Toán 10 Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT – bậc HAI

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Củng cố cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai + Nắm vững cách giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai + Nắm vững cách giải số phương trình quy phương trình bậc hàm số bậc hai  Kĩ + Giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai + Giải phương trình đưa phương trình bậc nhất, bậc hai: Phương trình phân thức, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vơ tỉ,… + Giải tốn thực tế cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Giải biện luận phương trình dạng ax  b  (1) a �0 : (1) có nghiệm x  b a Khi đó, phương trình ax  b  gọi phương trình bậc ẩn x a  0; b �0 (1) vô nghiệm a  0; b  (1) nghiệm với x �� Phương trình bậc hai ẩn ax  bx  c   a �0  (2)   b  4ac gọi biệt thức phương trình (2)   (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2    (2) có nghiệm kép x  b �  2a Phương trình ax  bx  c   a �0  có nghiệm �0  �0 � b 2a   (2) vơ nghiệm Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c   a �0  có hai Chú ý: Định lí Vi-ét áp dụng phương trình nghiệm bậc hai có nghiệm b � x1  x2  � � a x1 , x2 � c �xx  � a Đảo lại: Nếu hai số u v có tổng u  v  S tích u.v  P u, v nghiệm phương trình x  Sx  P  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải biện luận phương trình bậc Phương pháp giải Phương trình ax  b  có nghiệm Ví dụ: Giải biện luận phương trình a �0 ; vô nghiệm a  0, b �0 có vơ số  m  1 x   m  với m tham số nghiệm a  b  Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với  m  1 x  m  + Với m   � m  , phương trình trở thành x  1 Suy phương trình vơ nghiệm +) Với m �۹ đương với x  m , phương trình tương m2 m 1 Kết luận: Vậy: m  phương trình vơ nghiệm; m �1 phương trình có nghiệm x m2 m 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải biện luận phương trình  m  1 x   3m   x   m với m tham số Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với � x   m �  m2  m   x   m  m  1  3m  � � � �m  +) Xét m  m   � � m  2 � Khi m  phương trình trở thành x  Phương trình vơ nghiệm Khi m  2 phương trình trở thành x  Phương trình nghiệm với x �� �m �3 +) Xét m  m  �0 � � m �2 � Khi phương trình tương đương với x  m2  m m6 m3 Kết luận: Trang Vậy với m  phương trình vơ nghiệm; m  2 phương trình nghiệm với x ��; m �3, m �2 phương trình có nghiệm x  Ví dụ Tìm m để phương trình m �1 � A � �m �2 m m3  m  x  x  m  có nghiệm �m �1 C � m �2 � �m �1 B � �m �2 �m �1 D � m �2 � Hướng dẫn giải 2 2 Ta có  m  m  x  x  m  �  m  m   x  m  m �1 � Phương trình có nghiệm a �0 hay m  m  �0 � � �m �2 Vậy với m �1 m �2 phương trình có nghiệm Chọn A 2 Ví dụ Tìm m để đồ thị hai hàm số y   m  1 x  3m x  m y   m  1 x  12 x  không cắt A m  B m  2 C m  1 D m  Hướng dẫn giải Đồ thị hai hàm số khơng cắt phương trình  m  1 x  3m x  m   m  1 x  12x  2 vô nghiệm hay  m   x   m vô nghiệm m  �2 � m2   � �� �� � m  2 m � 2  m � � � Vậy m  2 giá trị cần tìm Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho phương trình ax + b = Chọn mệnh đề A