Toán 10 Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

CHUYÊN 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết vectơ pháp tuyến, vectơ phương đường thẳng + Trình bày cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng + Trình bày điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt vng góc  Kĩ + Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M ( x0; y0 ) có phương cho trước qua hai điểm cho trước + Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến biết tọa độ vectơ phương đường thẳng ngược lại + Biết cách chuyển đổi phương trình tổng quát phương trình tham số đường thẳng + Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Tính góc hai đường thẳng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vectơ phương đường thẳng r Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng ∆ r r r u ≠ giá u song song trùng với ∆ Nhận xét: Một đường thẳng có vô số vectơ phương r r Nếu u vectơ phương ∆ ku( k ≠ 0) vectơ phương ∆ Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r r Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng u ≠ r giá n vng góc với ∆ Nhận xét: Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến r r Nếu n vectơ pháp tuyến ∆ kn( k ≠ 0) vectơ pháp tuyến ∆ Liên hệ vectơ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến đường thẳng r r Cho đường thẳng ∆ với u = ( u1;u2 ) ,n = ( n1;n2 ) ;k vectơ phương, vectơ pháp tuyến hệ số góc ∆ r r rr = ⇔ u1.n1 + u2.n2 = Nhận xét 1: u ⊥ n ⇔ un Nhận xét 2: k = u2 n =− u1 n2 Các dạng phương trình đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0; y0 ) nhận u = ( u1;u2 ) r làm vectơ phương; n = ( a;b) làm vectơ pháp tuyến Phương trình tham số đường thẳng  x = x0 + tu1 Phương trình tham số đường thẳng ∆   y = y0 + tu2 Phương trình tổng quát đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng ∆ có dạng ax + by + c = , c = −ax0 − by0 Một số trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng ∆ cắt Ox; Oy M ( a0;0) ;N ( 0;b0 ) , a0.b0 ≠ Khi ta có phương trình đường thẳng theo đoạn chắn x y + = a0 b0 Vị trí tương đối hai đường thẳng Trang Cho hai đường thẳng d : ax + by + c = d': a' x + b' y + c' =  ax + by + c = ( I) Ta xét hệ phương trình   a' x + b' y + c' = + Hệ ( I ) vô nghiệm ⇔ d / /d' + Hệ ( I ) vô số nghiệm ⇔ d ≡ d' + Hệ ( I ) có nghiệm ⇔ d cắt d’ Góc hai đường thẳng ur uu r Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có vectơ pháp tuyến n1 = ( a1;b1 ) n2 = ( a2;b2 ) tính theo cơng thức: cos( ∆1,∆ ) ur uu r n1.n2 ur uu r = cos n1,n2 = ur uu r = n1 n2 ( ) a1a2 + bb a12 + b12 a22 + b22 Chú ý: Góc hai đường thẳng ln góc nhọn vng nên tính cơsin góc hai đường thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối cơsin góc hai vectơ phương (hoặc pháp tuyến) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ( ) 2 Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = a + b > tính theo cơng thức: d( M,∆ ) = ax0 + by0 + c a2 + b2 Mở rộng: Khoảng cách hai đường thẳng song song: Cho ∆1 : ax + by + c = 0;∆ : ax + by + c' = Khoảng cách hai đường thẳng d( ∆1,∆ ) = ∆1,∆ là: c − c' a2 + b2 HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC Đường thẳng ∆ Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định yếu tố đường thẳng biết phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Phương trình cho dạng tổng quát Phương pháp giải ( ) 2 Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = a + b ≠ Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y + = a) Xác định vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng b) Xác định điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ Hướng dẫn giải + Đường thẳng có vectơ pháp tuyến a) Một vectơ pháp tuyến đường thẳng Trang r r n = ( a;b) , vectơ phương u = ( − b;a) r n = ( 2;3) Chú ý: Một vectơ phương đường thẳng r u = ( −3;2) r Các vectơ phương ∆ ku( k ≠ 0) r Các vectơ pháp tuyến ∆ kn( k ≠ 0) + Đường thẳng qua điểm M ( x0; y0 ) thỏa mãn ax0 + by0 + c = a + Hệ số góc đường thẳng k = − b b) Gọi M ( 3; y0 ) điểm thuộc