Toán 10 Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

CHƯƠNG 3: BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày cách viết phương trình đường elip + Nhận biết yếu tố elip biết phương trình  Kĩ + Viết phương trình tắc elip + Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm elip Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đường Elip Cho hai điểm cố định F1 ; F2 độ dài không đổi 2a lớn F1 F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho MF1 + MF2 = 2a Ta viết ( E ) : { M F1M + F2 M = 2a} F1 ; F2 tiêu điểm Độ dài F1 F2 = 2c gọi tiêu cự elip Phương trình tắc elip Trong mặt phẳng Oxy cho hai tiêu điểm F1 ( −c;0 ) ; F2 ( c;0 ) độ dài khơng đổi 2a Khi ta có phương trình tắc elip ( E ) : x2 y2 + = , a = b + c ; a > b > a b Các thành phần elip (E) + Bốn đỉnh: A1 ( − a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) + Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a + Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 2b + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 ) với b = a − c + Tiêu cự: F1 F2 = 2c Hình dạng elip Elip có hai trục đối xứng hai trục tọa độ tâm đối xứng gốc tọa độ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tắc elip biết thành phần đủ để xác định elip Phương pháp giải Để viết phương trình tắc elip ta làm sau: Ví dụ: Viết phương trình tắc elip biết elip có độ dài trục lớn có Phương trình tắc elip có dạng: x2 y + = 1( a > b > ) a b2 Từ giả thiết toán ta thiết lập phương trình, c = a Hướng dẫn giải Gọi phương trình tắc elip cần tìm có dạng: hệ phương trình để tìm đại lượng a, b elip Từ x2 y2 + = 1( a > b > ) a b2 đó, viết phương trình tắc Độ dài trục lớn nên 2a = ⇔ a = Ta có c = ⇔ c = a Trang Ta có: b = a − c = − = Vậy ( E ) : x2 y + = Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau:  10  ; −1 ÷ a) (E) có tọa độ đỉnh 0, qua điểm M  ÷   ( )  33  b) (E) có tiêu điểm thứ − 3;0 qua điểm M  1; ÷ ÷   ( ) c) Độ dài trục nhỏ 12 tiêu cự 16 Hướng dẫn giải Phương trình tắc (E) có dạng: ( x2 y + = 1( a > b > ) a b2 ) a) (E) có đỉnh 0, nằm trục tung nên b = Do phương trình tắc (E) có dạng: ( ) x2 y + =1 a > a2  10  160 ; −1 ÷ + = ⇒ a2 = Mặt khác (E) qua điểm M  nên ÷ 25a   Vậy phương trình tắc (E) ( x2 y + = ) 2 2 b) (E) có tiêu điểm F1 − 3;0 nên c = suy a = b + c = b + ( 1)  33  528 ∈ E ⇒ + = 1( ) ( ) Mặt khác M  1; ÷ ÷ a 25b   Thế (1) vào (2) ta 528 + = ⇔ 25b − 478b − 1584 = ⇔ b = 22 ⇒ a = 25 b + 25b Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 25 22 c) Độ dài trục nhỏ 12 nên 2b = 12 ⇔ b = Tiêu cự 16 nên 2c = 16 ⇔ c = ⇒ a = b + c = 62 + 82 = 100 Vậy phương trình elip (E) x2 y2 + =1 100 36 Ví dụ Phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé qua điểm M ( 2; −2 ) A x2 y + = 24 B x2 y + = 36 C x2 y + = 16 D x2 y + = 20 Trang Hướng dẫn giải x2 y Gọi phương trình tắc elip có dạng + = 1, ( a > b > ) a b Vì trục lớn gấp đơi trục bé nên a = 2b ⇒ a = 4b Điểm ( 2; −2 ) 2 −2 thuộc elip ( E ) : x + y2 = ⇒ 2 + ( 2) = a b a b  a = 4b 2  b = ⇒ Ta hệ phương trình:   + =  a = 20  4b b x2 y2 Vậy phương trình tắc elip + = 20 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn 12 độ dài trục bé Phương trình sau phương trình elip (E) A x2 y2 + = 144 36 B x2 y + = 36 C x2 y + = 36 D x2 y2 + = 144 36 Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự 10 Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y2 + = 25 16 B x2 y + = 16 41 C x2 y + = 36 Câu 3: Phương trình tắc elip qua điểm ( 6;0 ) có A x2 y + = B x2 y + = 36 27 C D x2 y + = 41 16 D x2 y + = 36 18 c = a x2 y + = Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn 10 độ dài tiêu cự Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y2 + = 25 16 B x2 y + = 16 25 C x2 y + = 36 D x2 y2 + = 144 36 Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình tắc Elip có tiêu cự qua điểm A ( 0;5 ) A x2 y2 + = 100 81 B x2 y + = 34 25 C x2 y2 + = 25 D x2 y2 + = 25 16 Câu 6: Phương trình tắc elip có trục lớn tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn A x2 y + = B x2 y + = C x2 y + = D x2 y + = Trang 12   Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình elip (E) qua điểm M ( 0;3) , N  3; − ÷ 5  A x2 y + = B x2 y2 + = 25 C x2 y + = x2 y + = 36 D Câu 8: Phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé có tiêu cự x2 y2 A + = 36 x2 y B + = 36 24 x2 y C + = 24 x2 y D + = 16  3 Câu 9: Phương trình tắc elip có tiêu điểm F1 − 3;0 qua điểm M  1; ÷ ÷   ( A x2 y + = B x2 y + = C ) x2 y + = x2 y + = 1 D Câu 10: Lập phương trình tắc elip có tâm O, hai trục đối xứng hai trục tọa độ qua hai 3  3  điểm M  −2 3; ÷, N  2; ÷ 2  ÷   A x2 y2 + = 12 B x2 y + = 12 C x2 y + = 16 x2 y + = 16 D Dạng 2: Xác định thành phần elip biết phương trình tắc elip Phương pháp giải Từ phương trình tắc (E): x2 y2 + = ta a b2 xác định được: Ví dụ: Cho elip ( E ) : x2 y2 + = Xác định đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm tiêu cự elip Hướng dẫn giải + Các đỉnh: A1 ( − a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) Ta có: a = ⇒ a = 3; b = ⇒ b = Vậy đỉnh elip là: A1 = ( −3;0 ) , A2 ( 3;0 ) , B2 ( 0; ) , B1 ( 0; −2 ) + Trục lớn: A1 A2 = 2a , trục nhỏ: B1 B2 = 2b Độ dài trục lớn: A1 A2 = ; Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = +Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( −c;0 ) , tiêu điểm phải F2 ( c;0 ) với b = a − c Ta có: b = a − c ⇔ c = a − b2 = − = Hai tiêu điểm là: ( ) F1 − 5;0 F2 ( ) 5;0 Tiêu cự là: F1 F2 = 2c = Trang + Tiêu cự: F1 F2 = 2c Ví dụ mẫu x2 y2 + = Khi độ dài trục lớn, trục nhỏ elip Ví dụ Cho elip có phương trình: A 9; B 6; C 3; D 4; Hướng dẫn giải  a = a = ⇔ Ta có  b = b = Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a = 2.3 = Độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 2b = 2.2 = Chọn B Ví dụ Cho elip có phương trình: ( ) ( A F1 − 7;0 , F2 x2 y2 + = Khi tọa độ tiêu điểm elip là: 16 ) B F1 ( −16;0 ) , F2 ( 16;0 ) 7;0 C F1 ( −9;0 ) , F2 ( 9;0 ) D F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) Hướng dẫn giải  a = 16 ⇒ c = a − b = Ta có:  b = ( ) ( Tiêu điểm là: F1 − 7;0 , F2 ) 7;0 Chọn A Ví dụ Cho elip có phương trình x2 y + = Khi tọa độ hai đỉnh trục lớn elip là: A A1 ( −1;0 ) , A2 ( 1;0 ) B A1 ( 0; −1) , A2 ( 0;1) C A1 ( 2;0 ) , A2 ( −1;0 ) D A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 ) Hướng dẫn giải Ta có: a = ⇔ a = Hai đỉnh trục lớn là: A1 ( −2;0 ) , A2 ( 2;0 ) Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho elip có phương trình A B1 ( −2;0 ) , B2 ( 2;0 ) x2 y + = Khi tọa độ hai đỉnh trục nhỏ elip là: B B1 ( 3;0 ) , B2 ( 2;0 ) Trang C B1 ( −3;0 ) , B2 ( −2;0 ) D B1 ( −3;0 ) , B2 ( 3;0 ) x2 y2 Câu 2: Elip + = có tiêu cự 16 A 18 Câu 3: Đường elip B C D x2 y + = có tiêu điểm là: A ( 0;3) ( ) B 0; ( ) C − 3;0 D ( 3;0 ) Câu 4: Cho elip x + 36 y − 144 = Khẳng định sau sai? A Độ dài trục lớn C B Tiêu cự c = a D Độ dài trục nhỏ x2 y + = điểm M nằm (E) Nếu điểm M có hồnh độ 16 12 khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm (E) Câu 5: Cho elip ( E ) : A − + B C 3,5 4,5 D + Câu 6: Cho elip (E) có phương trình tắc 2 + 2 x2 y 2 2 + = , với a > b > c = a − b ( c > ) Khi a b khẳng định sau đúng? A Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) MF1 = a + c.xM c.x , MF2 = a + M a a B Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) MF1 = a − c.xM c.x , MF2 = a + M a a C Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) MF1 = a − c.xM c.x , MF2 = a − M a a D Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) tiêu điểm F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) MF1 = a + c.xM c.x , MF2 = a − M a a Câu 7: Cho elip có phương trình: x2 y + = Điểm M điểm thuộc (E) cho MF1 = MF2 Khi tọa 16 độ điểm M A M ( 0;1) , M ( 0; −1) B M ( 0; ) , M ( 0; −2 ) C M ( −4;0 ) , M ( 4;0 ) D M ( 0; ) , M ( 0; −4 ) x2 y + = hai điểm A ( 3; −2 ) , B ( −3; −2 ) Tìm tọa độ, điểm C thuộc elip có hồnh độ, tung độ khơng âm cho tam giác ABC có diện tích lớn Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : A C ( 0;3) B C ( 0; ) C C ( 3;0 ) D C ( 2;0 ) Trang x2 y2 + = đường thẳng d : x + y − 12 = Biết d cắt (E) hai 16 điểm phân biệt A, B Khẳng định sau đúng? Câu 9: Cho elip ( E ) : A AB = B AB = C AB = Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình: D AB = 10 x2 y2 + = Có điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F1 F2 góc 60° (biết F1 , F2 tiêu điểm elip)? A B C D Dạng 3* Chứng minh điểm M di động elip Phương pháp giải Để chứng tỏ điểm M di động elip ta có hai cách sau: Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai Ví dụ 1: điểm cố định F1 , F2 số 2a ( F1 F2 < 2a ) Cho hai đường trịn ( C1 ) có tâm F1 bán Khi M di động elip có hai tiêu điểm F1 , F2 kính R1 , ( C2 ) có tâm F2 bán kính R2 trục lớn 2a ( C1 ) chứa ( C2 ) F1 ≠ F2 Gọi M tâm đường tròn ( C ) thay đổi tiếp xúc ( C1 ) với tiếp xúc với ( C2 ) Chứng tỏ M di động elip Hướng dẫn giải Ta có (C) tiếp xúc ngồi với ( C1 ) ⇒ MF1 = R1 + R (C) tiếp xúc với ( C2 ) ⇒ MF2 = R2 − R Do đó, MF1 + MF2 = R1 + R + R2 − R = R1 + R2 không đổi Vậy M di động elip có hai tiêu điểm Cách 2: Chứng minh mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M ( xM ; yM ) có tọa độ thỏa mãn phương trình xM2 yM2 + = với a, b hai số thỏa mãn < b < a a2 b2 F1 , F2 độ dài trục lớn R1 + R2 Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ ln thỏa mãn:  x = 5cos t , với t tham số thay đổi Tìm quỹ   y = 4sin t tích điểm M Trang Hướng dẫn giải x = cos t  x = 5cos t  ⇒ Ta có:   y = 4sin t  y = sin t   x2  25 = cos t x2 y ⇒ ⇒ + = 25 16  y = sin t  16 Vậy điểm M di động elip có phương trình x2 y + = 25 16 Ví dụ mẫu Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A di động trục Ox điểm B di động trục Oy cho AB = k khơng đổi Tìm tập hợp điểm M thuộc đoạn AB cho MB = MA Hướng dẫn giải Gọi A ( a;0 ) ∈ Ox B ( 0; b ) ∈ Oy Do AB = k nên a + b = k khơng đổi (1) uuur uuur Vì M thuộc đoạn AB MB = MA nên MB = −2 MA xB + x A 2a  3x   xM = + = a = M ⇒ ⇔  y = yB + y A = b b = yM  M 1+ xM2 x2 y2 + yM2 = k ⇔ M2 + M2 = Thay vào (1), ta được: 4k k 9 Vậy tập hợp điểm M elip có phương trình ( E) : x2  2k   ÷   + y2 k  ÷ 3 =1 Bài tập tự luyện dạng Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M ( x; y ) di động có tọa độ thỏa mãn:  x = cos t , với t tham số thay đổi Khi điểm M di động elip có phương trình   y = 5sin t A x2 y2 + = 100 81 B x2 y + = 49 25 C x2 y2 + = 25 D x2 y2 + = 25 16 ĐÁP ÁN Trang Dạng Lập phương trình tắc elip biết thành phần đủ để xác định elip Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-D Hướng dẫn giải 3-B 4-A 5-B 6-B 7-B 8-D 9-B 10-C Câu Phương trình elip có dạng: x2 y2 + = a2 b2 0  a + b = 12  b =  ⇔ Elip qua hai điểm M ( 0;3) , N  3; − ÷ nên ta có  5   + 144 =  a = 25  a 25b Vậy phương trình elip x2 y2 + = 25 Câu Gọi phương trình tắc elip có dạng x2 y + = 1, ( a > b > ) a b2 Vì trục lớn gấp đơi trục bé nên a = 2b ⇒ a = 4b (1) Vì elip có tiêu cự nên 2c = ⇔ c = ⇒ a = b + 12 (2)  a = 4b b2 = ⇒ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  2  a − b = 12 a = 16 Vậy phương trình tắc elip x2 y + = 16 Câu Phương trình tắc elip có dạng Vì c = b = a − c nên x2 y + = 1, ( a > b > ) a b2 a − b = ⇒ a − b = (1)  3 1 M  1; ∈ E ⇒ + = ⇔ 4b + 3a = 4a 2b ( ) ÷ 2 ÷ a b   (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2 a = + b  a − b = a = + b a = ⇔ ⇔ ⇔  2 2 2 2  4b + 3a = 4a b 4b + 5b − = b =  4b + ( + b ) = ( + b ) b Vậy phương trình elip ( E ) : x2 y2 + = Câu 10 Gọi phương trình tắc elip cần tìm x2 y + = 1, ( a > b > ) a b2 Trang 10  12 + =1 2  3  3 a  a = 16  4b ⇔ Do elip qua M  −2 3; ÷, N  2; nên ta có hệ ÷   27 2  ÷ b =     + =1   a 4b x2 y Vậy elip cần tìm + = 16 Dạng 2: Xác định thành phần elip biết phương trình tắc elip Đáp án trắc nghiệm 1-A 2-B Hướng dẫn giải 3-C 4-D 5-C 6-D 7-B 8-B 9-A 10-D Câu Phương trình tắc elip có dạng x2 y + = 1, ( a > b > ) a b2 Ta có a = 4; b = Vì MF1 = MF2 nên M thuộc đường trung trực F1 F2 trục Oy Mà M điểm thuộc (E) nên M giao điểm elip trục Oy Vậy M ( 0; ) , M ( 0; −2 ) Câu A, B có hoành độ hoành độ đỉnh hai bán trục lớn (E) nằm đường thẳng y + = Điểm C có hồnh độ tung độ khơng âm C nằm cung phần tư thứ Tam giác ABC có AB = cố định Vì tam giác có diện tích lớn khoảng cách từ C đến AB lớn Khi dễ thấy C trùng với đỉnh bán trục bé ( 0; ) Câu Ta có d : x + y − 12 = ⇔ y = − 3x x2 y2 , thay vào phương trình ( E ) : + = ta được: 16  3x  3− ÷ 2 x = ⇒ y = x  x2 ( x − 4)  + =1⇔ + = ⇔ 2x2 − 8x = ⇔  16 16 16 x = ⇒ y = Vậy d cắt (E) hai điểm phân biệt A ( 0;3) , B ( 4;0 ) độ dài AB = Câu 10 MF1 = +  5   x0 , MF2 = − x0 ⇒ MF1.MF2 =  + x0 ÷ − x = − x0 ÷ ÷ ÷ 3 3    Theo định lí cơsin, ta có ( F1F2 ) = MF12 + MF12 − 2MF1MF2 cos 60° = ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2 Trang 11 ( ⇔ )      = 62 −  + x0 ÷ 3− x0 ÷ = 36 −  − x02 ÷ = + x02 ÷ ÷ 3      33 165 ⇔ 20 = + x02 ⇔ x02 = ⇒ x0 = ± 5 4 33  423 ⇒ y = ( − x0 ) =  − ÷ = ⇒ y0 = ± 9  Vậy có bốn điểm thỏa mãn Dạng Chứng minh điểm M di động elip  x2 x = cos t  = cos t  x = cos t  x2 y2  49 ⇒ ⇒ ⇒ + =1 Ta có    y 49 25 y  y = 5sin t  = sin t  = sin t   25 Vậy điểm M di động elip có phương trình x2 y2 + = 49 25 Chọn đáp án B Trang 12 ... tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự 10 Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y2 + = 25 16 B x2 y + = 16 41 C x2 y + = 36 Câu 3: Phương trình tắc elip qua điểm (... ) b Vậy phương trình elip ( E ) : x2 y2 + = Câu 10 Gọi phương trình tắc elip cần tìm x2 y + = 1, ( a > b > ) a b2 Trang 10  12 + =1 2  3? ??  3? ?? a  a = 16  4b ⇔ Do elip qua M  −2 3; ÷, N... D B1 ( ? ?3; 0 ) , B2 ( 3; 0 ) x2 y2 Câu 2: Elip + = có tiêu cự 16 A 18 Câu 3: Đường elip B C D x2 y + = có tiêu điểm là: A ( 0 ;3) ( ) B 0; ( ) C − 3; 0 D ( 3; 0 ) Câu 4: Cho elip x + 36 y − 144