,5 2,5 5,5 Tính phương sai độ lệch chuẩn mẫu số liệu Hướng dẫn giải + Ta có giá trị trung bình mẫu số liệu Bước Tính giá trị trung bình x mẫu số liệu x= x1 + x2 + + xn 149, = ≈ 6, N 24 + Phương sai mẫu số liệu ( x − x) + ( x = Bước Tùy trường hợp ta áp dụng s2 cơng thức tính phương sai ( − 6, ) = ) ( + + xn − x −x ) N + ( − 6, ) + + ( − 6, ) 24 2 ≈ 3,8 + Độ lệch chuẩn s = s = 3,8 ≈ 1,95 + Độ lệch chuẩn tính cơng thức: s = s2 Ví dụ mẫu Ví dụ Kết thống kê điểm mơn Toán 30 học sinh cho bảng sau: 8,5 4,5 6,5 5,5 5,5 1,5 6,5 0,5 9,5 6,5 5,5 3,5 5 5,5 Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải +) Ta có giá trị trung bình mẫu số liệu x= x1 + x2 + + xn 166, = = 5,55 30 N Trang +) Phương sai bảng số liệu x − x) + ( x ( = s2 ( − 5,55) = ) ( − x + + xn − x ) N + ( 8,5 − 5,55 ) + + ( 5,5 − 5,55 ) + + ( 5, − 5,55 ) 30 2 ≈ 5, +) Độ lệch chuẩn s = s ≈ 5, ≈ 2,3 Ví dụ Sản lượng lúa (tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng tần số sau: Sản lượng ( x ) 20 21 22 23 24 Tần số ( n ) 11 10 N = 40 a) Tính sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Ta có sản lượng trung bình mẫu số liệu x1.n1 + x2 n2 + + xk nk N x= = 20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6 40 = 884 = 22,1 40 b) Phương sai mẫu số liệu s2 = ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x ( + + nk xk − x ) N ( 20 − 22,1) + ( 21 − 22,1) + 11 ( 22 − 22.1) + 10 ( 23 − 22,1) + ( 24 − 22,1) = ) 2 2 40 = 1,54 +) Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: s = s = 1,54 ≈ 1, 24 Trang Ví dụ Có 100 học sinh dự thi học sinh giỏi Tốn ( thang điểm 20) Kết sau: Điểm 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tần số 1 13 19 24 14 10 a) Tính số trung bình b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Ta có số trung bình x= x1.n1 + x2 n2 + + xk nk 1523 = = 15, 23 n 100 b) Phương sai s2 = ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x ) ( + + nk xk − x ) N ( − 15, 23) + ( 10 − 15, 23) + + ( 19 − 15, 23 ) = 100 2 = 3,96 +) Độ lệch chuẩn s = s = 3,96 ≈ 1, 99 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Chọn câu bốn phương án sau Độ lệch chuẩn là: A Bình phương phương sai B Một nửa phương sai C Căn bậc hai phương sai D Hiệu số trung bình số trung vị Câu 2: Theo dõi thời gian làm tốn (tính phút) 40 học sinh, giáo viên lập bảng sau: Thời gian ( x ) 10 11 12 Tần số ( n ) 5 N = 40 a) Mốt dấu hiệu A B 9;10 C 8;11 D 12 C 10 D b) Tần số giá trị sau đây? A B c) Số trung bình mẫu số liệu gần với số nhất? A B C D d) Phương sai mẫu số liệu gần với số nhất? A B 12 C 40 D Trang Câu 3: Giá bán ( đơn vị: nghìn đồng ) 60 mặt hàng cửa hàng thống kê bảng sau: Lớp Tần số [ 40;50 ) [ 50;60 ) [ 60;70 ) 19 [ 70;80 ) 23 [ 80;90] N = 60 a) Số trung bình bảng số liệu A 70 B 80 C 90 D 85 b) Độ lệch chuẩn bảng số liệu gần với số nhất? A 13 B 15 C 16 D 10 Câu 4: Một cửa hàng ăn ghi lại số tiền (nghìn đồng) mà khách hàng trả cho cửa hàng Các số liệu trình bày bảng sau: Lớp Tần số [ 0;100 ) 25 [ 100; 200 ) 70 [ 200;300 ) 60 [ 300; 400 ) 30 [ 400;500] 15 N = 200 a) Tính số trung bình b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu 5: Tiền lương hàng tháng 30 công nhân xưởng may cho bảng sau Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng Tần số 6 N = 30 a) Mốt mẫu số liệu bao nhiêu? b) Tính số trung bình c) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn Dạng Dạng tốn tổng hợp Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Điểm số 30 lần bắn xạ thủ A (mỗi lần bắn viên đạn) cho bảng: 10 10 8 10 9 9 10 10 a) Hãy lập bảng phân bố tần số bảng phân bố tần suất số liệu thống kê b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị mốt c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Ta có bảng phân bố tần số, tần suất mẫu số liệu Tần số ( n ) N = 30 Điểm 10 b) Số trung bình x = Tần suất ( % ) 10 20 30 23 17 100 % x1.n1 + x2 n2 + + xk nk ≈ 8, N +) Kích thước mẫu 30 nên số trung vị trung bình cộng hai giá trị vị trí 15 16: Me = + Giá trị có tần số lớn Vậy mốt c) Phương sai s = +) Độ lệch chuẩn ( n1 x1 − x ) x15 + x16 =8 M0 = ( ) ( + n2 x2 − x + + nk xk − x N ) ≈ 1,5 s = s = 1, Ví dụ Cho số liệu thống kê ghi bảng sau: Thời gian (phút) từ nhà đến trường bạn A 35 ngày 21 22 24 19 23 26 25 Trang 22 19 23 20 23 27 26 22 20 24 21 24 28 25 21 20 23 22 23 29 26 23 21 26 21 24 28 25 a) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp, với lớp: [ 19, 21) ; [ 21; 23) ; [ 23; 25) ; [ 25; 27 ) ; [ 27; 29 ) b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị mốt c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp: Các lớp (phút) Tần số ( n ) Tần suất ( % ) [ 19, 21) 14,3 [ 21; 23) 25,7 [ 23; 25) 10 28,6 [ 25; 27 ) 20 [ 27; 29 ) 11,4 N = 35 100 % b) Giá trị trung bình bảng x= c1.n1 + c2 n2 + + ck nk 20.5 + 22.9 + + 28.4 832 = = ≈ 23,8 N 35 35 +) Bảng có kích thước 35 nên số trung vị M e = x18 = 23 +) Giá trị có tần số lớn 23 Vậy mốt M = 23 c) Phương sai s = ( ) ( n1 c1 − x + n2 c2 − x +) Độ lệch chuẩn s = ) N ( + + nk ck − x ) ≈ 5, s = 5,9 ≈ 2, Ví dụ Cho bảng số liệu thống kê thời gian (phút) hoàn thành tập toán học sinh lớp 10 Trang 20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5 23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,8 24,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 21,2 24,3 22,2 23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp với lớp sau: [ 19,5; 20,5) ; [ 20,5; 21,5 ) ; [ 21,5; 22,5 ) ; [ 22,5; 23,5 ) ; [ 23,5; 24,5 ) , [ 24,5; 25,5] b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp (phút) Tần số ( n ) Tần suất ( % ) [ 19,5; 20,5 ) 12,5 [ 20,5; 21,5 ) 10 25 [ 21,5; 22,5 ) 12,5 [ 22,5; 23,5) 20 [ 23,5; 24,5) 10 25 [ 24,5; 25,5] N = 40 100 % b) Giá trị trung bình x = c1.n1 + c2 n2 + + ck nk 894 = ≈ 22,35 N 40 Vì kích thước mẫu 40 nên số trung vị M e = c) Phương sai s = ( ) ( ) x20 + x21 = 22,35 ( n1 c1 − x + n2 c2 − x + + nk ck − x N ) ≈ 2,3 Độ lệch chuẩn s = s = 2,3 ≈ 1,5 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho bảng phân bố tần số ghép lớp Trang Cân nặng học sinh lớp 10A 10B trường THPT C Tần số Lớp cân nặng (kg) 10A 10B [ 30,36 ) [ 36, 42 ) [ 42, 48) 12 [ 48,54 ) 15 13 [ 54, 60 ) [ 60, 66] N = 38 N = 46 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp bảng b) Tính số trung bình cộng, phương sai độ lệch chuẩn bảng c) Học sinh lớp 10A hay lớp 10B có cân nặng trung bình lớn hơn? Câu 2: Để điều tra chiều cao học sinh nữ lớp 10 trường THPT người ta đo chiều cao 30 học sinh nữ thu mẫu số liệu sau (cm) 151 160 159 152 160 158 157 162 165 164 152 150 150 160 160 152 154 156 156 160 164 162 150 152 165 165 159 157 162 150 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp gồm lớp sau: [ 150,152 ) ; [ 152,154 ) ; [ 158,160 ) ; [ 160,162 ) ; [ 162,164 ) ; [ 164,166] b) Tính giá trị trung bình c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu 3: Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng tháng thống kê bảng sau 3 4 4 10 11 15 13 7 8 10 14 16 17 6 12 a) Với lớp [ 0;3) , [ 4;7 ] , [ 8;11] , [ 12;15] , [ 16;17 ] , lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu 4: Hai xạ thủ tập bắn, người bắn 30 viên đạn vào bia Kết ghi lại bảng sau: Điểm số xạ thủ A Trang 10 10 9 10 8 10 10 10 10 9 9 8 Điểm số xạ thủ B 9 10 10 8 9 10 10 10 10 9 10 7 8 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất số liệu thống kê hai bảng b) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn số liệu thống kê hai bảng c) Xét xem lần tập bắn này, xạ thủ bắn chụm hơn? Câu 5: Hai lớp 10C, 10D trường THPT đồng thời làm thi môn Văn theo đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố sau đây: Điểm thi Văn lớp 10C Điểm thi 10 Cộng Tần số 12 14 N = 45 Điểm thi Văn lớp 10D Điểm thi Cộng Tần số 18 12 N = 45 a) Tính số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn hai bảng b) Xét xem kết làm thi môn Văn lớp đồng hơn? THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ ĐÁP ÁN BÀI PHƯƠNG SAI ĐỘ LỆCH CHUẨN Dạng Tính phương sai, độ lệch chuẩn bảng số liệu 