đường thẳng ∆ Khi ta có: 2.3+ 3y0 + 1= ⇔ y0 = − Vậy điểm 7  M  3;− ÷ 3  thuộc đường thẳng ∆ : 2x + 3y + = Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường thẳng d : 7x + 14y + 13 = Vectơ sau vectơ pháp tuyến d? r r r r A n = ( −1;2) B n = ( 14;7) C n = ( −2;−4) D n = ( −14;7) Hướng dẫn giải r Một vectơ pháp tuyến đường thẳng d : 7x + 14y + 13 = n = ( 7;14) Do đường thẳng d nhận r kn( k ≠ 0) làm vectơ pháp tuyến r  −2 −2  −2 r n nên n = ( −2;−4) vectơ pháp tuyến đường thẳng d Ta thấy ( −2;−4) =  7; 14÷ =   Chọn C Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : 2x + y − = a) Xác định vectơ phương đường thẳng có hồnh độ b) Biểu diễn điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ t c) Xác định điểm đường thẳng ∆ cách gốc tọa độ khoảng Hướng dẫn giải uu r uu r a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n0 = ( 2;1) nên có vectơ phương u0 = ( −1;2) uu r Do vectơ phương đường thẳng có dạng ku0 = ( − k;2k) ≠ Vậy vectơ phương cần tìm ( 4;−8) b) Các điểm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y − = có hồnh độ t ( t;5− 2t) c) Theo câu b ta có M ( t;5− 2t) ∈ ∆ nên OM = ( t − 0) + ( 5− 2t − 0) = ⇔ 5t2 − 20t + 20 = ⇔ t = 2 Vậy điểm cần tìm là: M ( 2;1) Trang Bài tốn Phương trình cho dạng tham số, tắc Phương pháp giải  x = 1+ 2t Ví dụ Cho đường thẳng d :   y = + 3t  x = x0 + tu1 Cho đường thẳng ∆ :   y = y0 + tu2 a) Xác định vectơ phương, vectơ pháp tuyến đường thẳng b) Xác định hệ số góc đường thẳng r + Đường thẳng có vectơ phương u = ( u1;u2 ) r vectơ pháp tuyến n = ( −u2;u1 ) Hướng dẫn giải a) Một vectơ phương đường thẳng r u = ( 2;3) Một vectơ pháp tuyến đường thẳng r n = ( −3;2) u2 + Hệ số góc đường thẳng k = u1 + Đường thẳng qua điểm M ( x0; y0 ) b) Hệ số góc đường thẳng k = + Với giá trị t thay vào phương trình tham số ta tọa độ điểm thuộc đường thẳng Ví dụ mẫu  x = 3− 2t ( t∈ ¡ Ví dụ Cho đường thẳng d :   y = −4 + t ) a) Xác định điểm trục hoành thuộc đường thẳng b) Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ lớn gấp hai lần tung độ Hướng dẫn giải a) Gọi điểm M ( x0;0) điểm trục hoành thuộc đường thẳng d  x0 = 3− 2t  x0 = 3− 2.4 ⇔ ⇒ x0 = −5 Khi d :  0 = −4 + t t = Vậy điểm cần tìm M ( −5;0) b) Giả sử điểm N ( 3− 2t0;−4 + t0 ) thuộc đường thẳng d có hồnh độ lớn gấp hai lần tung độ Khi 3− 2t0 = 2( −4 + t0 ) ⇔ 11= 4t0 ⇔ t0 = 11  5 Vậy điểm cần tìm N  − ;− ÷  4 Bài tập tự luyện dạng BÀI TẬP CƠ BẢN Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt 16x + 8y + 2019 = Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? Trang r A ∆ có vectơ pháp tuyến n = ( 16;8) C ∆ có hệ số góc k = r B ∆ có vectơ phương n = ( −1;−2) 2019   D ∆ qua điểm M  0;− ÷   x = 2+ t ( t ∈ ¡ ) Hệ số góc đường thẳng d là: Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình   y = 3− 2t B − A −2 C D Câu 3: Đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng AB, với A( −2;1) B( 4;3) Đường thẳng ∆ có vectơ phương là: r A a = ( 3;1) r B d = ( 1;3) r C b = ( 3;−1) r D c = ( 1;−3) Câu 4: Cho đường thẳng d : 2x + 3y − = Vectơ sau vectơ pháp tuyến d? r r r r A n = ( 2;3) B n = ( 3;2) C n = ( 3;−2) D n = ( −3;−2) Câu 5: Cho tam giác ABC với A( 2;4) ; B( 2;1) ;C ( 3;0) Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC nhận vectơ sau vectơ phương? A ( 2;14) B ( −1;7) C ( 14;−2) D ( −7;1)  x = − 3t Câu 6: Cho đường thẳng ( d) :  Giá trị m để đường thẳng d qua điểm A( −1;−3) là:  y = 1− 4mt A −1 B D −2 C  x = + 3t Câu 7: Cho ( d) :  Điểm sau không thuộc ( d) ?  