Nếu phương trình có nghiệm a khác B Nếu phương trình vơ nghiệm a = C Nếu phương trình vơ nghiệm b = D Nếu phương trình có nghiệm b khác Câu 2: Phương trình (m  m) x  m   phương trình bậc A m �0 B m �1 C m �0 m �1 D m �0 m �1 Câu 3: Khẳng định khẳng định sau A Phương trình 3x + = có nghiệm x   B Phương trình 0x – = vơ nghiệm C Phương trình 0x + = có tập nghiệm � D Cả A, B, C Câu 4: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình mx – m = vô nghiệm Trang B m   0 A m �� C m �� D m �� Câu 5: Khẳng định sau sai ? A Khi m = phương trình (m  2) x  m  3m   vơ nghiệm B Khi m �1 phương trình (m  1) x  3m   có nghiệm C Khi m = phương trình x m x 3   có nghiệm x2 x D Khi m �2 m �0 phương trình (m  2m) x  m   có nghiệm Câu 6: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  m   x  3m  vô nghiệm A m = C m  �2 B m = D m  2 Câu 7: Phương trình  a  3 x  b  vô nghiệm với giá trị a, b A a = 3, b tùy ý B a tùy ý, b = D a = 3, b �2 C a = 3, b = 2 Câu 8: Phương trình  m  4m  3 x  m  3m  có nghiệm A m �1 B m �3 C m �1 m �3 D m = m = Câu 9: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn m  10;10 để phương trình   x  3m  m   có nghiệm nhất? A B 19 C 20 D 21 Câu 10: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  5;10 để phương trình  m  1 x   3m2  1 x  m  có nghiệm Tổng phần tử S A 15 B 16 C 39 D 40 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-D 3-D 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9-B 10-C Câu Chọn B m  �2 �m   � �� �m2 Phương trình cho vô nghiệm � m �2 3m  �0 � � Câu Chọn D a3 �a   � �� Phương trình cho vô nghiệm �  b �0 b �2 � � Câu Chọn C �m �1 Phương trình cho có nghiệm m  4m  �0 � � �m �3 Câu Chọn B Phương trình cho có nghiệm m �۹� m Trang   ���� � có 19 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán m�� m�10;10 Câu 10 Chọn C Phương trình viết lại  3m  m   x   m �m �1 � Phương trình cho có nghiệm 3m  m  �0 � � m � � �   ���� � m � 5; 4; 3; 2; 1;0; 2;3; 4;5; 6;7;8;9;10 m�� m�5;10 Do đó, tổng phần tử S 39 Dạng 2: Giải biện luận phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Bước Tìm biệt thức   b  4ac Ví dụ: Giải biện luận phương trình Bước   phương trình có hai nghiệm x  x  m  với m tham số phân biệt,   phương trình có nghiệm kép, Hướng dẫn giải   phương trình vơ nghiệm Ta có    4m Với   �  4m  � m  có hai nghiệm phân biệt x  �  4m Với   �  4m  � m  có nghiệm kép x  phương trình phương trình Với   �  4m  � m  phương trình vơ nghiệm Kết luận Vậy với m  phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1 �  4m ; m  phương trình có nghiệm kép x  1 ; m  phương trình vơ nghiệm Ví dụ mẫu Trang 2 Ví dụ Giải biện luận phương trình  2m  5m   x  4mx   với m tham số Hướng dẫn giải 2 Phương trình  2m  5m   x  4mx   �m  2 +) Trường hợp 1: 2m  5m   � � � m � 2 Khi m  2 , phương trình trở thành x   � x   Khi m   , phương trình trở thành x   � x  1 �m �2 � +) Trường hợp 2: 2m  5m  �0 � � m � � � 2 Khi phương trình cho phương trình bậc hai  4m   2m 5m    2  5m   Ta có �  � 2  5m    � m   Khi � Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  2m � 2  5m   2m  5m  2  � m   , phương trình có nghiệm kép x  5 Khi �  � m   , phương trình vơ nghiệm Khi � Kết luận: +) m  2 phương trình có nghiệm x   ; +) m   phương trình có nghiệm x  1 ; +) m   phương trình có nghiệm kép x  5 ; 2m � 2  5m   +) m   , m �2 m � phương trình có hai nghiệm phân biệt x  2m  5m  +) m   phương trình vơ nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình mx  x  m   có nghiệm kép? A m  B m  C m   D m  1 Trang Hướng dẫn giải Với m  , phương trình trở thành phương trình bậc nhất: x   � m  khơng thỏa mãn u cầu tốn Với m �0 phương trình phương trình bậc hai nên phương trình có nghiệm kép   �  4m   m  1  � 4m  4m   � m  Vậy m  phương trình có nghiệm kép Chọn B Bài tập tự luyện dạng   Câu 1: Chọn khẳng định Phương trình x   x   A Có hai nghiệm trái dấu B Có hai nghiệm âm phân biệt C Có hai nghiệm dương phân biệt D Vơ nghiệm Câu 2: Phương trình ax  bx  c  có nghiệm A a  �a �0 �a  B � � b �0 � �  b  4ac  C a  b  �a �0 D � �  b  4ac  Câu 3:   hai nghiệm phương trình  3 x     3 x  A x  2 x 0 B x  2 x 0 C x 2 D x 2 0  Câu 4: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình x  3x  10  Giá trị tổng A 10 B  10 C 10 D  1  x1 x2 10 Câu 5: Cho phương trình ax  bx  c   a �0  (1) Hãy chọn khẳng định sai khẳng định sau A Nếu P  (1) có hai nghiệm trái dấu B Nếu P  0; S  (1) có hai nghiệm C Nếu P  0; S    (1) có hai nghiệm âm D Nếu P  0; S    (1) có hai nghiệm dương Câu 6: Cho phương trình mx   m   x  m   Khẳng định sau sai? A Nếu m  phương trình vơ nghiệm B Nếu �m �4 phương trình có hai nghiệm x  m2 4m m2 4m ;x  m m Trang C Nếu m  phương trình có nghiệm x  D Nếu m  phương trình có nghiệm kép x  Câu 7: Với giá trị m phương trình mx   m   x  m   có hai nghiệm phân biệt? B m  A m �4 Câu 8: Cho phương trình C m  m �0  m  1 x   m  1 x  2m   D m �0 (1) Với giá trị sau m phương trình (1) có nghiệm kép? A m  B m  C m   D m  1 Câu 9: Cho phương trình  x  1  x  4mx    Phương trình có ba nghiệm phân biệt A m �� C m � B m �0 D m � Câu 10: Nếu biết nghiệm phương trình x  px  q  lập phương nghiệm phương trình x  mx  n  A p  q  m3 B p  m3  3mn C p  m3  3mn D Một đáp số khác Câu 11: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x   m   x  m   có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại �5 � A m �� ;7 � �2 1� � 2;  � B m �� � � 2� 0; � C m �� � �3 �  ;1� D m �� �4 Câu 12: Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d: y  x  m tiếp xúc với parabol  P  : y   m  1 x  2mx  3m  với A m = m �1 B m = –1 C m = D m = Câu 13: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x   m  1 x  m   ( m tham số) 2 Tìm m để biểu thức P  x1 x2   x1  x2   đạt giá trị nhỏ A m  B m  Câu 14: Phương trình x  A  C m    D m  12  65  x   63  có nghiệm? B C D Câu 15: Cho phương trình  x  x  3    m   x  x    m  6m  Tìm m để phương trình có nghiệm A m C m �2 B m �4 D m �2 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 11-A 2-B 12-A 3-B 13-C 4-C 14-D 5-B 15-D 6-D 7-C 8-C 9-D 10-C Trang Câu Chọn D Phương trình có nghiệm phân biệt x  4mx   có hai nghiệm phân biệt khác �4m   �۹�  4m  �0 � m Câu 10 Chọn C Gọi x1 , x2 nghiệm x  