1–C 2a- C 2b- B 2c- C 2d- A 3a- A 3b- D HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN Câu Lập bảng giá trị đại diện lớp Lớp Tần số Giá trị đại diện [ 0;100 ) 25 50 70 150 60 250 30 350 15 450 [ 100; 200 ) [ 200;300 ) [ 300; 400 ) [ 400;500] Trang 11 N = 200 a) Số trung bình mẫu số liệu: x = n1.c1 + n2 c2 + + nk c k N 25.50 + 70.150 + 60.250 + 30.350 + 15.450 200 = = 220 b) Phương sai s = ( ) ( ) ( n1 c1 − x + n2 c2 − x + + nk ck − x ) N 25 ( 50 − 220 ) + 70 ( 150 − 220 ) + + 15 ( 450 − 220 ) = 200 2 = 20000 Suy độ lệch chuẩn s = s = 20000 ≈ 141, Câu a) Mốt mẫu số liệu là: 700;900 b) Số trung bình x = 300.3 + 500.5 + + 1000.5 ≈ 733 30 c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s = ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + + nk xk − x ) N , Ta tính phương sai s = 46222 Suy độ lệch chuẩn s = 214 Dạng Dạng toán tổng hợp Câu a) Bảng phân bố tần suất ghép lớp Tần số ( n ) Tần suất (%) Lớp cân nặng (kg) 10A 10B 10A 10B [ 30,36 ) 2,63 4,35 [ 36, 42 ) 5,26 15,22 [ 42, 48) 12 13,16 26,08 [ 48,54 ) 15 13 39,48 28,26 [ 54, 60 ) 23,68 15,22 Trang 12 [ 60, 66] 15,79 10,87 N = 38 N = 46 100% 100% b) Số trung bình cộng: x= = n1.c1 + n2 c2 + n3 c3 + n c + n c5 + n6 c N 1.33 + 2.39 + 5.45 + 15.51 + 9.57 + 6.63 ≈ 52, 38 y= = n1.c1 + n2 c2 + n3 c3 + n c + n c5 + n6 c N 2.33 + 7.39 + 12.45 + 13.51 + 7.57 + 5.63 ≈ 49 46 +) Phương sai: Áp dụng cơng thức tính phương sai: s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( n1 c1 − x + n2 c2 − x + + nk xk − x + n5 c5 − x + n6 c6 − x ) n Ta tính phương sai cân nặng học sinh lớp 10A lớp 10B sx2 ≈ 50, 41 ; s 2y ≈ 62, 41 Suy độ lệch chuẩn: s = sx2 ≈ 50, 41 ≈ 7,1 ; s = s 2y ≈ 62, 41 ≈ 7,9 c) Ta thấy x > y , nên học sinh lớp 10A có cân nặng trung bình lớn lớp 10B Câu a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp Tần số ( n ) Tần suất (%) [ 150;152 ) 16,7 [ 152;154 ) 13,3 [ 154;156 ) 3,3 [ 156;158) 13,3 [ 158;160 ) 10 [ 160;162 ) 16,7 [ 162;164 ) 13,3 [ 164;166] 13,3 N = 30 100% (chiều cao học sinh) Trang 13 a) Bảng giá trị đại diện tương ứng Tần số ( n ) Lớp Tần suất (chiều cao học sinh) Giá trị đại diện (100%) [ 150;152 ) 16,7 151 [ 152;154 ) 13,3 153 [ 154;156 ) 3,3 155 [ 156;158 ) 13,3 157 [ 158;160 ) 10 159 [ 160;162 ) 16,7 161 [ 162;164 ) 13,3 163 [ 164;166] 13,3 165 N = 30 100% Khi số trung bình x = 151.5 + 153.4 + + 165.4 4744 = ≈ 158 30 30 Do N = 30 nên số trung vị M e = x15 + x16 158 + 159 = = 158,5 2 b) Phương sai s = ( n1 c1 − x ) ( + n2 c2 − x ) ( + + n8 c8 − x 30 ) = 702 = 23, 30 Suy độ lệch chuẩn s ≈ 4,84 Câu a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Tần số ( n ) 11 Tần suất (%) 27,5 Giá trị đại