y = 5− 4t A A( 5;3) B B( 2;5) C C ( −1;9) D D( 8;−3)  x = − 3t 7  Câu 8: Cho đường thẳng ( d) :  điểm A ;−2÷ Điểm A ∈ ( d) ứng với giá trị t? 2   y = −1+ 2t A t = B t = C t = − D t = r Câu 9: Đường thẳng ( d) có vectơ pháp tuyến n = ( a;b) Mệnh đề sau sai? ur A u1 = ( b;−a) vectơ phương ( d) uu r B u2 = ( −b;a) vectơ phương ( d) r C n = ( ka;kb) ,k ≠ vectơ pháp tuyến ( d) D ( d) có hệ số góc k = −b ( a ≠ 0) a  x = + 3t Câu 10: Cho ( d) :  Điểm M ∈ ( d) cách A( 0;1) đoạn 2 là:  y = 3+ t  14  A M1 ( 2;3) , M2  ; ÷  5  −14  ; ÷ B M1 ( 2;3) , M2   5 Trang  −14  ; ÷ C M1 ( −2;3) , M2   5  14  D M1 ( −2;3) , M2  ; ÷  5 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;1) đường thẳng ∆ : x − 2y + = Điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho AM = 10 là: A M1 ( −1;2) , M2 ( 4;3) B M1 ( −1;2) , M2 ( 3;4) C M1 ( 1;2) , M2 ( 3;4) D M1 ( 1;2) , M2 ( 4;3) Bài tập nâng cao  x = 1+ t Câu 12: Cho hai điểm A( −1;2) , B( 3;1) đường thẳng ∆ :  Tọa độ điểm C thuộc ∆ để tam y = 2+ t giác ACB cân C là:  13 A  ; ÷ 6   13 B  ;− ÷ 6   13  C  ; ÷  6  13 D  − ; ÷  6 Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ∆ABC có A( 1;2) , B( 4;−2) ,C ( −3;5) Một vectơ phương đường phân giác góc A là: r r A u = ( 2;1) B u = ( 1;−1) r C u = ( 1;2) r D u = ( 1;1) Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 4;1) , đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy A( a;0) , B( 0;b) cho tam giác ABO (O gốc tọa độ) có diện tích nhỏ Giá trị a − 4b bằng: A −14 B D −2 C x y + = với a ≠ 0,b ≠ , qua điểm M ( −1;6) tạo với tia Ox, Oy a b tam giác có diện tích Giá trị S = a + 2b là: Câu 15: Đường thẳng d : A S = B S = 10 C S = −5+ 7 D S = − 74 Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Lập phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương trình tham số đường Ví dụ Viết phương trình tham số tắc thẳng ∆ , ta cần xác định: + Một điểm M ( x0; y0 ) ∈ ∆ đường thẳng ∆ qua điểm M ( −1;3) nhận r u = ( 2;−1) làm vectơ phương + Một vectơ phương đường thẳng ∆ Hướng dẫn giải r r u = ( a;b) Ta có M ( −1;3) ∈ ∆;u = ( 2;−1) vectơ phương Khi đó, phương trình tham số đường thẳng ∆ ∆ Khi đó, phương trình tham số đường  x = x0 + at ( t∈ ¡  y = y + bt  )  x = −1+ 2t ( t∈ ¡ thẳng ∆   y = 3− t ) Trang Nếu a.b ≠ đường thẳng ∆ có phương trình Phương trình tắc đường thẳng ∆ tắc ∆ : x − x0 y − y0 = a b x + y− = −1 Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình tham số, tắc (nếu có) đường thẳng d trường hợp sau: r a) d qua A( 1;−2) nhận u = ( −1;0) làm vectơ phương b) d qua hai điểm M ( −3;1) N ( 2;−2) c) d đối xứng với d': x + 2y − 16 = qua I ( 1;−3)  x = − 3t ( t∈ ¡ ) d) d qua điểm B( 4;−3) song song với đường thẳng d':   y = 2t Hướng dẫn giải r a) Ta có A( 1;−2) ∈ d u = ( −1;0) vectơ phương d  x = 1− t ( t∈ ¡ ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng d là:   y = −2 r Vì u = ( −1;0) vectơ phương d nên d khơng có phương trình tắc uuuur b) Ta có MN = ( 5;−3) vectơ phương d M ( −3;1) ∈ d  x = −3+ 5t ( t∈ ¡ ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng d   y = 1− 3t Phương trình tắc d x + y− = −3 c) Chọn E '( 0;8) ∈ d' Gọi E ( xE ; yE ) điểm đối xứng E’ qua I ⇒ I trung điểm EE’ E ∈ d (vì d đối xứng với d’ qua I) uur uuur  x − 1= 1− x = ⇒ IE = E 'I ⇔  E ⇔ E ⇒ E ( 2;−14)  yE + = −3−  yE = −14 Tương tự chọn F '( 16;0) ∈ d' Khi F ( −14;−6) ∈ d  x = − 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng d   y = −14 + t Phương trình tắc đường thẳng d x − y + 14 = −2 uur  x = − 3t ( t ∈ ¡ ) ⇒ ud' = ( −3;2) vectơ phương d’ d) Ta có: d':   y = 2t uur ⇒ ud ' vectơ phương d (vì d / / d' ) Trang  x = − 3t ( t∈ ¡ Vì B( 4;−3) ∈ d nên phương trình tham số đường thẳng d   y = −3+ 2t Phương trình tắc d là: ) x − y+ = −3 Ví dụ Cho tam giác ABC có A( −2;1) , B( 1;−5) C ( 2;3) a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh ∆ABC b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN ∆ABC c) Viết phương trình đường thẳng AD đường phân giác góc A ∆ABC ( D ∈ BC ) d) Viết phương trình đường thẳng DG với G trọng tâm ∆ABC Hướng dẫn giải uuu r uuu r a) Ta có AB = ( 3;−6) nên chọn uAB = ( 1;−2) vectơ phương đường thẳng AB  x = −2 + t ( t∈ ¡ ) Vậy phương trình tham số đường thẳng AB   y = 1− 2t uuur uuur Ta có AC = ( 4;2) nên chọn uAC = ( 2;1) vectơ phương AC Vậy phương trình tham số đường thẳng AC  x = −2 + 2t ( t∈ ¡ )   y = 1+ t uuur Ta có BC = ( 1;8) vectơ phương BC Vậy phương trình tham số đường thẳng  x = 1+ t ( t∈ ¡   y = −5+ 8t BC ) xB + xC 1+  = =  xM = 2 ⇒ M  3;−1 b) Vì M trung điểm BC