px  q  Gọi x3 , x4 nghiệm x  mx  n  Khi x1  x2   p, x3  x4  m, x3 x4  n �x1  x33 � x1  x2  x33  x43 � x1  x2   x3  x4   3x3 x4  x3  x4  Theo yêu cầu ta có � �x2  x4 �  p  m3  3mn � p  m3  3mn Câu 11 Chọn A m 28۹m 16 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ��0� m 4 m Theo định lí Vi-ét, ta có m 1 � � �x1.x2  �x1   m   � � m2 � � � �x2   m   �x1  x2  � � m 1 � x1  x2 � � �x1.x2  � � � m m 1 2 �  m  2  � 2m  19m  35  � � (thỏa mãn) � 81 m7 � Câu 12 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng  d  parabol  P  là:  m  1 x  2mx  3m   x  m �  m  1 x   m  1 x  2m   (*) Để d tiếp xúc với  P  phương trình (*) có nghiệm kép �m �1 m  �0 � � � �� � �� m0�m0 �   m  1   m  1  2m  1   m  m  1  �� � m 1 �� Câu 13 Chọn C   m  1   m    2m  Ta có � �0 Để phương trình có hai nghiệm �۳ m (*) Trang 10 �x1  x2  2m  Theo định lý Vi-ét, ta có � �x1.x2  m  Khi P  m    2m     m  4m    m    12 �12 Dấu "  " xảy m  (thỏa mãn (*)) Câu 15 Chọn D 2 Đặt t  x  x   t �2  Ta phương trình t    m  t  m  6m  (1) �  m  m   m  6m  Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm t1  m  t2  m m  �2 � Theo u cầu tốn ta suy phương trình (1) có nghiệm lớn � � � m �2 m �8 � �۳� m �2 � m Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách khử dấu GTTĐ, Ví dụ: Giải phương trình x   x  x  cách dùng định nghĩa tính chất Hướng dẫn giải GTTĐ, bình phương hai vế đặt ẩn phụ � x   x  3x  Phương trình dạng f  x   g  x  ta giải x   x  x  � � x     x2  3x   � � cách biến đổi tương đương sau � � 45 x � �f  x   g  x  � x  5x   f  x  g  x � � � �2 �� f x   g x     � � � 13 �x  x   �x  2 � f  x   g  x  � f  x   g  x  Vậy tập nghiệm phương trình �5 � 45 � 13 � S � ; � � � Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình x  x   x  17 Hướng dẫn giải Với x  17  � x  17 ta có VT �0,VP  suy phương trình vơ nghiệm 17 Với x �۳ 17 , hai vế phương trình khơng âm nên phương trình cho tương x đương với phương trình Trang 11 x  x    x  17  �  x  x     x  17  2 2 �� x2 � x  x  12  � � x6 �  x  x  12   x  22   � � � �� � x  22  � x  � 22 � 17 Đối chiếu với điều kiện x � thấy có x  x  22 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  x  22 Ví dụ Giải phương trình x   x  x   Hướng dẫn giải 2 Ta có x  �0; x  x  �0 � x   x  x  �0 � �x  � � 2x   � ��x  � x  Dấu "  " xảy � 2x  x   � �� �� x �� Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 3* Giải biện luận phương trình mx  2m  mx  x  Hướng dẫn giải � mx  2m  mx  x  Ta có mx  2m  mx  x  � � mx  2m    mx  x  1 � x  2m  � ��  2m  1 x  2m   1 � Giải (1) Với 2m   � m   , phương trình trở thành x  nên phương trình nghiệm với x �� 0 Với 2m �۹ m , phương trình tương đương với x  1 Kết luận: +) m   phương trình cho nghiệm với x �� +) m � phương trình cho có hai nghiệm x  1 x  2m  2 Ví dụ 4* Tìm m để phương trình x  x  mx   m  1 x  2m  có ba nghiệm phân biệt Trang 12 Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với x  x  1   x  1  mx  2m  1 x  1 � � x   x  mx  2m    � � �x  mx  2m   * �  m  1 x   2m  1 �mx  2m   x �� Ta có (*) � � mx  2m    x  m  1 x   2m   � � Nếu m  phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m  1 phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt �  2m x � m 1 Nếu m ��1  * � �  2m � x � � m 1 Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 �  2m � m  �1 � �  2m �1۹ Do đó: � � m 1  2m  m � �m  � m  � � �m �0 � � m � � � m � � � 2 � � 1;  ;  ;0;1�thì phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Vậy với m �� � Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập nghiệm S phương trình x   3x  �3 � A S  � ; � �2 � 7�  ; � B S  � �2 � 3�  ;  � C S  � �4 � 3�  ; � D S  � �4 Câu 2: Tổng nghiệm phương trình x   x  A B C D 20 Câu 3: Phương trình x   x   có nghiệm? A B C D Vô số Câu 4: Phương trình x   x  x  có nghiệm? A B C D Câu 5: Tổng nghiệm phương trình x   x  x   Trang 13 A B C D Câu 6: Phương trình x   x   có nghiệm? A B C D Vô số Câu 7: Tập nghiệm S phương trình x    x A S   1;1 B S   1 C S   1 D S   0 Câu 8: Phương trình  x  x   có nghiệm A x   B x  4 D x  C Vô nghiệm Câu 9: Tổng nghiệm phương trình x  x   x  A – 12 B – C D 12 Câu 10: Gọi x1 , x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm phương trình x  x   x  17 Giá trị biểu thức P  x1  x2 A P = 16 B P = 58 C P = 28 D P = 22 Câu 11: Phương trình  x  1  x    có nghiệm? A B C D Câu 12: Tổng nghiệm phương trình x  x  1  x   A B C D – Câu 13: Với giá trị a phương trình x  2ax  1 có nghiệm nhất? A a  B a   3 C a � a � 2 D a   3 a  2 Câu 14: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x   x  m có nghiệm A m = B m = C m = –1 D Khơng có m Câu 15: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  5;5 để phương trình mx  x   x  có hai nghiệm phân biệt? A B C 10 D 11 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-A 11-C 2-D 12-B 3-A 13-D 4-D 14-D 5-B 15-B 6-D 7-A 8-C 9-B 10-C Câu Chọn B � � x  �0 � x   x  x  �0 Ta có � �2 x  x  �0 Trang 14 � �x  � � 2x   � ��x  � x  Dấu "  " xảy � 2x  7x   � �� � �x  �� Câu Chọn C Trường hợp 1: x  2 Phương trình trở thành:  x  x   � 3x  4 � x  4 (loại) Trường hợp 2: 2 �x �3 Phương trình trở thành:  x  x   � x  4 (loại) Trường hợp 3: x  Phương trình trở thành x   x   � x  � x  (loại) Vậy S  � Câu Chọn B � x  �0 x �4 � � � Phương trình � � 2 2 � � �x  5x     x  4 � x  5x     x    � �x �4 � � x �4 x  2 �x  �� x �  � � � � � �� � �� x  2 x  4 � � x  x   � ��  x  x  8  x  x   �� x  x  ��x  � � � x  4 � �� �� x  4 � �� Vậy tổng nghiệm   2    4   6 Câu 10 Chọn C 17 � x  17 �0 x� � � � Phương trình � � 2 � � �x  x    x  17  �  x  x  5   x  17  � 17 � x� 17 � � x� 17 � � � x� �x  � � � �� �� � �� x  � � � x  x  12  x  22 � � �� x   x  x  12   x2  22   � � � � � � �� x  22  � � x  � 22 �� Vậy P   22    28 Câu 11 Chọn C Trang 15 Đặt t  x   t �0  Phương trình trở thành t  3t   � t  t   Với t  ta có x   � x   �1 � x  2 x   Với t  ta có x   � x   �2 � x  3 x  Vậy phương trình có bốn nghiệm x  3; x  2; x  0; x  Câu 12 Chọn B Phương trình tương đương với x  x  x    Đặt t  x  ,  t �0  Suy t  x  x  � x  x  t  t  1 � 2 Phương trình trở thành t   t   � t  t   � � �t  Kết hợp với điều kiện t �0 có t  thỏa mãn � �x  �2 x   �� Với t  , ta có x   � � x   2 � � x � Vậy tổng nghiệm �1� �  � � 2� Câu 13 Chọn D �1  2ax �0 2ax � � � 3x  1  2ax � ��   a  x  1   Ta có x  2ax  1 � x  1  2ax � �� ��3 x   2ax ��   2a  x    �� �� � 3 a � Giải hệ ta � �a  � � 3 a � Vậy phương trình (1) có nghiệm � �a  � Câu 14 Chọn D Phương trình x  x   m  1  Đặt t  x  t �0  , phương trình trở thành t  t  m   (*) Phương trình cho có nghiệm � (*) có nghiệm t  (*) có hai nghiệm t1  0; t  Trang 16 Với t  nghiệm phương trình (*) � 02   m   � m  Thử lại, thay m  vào phương trình (*), thấy phương trình có nghiệm t  t  (không thỏa mãn) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu đề Câu 15 Chọn B � mx  x   x  � m  1 x   1 �� Ta có mx  x   x  � � mx  x     x  1  m  3 x    � � Xét (1), ta có  m  1 phương trình nghiệm với x ��  m �1 phương trình có nghiệm x  Xét (2), ta có  m  3 phương trình vơ nghiệm  m �3 phương trình có nghiệm x  Vì 2 �0m �3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x  0; x  m �1 m3 m3 m3 m �3 Mà m � 5;5 m ��� m � 5; 4; 2;0;1; 2;3; 4;5 � có giá trị m Dạng 4: Phương trình phân thức Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình 2x  x 1  3x  x  Hướng dẫn giải � �x � Điều kiện xác định: � � �x �2 Quy đồng khử mẫu phương trình, ta  x  1  x     x  1  3x   � x  x  x   3x  x  3x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x  4 �2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình  10 50   x  x    x   x  3 Hướng dẫn giải Trang 17 �x �3 Điều kiện xác định: � �x �2 Quy đồng khử mẫu phương trình, ta �x  10 x  3 �   x   x  3   x  3  10   x   50 � x  x  30  � � Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x  10 Ví dụ Giải phương trình x 1 x 1 2x 1   x  x  x 1 Hướng dẫn giải �x ��2 Điều kiện xác định: � �x �1 Quy đồng khử mẫu phương trình, ta  x  1  x     x  1  x  1  x     x  1  x    x   �  x  x  1  x     x  1  x     x  1  x   � x3  x  x  x  x   x3  x  x   x3  x  x  �x  � x2  x  � � (thỏa mãn điều kiện) x  4 � Vậy phương trình có nghiệm x  4 x  Ví dụ Giải phương trình    2x 1 2x  2x  2x  Hướng dẫn giải 1� � 2;  ; 1;  � Điều kiện xác định: x �� 2 � Phương trình tương đương với 4 x  10 4 x  10    �  2x  2x  2x  2x  x  x  x  12 x  1 � � �  x  10  �  � �4 x  x  x  12 x  � �  x  10   x  x   x  12 x    � x  10  �  x  10   x  20 x  11  � � x  20 x  11  � � � x2 �� (thỏa mãn điều kiện ban đầu) � 5 � x � � Trang 18 Vậy phương trình có nghiệm x  5 � x   x  mx  Ví dụ Giải biện luận phương trình  2m  3 x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x �3 Quy đồng khử mẫu phương trình ta x  mx     x   2m   � x   3m   x  6m  16   1 � x2 �  x    x  3m    � � x  3m  � Nếu 3m   � m   Nếu m � 10 phương trình có nghiệm kép x  (thỏa mãn) 10 3m , ta xét điều kiện x �3 : �۹ m 11 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  x  3m  Kết luận: +) m   10 11 m   , phương trình có nghiệm x  3 +) m � 11 10 m � , phương trình có hai nghiệm x  x  3m  3 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập nghiệm phương trình x  � 3� 1; � A S  � �2 Câu 2: Phương trình A 3x  x 1 x 1 �3 � C S  � � �2 B S   1 x  10 x  x  có nghiệm? x2  5x B C Câu 3: Gọi x0 nghiệm