diện 1,5 14 35 5,5 22,5 9,5 10 10 13,5 N = 40 100% 1,5.11 + 5,5.14 + + 16,5.2 = 6, 65 b) Số trung bình x = 40 16,5 Lớp (số cuộn phim) [ 0;3] [ 4;7] [ 8;11] [ 12;15] [ 16;17 ] Trang 14 c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s = ( ) ( ) ( n1 c1 − x + n2 c2 − x + + nk ck − x ) N , ta tính phương sai s = 26 Suy độ lệch chuẩn s ≈ Câu a) Bảng phân bố tần số, tần suất: Xạ thủ A Xạ thủ B Điểm số Tần số Tần suất 13,3 Điểm số Tần số Tần suất 3,3 10,0 6,7 8 26,7 13,4 9 30,0 23,3 10 Cộng N = 30 20,0 100% 9 30,0 10 Cộng N = 30 23,3 100% b) +) Số trung bình cộng: xA = n1.x1 + n2 x2 + n3 x3 + n x4 + n x5 4.6 + 3.7 + 8.8 + 9.9 + 6.10 = ≈ 8,33 n 30 xB = n1.x1 + n2 x2 + n3 x3 + n x4 + n x5 + n6 x6 1.5 + 2.6 + 4.7 + 7.8 + 9.9 + 7.10 = ≈ 8, n 30 +) Số trung vị: M e ( A ) = 8+9 = 8,5; M e ( B ) = +) Mốt: M ( A ) = 9; M ( B ) = +)Phương sai: sx2 ( A ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x ) n ( − 8,3) + ( − 8,3) + ( − 8,3 ) + ( − 8,3) + ( 10 − 8,3 ) = ≈ 1, 61 30 2 2 Trang 15 sx2 ( B ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x ) n 1( − 8, ) + ( − 8, ) + ( − 8, ) + ( − 8, ) + ( − 8, ) + ( 10 − 8, ) = ≈ 1, 77 30 2 2 2 +) Độ lệch chuẩn: sx ( A ) ≈ 1, 27; sx ( B ) ≈ 1,33 2 c) Do x A ≈ xB ; sx ( A ) < s x ( B ) nên lần bắn này, xạ thủ A bắn chụm xạ thủ B Câu a) Số trung bình cộng: x= n1.x1 + n2 x2 + n3 x3 + n x4 + n x5 + n6 x6 5.5 + 7.6 + 12.7 + 14.8 + 3.9 + 4.10 = ≈ 7,3 n 45 y= n1.x1 + n2 x2 + n3 x3 + n x4 9.6 + 18.7 + 12.8 + 6.9 = ≈ 7,3 n 45 +) Số trung vị: M e (10C ) = 7; M e (10 D) = +) Mốt: M ( 10C ) = 8; M ( 10 D ) = +) Phương sai: s = x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x + n5 x5 − x + n6 x6 − x ) n ( − 7,3) + ( − 7,3) + 12 ( − 7,3) + 14 ( − 7,3 ) + ( − 7,3 ) + ( 10 − 7,3 ) = ≈ 1,87 45 s 2y = ( ) 2 ( ) ( ) ( n1 x1 − x + n2 x2 − x + n3 x3 − x + n4 x4 − x ) 2 n ( − 7,3) + 18 ( − 7,3 ) + 12 ( − 7,3) + ( − 7,3 ) = ≈ 0,89 45 2 2 +) Độ lệch chuẩn: sx ≈ 1,87 ≈ 1,37; s y ≈ 0,89 ≈ 0,94 Trang 16 b) 2 Vì x = y ≈ 7,3; sx > s y nên điểm số thi lớp 10D đồng Trang 17 ... Tần suất 13, 3 Điểm số Tần số Tần suất 3, 3 10, 0 6,7 8 26,7 13, 4 9 30 ,0 23, 3 10 Cộng N = 30 20,0 100 % 9 30 ,0 10 Cộng N = 30 23, 3 100 % b) +) Số trung bình cộng: xA = n1.x1 + n2 x2 + n3 x3 + n x4... 152;154 ) 13, 3 1 53 [ 154;156 ) 3, 3 155 [ 156;158 ) 13, 3 157 [ 158;160 ) 10 159 [ 160;162 ) 16,7 161 [ 162;164 ) 13, 3 1 63 [ 164;166] 13, 3 165 N = 30 100 % Khi số trung bình x = 151.5 + 1 53. 4 + +... phương sai độ lệch chuẩn Câu 4: Hai xạ thủ tập bắn, người bắn 30 viên đạn vào bia Kết ghi lại bảng sau: Điểm số xạ thủ A Trang 10 10 9 10 8 10 10 10 10 9 9 8 Điểm số xạ thủ B 9 10 10 8 9 10 10