nên   ÷    y = yB + yC = −5+ = −1  M 2 uuur  uuur  Do AM =  ;−2÷ nên chọn uAM = ( 7;−4) vectơ phương đường thẳng AM 2   x = −2 + 7t ( t∈ ¡ ) Vậy phương trình đường trung tuyến AM   y = 1− 4t uuur Ta có N ( 0;2) trung điểm AC ⇒ BN = ( −1;7) vectơ phương đường thẳng BN  x = −t ( t∈ ¡ Vậy phương trình đường trung tuyến BN   y = + 7t ) c) Cách 1: Trang 10 Hướng dẫn giải ur uu r Ta có n1 = ( 1;−m) vectơ pháp tuyến d1,n2 = ( m;1) vectơ pháp tuyến d2 ur uu r Khi n1.n2 = 1.m− m.1 = nên d1 ⊥ d2 Giả sử d1 cắt d2 điểm M Ta có d1 : x − my + = có điểm cố định A( −2;0) d2 : mx + y − m+ = ⇔ ( x − 1) m+ y + = có điểm cố định B( 1;−2) Do tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB Bài tập tự luyện dạng Phần trắc nghiệm Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1 : 4x + 3y − 18 = 0;d2 :3x + 5y − 19 = cắt điểm có tọa độ là: A ( 3;−2) B ( −3;2) C ( 3;2) D ( −3;−2) Câu 2: Cho bốn điểm A( 0; −2) , B( −1; 0) , C ( 0; −4) , D ( −2; 0) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng AB CD là: A ( 1;−4)  −3  B  ; ÷  2 C ( −2;2) D Khơng có giao điểm  x = 1+ 2t Câu 3: Cho hai đường thẳng d d’ biết d : 2x + y − = d':  Biết I ( a,b) tọa độ giao  y = 3− t điểm d d’ Khi tổng a + b bằng: A B C D Câu 4: Cho đường thẳng d1 : 2x + y + 15 = d2 : x − 2y − = Khẳng định sau đúng? A d1 d2 vng góc với B d1 d2 song song với C d1 d2 trùng D d1 d2 cắt khơng vng góc với Câu 5: Cho bốn điểm A( 1;2) , B( 4;0) ,C ( 1;−3) , D( 7;−7) Vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD là: A Song song B Cắt khơng vng góc với C Trùng D Vng góc với Câu 6: Phương trình sau biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y = 2x − ? A 2x − y + = B 2x − y − = C −2x + y = D 2x + y − =  x = 1− 2t ( t ∈ ¡ ) Với giá trị m Câu 7: Cho hai đường thẳng d1 : ( m+ 1) x − 2y − = d2 :   y = 3+ t d1 ⊥ d2 ? A m= −2 B m= C m= D m= Câu 8: Đường thẳng ∆ :3x − 2y − = cắt đường thẳng sau đây? Trang 23 A d1 :3x + 2y = B d2 :3x − 2y = C d3 : −3x + 2y − = D d4 :6x − 4y − 14 = Câu 9: Giá trị m để hai đường thẳng d : 2x − 3y + = d': 4mx − 3y + 3− 8m= vng góc A m= B m= C m= − D m= − Câu 10: Cho tam giác ABC có A( −2;7) , B( 3;5) ,C ( 1;−4) Biết trực tâm tam giác ABC điểm H ( x; y) Giá trị T = x + y là: A T = 95 B T = 72 C T = 43 D T = 54 Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình chiếu vng góc điểm A( 2;1) lên đường thẳng d : 2x + y − = có tọa độ là:  14  A  − ;− ÷  5  14  B  ; ÷  5 C ( 3;1)  3 D  ; ÷  2 Câu 12: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : mx + y = m+ 1, ( d2 ) : x + my = cắt khi: B m≠ ±1 A m≠ C m≠ D m≠ −1 Câu 13: Cho hai đường thẳng d1 : x + 2y − = 0, d2 : x − 3y + = Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d2 là: A 2x − y + = B x + 2y + = C x − 2y + = D 2x + y + = Câu 14: Cho tam giác ABC với A( 1;3) , B( −2;4) ,C ( −1;5) đường thẳng d : 2x − 3y + = Đường thẳng d cắt cạnh tam giác ABC? A Cạnh AB B Cạnh BC C Cạnh AC D Không cắt cạnh Phần tự luận Câu 15: Cho đường thẳng d : x − 3y + = điểm M ( −1;−4) a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên d b) Tìm tọa độ điểm đối xứng M qua d Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, AD 2x − y − = 0, x − 2y + 1= C ( 3;0) Tìm tọa độ đỉnh phương trình cạnh cịn lại hình bình hành ABCD Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp giải Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0 ) đến đường thẳng Ví dụ Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 2 ∆ : ax + by + c = a + b > tính theo ∆ : x + y − = ( công thức d( M,∆ ) = ) ax0 + by0 + c a +b 2 Ta có: d( O,∆ ) = 0+ 0− 12 + 12 = 2 = Trang 24 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường thẳng ∆ :3x − 2y − = a) Tính khoảng cách từ điểm A( −2;1) đến đường thẳng ∆  x = 1+ 2t ( t∈ ¡ ) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ∆ song song ∆ ':   y = 3t Hướng dẫn giải a) Ta có: d( A,∆ ) = 3.( −2) − 2.1− 32 + ( −2) = −15 13 = 15 13 13 15 13 Vậy khoảng cách từ A( −2;1) đến đường thẳng ∆ d( A,∆ ) = 13 b) Lấy M ( 1;−2) ∈ ∆  x = 1+ 2t x−1 y ∆ ':  = ⇔ 3x − 2y − = ( t∈ ¡ ) ⇔  y = 3t Do ∆ / /∆ ' nên d( ∆,∆ ') = d( M,∆ ') = 3.1− 2.