phương trình  A x0 � 5; 3 B T  � D 10 50   Mệnh đề sau đúng? x  x    x   x  3 B x0 � 3; 1 Câu 4: Tập hợp nghiệm phương trình � 2�  � A T  � �m D S  � C x0 � 1;  m   x  2m x D x0 � 4; �   m �0  C T  � D T  �\  0 Trang 19 Câu 5: Phương trình A m � 2mx   có nghiệm x 1 m � B m �0 2 C m �0 m � Câu 6: Có giá trị tham số m để phương trình A B D m � x  mx   vô nghiệm? x2 1 C Câu 7: Biết phương trình x   D xa  a có nghiệm nghiệm nghiệm nguyên x 1 Vậy nghiệm A – B – C D Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  3;5 để phương trình xm x2  có nghiệm Tổng giá trị phần tử tập S x 1 x 1 A – B C D 10 Câu 9: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  1; 20 để phương trình x 1 m x3   có nghiệm? x2 4 x x2 A B 18 C 19 D 20 Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x  � 2�  �x  � m   có x � x� hai nghiệm lớn A m  8 B 8  m  C  m  D m �8 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-C 2-A 3-D 4-A 5-A 6-D 7-D 8-D 9-D 10-B Câu Chọn D Điều kiện: x �1 Phương trình trở thành x   xa  a � x  x   x  a  ax  a x 1 � x    a  x  2a   (1) Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khác phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm � � a  4a   � a  22 � � � a  � � � �� a  22 Do � � a  a   � � a  1 � � � � a   � � Trang 20  Với a   2 phương trình có nghiệm x    Với a   2 phương trình có nghiệm x    Với a  1 phương trình có nghiệm x  0; x  Kết hợp điều kiện x �1 x �� x  nghiệm cần tìm phương trình Câu Chọn D � m �0 � x ��1 �m �0 xm x2 �  �� �� Phương trình cho có nghiệm � � mx  m  m �1 x 1 x 1 x   ��1 � � � m � Vì m ��, m � 3;5 nên m �S   3; 2;1; 2;3; 4;5 Vậy tổng giá trị m 10 Câu Chọn D � x ��2 x 1 m x3   �� 2 x  m  x2 4x x2 � Phương trình cho có nghiệm � x   m �12 � m  ��2 � � �m �4 Suy có tất 20 số nguyên m thuộc đoạn  1; 20 thỏa mãn yêu cầu Câu 10 Chọn B �g  x   x  tx   � Đặt x   t � � x x2   t  � x �  * Phương trình (*) có ac  nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với t �� Do (*) có nghiệm lớn có nghiệm Ta có x1   x2 � g  1  � t   � t  1 Mặt khác phương trình cho trở thành f  t   t  4t  m   (**) Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 lớn (**) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 lớn – , hay �  4m3 � �m  �  t1  1  t2  1  t1t2   t1  t2    � � � �m  8 � t1  t2   2 � Dạng 5: Phương trình chứa ẩn dấu Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách sau: - Nâng lũy thừa hai vế Ví dụ: Giải phương trình x2  x    x Hướng dẫn giải - Phân tích thành tích Trang 21 - Đặt ẩn phụ �x  x  �0 ۣ x Điều kiện xác định: � �  x �0 Với điều kiện đó, phương trình tương đương với x  1 � x  x    x � x  3x   � � x  2 � Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x  1 x  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình x  x   Ghi nhớ: Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x �۳ x Cách giải phương trình dạng f  x  g  x : x  x   � x   x  (*) Trường hợp 1: Với x   � x  , ta có phương trình (*) vơ nghiệm VT khơng âm VP âm Trường hợp 2: Với x �۳ x , ta có hai vế khơng âm f  x  g  x � � g  x �� g x �   �f  x   � � � nên phương trình (*) tương đương với x3 � 2 x    x   � x  10 x  21  � � x7 � Đối chiếu với điều kiện x �4 điều kiện xác định, suy có x  thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x   x  x   Hướng dẫn giải Điều kiện xác định phương trình x �۳ Ta có x 2 x   x2  3x   � x    x  3x  � �  x  3x  �0 �  x  3x  �0 � �� � � 2 x  1  x  x    x    x  x     � � � �  x  3x  �0 � x  3x  �0 � x 1 � � � �� x  � � � x 1 �� x  2 � �� �� x2  4x   x  2� �� �� Đối chiếu với điều kiện x � , ta x  x   nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  x   Trang 22 Ví dụ Giải phương trình x  3x   Hướng dẫn giải � � x  �0 � x �� Điều kiện xác định: � � x   �0 � x �0 x �0 � � � � Phương trình tương đương với � � 2 �x  x   � x   x  �x �0 x �0 � � x �0 x0 � x �0 � � � � �� � �2 � ��x  � � � �4 2 x    x  1 �x  x  �x  �x  x  1  � �� x  �1 �� Vậy phương trình có nghiệm x  x  Bài tập tự luyện dạng x   x  3x    Câu 1: Số nghiệm phương trình A B C Câu 2: Tập nghiệm S phương trình A S   3 B S   6 Câu 3: Tập nghiệm S phương trình A S   6; 2 B S   2 D x  x   C S   3; 6 D S  � x   x  C S   6 D S  � x2  5x  Câu 4: Tập nghiệm phương trình x2 x2 A S   1; 4 B S   1 C S  � D S   4 x2  4x   x  Câu 5: Tập nghiệm phương trình x2 A S   2 B S   1 Câu 6: Số nghiệm phương trình A C S   0;1 D S   5 x  x  12  x  x 1 B C D Câu 7: Với giá trị tham số a phương trình  x  x   x  a  có hai nghiệm phân biệt? A a  Câu 8: Cho A m  B �a  x   m  1 x  6m  x2 B m �1 C a �4 D Không có a  x  2(1) Giá trị m để phương trình (1) có nghiệm C m  D m �1 m  x  mx  Câu 9: Tìm tất giá trị m để phương trình m  x  có nghiệm dương 2 x Trang 23 A  m  B  m �2  Câu 10: Cho phương trình C  �m  D  �m  3mx  x  5m   x 1   1 x 1 x 1 Để phương trình (1) có nghiệm, điều kiện tham số m A  m  m0 � B � � m � �m  D � � m � C   m  ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-C 3-C 4-D 5-D 6-A 7-B 8-D 9-A 10-B Câu Chọn B x4 � � x2  5x   � � �x  Phương trình tương đương với � � xa  � xa � Phương trình có nghiệm phân biệt �a  Câu Chọn D Điều kiện x   � x   1 � x   2m  3 x  6m  (2) Phương trình ln có nghiệm x  x  2m 3 Để phương trình (1) có nghiệm 2m �2 2m = m m  Câu 10 Chọn B Điều kiện x  1 Phương trình trở thành 3mx   x   x  5m  �  3m  1 x  5m  (2) Phương trình (1) vơ nghiệm � Phương trình (2) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm nhỏ –1 � �� 3m   m � �� 5m  �0 � �� � � �  � � m � �3m  �0 ��� � � � � � � � � m  � m �1 � � � �0 � �3m  � �3m  � � � m3 � � � m � � � � � � � � �m � � � m m0 � � Vậy phương trình có nghiệm � m � Trang 24 ... nghiệm phương trình x  x   x  A – 12 B – C D 12 Câu 10: Gọi x1 , x2 ( x1  x2 ) hai nghiệm phương trình x  x   x  17 Giá trị biểu thức P  x1  x2 A P = 16 B P = 58 C P = 28 D P = 22 Câu... � � x  x  12  x  22 � � �� x   x  x  12   x2  22   � � � � � � �� x  22  � � x  � 22 �� Vậy P   22    28 Câu 11 Chọn C Trang 15 Đặt t  x   t �0  Phương trình trở thành...  2? ?? x 0 B x  2? ?? x 0 C x 2? ?? D x 2? ?? 0  Câu 4: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình x  3x  10  Giá trị tổng A 10 B  10 C 10 D  1  x1 x2 10 Câu 5: Cho phương trình ax  bx  c