( −2) − 32 + ( −2) = 13 Vậy khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆ ' d( ∆,∆ ') = = 13 13 13 13 Ví dụ Cho đường thẳng a : x − 2y + = b :3x − 4y + = a) Tìm giao điểm hai đường thẳng a b b) Tìm điểm M a cho khoảng cách từ M đến đường thẳng b Hướng dẫn giải a) Tọa độ giao điểm I hai đường thẳng a b nghiệm hệ phương trình x =  x − 2y + =  ⇔  11 3x − 4y + =  y =   11 Vậy I  7; ÷ giao điểm a b  2 b) Gọi M ( 2t − 4;t) ∈ a Theo ra, ta có: d( M,b) = 3( 2t − 4) − 4t + 2t − 11 2t − 11 = t = ⇒ = ⇔ = ⇔ 2t − 11 = ⇔  ⇔ 5 5 2t − 11 = −3  t = 32 + ( −4) Trang 25 Với t = , ta có: M1 ( 10;7) Với t = , ta có: M2 ( 4;4) Vậy M1 ( 10;7) M2 ( 4;4) hai điểm thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ Điểm M trục Ox cho M cách hai đường thẳng d1 :3x + 2y − = d2 :3x + 2y + = là: A ( 1;0) B ( 0;0) C ( ) 2;0 D ( 2;0) Hướng dẫn giải Gọi M ( a;0) ∈ Ox Theo giả thiết d( M,d1 ) = d( M,d2 ) 3a − Suy 32 + 22 = 3a + 32 + 22 ⇔ a − = a + ⇔ a = Vậy M ( 0;0) Chọn B Ví dụ Cho ba đường thẳng d1 : 2x − 3y+ 1= 0, d2 : 3x + 2y − = 0, d3 : x − y + = Tìm điểm M d3 cho khoảng cách từ M đến d2 gấp đôi khoảng cách từ M đến d1 Hướng dẫn giải Ta có M ( t;t + 3) ∈ d3 Theo ra, ta có d( M,d2 ) = 2.d( M,d1 )  −19  t + = − t − 3t + 2( t + 3) − 2t − 3( t + 3) + ( ) t = ⇒ = ⇔ 5t + = −t − ⇔  ⇔ 2 13 t + = t + ( ) 32 + 22   + ( −3)  t=  Với t =  −19  −19 ; ÷ , ta có M   7 Với t =  13 22  13 , ta có M  ; ÷  3  −19   13 22  ; ÷ M  ; ÷ Vậy M   7  3 Ví dụ Cho tam giác ABC có phương trình cạnh: AB : x + y − 1= 0; AC;7x − y + = 0; BC :10x + y − 19 = Phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC là: A 12x + 4y − = B 2x − 6y + = C 12x + 6y − = D 2x + 6y − = Hướng dẫn giải Trang 26  x + y − 1= Vì B = AB ∩ BC nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình:  10x + y − 19 = Giải hệ phương trình ta tìm B( 2;−1) Tương tự C ( 1;9) Phương trình đường phân giác góc A x + y− 12 + 12 =±  2x − 6y + = ( d1 ) ⇔ 12x + 4y − = ( d2 ) 72 + ( −1) 7x − y + Đặt f1 ( x, y) = 2x − 6y + 7; f2 ( x, y) = 12x + 4y − Ta có f1 ( B) f1 ( C ) < 0; f2 ( B) f2 ( C ) > Suy B, C nằm khác phía so với d1 phía so với d2 Vậy phương trình đường phân giác góc A 2x − 6y + = Chọn B Chú ý: Cho đường thẳng ( d) : f ( x; y) = hai điểm A, B Khi đó: + Nếu f ( A) f ( B) < A; B nằm khác phía so với d + Nếu f ( A) f ( B) > A; B nằm phía so với d Ví dụ Cho tam giác ABC có A( −2;−1) , B( −1;3) ,C ( 6;1) Phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC là: A x − y + = B 5x + 3y + = C 3x + 3y − = D x + y + = Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB x + y+ = ⇔ 4x − y + = −1+ 3+ Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC x + y+ = ⇔ x − 4y − = + 1+ Phương trình đường phân giác góc A là: 4x − y + 42 + ( −1) =± x − 4y − 12 + ( −4)  x + y + = ( d1 ) ⇔  x − y + 1= ( d2 ) Đặt f1 ( x, y) = x + y + 3; f2 ( x, y) = x − y + 1, ta có f1 ( B) f1 ( C ) > 0; f2 ( B) f2 ( C ) < Suy B, C nằm phía so với d1 khác phía so với d2 Vậy phương trình đường phân giác ngồi góc A x + y + = Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khoảng cách từ điểm M ( 1;−1) đến đường thẳng ∆ :3x − 4y − 17 = là: Trang 27 A B Câu 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d : A 4,8 B 10 C 18 D x y + = là: C 14 D  x = 1+ 3t Câu 3: Khoảng cách từ điểm M ( 2;0) đến đường thẳng  là:  y = + 4t A B C D Câu 4: Khoảng cách hai đường thẳng song song ∆ :6x − 8y − 101 = d :3x − 4y = là: A 10,1 B 1,01 C 101 D 101 Câu 5: Cho tam giác ABC có A( 1;3) , B( −2;0) C ( 2;−1) Độ dài đường cao AH ∆ABC là: A 15 17 17 B 17 17 C D 17 17 Câu 6: Cho ba điểm A( 2;−1) B( 0;100) ,C ( 2;−4) Diện tích tam giác ABC bằng: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D 147 (đvdt) Câu 7: Cho hai đường thẳng song song d1 : 5x − 7y + = d2 : 5x − 7y + = Phương trình đường thẳng song song cách d1 d2 là: A 5x − 7y + = B 5x − 7y − = C 5x − 7y + = D 5x − 7y + = Câu 8: Đường thẳng 5x + 3y = 15 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bằng: A 15 B 7,5 C D Câu 9: Cho đường thẳng qua hai điểm A( 3;0) , B( 0;4) Tọa độ điểm M nằm Oy cho diện tích tam giác MAB là: A ( 0;8) B ( 0;1) C ( 0;0) D ( 0;0) ( 0;8) Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;4) , B( 2;1) ,C ( −1;−2) Gọi M ( x; y) điểm đường thẳng BC cho S∆ABC = 4S∆ABM Giá trị biểu thức P = x.y là: A P = P = 16 16 B P = 77 P = 16 16 C P = 77 P = 16 16 D Đáp án khác Câu 11: Cho ba điểm A( 1;1) , B( 2;0) ,C ( 3;4) Phương trình đường thẳng qua A cách hai điểm B, C là: A 4x − y − = 0; 2x − 3y + = B 4x − y − = 0; 2x + 3y + = C 4x + y − = 0; 2x − 3y + = D x − y = 0; 2x − 3y + 1= Trang 28 Câu 12: Cho tam giác ABC có AB : 2x − y + = 0, AC : x − 2y − = Hai đỉnh B C thuộc Ox Phương trình phân giác ngồi góc BAC là: A 3x − 3y − = B x − y + 10 = C 3x + 3y + 10 = D x + y + 10 = Dạng 5: Góc hai đường thẳng Phương pháp giải Góc hai đường thẳng ∆1 ∆ có Ví dụ Xác định góc hai đường thẳng sau: ur n1 = ( a1;b1 ) x = t ∆1 :3x − 2y + = ∆1 :  ( t∈ ¡ ) uu r  y = − 5t n2 = ( a2;b2 ) tính theo cơng thức: ur Ta có n1 = ( 3;−2) vectơ pháp tuyến ∆1 ur uu r n1.n2 ur uu r uu r cos( ∆1,∆ ) = cos n1,n2 = ur uu r u2 = ( 1;−5) vectơ phương ∆ n1 n2 uu r ⇒ n2 = ( 5;1) vectơ pháp tuyến ∆ a1a2 + bb = ur uu r 2 a1 + b1 a22 + b22 n1.n2 ur uu r a1a2 + bb ⇒ cos( ∆1,∆ ) = cos n1, n2 = ur uu r = 2 Chú ý: Công thức thay n1 n2 a1 + b1 a22 + b22 vectơ pháp tuyến vectơ 3.5− 2.1 = = phương 13 26 vectơ pháp tuyến ( ) ( ) Vậy ( ∆1,∆ ) = 45° Ví dụ mẫu x = 2+ t ( t∈ ¡ Ví dụ Côsin hai đường thẳng ∆1 :10x + 5y − = ∆ :   y = 1− t A 10 10 10 B C 10 10 ) là: D Hướng dẫn giải ur uu r Vectơ pháp tuyến ∆1,∆ n1 = ( 2;1) n2 = ( 1;1) ur uu r Ta có cos( ∆1,∆ ) = cos n1,n2 = ( ) 2.1+ 1.1 +1 +1 2 2 = 10 = 10 10 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cơsin góc hai đường thẳng ∆1 : x + 2y − = ∆ : x − y = là: A 10 10 B C D 3  x = 3+ mt Câu 2: Cho hai đường thẳng d : x + y + 1= d':  Giá trị m để góc tạo hai đường y = 2+ t thẳng 60° là: Trang 29 A + B − C −2 + D ĐÁP ÁN Dạng Xác định yếu tố đường thẳng biết phương trình đường thẳng Đáp án trắc nghiệm 1–C 2–A 3–D 4–A 5–B 11 – B 12 – A 13 – D 14 – B 15 – B 6–B 7–A 8–C 9–D 10 – B Hướng dẫn giải Câu 10: Gọi M ( + 3t;3+ t) ∈ ∆ Khi đó: t = AM = ( + 3t − 0) + ( 3+ t − 1) ⇔ 2 = 10t + 16t + ⇔ 10t + 16t = ⇔  t = −  2 2 Với t = ta có M1 ( 2;3) Với t = −  −14  ; ÷ ta có: M2   5 Câu 11: Gọi điểm M ( 2t − 5;t) ∈ ∆ Khi AM = 10 ⇔ ( 2t − 7) t = 2 + ( t − 1) = 10 ⇔ 5t2 − 30t + 40 = ⇔  t = Với t = ta có M1 ( −1;2) Với t = ta có M2 ( 3;4) Câu 12: Gọi C ( 1+ t;2 + t) ∈ ∆ Để tam giác ABC cân C CB = CA ⇔ ( t − 2) + ( t + 1) = ( t + 2) + t2 ⇔ t =  13 ⇒ C ; ÷ 6  Kiểm tra thấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Câu 13: uuu r uuur uuu r uuur Cách 1: Ta có AB = ( 3;−4) ; AC = ( −4;3) ⇒ AB = AC Suy ∆ABC tam giác cân A uuur Gọi M trung điểm BC AM vectơ phương đường phân giác góc A  xB + xC + ( −3)  xM = =   xM = ⇒ 2 ⇒ M  1;  Ta có:    2÷    y = yB + yC  y = −2 + = M  M  2 Trang 30 uuur  1  Suy AM =  − ;− ÷  2 r Vậy vectơ phương đường phân giác góc u = ( 1;1) uuu r uuur uuu r AB  −4  uuur AC  −4 3 r =  ; ÷; AC = ( −4;3) ⇒ uuur =  ; ÷ Cách 2: AB = ( 3;−4) ⇒ uuu AB  5  AC  5 uuu r uuur r AB AC  −1 −1 r + uuur =  ; ÷ Suy vectơ phương phân giác góc A u = uuu AB AC  5  r Vậy vectơ phương đường phân giác góc A u = ( 1;1) Câu 14: Ta có phương trình đường thẳng d có dạng Do d qua M ( 4;1) nên ta có x y + = (theo giả thiết ta có a > 0,b > ) a b + =1 a b Mặt khác diện tích tam giác vng ABO SABO = Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có = ab 4 + ≥2 = ⇔ ab ≥ ⇔ ab ≥ a b a b ab 4  a = b a = ⇔ Vậy diện tích tam giác vng ABO nhỏ a, b thỏa mãn   + = b =  a b ⇒ a − 4b = 8− 4.2 = Câu 15: d: x y −1 + = qua điểm M ( −1;16) ⇒ + = ( 1) a b a b Đường thẳng d : x y + = tạo với tia Ox Oy tam giác có diện tích nên ab = a b ( 2)  b = −12  −1  −1  −b  + =  + =  + = b =  ⇔ a b ⇔ b ⇔ Từ (1) (2) ta có:  a b (thỏa mãn)  a =  ab =  ab = ab =  a = − (không thỏa mãn) Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng Đáp án trắc nghiệm 1–B 2–B 3–D 4–C –A 11 – B 12 – A 13 – B 14 – C 15 – D 6–D 7–B 8–D 9–B 10 – A Hướng dẫn giải Câu 10: Trang 31 uuu r Ta có M ( 2;−3) trung điểm AB = ( 2;−4) = 2.( 1;−2) r Gọi d đường thẳng trung trực AB d qua M ( 2;−3) nhận u = ( 2;1) làm vectơ phương nên  x = + 2t ( t∈ ¡ có phương trình là:   y = −3 + t ) Câu 11: Gọi AH đường cao tam giác uuur AH qua A( 2;−1) nhận BC = ( −7;−3) = − ( 7;3) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình tổng quát đường cao AH 7( x − 2) + 3( y + 1) = ⇔ 7x + 3y − 11 = Câu 12:   uuur  5 Gọi M trung điểm AC ⇒ M  − ;− ÷; BM =  − ;− ÷ = − ( 3;5)  2  2 r BM qua B( 0;2) nhận n = ( 5;−3) làm vectơ pháp tuyến Vậy đường trung tuyến BM có phương trình 5x − 3( y − 2) = ⇔ 5x − 3y + = Câu 15: Phương trình đường thẳng PQ 5x − 2y + = 2x − y − 1=  x = −9 ⇔ Gọi H = ∆ ∩ PQ , tọa độ H nghiệm hệ phương trình  5x − 2y + =  y = −19 Vậy H ( −9;−19) Đặt f1 ( x, y) = 2x − y − Vì f1 ( P ) f1 ( Q) = ( 2.1− − 1) ( −2.3+ − 1) = 15 > ⇒ P Q phía so với Với điểm N ∈ ∆ NP − NQ ≤ PQ = HP − HQ ⇒ NP − NQ max = PQ Dấu xảy N trùng H ( −9;−19) Dạng 3: Vị trí tương đối hai đường thẳng Đáp án trắc nghiệm 1–C 2–D –A –A 11 – B 12 – B 13 – A 14 – D –A 6–D 7–D –A 9–D 10 – B Hướng dẫn giải Câu 2: Cách 1: uuu r uuur Đường thẳng AB có vectơ phương AB = ( −1;2) CD có vectơ phương CD = ( −2;4) uuur uuu r Xét AC = ( 0;−2) AB = ( −1;2) không phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng uuu r uuur Lại có AB = ( −1;2) CD = ( −2;4) hai vectơ phương nên hai đường thẳng song song với Vậy hai đường thẳng khơng có điểm chung Cách 2: Lập phương trình đường thẳng AB CD, sau biện luận số nghiệm hệ phương trình Câu 10: Trang 32 uuu r Đường cao AH ∆ABC qua A( −2;7) nhận CB = ( 2;9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 2( x + 2) + 9( y − 7) = ⇔ 2x + 9y − 59 = uuur Đường cao BH ∆ABC qua B( 3;5) nhận AC = ( 3;−11) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 3( x − 3) − 11( y − 5) = ⇔ 3x − 11y + 46 = 235  x=  2x + 9y − 59 =  49 ⇔ Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  3x − 11y + 46 =  y = 269  49 Vậy: T = x + y = 72 Câu 11: Cách 1: Đường thẳng qua A( 2;1) vng góc với d : 2x + y − = có phương trình ∆ : − x + 2y = Hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng d : 2x + y − = thỏa mãn 14   x =  − x + 2y = ⇔  2x + y − =  y =  Cách 2: Lấy M ( m;7 − 2m) ∈ d : 2x + y − = hình chiếu điểm A lên đường thẳng d uuur uu r 14  14  ⇒ M  ; ÷ Khi AM.ud = ⇔ ( m− 2) ( −1) + ( − 2m) = ⇔ m=  5 Câu 13: Lấy A( 1;0) ∈ ( d1 ) Khi hình chiếu M ( 3m− 3;m) ∈ d2 A lên d2 thỏa mãn: uuur uur  6 AM.ud2 = ⇔ ( 3m− 4) 3+ m.1 = ⇔ m= ⇒ M  ; ÷  5  xA' =   xA' = 2xM − xA  ⇔ Do tọa độ điểm A'∈ d đối xứng với A qua d2 thỏa mãn   yA' = 2yM − yA  y = 12  A'  x= −  x + y − =   ⇔ Giao điểm I đường thẳng d1 d2   x − 3y + =  y =   −3   12  Đường thẳng d qua I  ; ÷ A' ; ÷ d : 2x − y + =  5 5 5 Câu 14: Trang 33  x = 1− 3t ( ≤ t ≤ 1) Ta có AB qua A( 1;3) , B( −2;4) nên có phương trình đoạn thẳng AB là:   y = 3+ t  x = −2 + t ( ≤ t ≤ 1) Ta có BC qua B( −2;4) ,C ( −1;5) nên có phương trình đoạn thẳng BC là:  y = 4+ t  x = 1− 2t ( ≤ t ≤ 1) Đoạn thẳng AC qua A( 1;3) C ( −1;5) nên có phương trình là:   y = 3+ 2t Giả sử M ( 1− 3t;3+ t) ∈ AB giao điểm AB d : 2x − 3y + = Khi 2( 1− 3t) − 3( 3+ t) + = ⇔ t = −1 −1 ∉ [ 0;1] nên M ∉ ( AB) Vì 9 Tương tự d khơng cắt cạnh lại tam giác Phần tự luận Câu 15: a) Gọi H hình chiếu điểm M lên d Khi MH ⊥ d H r uuur Ta có n = ( 1;−3) vectơ pháp tuyến d ⇒ nMH = ( 3;1) vectơ pháp tuyến MH Vì M ( −1;−4) ∈ MH nên phương trình tổng quát MH 3( x + 1) + y + = hay 3x + y + = Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình −11  x = 3x + y + =  ⇔   x − 3y + 1=  y = −2   −11 −2  ; ÷ hình chiếu điểm M lên d Vậy H   5 b) Gọi M '( xM '; yM ' ) điểm đối xứng M qua d  −11 −2  ; ÷ trung điểm MM’ Khi H   5 −11  −17  −11 uuuu r uuuur  + 1= xM ' −  xM ' = ⇒ MH = HM ' ⇒  ⇔  −2 + = y − −2  y = 16 M'   M ' 5  −17 16  ; ÷ điểm đối xứng với M qua d Vậy M '  5 Câu 16: Trang 34  x=  2x − y − =  ⇔ Vì A = AB ∩ AD nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình  x − y + =  y =   5 Vậy A ; ÷  3 uuur Ta có AD / / BC (do ABCD hình bình hành) ⇒ nAD = ( 1;−2) vectơ pháp tuyến BC (với uuur nAD = ( 1;−2) vectơ pháp tuyến AD) Vì C ( 3;0) ∈ BC nên phương trình đường thẳng chứa cạnh BC x − 3− 2.( y − 0) = hay x − 2y − =  x − 2y − =  x = ⇔ Vì B = BC ∩ AB nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  2x − y − =  y = −1 Vậy B( 1;−1) uuur Ta có CD / / AB (do ABCD hình bình hành) ⇒ nAB = ( 2;−1) vectơ pháp tuyến CD (với uuur nAB = ( 2;−1) vectơ pháp tuyến AB) Vì C ( 3;0) ∈ CD nên phương trình đường thẳng chứa cạnh CD 2( x − 3) − ( y − 0) = hay 2x − y − = 13  x= 2x − y − =  ⇔ Do D = CD ∩ AD nên tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình   x − 2y + = y =   13  Vậy D ; ÷  3 Dạng 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Đáp án trắc nghiệm 1–B 2–A 11 – A 12 – A –A –A 5–A 6–B 7–D 8–B 9–D 10 – C Hướng dẫn giải Câu 4: Lấy điểm O( 0;0) ∈ d :3x − 4y = Vì ∆ / /d nên d( d;∆ ) = d( O;∆ ) = −101 62 + ( −8) = 101 = 10,1 10 Câu 7: Phương trình đường thẳng song song d1 d2 với d : 5x − 7y + c = Để d cách d1 d2 c− 52 + 72 = c− 52 + 72 ⇔ c − = c − ⇔ c = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: 5x − 7y + = Câu 9: Trang 35 Gọi M ( 0;m) ∈ Oy SMAB =  m= 1 1 OA MB = 02 + ( m− 4) = m− ⇔ = m− ⇔  2 2  m= Vậy M ( 0;0) M ( 0;8) điểm cần tìm Câu 10: Cách Phương trình đường thẳng AB 3x − y − = Đường thẳng BC ( BC ) : x − y − = Gọi M ( m+ 1;m) ∈ ( BC ) d( C;( AB) ) = 3.( −1) − ( −2) − 12 + 32 Để S∆ABC = 4S∆ABM = 10 ; d( M;( AB) ) = 3.( m+ 1) − m− 12 + 32 = 2m− 10  m=  2m− = ⇔ 2m− = ⇔  d( C; ( AB) ) = 4d( M; ( AB) ) ⇔  10 10 m=    x.y = 16   x.y = 77  16 uuu r uuur  BC = 4BM BC = 4⇔ = ⇔  uuu r uuur BM  BC = −4BM  11   1 Do M  ; ÷ M  ; ÷ Suy  4  4 Cách Dễ thấy S∆ABC S∆ABM   uuur uuur  x − = −  x = ⇔ ⇒ x.y = Trường hợp 1: BC = 4BM ⇔  16  y − 1= − y =   4  11  uuur uuur  x − =  x = 77 ⇔ ⇒ x.y = Trường hợp 2: BC = −4BM ⇔  16  y − 1= y =   Câu 11: Phương trình đường thẳng qua A có dạng: a( x − 1) + b( y − 1) = ⇔ ax + by − a − b = Đường thẳng qua A cách B, C thỏa mãn: 2a − a − b a +b 2 = 3a + 4b − a − b a +b 2  2a + 3b = a − b  a = −4b ⇔ a − b = 2a + 3b ⇔  ⇔  2a + 3b = b − a 3a = −2b Trường hợp 1: Chọn a = −4;b = ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 4x − y − = Trường hợp 2: Chọn a = −2;b = ta có phương trình đường thẳng cần tìm là: 2x − 3y + = Câu 12: Do B,C ∈ Ox nên B( −2;0) ,C ( 6;0) Gọi M ( x; y) thuộc đường phân giác góc BAC Trang 36 Ta có d( M, AB) = d( M, AC ) ⇔ 2x − y + = x − 2y −  x + y + 10 = ⇔ 3x − 3y − = Đặt f1 ( x, y) = x + y + 10; f2 ( x, y) = 3x − 3y − Khi f1 ( B) f1 ( C ) = ( −2 + 10) ( + 10) > nên B, C nằm phía so với đường thẳng x + y + 10 = f2 ( B) f2 ( C ) = ( −6 − 2) ( 18 − 2) < nên B, C nằm phía so với đường thẳng 3x − 3y − = Vậy 3x − 3y − = đường phân giác góc BAC Dạng 5: Góc hai đường thẳng Câu Chọn A ur uu r Vectơ pháp tuyến ∆1,∆ n1 = ( 1;2) n2 = ( 1;−1) ur uu r cos ∆ , ∆ = cos n , n ( ) 2 = Ta có ( ) 1.1− 2.1 12 + 12 ( −2) + 12 = 10 = 10 10 Câu Chọn A ur uu r Vectơ pháp tuyến d1,d2 n1 = ( 1;1) n2 = ( 1;−m) ur uu r cos ∆ , ∆ = cos n , n ( ) 2 = Ta có ( ) 1.1− m.1 12 + 12 ( −m) + 12 = 1− m 1+ m ⇔ 1− m = ⇔ m= ± 2 1+ m2 Trang 37 ... = ( 1; 1) ur uu r Ta có cos( ? ?1, ∆ ) = cos n1,n2 = ( ) 2 .1+ 1. 1 +1 +1 2 2 = 10 = 10 10 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cơsin góc hai đường thẳng ? ?1 : x + 2y − = ∆ : x − y = là: A 10 10 B... ( ? ?1, ∆ ) = 45° Ví dụ mẫu x = 2+ t ( t∈ ¡ Ví dụ Cơsin hai đường thẳng ? ?1 :10 x + 5y − = ∆ :   y = 1? ?? t A 10 10 10 B C 10 10 ) là: D Hướng dẫn giải ur uu r Vectơ pháp tuyến ? ?1, ∆ n1 = ( 2 ;1) n2... Câu 15 : Đường thẳng d : A S = B S = 10 C S = −5+ 7 D S = − 74 Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng Bài tốn 1: Lập phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương